WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

у r(q) у объем предметы спроса роскоши c(q) b2 товары J/py V1>V второй необходимости V равновесная q У цена 0 q1 q2 q3 q цена П(q) товары первой р0 р 0 x0 J/ px x b1 необходимости Доход 0 а1 а2 а3 х ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3.1. ПРОИЗВОДНАЯ Производная функции y=f(x) наз. предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при х 0 (если этот предел существует) y f (x + x) - f (x) dy d f (x) y = lim = lim y = f (x) = = x 0 x x x dx dx Нахождение производной функции наз. дифференцированием Геометрический смысл у/ :

Механический смысл:

Производительность труда:

у/ (х0) – есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) Производная пути по времени S/(t0) есть скорость Производная объема произведённой продукции по времени касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е.

точки в момент t0 :

U/(t0) есть производительность труда в момент t0.

k = f (x0 ).

V (t0 ) = S (t0 ) (Уравнение касательной : y = f (x) = f (x0 ) (x - x0 ) Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то Теорема. Если функция y=f(x) – дифференцируема в т. х0, то она в этой точке непрерывна.

функция наз. гладкой на этом промежутке.

Непрерывность функции – необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.

Правила 1. С/=4. (UV)/=U/V+V/U U U V дифференцируемости 2. х/=1 -V U C C V 5. = (V 0) = - (V 0) 3. (U±V)/=U/±V/ V V V V (CU)/=CU/ (UVW)/=U/VW+UV/W+UVW/ Решение примеров 3 x - 1) y = 2 x +, y = 3) y =, y = x2 2 arccos x 1 arccos x - (x - 1) - 1 2 6 1 1 - x2 arccos x + x - 1 - x y = 2 x + 3(-2) x-3 = - y = = 3 2 (arccos x)2 2 1 - x2 arccos2 x 33 x2 x 2) y = (x3 + 1) cos x, y = y = 3x2 cos x - sin x(x3 + 1) 3.2. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (tgx)/ = (xn )/ = nxn-cos2 x (ln x)/ = (x > 0) x (arctgx)/ = ( x)/ = (x > 0) (ctgx)/ = 1 + x2 x 1 sin x (loga x)/ = (x > 0, a > 0) / 1 1 x ln a (arcctgx) = - / = - (x 0) (arcsin x) = ( x < 1) / 1 + xx x (sin x) = cos x 1 - x(ex )/ = ex (cos x)/ = - sin x (arccos x)/ = - ( x < 1) x x (a ) = a ln a 1 - xОбратная функция x = (y), Логарифмическая Неявно заданная функция Сложная функция y=f ( (x) ), если y=f(x) – производная F(x,y)=0. Дифференцируем Параметрически заданная функция если y= f (u), а u= (x).

дифференцируемая, строго по х обе части уравнения, y f (x) x = (t) (ln y) = = y/ = f (u) u монотонная функция рассматривая y как y = (t) y f (x) функцию от х находим y/.

