WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

(если М не существует, то (х) -неограниченная функция.) Т.1. Если, где А- lim f (x) = A Т.2. Если, то lim f (x) = A и А0- Т.3. Если f(x)A при Т.4. Произведение ограничен- Т.5. Если lim f (x) = xa xa xa ха и А0, то ной при ха функции на б.м.

конечное число, то f(x) ограконечное число, то существует ок1 есть функция б.м. при ха.

lim = 0. Если - есть ограниничена в некоторой окрестности рестность точки а, в которой xa f (x) f (x) точки а.

A lim(x) = 0, то f (x) >.

ченная функция при xa ха.

lim =.

xa (x) 2.4. Основные теоремы о бесконечно малых Т.2. Произведение конечного числа Т.1. Алгебраическая сумма конечного Т.3. Если (х)-б.м. при ха, f(x)-б.б. при ха, Т.4. Частное от деления б.м. на ограбесконечно малых при ха функций числа бесконечно малых при ха ниченную функцию при ха есть (x) то есть б.м. при ха. lim = 0.

функций есть б.м. при функция б.м.

xa f (x) ха.

Сравнение бесконечно малых (x) (x) (x) (x) Если наз. эквиваЕсли lim =1, то и где А0, то lim = A, Если а тогда Если наз. бескоlim = 0, lim = A 0, то x a x a R (x) (x) x a x a (x) (x) лентными бесконечно малыми при ха :

и наз. бесконечно малыми одного (x) нечно малой порядка R относительно.

то наз. бескоlim =,.

порядка при ха.

xa В этом случае и R –б.м. одного порядка при (x) ха.

нечно малой высшего порядка, Замечание. Для сравнения двух функ- чем, а -б.м. низшего порядка, ций еще используется символ: чем, при ха. Это f(x)=0(g(x)) при ха. Эта запись Т.3. Если (x)(x), ха, то обозначают =0() и говорят, Т.2. Чтобы б.м. и были эквивалентными, f (x) lim[f (x) (x)]= lim[f (x) (x)], что « есть 0 малое от ».

означает, что отношение в необходимо и достаточно, чтобы: x a x a g(x) (x) = (x) + 0( (x)), x a.

f (x) f (x) lim = lim.

окрестности а есть ограниченная фунx a xa [ или : чтобы - была б.м. более высокого (x) (x) кция, т.е. существует такое M>0, что порядка, чем (или ), т.е.

f (x) - =0( ), (или - =0()].

Т.1. Если (x)(x), ха, M g(x) то (x) (x), ха.

f (x) M g(x).

2.5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть f определена на некоторой окрестности т. а, за исключением, быть может, самой точки а:

А наз. ПРЕДЕЛОМ f в т.а. тогда и Односторонние пределы.

Число А наз. ПРЕДЕЛОМ f при х+ А наз. ПРЕДЕЛОМ f в т.а, только тогда, когда для любой чис- f(x) имеет в т.а ПРЕДЕЛ справа (слева) равх-, если > 0 м такое, что при всех х, удовесли > 0 > 0, что для всех х, ловой последовательности{xn} таудовлетворяющих неравенству ный А,В и обозначается летворяющих неравенству выполняяется x > м кой, что lim xn = a выполняется 0 < x - a < n f (a + 0) = lim f (x) = A, неравенство - A <, что означает f (x) xa+соотношение (x a) f (a - 0) = lim0 f (x) = B, lim f (x) = A xa выполняется равенство f (x) - A <, x+ если > 0 > 0, что для всех х из ин lim f (xn) = A lim f (x) = A lim f (x) = A или xa xтервала (а,а+) (а-,а) имеет место нераxa y y венство f (x) - A <, f (x) - B < f (x) A (x a) y y A+ • A+ f(a+0)=A A+ y=f(x) A A A A- • A- f(a-0)=B A- Основные теоремы о 0 м x м 0 x пределах a- a a+ x a x Т.2. f имеет предел Т.3. Если Т.4. Если Т.6. Пусть Т.5. Критерий Коши существования Т.1. Если f имеет в т.а. тогда и тольlim f1(x) = A1, предела.

