WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

Найдем =(с,2с,с). Полученный результат означает, что сбалансированность Х торговли трех стран достигается при соотношении их национальных доходов: 1:2:1.

7.12. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ 1. Использование алгебры матриц Требуется определить:

1. годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2. годовую потребность каждого предприятия в каждом виде сырья;

Задача 1.

3. годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для В таблице приведены данные о дневной производительности выпуска продукции указанных видов и количеств.

предприятий холдинга, выпускающих 4 вида продукции с Решение. Матрица затрат сырья на единицу изделия:

потреблением трех видов сырья, а также продолжительность Дана матрица производительности Вид изделия работы каждого предприятия за год и цена каждого вида сырья.

предп-риятий по всем видам продукции: 1 2 3 Вид Производительность Затраты видов Производительность изд. предприятий: изд/день сырья, ед.веса/изд 2 3 4 5 2 Вид В = 1 2 3 4 3 5 4 № 1 2 3 4 5 1 2 1 4 5 3 6 7 2 3 4 5 3 6 7 2 вид 4 6 5 6 3 сырья А = 0 2 4 3 0 изделия 2 0 2 4 3 0 3 5 Дневной расход по типам сырья описывается 8 15 0 4 6 3 8 15 0 4 6 4 4 произведением В на А:

3 10 7 5 4 3 10 7 5 4 5 8 55 126 53 62 Кол-во рабочих дней за год Цены видов сырья, Каждый столбец этой матрицы ВА = 165 85 89 ден.ед./ед.веса соответствует дневной 74 167 78 92 1 2 3 4 5 1 2 производительности отдельного 200 150 170 120 140 40 50 60 Годовая потребность каждого предприятия в каждом предприятия по каждому виду виде сырья:

продукции.

11000 18900 9019 7440 Значит, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду ВАгод = 13600 24750 14450 10680 продукции получается умножением j-го 14800 25050 13260 11040 столбца матрицы А на количество Введем вектор стоимости сырья p = (40, 50, 60), рабочих дней в году для этого Задача 2. тогда стоимость общего годового запаса сырья для предприятия по каждому изделию, и она Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, каждого предприятия описывается матрицей основные производственно-экономические показатели которых 800 750 510 720 P = pBAгод = приведены в таблице 0 300 680 360 = (2008000, 3496500, 1878500, 1494000, 1552600) Агод = Вид изд. Кол-во Расход Норма Стоимость 1600 2250 0 480 н/п изд.ед. сырья времени изд., 600 1500 1190 600 кг/изд. изгот.ч ден.ед/изд.

1 20 5 10 2 50 2 5 Решение.

3 30 7 15 Составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл: q = (20, 50, 30, 40) 4 40 4 8 вектор ассортимента, -вектор расхода сырья, -вектор затрат s = (5, 2, 7, 4) t = (10, 5, 15, 8) Требуется определить следующие ежесуточные показатели:

расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р рабочего времени, - вектор стоимости. Тогда p = (30, 15, 45, 20) выпускаемой продукции.

S = (q, s) = 100 + 100 + 210 + 160 = 570кг Т = (q,t) = 1220ч, Р = (q, p) = 3500ден.ед.