/ xy / = ( yx 0) / dy Решение примеров dy yt/ dt / yx = = = 1) y = ln(x3 - 3x2 ), y = dx xt/ dx 6x - 1 2x + dt 1 3x2 - 6x 3x - 6 5) y =, y = y = u = = 15x - u - 3x2 x2 - 3x x 1 1 6) y3 + 3x - 3y - 1 = 0 y = 2) y = sin3 5x, y = (ln y) = ln(6x - 1) + ln(2x + 1) - ln(15x - 4) = 3 2 3yy2 / + 3 - 3y = y = 3sin 5x cos 5x y 6 2 = = + 3) y = 1 - x2 arcsin x, y = y = y 3(6x - 1) 2 (2x + 1) 5(15x - 4) 1 - y 2 1 y =( 1 - x2 ) arcsin x + 1 - x2 (arcsin x) = y = y + - 6x - 1 2x + 1 15x - 1 (-2x) 1 x arcsin x = arcsin x + 1 - x2 = 1 - x = t2 / 2 1 - x2 1 - x2 1 - x7) yx = y = t3 + yt/ 3t2 / yx = = = t / / 4) y = x + ln x, yx и xy = xt/ 2t 1 x + / yx = 1 + = x x x / xy = x + 3.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производной n-го порядка наз. производная от производной (n-1) порядка y = ( y ), y = ( y ),... y(n) = ( y(n -1) ) Решение примеров 3) Найти y, если y = tgt 1) Найти y/ V от y = sin 2x y = (sin 2x) = 2 cos 2x y = cos2 t y = (2 cos 2x) = -4sin 2x y = (-4sin 2x) = -8cos 2x 1 2 cos t sin t 2sin t y = = = cos2 t cos4 t cos3 t y/ V = (-8cos 2x) = 16 sin 2x 4) y =, если y = (x + 1) x = a sin t 2) yx = y = b cos t y = 5(x + 1)4, y = 20 (x + 1)3, y = 60 (x + 1) 5) y = y = x3ex yt/ - b sin t b yx = = = - tgt xt/ a cos x a y = 3x2ex + ex x3 = (3x2 + x3) ex b b 1 y = (6x + 3x2 ) ex + (3x2 + x3) ex = (x3 + 6x2 + 6x) ex - tg t b a a cos2 t y = (3x2 + 12x + 6) ex + (x3 + 6x2 + 6x) ex = (x3 + 9x2 + 18x + 6) ex yx = = = / (a sin t)t a cos t a2 cos3 t Геометрические приложения Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей уравнение y - f (x0 ) = f (x0 ) (x - x0) y через M0 (x0, y0 ), перпендикулярно касательной:

касательной y - f (x0) = - (x - x0 ) y (x0 ) y0 M0 (x0, y0 ) x = t - sin t x0 x Пример 2.

y = 1 - cos t Найти ур-ие касательной и нормали в т. t =.

x = - sin = - / Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к в т.М (1,3) y = x3 + 2x (1 - cos t)t sin t 2 2 yx = = y = / y = 3x2 + 2, y (1) = 3 + 2 = 5 (t - sin t)t - cos t - cos = y0 = y - 3 = 5(x - 1), y - 5x + 2 = 0 уравнение касат.

y - 1 = + x - + 1 2x - 2 y + 4 - = 0 ур. касательно й y - 3 = - (x - 1) x + 5y - 16 = 0 уравнение нормали 1 y - 1 = -1 x - + 1 2x + 2 y - = 0 ур. нормали 3.4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Закон теории производства. Закон об уровне наиболее эконо- Закон убывающей доходности. Закон убывающей полезности.

С увеличением производства С ростом количества товара Оптимальный для производителя уровень мического производства.

дополнительная продукция, дополнительная полезность от выпуска товара определяется равенством Уровень наиболее экономического предельных издержек и предельного дохо- производства определяется равенст- полученная на каждую новую каждой новой его единицы с единицу ресурса (трудового, некоторого момента убывает. Или да. Т.е. уровень выпуска х0 является опти- вом средних и предельных издержек.

мальным для производителя, если Средние издержки AS(х) опреде- технологического и т.д.), с функция полезности является MS(x0)=MD(x0), где MS – предельные S(x) некоторого момента убывает. функцией, выпуклой вверх.



ляются как, т.е. издержки по у Функция полезности V=V(x), где издержки, а MD – предельный доход.

Иными словами, величина, x х-товар, а V-полезность, которая Обозначим за С(х) – функцию прибыли.

производству товара, деленные на х очень субъективная для каждого Тогда С(х)=D(x)-S(x). Значит, оптимагде х – приращение ресурса, а у произведенное его количество.

отдельного потребителя, но льным уровнем производства является Минимум этой величины достигается – приращение выпуска достаточно объективная для тот, при котором прибыль максимальна, продукции, уменьшается при в критической точке у=AS(x), т.е. при т.е. такое значение выпуска х0, при общества в целом.

увеличении х.

условии котором С(х) имеет максимум., значит в S (x) - S Или закон формулируется так:

AS (x) = = 0, этой точке С/(х)=0. Но C/(x)=D/(x)-S/(x), Функция у=f(x), выражающая x поэтому D/(x0)=S/(x0), т.е. MD(x0)=MS(x0).

