WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ВОСТОЧНО - СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для дистанционного обучения по экономическим специальностям Часть 1 Багаева С.Д.

Улан-Удэ, 2006г.

2 Издается в соответствии с планом учебно-методической работы ВСГТУ ББК 22 1я77 074-1 074-1 Багаева С.Д.

Математика: Учебно - методический комплекс для дистанционного обучения. Часть1 – Улан-Удэ:

ВСГТУ, 2006 г. - 69 с.

Учебно-методический комплекс выполнен под руководством профессора, д.ф.-м.н. Ц.Б. Шойнжурова.

Учебно-методический комплекс по математике предназначен для студентов экономических специальностей. В него входят предусмотренные стандартом компоненты, в том числе курс лекций в виде структурно-логических схем, знакомящий студентов с основными разделами математики.

В каждом разделе УМК приведены теоретические вопросы, достаточное количество решенных задач и примеров, поясняющих и закрепляющих теоретический материал.

Многовариантные задания самостоятельных расчетных работ по ключевым разделам курса выдаются студенту индивидуально. Пункты 2.9, 3.4, 4.9, 6.4, 7.11, 7.12 взяты из учебника «Высшая математика для экономистов» под редакцией проф. Н.Ш. Кремера.

Ключевые слова: вектор, матрица, прямая, пространство, предел, производная.

3 ЦЕЛИ КУРСА Содержание курса высшей математики согласно образовательному стандарту разбивается на 4 части.

Предлагаемое пособие содержит 9 тем и отвечает на вопросы 1 части содержания курса стандарта.

Надо иметь в виду, что данное пособие не заменяет учебник по высшей математике, а дополняет его.

В нем собраны и систематизированы основные определения, теоремы, компактно даны основные свойства всех понятий, изучаемых в данном разделе математики.

Данное пособие направлено на решение таких задач:

- дать студентам математический аппарат векторной алгебры, базовых понятий аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, матриц. Дать аппарат анализа поведения функций, нахождение пределов, производных и т.д.

- обеспечить подготовку студентов к восприятию следующих разделов математики 2,3, и 4 части.

- сформировать у студентов определенный навык использования современного математического аппарата, ориентированного на различные науки экономического и управленческого профиля, строгого исследования объектов, учета количественных факторов при проведении исследований.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Теорема – Обратная теорема- математическое предложение, истинность которого устанавливается для данной теоремы – теорема, в которой условием является или опровергается при помощи доказательств. заключение, а заключением- условие данной теоремы.

Прямая и обратная теоремы наз. взаимно обратными Необходимое условие для выполнения какого- либо верного Достаточное условие для выполнения какого- либо утверждения – утверждения- всякое условие, без осуществления которого данное всякое условие, из которого следует это утверждение.

утверждение заведомо неверно.

Если прямая и обратная теоремы верны, то эти две взаимно обратные теоремы можно сформулировать в виде одной теоремы в терминах «необходимо и достаточно».

Выражение «необходимо и достаточно» часто заменяется выражениями «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «те и только те» СИМВОЛИКА ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ № Симво- Название Пояснение № Обозначение логи- Название логических Геометрическое лы ческих операций операций истолкование 1 1 объединение (дизъюнкция)- это квантор существования х- «существует х» А В множество, элементы которого квантор всеобщности х-«для любого х» А В хотя бы одному из множеств принадлежность х R-«х принадлежит R» 4 2 пересечение (конъюнкция)- это А В () отрицание х R-«х не принадлежит R» множество, элементы которого A B () включение А В-«А включено в В» каждому из множеств А и В «А подмножество В» 6 пустое множество например, обычный нуль 3 А \ В или разность- это множество из тех А-В элементов множества А, которые следование А В –«из А следует В» A B не вошли в В.

эквивалентность А В- «А эквивалентно В» ТЕМА 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1.1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ) ЧИСЕЛ Множество действительных чисел (R) полностью определяется 16 аксиомами: сложения, умножения, порядка и принципом непрерывности Дедекинда.

Аксиомы сложения 1. Для любых чисел а, в R определено единственное число а+в R, называемое суммой чисел а и в.