lim f1(x) = A, lim f (x) = A, lim(x) = B, xa предел при ха, то xa ко тогда, когда она xa xa f имеет предел в т.а. тогда и только тогда, он единственный. lim f2(x) = Aимеет в этой точке lim f2(x) = A где А и В- конечные числа. Тогда xa когда > 0 > 0, что для всех х1, х2, xa и левый, и правый lim[f (x) ± (x)] = A ± B, удовлетворяющих условию и на некоторой и на некоторой xa пределы и они совокрестности 0 < x1 - a <, окрестности падают.

lim[f (x) (x)] = A B, f1(x) f2(x), то f1(x) (x) f2(x), xa 0 < x2 - a < A1 A2 и при условии, что В0, то lim(x) = A.

имеет место неравенство xa f (x) A.

f (x1) - f (x2) < lim = xa (x) B Т. Если f возрастающая и ограничена сверху, т.е. f(x) f(x2) (соответственно f(x2) f(x1)). lim f (x) = A, где A M.

xa Возрастающие и убывающие функции наз. строго монотонными Решение примеров lim(x3 + 3x2 - 4) = lim x3 + lim 3x2 - lim 4 = 23 + 3 22 - 4 = 8 + 12 - 4 = x2 x2 x2 xlim(5x - cos x) = lim 5x - lim cos x = 50 - 1 = x0 x0 xРаскрытие неопределенностей x2 - 5x + 6 0 (x - 2) (x - 3) x - 2 1) lim = = lim = lim = ;

x3 x3 xx2 - 9 0 (x - 3) (x + 3) x + 3 3 + x - 3 0 ( 3 + x - 3)( 3 + x + 3) 3 + x - 3 x 2) lim = = lim = lim = lim = ;

x0 x0 x0 xx 0 x ( 3 + x + 3) x ( 3 + x + 3) x ( 3 + x + 3) 2 x2 - 9 0 (x - 3) (x + 3)( x + 1 + 2) (x - 3)(x + 3)( x + 1 + 2) 3) lim = = lim = lim = 24;

x3 x3 xx + 1 - 2 0 ( x + 1 - 2) ( x + 1 + 2) x + 1 - 3x3 2x2 1 2 1 + - 3 + - 1 + 3x3 + 2x2 -x3 x3 x3 lim x x3 3 ; 5) lim x5 + 2x3 lim x2 1 ;

4) lim = = lim = = = = = = x x x 1 x x 1 5x3 + x 5x3 x 5 x2 - 1 5 + + x2 x3 xx3 x3 1 - 1 + 3x2 - 1 - x2 x4 0 0; 7) lim x3 x2 ( - ) = lim 2x4 + x3 2x4 + x2 lim x 6) lim = = lim = = - = = = = ;

x x 2 x x x 2 2 x4 + 2 1 2x2 -1 2x + 1 (2x2 - 1)(2x + 1) 1 + 4 + - x4 x x2 x( x + 1 - x + 5)( x + 1 + x + 5) x + 1 - x - 5 - 8) lim ( x + 1 - x + 5) = ( - ) = lim = lim = = 0;



x x x x + 1 + x + 5 x + 1 + x + 5 x2 + 5x - x2 - 1 5x - 1 x 9) lim ( x2 + 5x - x2 + 1) = ( - ) = lim = lim = = lim =.

x x x x 5 x2 + 5x + x2 + 1 x2 + 5x + x2 + 1 + + 1 + x x2.6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ x sin x x 1. 2.

