WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

is S =2 - 5 1 2 1 - 5 2 2 1 - 5 2 2 1 - 5 2 2 1 - 5 2 2 1 - 5 2 Пример: - 3 7 -1 4 -1 7 - 3 4 0 2 -1 6 0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 = - = - = = = = -5 - 9 2 7 2 - 9 5 7 0 1 1 3 0 2 -1 6 0 0 3 0 0 0 3 4 - 6 1 2 1 - 6 4 2 0 1 - 2 0 0 1 - 2 0 0 0 3 3 0 0 0 - (поменяли местами I и III столбцы, изменился (сложили I и II строки, (поменяли местами (умножили на 2 (из III вычли треугольной матрицы знак ) умножили I на (-2), II и III строку, из- II строку и выч- IV строку) = произведению сложили с III, вычли менился знак ) ли с III, из II выч- диагональных из I-IV строку) ли IV) элементов 5.3. МАТРИЦЫ Система mn чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов наз. МАТРИЦЕЙ размера m·n и обозначается Определение a11 a12... a1n a11... a1n a11... a1n a21 a22... a2n a21... a2n a21... a2n A =, а также air и (dir ).

.................

..................

am1 am2... amn am1.. amn am1... amn m=n mn А- квадратная матрица А- прямоугольная матрица =det A= =det AА-вырожденная (особенная) А- невырожденная (неособенная) n=1 матрица – столбец 1 0 Частные случаи a11 a21... am 0 0 a a11 0 0 E = 1 a12 a22... am2 0 = 0 aAT = 0 0 0 0 0 a22............

...

0 0 a0 при i r (air=0) a1n a2n... amn a air= mнулевая матрица (аir=0 для всех ir) транспонированная, 1 при i = r диагональная матрица сопряженная матрица Е- единичная матрица m=1 (a11 a12 ….a1n ) матрица- строка Фундаментальные понятия a11 a12 a A11 A21... An Две матрицы наз. равными, если число строк и столбцов AT = A-1 (или a a22 aодной из них соответственно равны числу строк и столбцов A12 A22... An2 AT A = A AT = E) A-1 = другой, соответствующие элементы этих матриц равны a13 a23 a............

А- ортогональная матрица aij = bij, A = B.

(aij = aji, A = AT ) A1n A2n... Ann симметрическая, (A A-1 = A-1 A = E) самосопряженная матрица А-обратная матрица Действия над матрицами Произведением матрицы А на число Произведением матрицы А из n строк и m столбцов на матрицу В из m строк и l Суммой (разностью) матриц А,В одинаназ. матрица столбцов наз. матрица С=АВ, которая получается следующим образом С=АВ= кового размера наз. третья матрица С такого a11 a b1 b же размера, у которой A = A = a a22 a1 a2 a3 a1b1 + a2b3 + a3b3 a1b2 + a2b4 + a3b = cij = aij ± bij a a a5 a6 b3 b4 = b1 + a5b3 + a6b3 a4b2 + a5b4 + a6b элементы которой получены умноже- 4 b b(i = 1,m j = 1,n) нием всех элементов матрицы А на C = A ± B число A = aij (i = 1,m, j = 1,n) 3 0 2 4 1 0 4 4 Пример:

А = 5 6 1, В = 5 2 С = А + В = 10 1 1 1 0 2 1+ 0 2 +1 4 2 1+ 0 (-1) +1 (-1) 2 0 + 0 3 + 2 0 1 6 1 Пример:

А =, В = -1 3 С = А В = = 5 - 4 -1 3 0 4 -1 -11+ 3 2 + 0 4 (-1) 1+ 3 (-1) + 0 (-1) -1 0 + 3 3 + 0 В·А (у В – в строке 3 элемента, у А – в столбце 2 элемента, следовательно, матрицу В нельзя умножить на А).

Матрицы А и В наз. сцепленными, если количество элементов в строке матрицы А равно количеству элементов в столбце матрицы В.

Свойства :

Пример:

1) А+В=В+А 2. Найти А-1.