2. Для любых а, в R имеет место соотношение а+в=в+а (коммутативность) 3. Для любых а, в R имеет место соотношение а+(в+с)= (а+в)+с (ассоциативность) 4. Существует число 0 R такое, что а+0= а для всех а R. Число 0 носит название нуль.

5. Для любого числа а R существует число в R такое, а+в=0.

Аксиомы умножения 6. Для любых чисел а, в R определено единственное число а, в R называемое произведением чисел а и в.

7. Для любых а, в R имеет место соотношение а • в = в•а (коммутативность) 8. Для любых а ; в R имеет место соотношение а (в • с) = (а в) • с (ассоциативность).

• • 9. Существует число 1 R такое, что 1•а = а для всех а R. Число 1 носит название единица.

10. Для любого а R, а 0, существует в R такое, что а в = 1.

• 11. Для любых а, в R имеем а • (в + с) = а • в + а • с (дистрибутивность).

Аксиомы порядка 12. Для двух чисел а, в R имеет место одно ( и только одно) из трех соотношений : а < в, а=в, а > в.

13. Для любых а, в • с R таких, что а < в и в < с, справедливо соотношение а < с (транзитивность).



14. Для любых а, в, с R таких, что а < в, справедливо соотношение а+с < в+с.

15. Для любых а, в, с R таких, что а < в и с > 0, справедливо соотношение а • с < в•с Принцип непрерывности Дедекинда 16. Пусть множество R действительных чисел разделено на два класса К1 и К2 так, что:

а) классы К1 и К2 не пусты;

б) каждое действительное число относится только к одному классу;

в) из условий а К1 и в s, принадлежат классу К2. Число S называется сечением множества действительных чисел.

1.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ КЛАССЫ МНОЖЕСТВ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА N = {1,2,3,...,...,...} К понятию натуральных чисел приходят в процессе счета. Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1. Множество натуральных чисел обладает следующими свойствами:

N R 1.

1 N 2. Из следует n N n + 1 N 3. Если, то - 1 N тогда и только тогда, когда n1.

n N n 4. Если М-подмножество N со свойствами:

.

a)1 M, б) из n M следует n + 1 M, то M = N Целые числа z = {....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Действительное число q называется целым числом, если существуют такие натуральные числа n и m, что q=n-m.

Рациональные числа.

Q = {m n}, где m, n z, n Действительное число а называется рациональным, если существуют Рациональное число – это бесконечная десятичная периодическая дробь.

такие целые числа q1 и q2 (q20), что a= q1 / q2.

m.

± = ±a0, a1,...ar (b1,b2,...bs ) (s < n) n Иррациональное число –(R\ a) бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Действительное число а называется иррациональным, если не m существует такие целые числа q1 и q2 (q20), что a= q1 / q2.

± = ±a0,a1,a2,...

n Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Действительное число – это бесконечная десятичная дробь.

[а],a1,a2,...

1.3. МНОЖЕСТВА Множество – это совокупность объектов, объединенных по какому-то одному признаку Непустое множество А элементов х,у,… наз. упорядоченным, если задан закон сравнения его элементов, удовлетворяющий следующим Пусть J = {1,2,3,...n} - множество натуральных чисел n аксиомам:

а) для любых элементов х,у – А выполняется одно и только одно из трех Множества А и В называют эквивалентными, если между их элементами соотношений: 1. х >у, 2. у > х, 3. х = у;

можно установить взаимно однозначное соответствие: А В.

б) если х >у и у > z, то х > z Пр. Множество действительных чисел Множество А наз.конечным, если существует такое Множество В наз.бесконечным, если не существует такое натуральное число n, что А Nn = Jn число n, что В Jn Пр. А= { 2,4,6} и J3 = { 1,2,3 } Пр. В= { -1,-2,-3,…-n,…} J= { 1,2,…n,…} Множество Х, эквивалентное множеству J всех Если бесконечное множество не является натуральных чисел, наз. счетным. эквивалентным J, то оно наз. несчетным (элементы несчетного множества нельзя перенумеровать) Пр. 1. Т. Кантора.