lim = 1 lim = lim1 + = e lim(1 + ) = e x0 x0 x x sin x x Решение примеров k kt k 1 t sin 6x 6sin 6x sin x x 1 = lim = lim = 6 lim = k lim(1 + ) = lim1 + = = lim1 + = ek x t x0 x0 xx x 6x 6x x t t t x = kt t x x x sin 3x sin 3x 5x cos5x 2x + 3 2x + 1 + 2 2x + 1 lim = lim3x = lim = lim = lim + = x x x x0 x0 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + tg5x 3x sin 5x 5x 2 kx kx = t - t - 2sin2 sin 2x + 1 t 1 2 1 1 - coskx k2 k= 2x + 1 = 2t = lim1 + = lim1 + + = e lim = lim = lim 2 = t t t t t 2t - t 1 x0 kx x2 x0 x2 x0 2 x = = t 2 2x + sin x x = - sin x sin tgx - sin x sin(1 - cos x) sin x 3 3 cos x 2 x 1 2ч + lim = lim = lim = lim = lim1 + = + 5 = 3 = lim(1 + ) = e 2 x0 x0 x 2x x3 x0 x3 x0 x x2 cos x x x0 3 - x = Задача о непрерывном начислении процентов Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Найти размер вклада Qt через t лет. При использовании простых процентов p 2 p pt размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину (р /100) Q0, т.е., 1,...,.

Q1 = Q01 + Q2 = + Qt = Q01 + 100 100 p На практике чаще применяют сложные проценты. Т.е. размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число 1 + раз, т.е.

2 t p p p 1, 1 Q1 = Q0 + Q2 = Q2 +,..., Qt = Q0 +.

100 100 Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то процент начисления за 1/ n-ю часть года составит (р/n) %, а размер вклада за t лет при nt начисnt p лениях составит Если полагать, что проценты по вкладу начисляются ежеквартально, ежемесячно, каждый день, каждый час, т.е. n, то размер Qt = Q01 +.

100n pt p = nt pt вклада за t лет составит 1 x p Qt = lim Q01 + = Q0 lim 1 + = Q0 e100 100 n x n x 100 n 100 n x x = p Примеры бесконечно малых и 1 1) y = sin x при x 0, т.к. lim sin x = 0 4) y = при x 0, т.к. lim = бесконечно больших x0 xx x 2) y = x2 -1 при x -1, т.к. lim (x2 -1) = 0 5) y = tgx при x, т.к. limtgx = x- 3) y = y - 6- x при x, т.к. lim 6- x = lim = 0 6) y = 3x при x, т.к. lim 3x = x x x 6x Эквивалентные бесконечно малые n 1) sinx ~ x, 2) arcsinx ~ x, 3) tgx ~ x, 4) arctgx ~ x, 5) 1-cosx ~ (x2/2), 6) ex-1 ~ x, 7) ln(1+x) ~ x, 8) (1+x)n-1 ~ nx, 9) ax-1 ~ xlna, 10) - ~ (x / n) 1 + x Применение эквивалентных бесконечно малых и к вычислению пределов sin (x + 2) x + 2 1 ax - 1 x ln a ex - e e (ex -1 - 1) e (e - 1) 1) lim = lim = ; 2) lim = lim = ln a; 3) lim = lim = lim = lim e = e;

x-2 x-2 x0 x0 x1 x1 0 4x + 8 4(x + 2) 4 x x x - 1 x - arcsin x 2 3 2x - arcsin x 2 - 1 1 sin x ln(1 + 3x) x 3x x 4) lim = lim = lim = ; 5) lim = lim = ;

x0 x0 arctgx x2x + arctgx 2 + 1 3 x 53 x (arctg x)2 (e5 x - 1) 2 + x x2 x2 ( 1 + x sin x + cos x) ( 1 + x sin x + cos x) 1 + 1 6) lim = lim = lim = lim = ;

x0 x0 x0 1 - cos x x sin x 1 + x sin x - cos x 1 + x sin x - cos x + + x2 xx sin x x sin x x sin x cos2 x x 1 7) lim = lim = lim = lim = ;

2 x0 x0 x0 xtg x + 1 - cos 2x sin2 x sin x (1 + 2 cos2 x) x (1 + 2) + 2sin x cos2 x (т.к. cosx ~ 1, sinx ~x) y 0 y 8) lim(1 - x)tg x = (0 ) = lim y tg (1 - y) = lim = = lim = ;

x1 y0 y0 y2 2 tg y y 2 (т.к. ~ при y0) tg y 2 arcsin 3x + 5x3 0 3 x + 0(x) 9) lim = = lim = x 0 x sin 2x + (ex - 1)5 0 2 x + 0(x) arcsin 3x ~ 3x (ex - 1)5 ~ xsin 2x ~ 2x x5 ~ 0(x) 5x3 ~ 0(x) 2.7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, в том числе в самой точке х0.

