WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Курс лекций для ФМШ ЭЛЕКТРОСТАТИКА А. П. Ершов 1 сентября 2006 г.

В этом семестре мы начинаем изучение электродинамики. Это не просто новый раздел, что-то вроде усовершенствованной механики. Развитие физики – это развитие представлений людей о природе. Сейчас уместно вспомнить историю.

Основы механики заложили Галилей и Ньютон еще в XVII веке. Хотя современный вид эта наука приобрела в XVIII – XIX веках (Лагранж, Гамильтон), это было в основном развитие форм, методов и приемов. Механикой занимаются и до сих пор; нынешние продвижения – это новые решения, иногда даже новые неожиданные области (как динамический хаос). В механике есть сложные задачи, есть еще нерешенные, есть и такие, которые вряд ли удастся решить в обозримом будущем. Но все они в принципе уже содержатся в законах Ньютона. Механика в этом смысле проста и понятна. Она опирается на житейский здравый смысл и повседневный опыт каждого человека. Объекты механики тоже просты и привычны (кирпичи, повозки), а более сложные вещи (автомобили, самолеты) – это не более как комбинации простых деталей. Благодаря расцвету механики в XIX веке приобрела популярность концепция материи, в то время попросту понимаемой как вещество, и развелись во множестве философы-материалисты.

Молекулярная физика создана в основном в XIX веке. Такая задержка именно вызвана тем, что объекты «теплоты» более сложны и часто плохо доступны восприятию. Вначале появилась идея тепла как неосязаемой жидкости, которая как бы плещется в нагретых кирпичах и может из одного в другой перетекать. Прорыв начался, когда была осознана идея молекулярной структуры вещества, и всячески пытались свести теплоту к механике. Этот путь привел к частичному успеху (например, про горячее тело мы говорим не как бывало, что в нем избыток теплорода, а что его молекулы имеют много кинетической энергии). Но выявились проблемы следующего уровня: поведение теплоемкости, излучение... В прошлом семестре мы замели их под ковер, объявив, что это область квантовой механики и электродинамики. Возможно, преподавателям и не удалось в должной мере всех в этом убедить, но хорошо уже, если мы донесли, что тут не годится классическая механика. Впрочем, теплоемкость и фотоны – это некие тонкости, а есть проблема более грубая и зримая. Почему вещество делится на части только до масштаба порядка 10-8 см, а не дальше Откуда взялся этот размер, который мы называем атомным В этом году мы попробуем разобраться в этих вопросах. И для начала займемся электродинамикой. В течение XIX века было осознано (Фарадей, Максвелл, Герц и др.), что кроме вещества (того, что делится на атомы), есть в природе и другие сущности – поля, из которых предметом электродинамики являются электрическое и магнитное поле.

«На глаз» нельзя отличить провода «под током» и отключенные, что и приводит к электрическим поражениям. Но это не значит, что наши органы чувств не реагируют на поля. Электрическое поле мы прекрасно чувствуем: если оно присутствует в организме (одновременно идет ток), то непроизвольно сокращаются мышцы и возникают непривычные ощущения, памятные каждому, кто хоть раз хватался за провода. Менее сильное поле (от батарейки) ощущается на вкус. Связаны эти эффекты с тем, что управляющие сигналы в организме, в нервах и пр. – электрические. Магнитное поле человек не замечает: попробуйте отличить магнит и простой кусок железа, не прибегая к таким индикаторам, как гвозди. Однако некоторые птицы как будто ориентируются по довольно слабому земному магнитному полю. С другой стороны, свет – это чистое электромагнитное поле, больше в нем ничего нет, а именно свет мы только и видим.

И вообще все наши ощущения на микроуровне формируются именно полями, в основном электрическое поле действует как передаточный ремень. Можно сказать, что наши ощущения нас обманывают. Мы чувствуем не то, что есть на самом деле.

Видно, что восприятие полей какое-то косвенное, оно резко отличается от восприятия грубо материальных предметов. Потому-то понятие поля возникло достаточно поздно, приблизительно с работ Фарадея (первая треть XIX века). Если теплота как-то свелась к механике, правда не всегда обычной, то электродинамика – вещь принципиально не механическая. Хоть электромагнитное поле имеет энергию и импульс, может воздействовать на «обычные»1 макроскопические предметы с некоторой силой, но это воздействие никак не главное, а сами поля не имеют ничего общего с основой ньютоновской механики – материальными точками. Это гораздо более тонкие вещи. Напротив, на микроскопическом уровне все вещество пронизано и «скреплено» полями: в атомах в основном электрическое поле не дает электронам разбежаться.

