WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

Если в какой-либо точке имеется экстремум, то это Критическая точка вовсе не обязательно является критическая точка. точкой экстремума. Экстремум в критич. точке может быть и когда f//(x0)=0.

Пример. Исследовать функции на экстремум: 1. у=(1/3) х3-х2-3х; 2. у=(xlnx-x)2.

2. y=(x lnx-X)1. y=(1/3) x3-x2-3x. A y/=2(x lnx-x) (lnx+x (1/x) -1) = 2x lnx (lnx-1), y/=0, x>0, x=1, x=e.

y/=x2-2x-3, x2-2x-3=0; x1=-1, x2=3. 5/3 x=1 x=e -x=-1 x= + 0 - 0 + т.А (-1, 5/3) – т. max y/ + 0 - 0 + y max min т.В (3,-9) – т. min y max min 2 -т.(1,1) – т.max -т. (е,0) – т. min В 4.5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Пусть f(x) непрерывна вместе со своей производной на [а,b], тогда по т.Вейерштрасса она принимает на нем наибольшее (глобальный максимум) и наименьшее значение (глобальный минимум).

Схема нахождения: 1) найти у/ ; 2) найти критические точки, в которых у/ =0 или у/ не существует; 3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее fнаиб. и наименьшее fнаим.

Пример. Определить на отрезке [-3,3/2] наибольшее и наименьшее значения у=х3-3х+3.

Замечание.

Решение. y Если дифференцируемая функция на интервале (a,b) имеет лишь одну y/ = 3x2-3, 3x2 -3=0, x1=-1, x2=точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или f(-1)=-1+3+3=наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (или минимумом f(1)=1-3+3=1 yнаим.(-3) =-15 -3 -этой функции).

f(-3)=-27+9+3=-15 yнаиб.(-1)=5 1 x f(3/2)=(27/8) - (9/2)+3=(15/8) Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x2-6x+5 на интервале (1,2).

Решение.

у/=2х-6, 2х-6=0, х=3.

Имеем уmin (3)=-4, это и есть наименьшее значение функции на (1,2), наибольшего значения функции на (1,2) не имеет.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения у=х4-8х2-9 на [-1,1].

x=Решение.

у/ - 0 + y min у/=4х3-16х=4х(х2-4), у/=0: х=0, х=-2 [-1,1], х=2 [-1,1] - f(0)=- f(-1)=-16 yнаиб(0)=- f(1)=-16 yнаим(+1)=-16.

4.6. ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Функция f(x) наз. ВЫПУКЛОЙ вниз (вогнутой) на промежутке Х, Функция y=f(x) наз.ВЫПУКЛОЙ вверх (выпуклой) на промежутке Х, если для любых двух значений если график y=f(x) распоесли для любых двух значений х1,х2 Х из если график y=f(x) расположен НЕ ложен НЕ ВЫШЕ любой каэтого промежутка выполняется неравенство х1,х2 Х из этого промежутка выполняется НИЖЕ любой касательной к сательной к графику f(x) на х.

х1 + х2 f (x1) + f (x2 ) х1 + х2 f (x1) + f (x2 ) неравенство f f графику f(x) на х.

2 2 2 y у у f(x2) f(x2) f (x1) + f (x2 ) f (x1) + f (x2 ) х1 + х f(x1) f х1 + х f 1 2 2 f(x1) x х х1 + х 0 x1 x 0 x1 xх1 + х Достаточные условия вогнутости функции.

Достаточные условия выпуклости функции 1. Функция ВОГНУТА на Х тогда и 2. Если у// дважды дифференцируемой 1. Функция ВЫПУКЛА на Х тогда и только 2. Если у// дважды дифференцируемой только тогда, когда ее у/ на Х монотонно функции ПОЛОЖИТЕЛЬНА на Х, то тогда, когда ее у/ на Х монотонно функции ОТРИЦАТЕЛЬНА на Х, то ВОЗРАСТАЕТ (tg2>tg1). функция ВОГНУТА на Х.

УБЫВАЕТ (tg2>tg1). функция ВЫПУКЛА на Х.

ТОЧКОЙ ПЕРЕГИБА графика непрерывной функции наз. точка, разделяющая интервалы, в которых функция вогнута и выпукла.

ДОСТАТОЧНОЕ условие перегиба.

НЕОБХОДИМОЕ условие перегиба. Замечание.

Т. у// дважды дифференцируемой функ- Т. Если у// дважды дифференцируемой у//<0 Если критическая точка дифференцируемой функции при переходе через некоторую функции не является точкой экстремума, то ции в в точке перегиба х0 РАВНА НУЛЮ, точку х0 меняет свой знак, то х0 –т. она есть точка перегиба.