А = 2) (А+В)+С=А+(В+С) А+0=А – где 0 – нулевая матрица 6 3) (А+В)=А+В 0·А=4) А(В+С)=АВ+АС 2 = = 2 - 30 = -28 0 А-1сущ.

5) (А+В)С=АС+ВС 6 6) (АВ)=(А)В=А(В) 7) А(ВС)=(АВ)С 2 Примеры : АТ = 6 1 1). Найти А2.

А = 3 А11 = (-1)1+1 1 =1 А12 = (-1)1+2 = - 1 2 1 2 7 А21 = (-1)2+16 = -6 А22 = (-1)2+2 2 = А2 = = 3 43 4 15 1 - А-1 = 1 2 2). Найти АТ.

- 28 6 А = - 4 5 Проверка :

1 1 - 5 2 5 1 2 + (-5) 6 1 5 + (-5) АТ = 2 5. А-1 А = - = - = 28 6 2 1 28 - 6 2 + 2 6 - 6 5 + 2 - 3 1 - 28 0 1 = - = = Е 28 0 - 28 0 5.4. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ.

Выделим в матрице А R произвольных строк и R произвольных столбцов.

Дана прямоугольная матрица Определитель R-го порядка, составленный из элементов матрицы А, a11 a12... a1n расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, наз. МИНОРОМ R a21 a22... a2n –го порядка матрицы А.

A =............

a am2... amn mРанг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под РАНГОМ матрицы А наз. наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ понимают:

нуля. r(A).

1. замену строк столбцами, а столбцов- соответствующими строками ;

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, 2. перестановку строк матрицы;

наз. БАЗИСНЫМ МИНОРОМ матрицы. 3. вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4. умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5. прибавление к элементам одной строки соответствующих Если r(A)=r(B), то матрицы А и В наз. ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ. А ~ В.

элементов другой строки.

ПРИМЕРЫ 1. Определить ранг матрицы 2. Определить ранг матрицы и найти базисные миноры матрицы 4 3 2 2 1 0 2 0 A = 2 1 1 A = 1 0 2 0 0 0 3 2 0 4 0 Решение. Решение.

Вычтем из элементов 4-го столбца элементы 3-го столбца, 1 0 2 0 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 ~ 0 1 0 2 ~ 0 1 0 2 ~ 0 1 0 2 ~ 1 0 2 а затем вычеркнем 4-й столбец:

0 1 0 2 0 4 3 2 2 4 3 2 0 4 3 2 2 0 4 0 0 2 0 4 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 A = 2 1 1 ~ 2 1 0 ~ 2 1 r=(A)=2.

0 0 Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 отличные от нуля.

4 3 2 1 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0 0,,,,,,,.

Так как 0 2 1 = 24 0, то ранг матрицы равен 3. 0 1 0 2 1 0 0 2 2 0 2 0 0 4 4 Таким образом, матрица А имеет 8 базисных минора.



0 0 ТЕМА 6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ m ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ C n НЕИЗВЕСТНЫМИ a11 a12... a1n a11 a12... a1nb a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1 a11y1 + a12 y2 +...+ a1n yn = 0 a21 a22... a2n a21 a22... a2nb a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2 (1) a21y1 + a22 y2 +...+ a2n yn = 0 (2) A = A1 =...........

a x1 + am2x2 +... + amnxn = bm a y1 + am2 y2 +...+ amn yn = 0............

m1 ma am2... amn a am2... amnbm m1 mСистема (1) наз. НЕОДНОРОДНОЙ Система (2) наз. ОДНОРОДНОЙ наз. МАТРИЦЕЙ системы наз. РАСШИРЕННОЙ МАТРИЦЕЙ системы Система уравнений (1) наз. СОВМЕСТНОЙ, если она имеет хотя бы одно решение. Система уравнений (1) наз. НЕСОВМЕСТНОЙ, если она не имеет ни одного решения.

r(A) r(A1) (=0, хотя бы один из i0) Совместная система наз. ОПРЕДЕ- Совместная система наз. НЕОПРЕДЕ- ЛЕННОЙ, если она имеет только ЛЕННОЙ, если она имеет больше одного Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом одно решение решения. r(A)

Эти r неизвестных наз. БАЗИСНЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ Т. Кронекера-Капелли.