Функция, определенная на множе- Функция наз. НЕПРЕРЫВНОЙ в точке Функция НЕПРЕРЫВНА в f(x) наз. НЕПРЕРЫВНОЙ в точке стве Х, наз. РАВНОМЕРНО х0 если ее приращение в этой точке, точке х0 если для всякого х0, если для любой последоватеНЕПРЕРЫВНОЙ на этом мносоответствующее приращению аргумен- льности {xn} значений аргумента, >0 >0 такое, что жестве, если >0>, зависящее сходящейся к х0, соответствующая та х, стремится к нулю при х 0:

f (x) - f (x0) <, только от, такое, что последовательность функций lim y = lim0[f (x0 + x) - f (x0)]= x0 x f (x1) - f (x2) < x : x - x0 <.

{f(xn)} сходится к f(х0).

y для всех х1, х2 Х, удовлетворяющих неравенству y=f(x) x1 - x2 < f(x) НЕПРЕРЫВНА в точке Если f(x) не является непрерывной f(x0+x) M х0, если существуют пределы в точке х0, то она наз. разрывной в y f(х0+0) и f(х0-0) такие, что точке х0.

f (x0 + 0) = f (x0 - 0) = f (x0). Если х0 – точка разрыва, то х0 наз.

f(x0) Mточкой разрыва 2-го рода, если по x крайне мере один из пределов справа и слева не существует или Если х0 – точка разрыва, то х0 наз. точкой разрыва 1-го бесконечен.

0 x0 x0 +x x рода, если f(x) имеет конечные пределы справа и слева в y f(x) непрерывна в точке x0 этой точке.

y Функция, определенная на интервале (а,в) и непреf(x0+0) y рывна в каждой его точке, наз. непрерывной на ин- y=f(x) f(x0) тервале (а,в).

Функция наз. кусочно-непрерывной на отрезке [а,в], f(x0-0)= f(x0+0) 0 x0 x если она имеет на нем конечное число точек разры ва 1-го рода.





скачок Точка разрыва 2-го рода.

f(x0-0) y 0 x0 x 0 x0 x Точка разрыва 1-го рода Точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв a x1 x2 в х 2.8. Основные теоремы о непрерывных функциях Т.3. Все основные Т.1. Если f(x) и (x) непрерывны Т.2. Если (x) непрерывна в Т.4. Любая эле- Т.5. Функция, обратная к элементарные в х0, то в этой точке непрерывны точке а и f(y) непрерывна в ментарная функция строго монотонной функции и следующие функции:

точке y=(a), то функция от непрерывна в непрерывной функции, непрерывны в 1. сf(x), функции (сложная функция) области своего непрерывна в интервале области своего 2. f(x) ± (x), F(x) =f((x)) непрерывна в определения. своего определения.

определения.

точке а.

3. f(x) (x), f (x) 4.,(x) (x) Свойства функций, непрерывных на отрезке Т. Вейерштрасса. Т.3. Функция, непрерывная на Т.Кантора.

Всякая непрерывная на [а,в] отрезке [а,в], принимает на этом Если функция непрерывна на отрезке, функция принимает на нем как отрезке все значения между любыми то она равномерно непрерывна на наибольшее так и наименьшее двумя ее значениями. этом отрезке.

Т.1. Всякая значение.

непрерывная на y отрезке [а,в] функция M ограничена на нем.

Т. Пусть f(x) непрерывна на [а,в] Т. Если f(x) непрерывна на [а,в] и принимает на f(a)=A, f(в)=В. Тогда для любого С, концах отрезка значения разных знаков, то между заключенного между А и В, существует такая а и в найдется по крайней мере одна точка х=С, в m которой функция обращается в нуль.

точка с (а,в), что f(c)=C.

y y 0 a в x Лемма. Если функция В непрерывна в точке х0 и f(х0) 0, то существует С окрестность точки х0, в которой функция сохраняет А знак.