ТЕМА 8. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 8.1. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ - нормаль n (A, B,C) ( A1A, A1A2, A1A3) = A(x - xO ) + B (y - yO ) + C (z - zO ) = М(х,у,z) (r, nO ) - P = Уравнение x - x1 y - y1 z - z n уравнение плоскости, проходящей плоскости в x cos + y cos + z cos - P = через точку x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = пространстве нормальное уравнение плоскости x3 - x1 y3 - y1 z3 - zАх+Ву+Сz+Д=0 общее уравнение плоскости, МО (xO, yO, zO ) уравнение плоскости проходящей через три точки x y z уравнение плоскости (n, MOM ) = 0 + + = a b c векторное уравнение в отрезках плоскости A(x - xO ) + B (y - yO ) = x - x0 y - y0 y - y0 = к (x - x0) = уравнение прямой, x1 - x0 y1 - y0 уравнение прямой, (r, nO ) - р = - нормаль проходящей через точку n (A, B) Уравнение уравнение прямой, проходящей через x cos + y cos - р = прямой на М (х,у) проходящей через точку нормальное уравнение прямой плоскости две точки Ах+Ву+С=МО (xO, yO ) общее уравнение прямой y = к x + b x y уравнение прямой в отрезках + = (n, MOM ) = 0 уравнение прямой a b с угловым коэффициентом векторное уравнение прямой x = x0 + lt N(l, m, n) - направляющий вектор x - x0 = y - y0 = z - zy = y0 + mt Уравнение прямой в пространстве М (х,у,z) l m n канонические уравнения N z = z0 + nt прямой М1 (x1, y1, z1) параметрические МО (xO, yO, zO ) уравнения прямой x - x0 y - y0 z - z= = Задачи x1 - x0 y1 - y0 z1 - zуравнение прямой, Нахождение угла Условие перпендикулярности Условие параллельности проходящей через A1A2 + B1B2 + C1CA1 A2 + B1B2 + C1C2 = A1 B1 Cдве точки cos = = = 2 2 2 2 A12 + B1 + C1 A2 + B2 + C2 A1 A2 + B1B2 = 0, 1 + к1к2 = A2 B2 CРасстояние от точки до плоскости, l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 М (xO, yO, zO ) A1A2 + B1B2 r1 - r2 A1 Bcos =, tg = =, r1 = rпрямой 2 2 1 + r1 rA2 BA12 + B1 A2 + BA x0 + B y0 + C z0 + Д d = l1 m1 nl1l2 + m1m2 + n1n = = А2 + В2 + С cos = 2 2 2 2 2 l2 m2 n l1 + m1 + n1 l2 + m2 + nA x0 + B y0 + C d = А2 + В8.2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2 2 Уравнение определяет кривую 2-го порядка, где - заданные постоянные числа, - переменная точка aki, Ai, B X = (X1, X ) Определение Ai Xi + B = 0 a xk xi + ki k =1 i =1 i =в R2 или Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Способы приведения к каноническому виду а12 0 а12 = 2 Параллельный перенос Выделение полного квадрата Сведение квадратичной формы a xi xk к каноническому ik i=1 k =виду Инварианты кривой 2-го порядка a11 a12 Aa11 a S = a11 + a = = АС - В = a21 a22 Aa21 aA1 A2 B Парабола: y2=2px r1=rКанонические уравнения y =0 Параболические кривые 0 Центральные кривые r> <0 M(x,y) rp Окружность: х2+y2=1, Эллипс : x2 y r1+r2=2a x2 yГипербола:

r1 - r2 = 2a + = - = O F(p/2,0) x a ba2 b y M(x,y) b b r1 М(х,у) M r2b x F2(-c,0) 0 a F1(c,0) x a a у = x у = - x 2a b b Кривые со смещенным центром (x - x0 )2 ( y - y0 )( y - y0 )2 = 2 p (x - x0 ) + = (x-x0)2+(y-y0)2=a2 b у O1 (x0,y0) O1 (x0,y0) O1 (x0,y0) O1 (x0,y0) 0 х О О O O O 0 х O РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 1. Определить тип линии второго порядка и построить ее 2. Привести к каноническому виду и найти 3. Построить кривую 2х2+6у2-8х+12у-4=0.

расположение следующей линии 3х2-6х+у-3=0.

Решение.

4х2- у2-16х+16у+23=0. Решение.

В уравнении отсутствует член с произведением ХУ, (а12=0).

Решение. Преобразуем данное уравнение Выделим квадраты относительно Х и У:

Преобразуем данное уравнение: 3(х2-2х+1)+у=0, или у=-3(х-1)2 уравнение (2x2 - 8x) + (6 y2 + 12 y) - 4 = 0, 2(x2 - 4x) + 6( y2 + 2 y) - 4 = 0, 4(х-2)2-(у-3)2+16=0, получаем параболы.

