WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 27 |
Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова Г.Г.

Допущено Учебно-методическим объединением по направлению педагогического образования Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 540200 «Физико-математическое образование» Санкт Петербург Издательство РГПУ им. А.И. Герцена 2009 Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционного-издательского совета РГПУ им. А. И. Герцена Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. А.В.Флегонтов, д. ф.-м. н., проф. А.Х.Гелик Авторы: Е.Б. Александрова, А.А. Атоян, И.Е. Водзинская, Е.Г. Копосова, Р.А. Мыркина, Т.А. Семенова, Л.Н. Тимофеева, Г.Г. Хамов, М.Ю. Чурилова Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Под ред. Г.Г.Хамова. – СПб. Изд-во РГПУ им. А.И.

Герцена, 2009. - 353с.

© Коллектив авторов, 2009 © Издательство РГПУ им. А.И. Герцена, 2009 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов факультетов физики, химии, биологии, географии, технологии и предпринимательства.

Во второй части содержится материал, относящийся к разделу математического анализа и дифференциальных уравнений. В нем изложены: теория пределов числовых последовательностей и функций, производная функции, исследование функций и построение графиков, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, дифференциальные уравнения и методы их решения.

В каждой главе приводится теоретический материал, основные формулы, используемые для решения задач; подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для проведения проверочных, контрольных работ и выдачи индивидуальных заданий.

При самостоятельной работе с данным пособием перед тем, как приступить к решению задач, рекомендуется внимательно прочитать теоретические сведения параграфа и рассмотреть разобранные там примеры.

В учебном пособии не приводятся доказательства некоторых теоретических положений. При необходимости ознакомления с ними рекомендуем обратиться к литературе:

1. И. И. Баврин. Курс высшей математики. – М., 1992.

2. В.С. Шипачев. Высшая математика. – М., 1996.

3. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. – М., 1986.

4. В.Г. Скатецкий. Математическое моделирование физикохимических процессов. – Минск, 1980.

5. К.К. Пономарев. Составление дифференциальных уравнений. – Минск, 1980.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ §1. Простейшие понятия теории множеств.

Числовые множества 1. Множества. Элементы множества. Подмножества В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента множества и понятие принадлежности элемента множеству. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов, объединенных по какому-нибудь признаку. Например, множество вузов города, множество студентов данного вуза, множество рек континента, множество растений в гербарии, множество натуральных чисел и т.д. Предметы, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Множества, как правило, обозначают заглавными буквами: A, B,... X, Y,..., а элементы множеств прописными буквами: a, b,... x, y,.... Если a является элементом множества A, то есть a принадлежит множеству A, то пишут a A. Например, множество всех натуральных чисел, как правило, обозначают буквой N, запись n N означает, что число n принадлежит множеству натуральных чисел. Можно сказать иначе: число n есть натуральное число.

Множество задают или перечислением всех его элементов, или указанием того признака, по которому образуется множество, то есть указывается такое свойство элементов, по которому можно установить принадлежит ли данный элемент множеству или нет. Это свойство называют характеристическим свойством множества.

Например, а) множество A состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Множество A задано перечислением всех его элементов. В этом случае используют запись {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, указывая в фигурных скобках все элементы множества;

б) множество B – множество всех чётных чисел. Числа в этом случае не перечисляются, а указывается характеристическое свойство множества - свойство чётности чисел, принадлежащих множеству.

Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут A = B.

Множество A называют подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B. В этом случае говорят, что множество A содержится в множестве B, и пишут A B. Можно записать иначе: B A. Тогда говорят, что множество B содержит множество A.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом. Пустое множество считают подмножеством любого множества.

Например, множество A состоит из чисел 2, 5 и 8, то есть A = {2; 5; 8}, тогда все возможные его подмножества суть следующие:

{2}, {5}, {8}, {2; 5}, {2; 8}, {5; 8}, {2; 5; 8},.

Множество A называют конечным, если оно имеет конечное число элементов, и бесконечным в противном случае. Например, множество A = {2; 5; 8} конечно, так как имеет конечное число (три) элементов, а множество всех натуральных чисел N бесконечно, бесконечным является и множество всех точек на прямой и т. д.

Множества A и B называют эквивалентными и пишут A ~ B, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие. Последнее означает, что каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B и обратно, каждому элементу множества B соответствует единственный элемент множества A. Например, множество всех натуральных чисел N и множество всех чётных положительных чисел H эквивалентны N ~ H. Действительно, каждому натуральному числу n (n N) можно поставить в соответствие единственное чётное положительное число m (m H ), а, именно, m = 2 n. И обратно, каждому положительному чётному числу m (m H ) можно поставить в соответствие единственное натуральное m число n (n N), а, именно: n =.



Множество A называют счётным, если его элементы можно какимнибудь образом пронумеровать, и несчётным в противном случае. Счётное множество эквивалентно множеству натуральных чисел N или какомунибудь его подмножеству. Всякое конечное множество является счётным.