0 а с в х 0 а с в х Решение примеров x 1) Исследовать на непрерывность, доказав, что lim y = y = x 1 + xРешение.

Возьмем любое значение х и дадим ему приращение х, функция получит приращение y :

x + x x x + x + x3 + x2x - x - x3 - 2x2x - x(x)2 x - x2x - x (x)2 x (1 - x2 - x) y = - = = = ;

1 + (x + x)2 1 + x2 [1 + (x + x)2] (1 + x2 ) [1 + (x + x)2] (1 + x2 ) [1 + (x + x)2] (1 + x2 ) x (1 - x2 - x) lim y = lim = 0 при любом фиксированном х.

x 0 x [1 + (x + x)2] (1 + x2 ) 2) Исследовать на непрерывность.

y = (x2 - 2) ex + x2 + 1 sin x Каждое слагаемое этой функции является элементарной функцией, т.е. по Т.3 является непрерывной функцией, а так как произведение, сумма непрерывных функций по Т.1 является непрерывной функцией, то ответ: данная функция непрерывна при всех значениях х, где она определена.

x2 + 1 при - < x 3) Исследовать на непрерывность y = 5 при 2 < x x при x > x = 2 x = A = lim 5 = A = lim 0(x2 + 1) = x 3x 2 B = lim 0x = B = lim 5 = x 3+ x 2 + C = f (5) = (x2 + 1)x =5 = 5 A B A = B = C x = 3 т. разрыва 1 рода x = 5 т. непр.

- x + 1 x - 4) Исследовать на непрерывность у y = tgx - 4 < x < x - 1 x x = - 4 x = A = lim (-x + 1) = + 1 A = lim tgx = tg = 4 x - 4 - 0 x 2 - B = lim tgx = tg (- 4) = -1 B = lim 0(x - 1) = 2 - x - 4 +1 x + A B x = т. разрыва 2 рода x = - 4 т. разрыва 1 рода - - х 2 4 2.9. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ Наиболее часто используемые в экономике функции:

1. Функция полезности (функция 2. Производственная функция – 5. Функция спроса, потребления и Функции нескольких предпочтений) – зависимость полезности, зависимость результата производственной предложения – зависимость объема переменных т.е. результата, эффекта некоторого деятельности от обусловивших его спроса, потребления или предложения на действия от уровня интенсивности этого факторов. отдельные товары или услуги от действия. различных факторов (цены, дохода и т.п.) Сепарабельные Мультипликативные 3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зави- 4. Функция издержек (частный вид производственной функции) симость объема производства от наличия или потребления ресурсов. – зависимость издержек производства от объема продукции.

ПРИМЕРЫ 4. Рассматривая ФУНКЦИИ ИЗ1. Исследуя зависимости спроса на различные 2. Рассматривая в одной системе коор- 3. Изучая в теории потребительсДЕРЖЕК (ПОЛНЫХ ЗАТРАТ) товары от дохода динат кривые спроса и предложения, мож- кого спроса КРИВЫЕ БЕЗРАЗb1(x - a1) с(q) и ДОХОДА фирмы r(q), мы ЛИЧИЯ (линии, вдоль которых но установить равновесную (рыночную) y = (x > a1), можем установить зависимость функции Л. Торнквиста x - cцену данного товара в процессе форми- полезность двух благ х и у одна и ПРИБЫЛИ П(q)=c(q)-r(q) от та же), например, задаваемые в вирования цен в условиях конкурентного b2 (x - a2 ) y = (x > a2 ) объема производства q и выявить де ху=V, и ЛИНИЮ БЮДЖЕТрынка (ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ).

x - cуровни объема производства, при НОГО ОГРАНИЧЕНИЯ рхх+руу=J b3(x - a3) которых производство продукции при ценах благ рх и ру и доходе y = (x > a3) x - cубыточно (0

или иных товаров и уровни (точки) спроса q(p) предложения S(p) найти размеры этих убытков или насыщения b1, b2 для групп товаров первой и прибыли.

у второй необходимости.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.