То есть не несущие заметного электрического заряда, см. п. 1.1.

Глава ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1.1 Закон Кулона. Электрическое поле заряда Притяжение/отталкивание «наэлектризованных» тел известно с древности. В 1785 г.

Кулон установил закон взаимодействия q1qF =, (1.1) Rпохожий на закон тяготения. Разница с тяготением в том, что заряд q может быть положительным и отрицательным: (+,+) и (–,–) отталкиваются, а (+,–) притягиваются.

Из (1.1) размерность q: (сила)1/2 · длина. Заряд 1 (г)1/2 · (см)3/2/сек взаимодействует с таким же зарядом на расстоянии 1 см с силой в 1 дину. Кратко его называют единицей з аряда СГС, или 1 CGS(Q).

В системе СИ вводится единица заряда – кулон (Кл); 1 Кл = 3·109 CGS(Q). Обратим внимание, что отличается не только единица заряда, но и форма записи закона:

1 q1q2 q1qF = · = k ·. (1.2) 40 R2 RЭлектрическая постоянная 0 (она же диэлектрическая проницаемость вакуума) равна 8,854 · 10-12 Кл2сек2/(кг · м3), так что коэффициент k в (1.2) равен 9 · 109. Сила взаимодействия зарядов в 1 Кл на расстоянии 1 км будет 9·103 Н, или 900 кГ. Часто полезность системы СИ видят в том, что в ней единицы «бытовой» величины. Видно, что кулон как единица нескомпенсированного заряда не подходит под это правило. В природе заряды порядка сотен кулон возникают разве что в грозовых облаках. Заметим, что не только кулон гораздо больше единицы заряда СГС, но у него и размерность другая. Строго говоря, основная единица в СИ – ампер1 (А), 1 Кл = (1 А)·(1 секунду). В физике СИ неудобна, как мы еще не раз увидим.



Ампер определяется как величина тока, который, проходя по двум тонким параллельным прямым проводникам, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между этими проводниками силу, равную 2 · 10-7 Н на каждый метр длины.

4 Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Существует элементарный заряд e =4,8·10-10 СГС = 1,6·10-19 Кл. Заряд электрона равен -e, протона +e. Любой заряд в природе «набирается» из таких единиц. Поскольку элементарный заряд мал, мы обычно не замечаем дробности заряда (так же как и дробности вещества), но достаточно чувствительные приборы реагируют на отдельный электрон.

Сейчас известно, что многие элементарные частицы (адроны) состоят из так называемых кварков, имеющих дробные заряды, конкретно ±e/3 и ±2e/3. Но кварки живут не в свободном виде, а тройками (барионы, например протон и нейтрон) либо парами кварк-антикварк (мезоны, например -мезон), так что заряд наблюдаемой частицы всегда получается целый2.

Есть еще лептоны (электрон), которые кварков не содержат; их заряд целый без всяких усложнений.

Заряд сохраняется. Сохранение заряда просто понять, учитывая его дробность:

это означает, что электрон не может возникнуть из ничего или исчезнуть без следа. Однако возможно парное рождение в одной точке частиц с противоположными зарядами, например, электрона и позитрона из двух фотонов, либо обратный процесс – аннигиляция. Если в каком-то объеме изменился заряд, то он или прибыл извне (через границу), или удалился; и то и другое – в результате движения заряженных частиц.

В атомах электроны притягиваются к протонам. Атомы, молекулы, вирусы, медведи и т.п. сдерживаются вместе электрическими силами. В основном наш мир – электрическая система.

Электрическая сила между двумя протонами больше гравитационной в e2/(Gm2) p 1036 раз (здесь mp – масса протона, G – постоянная всемирного тяготения). Отсюда следует, что заряды электрона и протона близки с очень хорошей точностью (по современным представлениям, точно равны). Иначе в сколько-нибудь заметном куске вещества заряды компенсировались бы не совсем, и гравитационное притяжение планет могло бы «забиваться» электрическим взаимодействием.