Множества всех натуральных, чётных, целых чисел являются счётными, хотя и бесконечны. Примерами несчётных множеств могут служить множество всех точек прямой и множество всех точек какого-либо её отрезка.

2. Действия над множествами Пересечением двух множеств A и B называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A так и множеству B, и пишут A B ; другими словами: пересечение множеств это множество общих элементов множеств A и B.

Пример 1. а) пусть A = {1; 3; 5}, B = {1; 5; 8; 9}, тогда A B = {1; 5};

б) пусть A = {1; 3; 5 }, B = {1; 3}, тогда A B = {1; 3};

в) пусть A = {1; 3; 5}, B = {7; 8}, тогда A B =.

Два множества A и B называют непересекающимися множествами, если их пересечение A B является пустым множеством. Например, множества A и B в рассмотренном примере под буквой «в», или множества чётных и нечётных чисел т. д.

Для наглядности множества часто изображают геометрическими фигурами, так называемыми «кругами Эйлера», при этом слово «круг» весьма условное. Это может быть любая геометрическая фигура.

На рис. 1 изображены множества A и B, штриховкой отмечены их пересечения.

а) б) в) A B = B A B B А А В A Рис. Объединением двух множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов множеств A и B, и только из них, и пишут A B. Если множества A и B имеют общие элементы, то в объединении каждый из этих общих элементов учитывается только один раз.

Пример 2. а) пусть A = {1; 3; 7 }, B = {5; 6}, тогда A B = {1; 3; 5; 6; 7 };

б) пусть A = {1; 3; 7 }, B = {3; 6; 7 }, тогда A B = {1; 3; 6; 7 };

в) пусть A = {1; 3; 7 }, B = {1;7}, тогда A B = {1; 3; 7 }.

Графическое изображение объединения двух множеств A и B отмечено штриховкой на рис 2.

a) б) в) A A A B B B Ф Рис. Разностью множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, и пишут A \ B.

Например, если A = {1; 3; 5; 6} и B = {1; 5; 7}, то A \ B = {3; 6}. Графическое изображение разности множеств приведено на рис 3.

Если множество A содержит B (A B), то разность множеств A \ B называют дополнением множества B до множества A (рис. 3.б). Заметим, что дополнения множества B до различных множеств будут различны.

а) б) B A A B A \ B.

A \ B.

Рис. Например, для множества B = {2; 4} дополнением до множества A, где A = {1; 2; 3; 4} будет A \ B = {1; 3}; дополнением до множества D, где D = {2; 4; 5; 6}, будет D \ B = {5; 6}. Если A = {2; 4}, то A \ B =.

Рассмотрим два множества A и B. Множество, состоящее из двух элементов a и b взятых из разных множеств называют парой элементов a и b и пишут {a; b}. Пару элементов {a; b}, в которой первый элемент a всегда выбирается из одного и того же множества A, а второй из другого множества B, называют упорядоченной парой элементов a и b и пишут (a; b).

Прямым произведением (или декартовым произведением) множеств A и B называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар (a; b) элементов этих множеств A и B и только из них, и обозначают A B.

Например, если A = {1; 2; 3; } и B = {3; 4}, то A B = {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 3); (3; 4)}.

Пусть X множество всех чисел x (x X ) таких, что a x b, а Y множество чисел y (y Y ) таких, что c y d. Если множества X и Y изобразить соответственно на осях координат Ox и Oy декартовой системы координат, то множество XY можно интерпретировать как множество точек на плоскости Oxy с координатами (x; y), где x X и y Y (рис. 4).

y d X Y Y c O a X b x Рис. 3. Действительные числа. Числовые множества Множество, элементами которого являются числа, называют числовым множеством. Первые представления о числе приобретены людьми еще в древности, как результат счёта различных предметов. Результатом счёта являются числа один, два, три и так далее. Эти числа называют натуральными. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, … продолжается без конца и называется натуральным рядом. Как правило, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N : N = {1, 2, 3,... }.

Множество, состоящее из всех натуральных чисел, чисел противоположных натуральным числам и числа ноль, называют множеством всех целых чисел и обозначают буквой Z : Z = {0; ±1; ± 2; ± 3;... }. Очевидно, что Z N.

Число a называется рациональным, если существуют такие целые m числа m и n (m Z, n Z, n 0), что a =. В противном случае число a наn 1 зывается иррациональным. Например, числа,, 0 - рациональные, а 2 числа 2, 5, - иррациональные. Множество всех рациональных чисел обозначают буквой Q. Ясно, что Q Z.





Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R. Очевидно, что R Q Z N.