Пр. Множество всех рациональных чисел.

Множество всех точек отрезка [0,1] несчетно. Его наз.континуумом.

2. Множество действительных чисел.

Действительное число а наз.нижней границей множества Действительное число в наз.верхней границей множества Е, если хЕ Е, если хЕ хa ( не обязательно, а Е ).

х в (не обязательно, в Е ).

Всякое множество, для которого существует нижняя Всякое множество, для которого существует верхняя граница, граница, наз. ограниченным снизу.

наз.ограниченным сверху.

Множество, которое ограничено и снизу, и сверху, наз.ограниченным.

Принцип полноты Каково бы ни было ограничено снизу (сверху) множество Е, среди его нижних • • • • • • • • • х (верхних) границ имеется наибольшая (наименьшая), а2 а1 а х3 х1 х2 в в1 вона наз.точной нижней границей Е и обозначается inf E ( точной верхней границей Е и обозначается sup E) Пр. 3.

Е1= [а,в], E2= (а,в] a= inf E1 E1, в = sup E1 EПр. 1. Пр. 2.

a= inf E2 E2, в = sup E2 EЕ= (а,в) – интервал. Е= [a,в]- отрезок.

E1 имеет наименьший элемент и не имеет а= inf E, в= sup E, но они Е. а= inf E, в= sup E, a, в Е, наибольшего, Множество не имеет наибольшего и а- наименьший элемент, Е2 имеет наибольший элемент и не имеет наименьшего элемента. в- наибольший элемент.

наименьшего.

Окрестностью точки х0 М наз. множество Uх0, состоящее из всех точек х М, таких, что (х,х0) < r, где r – радиус окрестности (для оси : это (х0 – r, x0 +r )).

Точка Q наз. предельной точкой множества М, Точка Р наз. внутренней точкой Точка Р наз. граничной точкой множества М, если в каждой окрестности этой точки найдет- множества М, если существует окрест- если в любой ее окрестности есть точки ся отличная от нее точка из М. множества М, так и точки, не принадлежащие ность Uр, такая, что Uр М.

Точка множества М не являющаяся множеству М.

предельной для него, наз. изолированной.

Множество, каждая точка которого Множество, содержащее все свои предельные Множество граничных точек наз. границей.

является внутренней, наз. открытым.

точки, наз. замкнутым.

Т. Больцано – Вейерштрасса Любое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.





Пр. 1. Пр. 2. Пр. 3.

[a,в] – замкнутое множество, в окрестности (а,в). Точки а,в являются предельными точ- Промежуток (а,в] не является открытым, так любой его точки есть точки этого отрезка, ками этого множества, но так как они ему не как в – граничная точка, и он не является следовательно, все его точки – предельные и принадлежат, то это множество не является замкнутым, так как а – его предельная точка, принадлежат этому множеству. замкнутым; любая точка этого множества – но ему не принадлежит.

внутренняя, следовательно, это – открытое множество.

ТЕМА 2. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 2.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пусть по некоторому правилу f каждому элементу х Х поставлен в соответствие один определенный элемент y Y. Тогда правило (соответствие) f наз. ФУНКЦИЕЙ, заданной на множестве Х со значениями в множестве Y f Y = f (x) или X Y Если X и Y – содержатся во множестве действительных чисел, то Функция, определенная на множестве натуральных чисел, f – наз. числовой функцией. наз. последовательностью.

Числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел, наз. числовой последовательностью.

{аn} наз. возрастающей {an} наз. убывающей {an} наз. строго {an} наз. строго возрастающей, если (неубывающей), если (невозрастающей), если убывающей, если аn+1 > an.

аn+1 < an.

аn+1 an. аn+1 an.

Последовательность наз. ограниченной сверху (снизу), если существует число Возрастающие и убывающие последовательности наз.монотонными М такое, что хR М (хR М) для всех R = 0,1,2,3,….