т.е. у// (х0)=0.

перегиба X1 x0 xПРИМЕРЫ Найти интервалы выпуклости, точки перегиба. Решение.

2.

y = x - 2. 3. -1 4х 4(1-3х2) 3 ху = х3 - х2.

1.

3 у =. у =, у =, у = 0, х1 = -, х2 = - х2 +1 (х2 +1)2 (х2 +1)3 3 y = х2 - 2х, у = 2х - 2, у = 0, х =1 y = (х - 2), у = 3 93 (х - 2)5 - х=у// - 0 + 3 у//0, у// не существует при х=2.

у т.перегиба у// - 0 + 0 х=у т.перегиба т.перегиба (-,1) – интервал выпуклости у// + - (1,+) – интервал вогнутости у т.перегиба 3 (-,- ) (,+) – интервал выпуклости (-,2) – интервал вогнутости 3 (2,+) – интервал выпуклости 3 (-, ) – интервал вогнутости 3 4.7. АСИМПТОТЫ АСИМПТОТОЙ графика функции y=f(x) наз. прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

у d у у х=а – вертикальная у=-с горизонтальные y=kx+b - наклонные асимптота у=d асимптоты асимптоты 0 x 0 а х х -c Т.1. Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности Т.2. Пусть f(x) определена при достаточно Т.3. Пусть f(x) определена при достаточно больших точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы больших Х и существует конечный предел f (x) Х и существуют конечные пределы и lim = k функции Тогда прямая у=b есть один из пределов функции при хх0-0 (слева) или при lim f (x) = b.

x х x хх0+0 (справа) равен бесконечности, т.е.

lim[f (x) - kx]= b. Тогда прямая y=kx+b явл.

горизонтальная асимптота графика f(x).

или Тогда прямая х=хx lim f (x) = lim f (x) =.

x x0 -0 x x0 +наклонной асимптотой графика f(x).

явл. вертикальной асимптотой графика f(x).

ПРИМЕРЫ Найти асимптоты графиков функций:. 1. y = х2 + 2х - 3, 2. y = х2 + х х - х2 + 2х - 3 х2 + 2х - 3 х2 +1 х2 + 1. х=0 – вертикальная асимптота 2. х=1 – вертикальная асимптота lim = -, lim = +, lim = -, lim = +, x 0- x0+ x1- x1+ х х х -1 х - горизонтальных асимптот нет + горизонтальных асимптот нет + х2 + 2х - 3 3 х2 +1 lim = lim x + 2 - =, lim = lim x -1+ =, x + x + x+ x+ х x (-) х -1 x -1 (-) (x -) ( x-) ( x-) (x-) f (x) 2 1+ k = lim = lim - 1+ = x+ x+ х2 + x x x2 у=х+2 наклонная асимптота (x-) (x-) = k = lim = lim х2 у=х+1 наклонная асимптота x+ x+ x2 - х (x-) (x-)1b = lim (x) - kx]= lim x2 + 2x -3 x = [f - хx+ x+ x (x-) (x-) x2 +1 1+ x b = lim x = lim - = 2x - 2 x+ x+ x -1 x = 2 -= lim = lim - (x-) (x-) x+ x+ x x (x-) (x-) 4.8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Найти область определения функции 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба 2. Исследовать функцию на четность, нечетность 7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, и возможно, 3. Найти вертикальные асимптоты некоторые дополнительные точки, уточняющие график 4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и 8. Построить график наклонные асимптоты 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции ПРИМЕР 3х2 - 4х 3х - у = 0 при х = Исследовать функцию y = x3 - 2х2 и построить график. 5. y = = 33 (х3 - 2х2)2 3 (х - 2)2 х у не существует при х = 0,х = 1. О.Д.З. : - < х < +, точек разрыва нет х=0 x=х = 2. f (-x) = y = - x3 - 2х2 - ни четная, ни нечетная 3 у// +, вертикальных асимптот нет - 0 + + 3. lim x3 - 2хxa у min -1,4. lim x3 - 2х2 =, горизонтальных асимптот нет xa (-) (-,0) (,+) – интервалы возрастания (x-) x3 - 2х2 x3 - 2х2 3 k = lim = lim = lim 1- = 1 (0, ) – интервал убывания функции.