зависимость выпуска продукции S откуда S (x) - S = 0 или S, от вложенного ресурса, является x функцией, выпуклой вверх.

т.е. MS(x)=AS(x).

Задача.

Функция издержек имеет вид С(х)=10+(х2/10). На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). в дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за едтницу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск Решение.

10 x x Средние издержки принимает минимальное значение при х=10. предельные издержки При установившейся цене р=4 оптимальное значение A(x) = + M (x) =.

x 10 Р(х) выпуска задается условием максимизации прибыли:

Р(х)=4х-С(х)max, т.е. 4=М(х), откуда хопт = 20. Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

3.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 наз. ГЛАВНАЯ линейная относительно х часть приращения функции в этой точке dy=f/(x0)x ( f =df+0(x)).

Т. Для того, чтобы функция f(x), определенная в Х, была дифференцируема в хХ, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в точке Х.

Доказательство (необходимость).

Доказательство (достаточность).

Пусть f(x) дифференцируема в точке Х. Разделим у на х, получим Пусть f(x) имеет конечную производную в точке Х, тогда поэтому у(х) y. Очевидно, что правая часть выражения при х0 имеет предел дифференцируема в точке х.

= C + (x) x y С, поэтому lim = y = C xx Геометрический смысл дифференциала.

М// ММ/ - хорда Следствия у(х+х) ММ// - касательная 1.dy = y (x)dx М/ М/Р = f - дифференциал численно равен приращению ординаты dy 2. = y (x) у(х) М Q Р М//Р=хtgQ=f/ (x) x=df касательной, проведенной к графику ф х в точке Х dx Х х+х Приближенные вычисления с помощью дифференциала Дифференциалы высших порядков dy = f (x)dx, Пример. Вычислить.

1, d y = d(d f (x)) = d( f (x) x) = ( f (x)x) x = f (x)x2 + f (x) (x) x, т.к. x = 0, Рассмотрим f (x) = x0,5 в окрестности х=1.

d y = f (x)x2 = f (x)x2 - второй дифференциал функции в точке х, принимая х=0,07, получаем f (x) = n 2x d f n (n) (n) Аналогично: d f = f dxn дифференциал n порядка, = f (x).

f (1 + 0,07) 1,07 f (1) + f (1) 0,07 1,dxn Пример..

y = e3x dy = (e3x ) dx = 3e3xdx, d y = (3e3xdx) dx = 9e3xdx2.

ТЕМА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 4.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Т.1. (Обобщенная о среднем). Если функции f (x) и (х) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует хотя бы одна точка с (a

Т. (Ферма). Если функция f (x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке локального экстремума, то.

f (c) = Т.2. (Лагранжа). Если f (x) непрерывна на [a,b] и Т.3. (Ролля). Если f (x) непрерывна на [a,b], Т.4. (Коши). Если f (x) и (х) непрерывны на [a,b], дифференцируема на (а,b) и дифференцируема на (а,b), то между а и b имеется дифференцируема на (а,b) и на концах отрезка ни в одной точке интервала (а,b), то существует такая точка с (х) хотя бы одна такая точка с (a

f (b) - f (a) = f (c) (b - a) существует хотя бы одна точка с (a

= в которой.

f (c) = (b) - (a) (c) Доказательство:

В обобщенной теореме, полагая, получим (2). Доказательство: Пользуясь теоремой Лагранжа, показываем, (x) = x Доказательство:

что, после чего равенство (3) получается (b) (a) По теореме Лагранжа, так y K f (b) - f (a) = f (c) (b - a) M из равенства (2).





как, получаем.

f (а) = f (b) f (c) = y C y M K MK//AB f(b) B MK//AB B y A f(a) A x a c b x f(a)=f(b) B a c b x x = (t) т.A t = a A a

7. lim xx = 00 = lim ex ln x = e0 = x0+ x0+ Если имеется неопределенность 00 или (0) при вычислении предела f (x)g ( x), x + 1 2 x + 1 x - lim = = lim = lim =, то логарифм этой функции представляет собой неопределенность (0·).

x x 1 x x - 1 x + lim g ( x) ln f ( x) x x0 ( ) В этом случае что подтверждают 2 x - 1 lim f (x)g ( x) = e, x x0 () (числитель и знаменатель просто поменялись местами, неопределенность примеры 6,7.