Число а наз. ПРЕДЕЛОМ последовательности {xn}, если для любого > 0 найдется N, что для всех nN выполняется Переменная хn имеет своим пределом точку а, если вне любой неравенство xn - a < окрестности этой точки имеется конечное или пустое lim xn = a, говорят, что {xn} сходится к пределу а, или xn a. множество точек хn.

n Арифметические действия с переменными, имеющими предел xn lim xn lim(xn ± Yn) = lim xn ± limYn, lim(xn Yn) = lim xn limYn, lim =, если limYn 0.

Yn limYn 2.2. Теоремы о числовых последовательностях Т.1. Если Т.2. Если Т.3. Если переменная xn Т.4. Если Т.5. Если Т.6. Если переменная имеет последователь- имеет не равный нулю переменные xn и хna, то xn a, Yn в и предел, то он ноть {xn} предел а, то найдется Yn стремятся к xn - a.

xn Yn для всех n = 1,2,..., единственный. сходится, то она такое N, что для всех n>N одному и тому же ограничена пределу а и a то а в.

xn >, то есть, xn zn Yn, то Следствие. Если элементы переменная zn сходящейся последовательности начинается с некоторого также стремится к {xn} принадлежат [а,в], то ее номера, xn сохраняет знак а.

предел также принадлежит [a,в].

а.

Теоремы о пределах монотонных последовательностей Т.6. Условие Коши сходимости Т.1. Монотон- Т.2. Число е. Т.3. Принцип вло- Т.4. Из всякой последовательности последовательности. Последовательность ная ограничен- женных отрезков. действительных чисел {xn} можно {xn} сходится тогда и только тогда, когда lim(1+ )n = e ная последова- Пусть задана выделить подпоследовательность {xnк}, n n тельность последовательнос сходящуюся к конечному числу, или >0 N, что для всех n N и m N всегда имеет ть отрезков, вло- к+, или к-.

имеет место неравенство xn - xm < предел женных друг в друга, то есть, с lim an = a M n длинами, Последовательность чисел, удовлетво- стремящимися к ряющая условию Коши, наз.

Т.5. Больцано-Вейерштрасса.

нулю. Тогда су- фундаментальной Из всякой ограниченной ществует и последовательностью.

последовательности {xn} притом единстможно выделить подпоследо- венная точка, од- вательность {xnк}, сходяновременно Т.7. Критерий Коши существования предела.

щуюся к некоторому числу.

принадлежащая Для того, чтобы последовательность всем отрезкам.

действительных чисел {xn} имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ Способы Аналитический Графический Табличный Параметрический Логический задания ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, составленная из основных элементарных НЕЭЛЕМЕНТАРНАЯ Функция многих Функция комплексного функций при помощи конечного числа операций сложения, умножения, возведения в ФУНКЦИЯ – действительных переменного степень, взятия функций от функции. y=[x], y=|x| ….

переменных 2 Примеры:

y = x2 + 3x; y = x cos x; y = sin x; y = 1 - sin x; y = log sin x Трансцендентная Алгебраическая Обратные тригонометрические Показательная Тригонометрическая Логарифмическая Дробно-рациональная функции Целая рациональная Иррациональная Степенная Линейная Основные элементарные функции Квадратическая Кубическая …..

Свойства Монотонность Четность Периодичность Непрерывность Наличие экстремумов Наличие нулей Асимптоты Действия Сложение Вычитание Умножение Деление Дифференцирование Извлечение корня Интегрирование Возведение в степень Графики y=ax+b y=ax2+bx+c y=axn n=3 y=a/x y=loga x a>0, a1 y=ax, a>y = x y n= a>0 n=2 1 y=ax a>0 a x 1 n=3 0 y=sinx y=tgx y=arcsinx y=arctgx y=[x] y=|x| 1 -1 1 2 -Функция наз. ОГРАНИЧЕННОЙ на Функция наз. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ (б.б.) (х) наз. БЕСКОНЕЧНО Равносильны два утверждения:

данном множестве Х, если сущепри ха если М>0 >0, что для всех ха и МАЛОЙ (б.м.) при ха, если 1.lim f (x) = A и ствует такое M>0, что xa удовлетворяющих неравенству lim(x) = xa 2. f (x) = A + (x),., то есть f (x) M при x X x - a < f (x) > M lim f (x) = xa где (x) - б.м.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.