у (x - 2)2 ( y - 3)2(x2 - 4x + 4) + 6( y2 + 2 y + 1) = 18, или - = -1 уравнение гиперболы 4 (x - 2)2 ( y + 1) 0 О1(1,0) 2 х + = 1 уравнение Эллипса у 9 у х х -2 О1(2,-1) 3 О1(2,3) -3 0 2 х -- 4. Построить график ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ах + b 5. Построить график ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ функции y = m.

cx + d y = n (с0, bc-ad0). График – есть равносторонняя График- есть равносторонняя гипербола с асимптотами – координатными осями и а d гипербола с асимптотами y =, X = -, вершинами (х0, у0), где (знаки х0, у0 зависят от квадрата).

c c х0 = у0 = m а.

параллельными осям координат, и О1 - d, a у y = c c c.

центром в точке - d, a (х0,у0) c c d х = -, 0 х c (-х0,-у0) ТЕМА 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Алгебраическая форма комплексных чисел Тригонометрическая форма комп. чисел (к. ч.) Показательная форма к.ч.

Геометрическая форма к.ч.

z = r (cos + i sin ), где у z = x + iy z = rei А(х,у) - модуль к.ч.

х – действительная часть, х=Rе(z) r = x2 + y2 = z z = z = x2 + yу – мнимая часть, y=Jm(z) y О х tg =, = Argz - аргумент к.ч. = Arg z - мнимая единица i2 = -1 или i = -x - соответствует т.А, (ОА).

z = x + iy ei = cos + i sin - формула Эйлера x z cos =, sin = z = x + iy x2 + y2 x2 + yОпределения z1 = x1 - iy1 z1 и z2 - сопряженная z1=z2, если х1=х2, у1=у мнимое z=0, если х=0, у= дейст- чисто мнимое x + oi = x x + iy ( y 0) о + iy (y 0) z2 = x2 + iyвительное число число число Арифметические действия z1 z2 = (x1x2 - y1y2 ) + i (x1y2 + x2 y1) z1 ± z2 = x1 ± x2 + i (y1 ± y2 ) z1 (x1x2 + y1y2 ) + i (x2 y1 - x1y2 ) = 2 z1z2 = r1r2[cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )] z2 + z2 = (r1 cos1 + r2 cos2 ) + i (r1 sin 1 + r2 sin 2 ) z2 x2 + y y или z = r1r2 = z1 z2, z1 r= [cos(1 -2 ) + i sin (1 -2 )] z1 z1+zzArg z = 1 + 2 = Arg z1 + Arg z2 rГеометрически умножение z1 на z2 означает zr ( ) изменение длины радиус-вектора r1 (или r2) в r2 или z = = z2 zr z1-zраз (или r1) раз и его поворот вокруг т.О Arg z = 1 -2 = Arg z1 - Arg zпротив часовой стрелки на угол 2 (или 1) z + 2 k + 2 k формула Муавра n n zn = rn (cos n + i sin n) z = rcos + i sin x n n где k = 0,1,2,...(n -1).

-z При k=n,n+1,… значения корня уже будут повторяться.

Замечание:

При переводе комплексного числа в тригонометрическую форму можно пользоваться таким правилом для аргумента y, если z лежит в I или в IV координатных плоскостях, = arctg x y, если z лежит во II координатной плоскости, = arctg + x y, если z лежит в III координатной плоскости.

= arctg - x Решение примеров 1. Даны 5 5 2 3. Перемножить z1 = 2 - 3i, z2 =1+ 4i. cos z1 = 2 + i sin и z2 = 3cos + i sin 6 6 3 zНайти z1 + z2, z1 z2,.

5 2 5 2 9 cos cos z2 z = z1 z2 = 2 3cos + + i sin + = 6 + i sin = 6 + i sin = 6 3 6 3 6 6 2 z1 + z2 = (2 + 1) + (-3 + 4)i = 3 + i = 6 (0 - i 1) = -6i z1 z2 = (2 + 3i ) (1 + 4i) = (2 1 - (-3) 4) + (2 4 + (-3 1)i = 14 + 5i 4. Разделить 3 3 cos cos z1 = 10 + i sin на z2 = 2 + i sin z1 (2 + 3i ) (1 - 4i) 2 - 3i - 8i - 12 10 4 4 4 = = = - i z2 (1 + 4i) (1 - 4i) 1 + 16 17 17 z1 2 3 3 cos z = = - (0 ) cos - + i sin = 5 4 + i sin 4 = 5 + i = 5 i z2 3 4 4 4 2. Представить в тригонометрической форме:

5. Возвести в степень 1 - i a) z = 3 + 3i b) z = -2 + 2 3i c) z = - 3 - i d ) z = -3 e) z = 6i 2 a) Точка (3,3) лежит в I четверти y 1 3 5 5 5 - i = 118cos + i sin = cos18 + i sin 18 = cos 30 + i sin 30 = r = 32 + 32 = 2 3, = arctg = arctg1 =, x 4 2 2 3 3 3 6. Решить уравнение z4 + 1 = z = 2 3cos + i sin 4 + 2 r + 2 r cos + i sin.

4 4 z4 = -1, откуда z = -1, -1 = cos + i sin, z = -1 = b) Точка (-2, ) лежит во II четверти 2 4 2 3 Придавая r значения 0,1,2,3, получим четыре значения корня уравнения r = (-2)2 + (2 3)2 = 4, = arctg + arctg( 3) =, - 2 3 z0 = cos + i sin = (1+ i) 2 4 4 z = 4cos + i sin 3 3 3 z1 = cos + i sin = (-1+ i) с) Точка (-,-1) лежит в III четверти 4 4 -1 5 5 r = (- 3)2 + (-1)2 = 2, = arctg = -, z2 = cos + i sin = - (1+ i) 3 4 4 5 5 5 5 7 7 cos + i sin = z = 2 cos - - - i sin z3 = cos + i sin = (1- i) 6 6 6 6 4 4 y d) Точка (-3,0) лежит на отрицательной полуоси ох r = (-3)2 + 0 = 3, = arctg =, z1 z- z = 3(cos + i sin ) е) Точка (0,6) лежит на положительной полуоси оу x r = 0 + 62 = 6, = arctg = arctg =, z2 z 0 cos z = 6 + i sin 2 СОДЕРЖАНИЕ Стр.

1. Элементы математической логики Тема 1. Теория множеств 1.1. Множество вещественных (действительных) чисел 1.2. Некоторые важные классы множеств 1.3. Множества Тема 2. Пределы и непрерывность 2.1. Последовательности 2.2. Теоремы о числовых последовательностях 2.3. Классификация функций 2.4. Основные теоремы о бесконечно малых 2.5. Предел функции 2.6. Замечательные пределы 2.7. Непрерывность функции 2.8. Основные теоремы о непрерывных функциях 2.9. Применение функций в экономике Тема 3. Дифференциальное исчисление 3.1. Производная 3.2. Формулы дифференцирования основных элементарных функций 3.3. Производные высших порядков 3.4. Приложение производной в экономической теории 3.5. Дифференциал функции Тема 4. Приложения производной 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 4.2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 4.3. Возрастание и убывание функции 4.4. Экстремум функции 4.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 4.6. Выпуклость функции. Точки перегиба 4.7. Асимптоты 4.8. Исследование функций и построение графиков 4.9. Предельный анализ экономических процессов Тема 5. Матрицы и определители 5.1. Определители 5.2. Свойства определителей 5.3. Матрицы 5.4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы Тема 6. Системы линейных уравнений 6.1. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными 6.2. Решения системы линейных уравнений 6.3. Итерационные методы 6.4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Тема 7. Векторная алгебра 7.1. Вектор 7.2. Операции над векторами 7.3. Умножение вектора на вектор 7.4. Деление отрезка в данном отношении 7.5. Пространства 7.6. Линейные отображения и матрицы 7.7. Преобразование координат 7.8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 7.9. Симметрические линейные отображения 7.10. Квадратичные формы 7.11. Линейная модель обмена (модель международной торговли) 7.12. Применение элементов линейной алгебры в экономике Тема 8. Уравнения линий 8.1. Прямая и плоскость 8.2. Кривые 2-го порядка Тема 9. Комплексные числа Содержание Подписано в печать 23.10.2006 г. Формат 6084 1/16.

Усл.п.л. 7,9. Тираж 300 экз. Заказ № 236.

_ Издательство ВСГТУ. 670013. г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в.

© ВСГТУ,

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.