осталась). В то же время 1 + x + x lim = lim = x x x - 1 1 x 4.3. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ Функция y=f(x) наз. возрастающей на промежутке Х, у Функция y=f(x) наз.убывающей на промежутке Х, если для любых х1, х2Х, х2>x1, верно f(x2) если для любых х1, х2Х, х2>x1, f(x1) неравенство f(x2)>f(x1).

верно неравенство f(x2)

Т. (достаточное условие убывания функции).

Т. (достаточное условие возрастания функции).

Если функция ВОЗРАСТАЕТ (убывает) на Если производная дифференцируемой функции Если производная дифференцируемой функции некотором промежутке Х, то можно лишь ОТРИЦАТЕЛЬНА внутри некоторого ПОЛОЖИТЕЛЬНА внутри некоторого промежутка Х, утверждать, что производная НЕОТРИЦАТЕЛЬНА промежутка Х, то она УБЫВАЕТ на этом то она ВОЗРАСТАЕТ на этом промежутке.

(неположительна) на этом промежутке:

промежутке.

f (x) 0 ( f (x) 0) (т.е. в отдельных точках у/ монотонной функции может равняться нулю).

Дано: х2>х1.

Доказать : f(x2)>f(x1) Доказательство: Для f(x) на [х1,х2] выполняются условия т.Лагранжа, поэтому f(x2)-f(x1)= f () (х2 - х1), где х1 < < х2, т.е. принадлежит промежутку, на котором производная положительна, т.е. f () > 0, значит т.е. f(x2)>f(x1).

f () (х2 - х1) > 0, Пример. Найти интервалы монотонности функций 1. у=х2-6х+7, 2. у=х3, 3. у=(1/2)х, 4. y=logax (a>1) 1. у/=2х-6, очевидно у/>0 при х>3, у/<4., функция определена при y = 2. у/=3х2, у/>0 при х0, 1 x при х<3, т.е. функция убывает на (-,3), х ln a 3.

при х=0 у/=0, функция y = = (2-x ) = -2-x ln 2, возрастает на (3,+). 2 x>0, lna>0, то y=logax возрастает при монотонно возрастает на у х(0,+).

всей числовой оси.

т.к. 2-х>0, ln2>0, то y/<0 для любого х, т.е. у=(1/2)х всюду убывает.

у у у х 3 х х х 4.4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0 наз. точкой МАКСИМУМА функции y=f(x), у Точка х1 наз. точкой МИНИМУМА функции y=f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f (x) f (x0 ). неравенство f (x) f (x1).

х0 х1 х Значения функции в точках х0 и х1 наз.соответственно МАКСИМУМОМ и МИНИМУМОМ, которые объединяются общим названием ЭКСТРЕМУМОМ функции.

Т.к. имеем достаточно малую окрестность точки х0 и х1, то экстремум наз. локальным экстремумом, у на некотором промежутке может быть несколько экстремумов.

fmax(x0) < fmin(x3) х0 х1 х2 х3 х 1 достаточное условие экстремума.

Необходимое условие экстремума: 2 достаточное условие экстремума.

Т. Если при переходе через точку х0 производная Для того, чтобы функция y=f(x) имела Т. Если первая производная f/(x) дважды дифференцируемой функции меняет свой знак с ЭКСТРЕМУМ в точке х0, необходимо, чтобы ее дифференцируемой функции равна нулю в некоторой плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума, производная в этой точке равнялась нулю (f/(x0)=0) точке х0, а вторая производная в этой точке f//(x0) а если - с минуса на плюс, то точка минимума.

или не существовала. положительна, то х0 – точка минимума f(x), если у у/=0 f//(x0)<0, то х0 – точка максимума.

y/>0 y/<0 - + у =-х у=+х у у + _ y/<0 y/> х0 х x0 x у/=0 х не существ.

y = x x0 x x0 x f//(x0)<0 f//(x0)>Если в критической точке х0 f//(x0) 0, то в этой точке есть Точки, в которых у/=0 или не существует, наз. критическими (или стационарными).

экстремум.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.