x+ x+ x x3 x+ x (x-) (x-) (x-) у 0, нет нулей x3 - 2х 3 6. y = b = lim ( x3 - 2х2 - x)= ( - ) = lim -1 x = не 93 (х - 2)5 х4 у существует при х = 0,х = x+ x+ x (x-) (x-) х=0 х=у// + + - 1 2 2 1- x3 - -1 - у т.перегиба 2 0 3 x xx = lim 1- -1 x = (0 ) = lim = = lim = (-,0) (0,2) – интервалы вогнутости x+ x+ 1 x+ x 0 (x-) (x-) (x-) (2,+) – интервал выпуклости x x7. у = 0 при х = 0,х = y = x - наклонная асимптота 8. у=х-(2/3) 2,08 • -1 1 4/3 2 - • -1,4.9. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 1. Предельные величины – (предельная выручка, полезность, 2. Производительность труда u(t) 3. Функция потребления и сбережения производительность, доход и т.д.) характеризуют не СОСТОЯНИЕ, а – объем произведенной продук- Х – национальный доход, СКОРОСТЬ изменения экономического процесса по времени или ции Y за время t. Тогда u/(t0)- С(х) – функция потребления (часть дохода, относительно другого фактора.

есть производительность труда в которая тратится), Издержки производства. Если издержки производства рассматривать как момент t0. S(x) – функция сбережения, тогда функцию Y выпускаемой продукции, т.е. Y=C(x), то Y/=C/(x)-предельные Х=С(х)+S(х).

издержки характеризуют прирост переменных затрат на производство Дифференцируя, получим, что дополнительной единицы продукции, тогда Y1=(C(x))/x- средние издержки dC dS где + = 1, являются издержками на единицу выпуска продукции.

dx dx dC ПРИМЕРЫ - предельная склонность к потреблению, dx 2. Объем производства зимней обуви, выпускаемой dS 1. Функция издержек производства продукции некоторой - предельная склонность к сбережению.

фирмой, может быть описан уравнением фирмы имеет вид: Y (x) = 0,1x3 1,2x2 + 5x + 250 (ден.ед.) dx 1 u = t3 - t + 6t + 2100 (ед.) Найти средние и предельные издержки при х=10.

3 3. Функция потребления некоторой страны t – месяц года.

имеет вид Вычислить производительность труда, скорость и Решение. С(х)=15+0,25х+0,36х4/3, темп ее изменения:

. где х – совокупный национальный доход а) в начале года (t=0);

Y (x) = 0,3x2 - 2,4x + 5, Y (10) = 30 - 24 + 5 = (ден.ед.).

б) в середине года (t=6);

Средние издержки Найти: а) предельную склонность к потребв) в конце года (t=12).

0,1x3 -1,2x2 + 5x + 250 Y (x) = = 0,1x2 -1,2x + 5 + ; Y1(10) = лению; б) предельную склонность к сбереx x жению, если нац.доход составляет 27 ден.ед.

Это означает, что при данном количестве выпускаемой Решение.

продукции средние затраты на производство одной Производительность труда:

единицы продукции составляют 28 ден.ед., а / увеличение объема на 1 единицу продукции обойдется z(t) = u (t) = t - 7t + 6 (ед./мес.), а скорость и Решение.

фирме приближенно в 11 ден.ед.

темп изменения производительности – соотПредельная склонность к потреблению ветственно, ее значение С/(27)=1,69.

С (x) = 0,25 + 0,48x z/(t) и логарифмической производной / Предельная склонность к сбережению / (ед./мес2) Tz (t) = [ln z(t)], z (t) = 2t - Предельные величины в экономической литературе S (x) = 1 - С (x) = 0,75 - 0,48x, называются МАРЖИНАЛЬНЫМИ z/ (t) 2t - (ед./мес.) Tz (t) = = (запись: MR – предельный доход, АR – средний S (27) = 1 - 1,69 = -0,69.

z (t) - 7t + t доход).

a) z(0) = 6, z (0) = -7, Tz (0) = -0, б) z(6) = 0, z (6) = 5, Tz (6) = в) z(12) = 6,6, z (12) = 16, Tz (12) = 4,ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (продолжение) Эластичность функции Пример Рассмотрим соотношение между СРЕДНИМ (AR) и ПРЕДЕЛЬНЫМ доходом (MR) в условиях монопольного и конкурентного рынков. Суммарный доход (выручка) от реализации продукции r можно определить: r=pq (р – цена единицы продукции, q- количество продукции ).





1. В условиях МОНОПОЛИИ одна или несколько фирм полностью контролируют цены на продукцию. При этом, с увеличением цены спрос на продукцию падает.