Правильнее считать, что не заряды взаимодействуют непосредственно, а каждый из них создает в пространстве электрическое поле. Это поле и действует на второй заряд. По определению, если на неподвижный пробный3 заряд q в некоторой области пространства действует сила, пропорциональная q и зависящая, вообще говоря, от времени и координат, F = q · E, (1.3) то в этой области имеется электрическое поле напряженности E. Иногда говорится короче: электрическое поле равно E. Можно сказать, что E – это сила, действующая на единичный заряд. Поле может быть однородным (не зависеть от координат в некоторой конечной области), статическим (не зависеть от времени), но в общем случае E = E(r, t). В этой главе мы рассматриваем простейший случай – электростатичеНайдены более редкие четырех- и пятикварковые частицы, также имеющие в сумме целый заряд.

Пробным называют заряд, достаточно малый, чтобы не влиять на рассматриваемое поле.

1.2. Принцип суперпозиции ские, то есть не зависящие от времени, электрические поля. Строго говоря, это значит, что заряды должны быть неподвижны. На практике, однако, допустимы движения со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света (примерно такое же приближение представляет собой ньютоновская механика).

Поскольку заряд – явный скаляр, поле E – вектор. Из (1.2,1.3) следует, что напряженность поля, созданного зарядом Q в точке, куда «смотрит» радиус-вектор r, проведенный из этого заряда, Q Q · r E =, E =. (1.4) r2 rКазалось бы, нет разницы между набором уравнений (1.3),(1.4) и одним (1.1). И ее действительно нет в рамках электростатики. Позже мы узнаем, что поле может существовать совершенно отдельно от зарядов и поэтому является не лишним неизвестным, а реальным фактором. Например, при смещении одного из зарядов сила меняется не сразу, как можно ожидать из (1.1) (это называлось бы дальнодействие), а с некоторой задержкой. Сначала изменится поле в непосредственной близости от смещаемого заряда, а потом область этих изменений расширяется. Когда она «зацепит» второй заряд, изменится и сила (близкодействие). Мы увидим, что изменения поля распространяются со скоростью света. Можно представлять себе поле как некие «резинки», через которые взаимодействуют заряды.

Закон Кулона напоминает закон тяготения; аналогом электрического поля в гравитации является ускорение силы тяжести g (сила на единичную массу).

1.2 Принцип суперпозиции Этот принцип установлен на опыте и означает, что поля от нескольких зарядов складываются:

qiri E = Ei =. (1.5) ri В электростатике электрическое поле создается зарядами и только ими (это также опытный факт). Любое электростатическое поле можно представить как сумму полей от некоторых зарядов. Говорят, что заряды – источники поля.

Примеры.

Кольцо радиуса R с зарядом q; на расстоянии z от центра на оси кольца:

E = qz/(R2 + z2)3/2, направление – вдоль оси кольца.





Нить с зарядом на единицу длины: поле при > 0 направлено «от нити». Разделив нить на элементы длины dx, заряды которых dx, суммируем проекции полей на поперечное к нити направление:

· dx r dx dE = · E = r =.

(r2 + x2) (r2 + x2)3/2 r r2 + x6 Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Плоскость с зарядом на единицу площади: режем на кольца площади dS =2RdR.

Поле направлено по нормали и равно · dS z RdR dE = · E =2z =R2 + z2 R2 + z2 (R2 + z2)3/независимо от расстояния z до плоскости. Для оценки можно считать, что поле создает кусок плоскости размером z, скажем круг такого радиуса. Его заряд z2, расстояние до точки наблюдения порядка z, и поле должно быть порядка z2/z2. Получилась ошибка в два раза, чего и следовало ожидать от оценки. Остальная часть плоскости имеет бесконечный заряд, но поля от удаленных участков направлены почти вдоль плоскости, поэтому их вклад невелик.

Важный случай – поле равномерно заряженной сферы. Эту задачу решил еще Ньютон (в гравитационном варианте). Проследив за его решением, мы одновременно вернем долг (в первом семестре результат мы приняли без доказательства).

Легко показать, что внутри сферы поле равно нулю. На рис.

1.1 показаны два узких конуса с вершинами в произвольной точке наблюдения A, которые опираются на два противоположных малых участка поверхности. Площади этих участков dS1 и dSотносятся как квадраты расстояний r1 и r2 (обратите внимание на Рис. 1.1.