рассматриваемой системы уравнений.

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы Остальные n-r неизвестных системы наз. СВОБОДНЫМИ этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A)=r(A1)=r НЕИЗВЕСТНЫМИ системы.

(r наз. РАНГОМ системы) Пусть х1=1, х2=2 … хnn - какое-нибудь решение системы.. Совокупность f = (1,2,...n) Однородная система уравнений всегда совместна линейно независимых решений системы уравнений наз. ФУН- ДАМЕНТАЛЬНОЙ f1, f2,... fn СИСТЕМОЙ РЕШЕНИЙ, если любое решение системы уравнений может быть представлено в =0, i=0, =0 виде линейной комбинации векторов.

f1, f2,... fn бесчисленное множество решений единственное (нулевое решение ) Если ранг матрицы А меньше n, то система имеет ненулевые решения.

Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений, находится по формуле Т. Альтернативы Фредгольма R=n-r, где r- ранг, n- число неизвестных, R- размерность подпространства решений, базис состоит из R векторов.

Для всякой системы (1) из m линейных уравнений с n неизвестными справедливо Если - образуют базис, то -общее решение однородной f1, f2,... fn f = c1 f1 + c2 f2 +... + cn fn одно из двух утверждений: либо система (1) имеет решение при любых значениях b1, b2,…bn, и тогда система однородных уравнений (2) имеет лишь тривиальное линейной системы уравнений.

решение (y1=0, y2=0,…. yn=0),либо система (1) при некотором наборе b1, b2,…bn несовместна, и тогда система (2) имеет нетривиальное решение.

Общее решение неоднородной системы уравнений является суммой некоторого частного решения u неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы f.

6.2. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1 a11 a12... a1n x1 b a21x1 + a22x +... + a2nxn = b2 a21 a22... a2n x2 b (1) A =, X =, B =.

...............................................................

a am2... amn b am1x1 + am2x2 +... + amnxn = bm xn m1 m Прямые точные методы Матричный метод Алгоритм Гаусса- метод последовательного исключения неизвестных Пусть m=n Пусть m=n Рассмотрим случаи, когда detA0, т.е. система однозначно разрешима.

Система (1) может быть записана в виде AX=B, где a11 a12... a1nb a11 a12... a1n x1 b a21 a22... a2nb xa a22... a2n, X =, B = b.

21 A1 = A =............

..................

b an1 an2... annbn an1 an2... ann xn n Метод основан на состоящем из n- 1шагов приведения матрицы А1 к треугольному Решение этой системы имеет вид Х=А-1В (если 0), где виду.

A11 A21... An 1 шаг. В 1-м столбце матрицы А1 выберем элемент, отличный от нуля. пусть им является элемент a11.

A12 A22... An Если это не так, то переставим и перенумеруем уравнения системы, далее доби A-1 =............

ваемся того, чтобы в уравнениях с номерами р от 2 до n коэффициенты перед неиз вестным х1 обратились в нуль. Для этого умножим первое уравнение на чис- A1n A2n... Ann ло –ap1 / a11 и сложим с уравнением, имеющим номер Р.

(Аij- алгебраические дополнения соответствующих элементов 2 шаг. В полученной после 1 шага матрице А1 коэффициентов системы исключим 1определителя).

ю строку, т.е. в системе не рассматриваем 1 уравнение. Тогда придем к системе из n-1 уравнений относительно неизвестных х2, х3,… xn. Для этой системе повторим шаг и т.д., получим систему вида Формулы Крамера c11 c12... c1nd Если detA0, то система (1) имеет единственное решение 0 c22... c2nd 1 2 (2).

x1 =, x2 =, x3 =, где – определитель матрицы А,............

а (i=1,2,…n)- определитель матрицы, полученной из матрицы системы 0 0... cnndn заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Система (2) решается «обратным ходом», т.е. сначала из последнего уравнения находим xn, затем из предпоследнего находим xn-1, и т.д.