Будем полагать, что это происходит по прямой p=aq+b (a<0, b>0) – (кривая спроса).

Суммарный доход от реализации продукции составит r=(aq+b) q= aq2+bq. Средний доход на единицу продукции rср=r/q=aq+b, а предельный доход, т.е. дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции составит r/q=2aq+b. Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

2. В условиях совершенной конкуренции, когда число участников велико, и каждая фирма неспособна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, р=b. Суммарный доход составит r=bq. Средний доход rср=-(r/q)=b, предельный доход r/q=b. Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка средний и предельный доходы совпадают.

ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ функции Ех(у) наз. предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при х y x x y x Ex (y) = lim : = lim = y.

x0 xy x y x y Эластичность показывает прибли- Свойства. Геометрический смысл женно, на сколько процентов функ- 1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной х на М ция при изменении переменной х темп изменения функции T = (ln y) y =, Ex ( y) = x Ty y на 1%.

В N y А C Ex ( y) > 1, то спрос – эластичный, u 2.

МВN~МАС, Ex ( y) = 1, то спрос единичной Ex (uv) = Ex (u) + Ex (v), Ex = Ex (u) - Ex (v) v MN MB =, MN = xtg, эластичности, 3.

MC MA Ex ( y) < 1, то спрос неэластичный Ex ( y) = Ey (x) MC = y.

относительно цены.

x x MB Ex (y) = y = tg = y y MA Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб) эластичность (по абсолютной вел.) равна выражается формулой у=-0,5х+80.

отношению расстояний по касательной Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.

от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями ох и оу.

Решение.

- 0,5х х т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн.руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости Ex ( y) = =, при х = 60 Ех ( у) = -0,6, - 0,5х + 80 х - на 0,6%.

ТЕМА 5. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 5.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители (или детерминантом) называется число, которое ставится в соответствии любой квадратной матрице.

Определитель 2-го порядка Определитель 3-го порядка Определитель 1-го порядка а11 аа11 а12 а1 = А = а2 = А = = а21 а3 = А = а21 а22 а23 = а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 - а31а22а13 - а12а21а33 - а32а23а= а11а22 - а12аОпределитель n-го порядка О О О (правило треугольников или правило Сарруса) a11 a12... a1n a21 a22... a2n О О О n = А = = (-1)r(i) а1i1...а2i2...аnin............

(i) an1 an2... ann О О О Дана квадратная матрица n-го порядка Минором Mij элемента аij матрицы называется определитель матрицы (n-1)-го порядАлгебраическим дополнением Аij матрицы n-го порядка наз. его минор, взятый ка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца со знаком (-1)i+j :.

Аij = (-1)i+ j M a11 a12 aij a21 aПример.

Пример:

M12 = a21 a22 a23 = = а21а33 - а23a31 А12 = (-1)1+2 M12 = -M12 = -(a21a33 - a23a31) a31 aa31 a32 aТеорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбцов) на их алгебраические дополнения n = аi1Ai1 + аi2 Ai2 +... + аin Ain = Ais.

a is S = -1 Пример:

A = 2 1 1. Найти определитель A.

1 1 1 способ: (пр. Сарруса) = 11 2 + (-1) 11 + 2 11 -111 - (-1) 2 2 -111 = 1 1 2 1 2 2 способ:

= 1 - (-1) +1 = -1 (2 -1) + (4 -1) + (2 -1) = 1 + 3 +1 = 5 (разложили по элементам 1 строки) 1 2 1 2 1 5.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из нулей, то ее 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то определитель равен нулю.

ее определитель умножится на это число.

a11 a12 a13 a11 a12 aОбщий множитель для всех элементов какой либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя Следствие.

a21 a22 a23 = a21 a22 aa31 a32 a33 a31 a32 a3. При транспонировании матрицы ее опреде- 4. При перестановке 2-х строк 5. Если квадратная матрица содер- 6. Если элементы двух строк (столб(столбцов) матрицы ее определитель жит две одинаковые строки (столб- цов) матрицы пропорциональны, то литель не изменяется.

АТ = А меняет знак на противоположный ее определитель равен нулю.

ца), то ее определитель равен нулю.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки 8. матрицы не изменится, если к элементам 9. Определитель произведения двух матриц равен (столбца) матрицы на алгебраические дополнения одной строки (столбца) прибавить произведению определителей этих матриц, т.е.

соответствующих элементов другой строки (столбца) соответствующие элементы другой строки, АВ = А В n этой матрицы равна нулю, т.е.

a Ais = 0 при i j умноженные на одно и то же число.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.