подобие узеньких треугольников). Поля от участков dS1 и dS2 в точке A направлены вдоль отрезков r1 и r2, и результат их сложения можно записать как dS1 dS - =0.

2 r1 rОтсюда нулевым будет и суммарное поле сферы, так как ее поверхность исчерпывается такими малыми участками.

Более сложно найти поле снаружи сферы. Решение Ньютона – пример математического изящества. Приведем его в современных обозначениях.

На рис. 1.2 на расстоянии R от центра сферы радиуса a расположена точка наблюдения (обозначенная также R). Внутри сферы имеется так называемая сопряженная точка A, на расстоянии x = a2/R от центра.

Проведем через точку A прямую, пересекающую сферу в двух точках (верхняя обозначена B). Прямая будет Рис. 1.2.

осью двух узких конусов, с телесным углом4 d, вырезающих на сфере два участка поверхности. Треугольники AOB и BRO подобны, так как угол у них общий, а отношения соответственных сторон равны: x/a = a/R. Тогда и отношение Телесным углом называется отношение площади участка сферы, проведенной из данной точки, к квадрату радиуса.

1.3. Потенциал r/l = a/R, а угол OBA равен. Заряд верхнего участка qB = dSB = r2d/ cos, посколь ку r2d – элемент поверхности, перпендикулярной радиусу r; деление на косинус учитывает наклон поверхности сферы к оси конуса. Поле в точке наблюдения из симметрии направлено горизонтально:

qB r2d a2d dE = cos = cos =.

l2 l2 cos RТеперь суммируется очень просто: полный телесный угол равен 4, а 4a2 есть заряд сферы Q; нам даже не понадобилось то обстоятельство, что «обратный» конус дает такой же вклад в поле. Отсюда Q E =.

RСнаружи сфера действует, как будто весь заряд расположен в ее центре. Отсюда следует, что любое сферически симметричное распределение заряда создает снаружи такое же поле, как суммарный точечный заряд.

1.3 Потенциал При движении пробного заряда в электростатическом поле изменяется его потенциальная энергия U. Поскольку электрическая сила – вторичное понятие, а основное – электрическое поле E, или сила на единичный заряд, то в электростатике важна потенциальная энергия единичного заряда – потенциал. Для пробного заряда q по определению U = q. Соответствия:

x x F U : F = -dU/dx, U(x2) - U(x1) =- Fdx, U(x) =- Fdx x(от места, где U =0) x x E : E = -d/dx, (x2) - (x1) =- Edx, (x) =- Edx.

x(от места, где =0) (Не забывайте знак минус !!!). В пространстве имеются три направления, которым соответствуют три частных производных:

Ex = -, Ey = -, Ez = -.

x y z Короче то же самое записывается в виде E = - -grad = - i + j + k. (1.6) x y z Здесь i, j, k – единичные векторы по осям, и grad – различные обозначения дифференциального оператора градиента:

grad = i + j + k, x y z 8 Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА который как бы умножается на функцию, стоящую справа от него. Если нежелательно пользоваться координатами, то можно сказать, что градиент – это вектор, направленный в сторону быстрейшего изменения потенциала и равный производной потенциала вдоль этого направления.

Из (1.6) видна выгода использования потенциала – в одной функции содержится та же информация об электрическом поле, как в трех функциях – компонентах напряженности поля. Правда, эта информация присутствует в «свернутом» виде: чтобы ее извлечь, надо вычислить три производных. Далее мы увидим, что потенциал полезен не только для сокращения, но и сам по себе, как физическая величина.

Пока ниоткуда не следует, что потенциал – функция, которая обращает (1.6) в тождество – существует. В общем случае, для произвольного поля E, это и неверно. Но в электростатике потенциал существует и даже (при известном расположении зарядов) выписывается явно. А именно, точечный заряд q на расстоянии r создает потенциал q =. (1.7) r Действительно, (x2 + y2 + z2)-1/2 qx Ex = - = -q = qx(x2 + y2 + z2)-3/2 =.

x x rОстальные компоненты отличаются тем, что x заменяется на y или z. Вектор поля ix jy kz qr E = q + + = r3 r3 r3 rв полном соответствии с (1.4). В силу принципа суперпозиции поле любого числа зарядов есть сумма элементарных полей вида (1.4), но тогда и потенциал суммарного поля можно найти как сумму элементарных потенциалов:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.