Метод Гаусса можно применять и в том случае, когда mn.

2x1 + 3x2 + 2x3 = 9, x - x2 + x3 =12, Пример:

x1 + 2x2 - 3x3 = 14, 2x1 + 3x2 - x3 =13, Пример :

3x1 + 4x2 + x3 = 16.

3x2 + 4x3 = 5, Перепишем систему в виде АХ=В, где - 3x1 + x2 + 4x3 = -20.

2 3 2 x1 1 -1 1 12 1 -1 1 12 1 -1 1 12 1 - 1 1 A = 2 - 3, X = x2, B = 1 2 3 -1 Здесь 0 5 - 3 -11 0 - 2 7 16 0 - 2 7 3 4 1 x3 0 3 4 5 0 0 29 58 0 0 1 0 3 4 0 0 - 2 7 16 0 0 0 0 0 Решение матричного уравнения имеет вид Х=А-1В. Найдем А-1. Имеем - 3 1 4 - 20 2 3 Отсюда заключаем: а) r(A)=r(A1)=3, т.е. система разрешима; б) решение единствен. Вычислим алгебраические дополнения = 1 2 - 3 = 28 - 30 - 4 = -6 но; в) треугольная система имеет вид x - x2 + x3 =3 4 элементов этого определителя: - 2x2 + 7x3 = 2 - 3 3 2 3 x3 = 2, A11 = = 14, A21 = - = 5, A31 = = -13, 4 1 4 1 2 - откуда, x1 = 9, x2 = -1, x3 = 2.





1 - 3 2 2 2 A12 = - = -10, A22 = = -4, A32 = - = 8, 3 1 3 1 1 - 2x1 + 3x2 - x3 = 2, -1 2 3 2 -1 2 3 7x + 4x2 + 2x3 = 8, 1 2 2 3 2 Пример : Здесь 2 7 4 8 0 11 10 A13 = = -2, A23 = - = 1, A33 = = 1. 3 4 3 4 1 3x - 2x2 + 4x3 = 5.

4 3 - 2 5 0 0 0 1 14 5 - Отсюда заключаем: r(A)=2, r(A1)=3, следовательно, система неразрешима.

Таким образом, A-1 = -10 - 4 - 2 1 x - 4x2 + 2x3 = -1, 2x - 3x2 - x3 - 5x4 = -7, 14 5 -13 -12 2 Пример :

1 Откуда 3x - 7x2 + x3 - 5x4 = -8.

X = - = - -18 = -10 - 4 8 14 6 16 - 2 1 1 12 - - 4 2 0 - 1 1 - 4 2 0 -1 1 - 4 2 0 - Здесь Следовательно, x1 = 2, x2 = 3, x3 = -2. 2 - 3 - 1 - 5 - 7 5 - 5 - 5 - 5 0 1 -1 - 1 - 3 - 7 1 - 5 - 8 0 5 - 5 - 5 - 5 0 0 0 0 Из этого заключаем: а) r(A)=r(A1)=2, т.е. система разрешима; б) решение Решение по правилу Крамера неоднозначно: 4-2=2 неизвестных могут быть выбраны произвольно; в) треуголь- ная система имеет вид:

9 3 2 2 9 x - 4x2 = -1 - 2x3, 1 = 14 2 - 3 = -12, 2 = 1 14 - 3 = -18, 3 =12.

.

x2 = -1 + x3 + x16 4 1 3 16 -12 -18 Если обозначить x3 = 1, x4 = 2 (1,2 - произвольные действительные Следовательно x1 = = 2, x2 = = 3, x3 = = -2.

- 6 - 6 - числа ), то получим x2 = -1 + 1 + 2, x1 = -5 + 21 + 42.

6.3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ( в отличие от прямых методов, здесь строится бесконечно повторяющийся процесс и если этот процесс сходится, то на каждом его шаге мы получаем все более и более точное приближение к искомому решению данной системы уравнений).

Метод простой итерации Метод Зейделя Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными. -это видоизменение метода простой итерации, метод Зейделя учитывает уже Систему (1) можно привести к виду вычисленные r –e приближения предыдущих неизвестных.