Основные свойства действительных чисел:

1. множество действительных чисел упорядоченное, то есть для каждых двух различных действительных чисел a и b можно указать, какое из них меньшее;

2. множество действительных чисел всюду плотное, то есть между каждыми двумя действительными числами a и b (a < b) существует еще по крайней мере одно действительное число c (a < c < b), а следовательно, и бесконечное множество действительных чисел;

3. множество действительных чисел непрерывно, то есть в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, а геометрически это означает, что каждому действительному числу a на числовой прямой соответствует точка, имеющая координату a, и, обратно, каждая точка числовой прямой имеет действительную координату;

4. арифметические действия над действительными числами всегда возможны (кроме деления на нуль) и в результате дают действительное число;

также возможны возведение в степень и извлечение корня в множестве действительных чисел, то есть из каждого положительного числа можно извлечь корень любой степени, из каждого отрицательного числа можно извлечь корень нечётной степени, корень любой степени из числа нуль есть нуль; каждое положительное действительное число имеет логарифм при любом положительном основании отличном от единицы.

Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами, обозначаемыми + и - (плюс и минус бесконечность). При этом полагают, что - < +; (+ )+ (+ ) = +; (- )+ (- ) = -;

(- )(- ) = (+ )(+ ) = +; (- )(+ ) = (+ )(- ) = -.

+ + - Но операции (+ )+ (- ),,, не определены. Кроме того, для лю- + - бого числа a R полагают, что справедливо неравенство - < a < + и справедливы операции a + (+ ) = (+ )+ a = +; (- )+ a = a + (- ) = -;

для a > 0 a (+ ) = (+ ) a = +; a(- ) = (- ) a = -;

для a < 0 a (+ ) = (+ ) a = -; a (- ) = (- ) a = +.

Операции 0 (+ ) и 0 (- ) не определены. Бесконечности + и - называют иногда «бесконечными числами» в отличие от действительных чисел, которые называют «конечными числами». В дальнейшем под числом будем понимать конечное число.

Определение 1. Абсолютной величиной, или модулем, действительного числа a называют неотрицательное число обозначаемое a и определяемое следующим образом:

a = a, если a 0;

a = -a, если a < 0.

Ясно, что a 0, - a = a, a = a2, a2 = a. Если a = 0, то это эквивалентно тому, что a = 0. Для любых действительных чисел a и b справедливы следующие соотношения:

a a a b = a b ; =, если b 0;

b b a - b a + b a + b ; a - b a - b a + b Определение 2. Подмножество X множества всех действительных чисел R называется ограниченным снизу, если существует действительное число a (a R) такое, что оно не больше каждого числа x из X, то есть для любого x (x X ) выполняется неравенство a x. Число a называют числом, ограничивающим множество X снизу.

Множество, не являющиеся множеством ограниченным снизу, называют множеством неограниченным снизу. Термин «множество неограниченное снизу» означает, что каково бы ни было отрицательное, сколь угодно большое по абсолютной величине число a, в данном множестве обязательно найдется еще меньшее число x (x < a).

Если множество X ограничено снизу числом m, и число m принадлежит множеству X (m X ), то число m называют наименьшим или минимальным числом множества X : m = min X. Если в множестве есть наименьшее число, то оно единственно.

Пример 3. а) множество чисел X = {1; 3; 8; 17} ограничено снизу числом 1, причем это число 1 является наименьшим;

б) множество X – множество всех неотрицательных чисел x (то есть чисел, удовлетворяющих неравенству x 0 ) тоже является ограниченным снизу и его наименьшим значением является число 0 ;

в) множество Y – множество всех положительных чисел y (то есть чисел, удовлетворяющих неравенству y > 0 ) тоже является ограниченным снизу числом 0, но множество Y не имеет наименьшего, так как число 0 не принадлежит Y. При этом число 0 является наибольшим из всех чисел, ограничивающих множество Y снизу, а элементы y множества Y в силу свойств плотности и непрерывности действительных чисел могут быть сколь угодно близки к числу 0, оставаясь больше его;

г) множество D – множество всех отрицательных чисел неограниченно снизу, так как какое бы отрицательное число ни взять, найдется еще меньше число.

Определение 3. Подмножество X множества всех действительных чисел R называется ограниченным сверху, если существует такое число b (b R), что оно не меньше каждого числа x (x X ), то есть для любого x X, выполняется неравенство x b. Число b называют числом ограничивающим множество X сверху.

Множество, не являющееся множеством ограниченным сверху, называют множеством неограниченным сверху. Термин «множество неограниченное сверху» означает, что каково бы ни было сколь угодно большое положительное число b, в данном множестве обязательно найдется еще большее число.

Если множество X ограничено сверху числом M и M X, то число M называют наибольшим или максимальным числом множества X : M = max X. Если есть в множестве наибольшее число, то оно единственное.

Определение 4. Множество, ограниченное и снизу и сверху, называется ограниченным множеством.

Другими словами, множество X R ограничено, если существуют числа a, b (a R, b R) такие, что для каждого x X справедливо неравенство:

a x b.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 27 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.