По методу Зейделя приближения системы (3) строятся по формулам x1 = b11x1 + b12x2 + b13x3 + C ( (r (r ( ( x = b21x1 + b22x2 + b23x3 + C2 (3) x10) = c1, x1 ) = c1 + b11x1 -1) + b12x2r -1) + b13x3r -1) x = b31x1 + b32x2 + b33x3 + C3 ( ( (r ( ( x20) = c2, x2r ) = c2 + b21x1 ) + b22x2r -1) + b23x3r -1) ( ( (r ( ( В качестве начального (нулевого) приближения возьмем совокупность свободных x30) = c3, x3r ) = c3 + b31x1 ) + b32x2r ) + b33x3r -1) членов данной системы с1, с2, с3,, а дальнейшие приближения будем строить по формулам:

Пример.

( ( x10) = c1, x1r) = c1 + xi(r -1) b1i x1 = 0,0092x1 - 0,0061x2 + 0,0701x3 + 0, i = x = -0,0643x1 + 0,0755x2 - 0,0324x3 - 0,x(0) = c2, x2r) = c2 + 3 xi(r -1) (4) ( 2 b2i x3 = -0,0210x1 - 0,0130x2 + 0,0817x3 -1,i= x = c3, x3r = c3 + 3 -1) (0) ( ) Найдем максимум сумм модулей коэффициентов при неизвестных в левых частях xi(r 3 b3i уравнений заданной системы. Имеем i =b1 = 0,0092 + 0,0643 + 0,0210 <1, b2 = 0,0061 + 0,0755 + 0,0130 <1, b3 = 0,0701 + 0,0324 + 0,0817 <1, Достаточный признак сходимости итерационного процесса Если максимальная сумма модулей коэффициентов при неизвестных в левой max bij <1, т.е. достаточные условия сходимости выполнены.

i =части каждого уравнения системы (3) меньше единицы, т.е.

( ( ( За нулевые приближения принимаем.

x10) = 0,6636, x20) = -0,8172, x30) = -1,3 3 Последующие приближения вычисляем по формуле (4). При х=1 имеем ( max b1i, b2i, b3i < 1, x11) = 0,6636 + 0,0092 • 0,6636 + (-0,0061) • (-0,8172) + 0,0701• (-1,6411) = 0, i =1 i=1 i =1 ( x21) = -0,8172 + (-0,0643) • 0,6636 + 0,0755 • (-0,8172) + (-0,0324) • (-1,6411) = -0,то процесс итерации по формулам (4) сходится.

( x31) = -1,6411 + (-0,0210) • 0,6636 + (-0,0130) • (-0,8172) + 0,0817 • (-1,6411) ==1,полагая к равным 2,3,….6, получим ( ( ( x16) = 0,5486, x26) = -0,8594, x36) = -1,7875.

6.4. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ n 3. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА состоит в отыскании 1. Уравнения наз. СООТНОШЕНИЯМИ БАЛАНxi = xij + yi (i = 1,2,..., n) такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых j =затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта У.

СА, где - объемы валового продукта i-й отрасли для непроизводственного xi Х=(Е-А)-1У=Sy.

4. Матрица S=(E-A)-1 наз. матрицей ПОЛНЫХ ЗАТРАТ, элемент которой Sij потребления, - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в xij показывает величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для процессе производства (i=1,2,…,n).

обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj=1 (j=1,2,…,n).

2. Соотношения баланса могут быть записаны: а) в виде 5. Матрица А0 наз. ПРОДУКТОВНОЙ, если для любого вектора у0 существует n xij j = 1,2,..., n) коэффициенты решение х0 уравнения (Е-А)Х=У. Матрица А продуктивна, если aij 0 для, где,(i, - xi = аij x + yi (i = 1,2,..., n) aij = j n x j =1 любых и j (i, j = 1,2,..., n) max aij 1 и существует номер j такой, что j =1,2,...n прямых затрат, показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство i =n единицы продукции j-й отрасли: б) в матричном виде: Х=АХ+У или (Е-А)Х=У,.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.