WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
В.В. Власов, С.П. Коновалов, С.В. Курочкин Задачи по ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Введение Издание представляет собой сборник задач по курсу Функциональный анализ (Анализ III), который читается на 3-м курсе факультета прикладной математики и экономики МФТИ. Материал задач охватывает все разделы курса. При отборе задач авторы ставили цель показать, как работают и применяются фундаментальные понятия и факты функционального анализа, выявить взаимосвязи между ними. При этом ставилось требование сохранить небольшой объём пособия, поэтому в него включены задачи, принципиально важные для усвоения курса. Технических упражнений задачник практически не содержит.

Некоторые задачи, представленные в пособии, заимствованы из источников, указанных в списке литературы.

Авторы надеются, что предлагаемый задачник окажется полезным для студентов и аспирантов, желающих углубить свои знания в области функционального анализа.

Авторы считают приятным долгом выразить благодарность своим коллегам по кафедре высшей математики МФТИ: членукорреспонденту РАО, профессору Г.Н. Яковлеву, по инициативе и при поддержке которого был составлен этот задачник, М.В. Балашову и Р.В. Константинову, любезно предоставивших ряд своих задач, и А.В. Полозову за помощь в подготовке текста.

3 О терминологии и обозначениях Принятые в пособии термины и обозначения в основном соответствуют [1], [10]. Некоторые из них поясняются ниже.

N — множество натуральных чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество вещественных чисел;

C[0,1] — пространство непрерывных функций, определённых на отрезке [a,b], снабжённое нормой f C = sup |f(x)|;

a x b R[0,1] — множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке [0; 1];

lp — пространство последовательностей с нормой x p = p = |xk|p, 1 p < +;

k=1 l — пространство ограниченных последовательностей;

Lp[a,b] — пространство измеримых и суммируемых в степени p 1/p b (1 p < ) функций с нормой f = |f(x)|p dx ;

a B1(0) — замкнутый шар в нормированном пространстве, с центром в точке x = 0 и радиуса 1;

fn f — равномерная сходимость последовательности функций;

dim E — размерность линейного пространства E;

L(X,Y ) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y ;

Ker A — ядро оператора A;

ln N() lim — фрактальная (аппроксимативная) размерность комln(1/) пакта, где N() — число элементов в наименьшей -сети.

1. Метрические и топологические пространства 1. Доказать, что произвольное открытое подмножество прямой можно представить в виде объединения не более чем счетного числа попарно не пересекающихся интервалов (возможно бесконечных).

2. Доказать, что произвольное открытое подмножество в Rn можно представить в виде объединения счетного числа шаров рационального радиуса с центрами в точках с рациональными координатами.

3. Является ли открытым в пространстве C[a,b] множество {f C[a,b] : 0 < f(x) < 1 x [a,b]} 4. Является ли открытым в пространстве l множество {x l : 0 < xk < 1,k = 1,2,...} (Здесь x = (x1,x2,...) ).

5. Пусть A — подмножество метрического пространства (X,).

Доказать, что функция f : X R, f(x) = (x,A) = inf (x,y) yA непрерывна.

6. Описать все множества в метрическом пространстве, которые могут быть множеством нулей некоторой непрерывной функции 7. Пусть A, B — замкнутые, непересекающиеся подмножества метрического пространства X. Доказать, что на X существует непрерывная функция f такая, что f|A 0, f|B 1.

8. Доказать, что множество {sin(n),n = 1,2,...} всюду плотно в [-1,1].

9. Исследовать пространство C[a,b]: доказать, что оно полно, сепарабельно, связно.

10. Доказать, что отрезок и окружность не гомеоморфны.

11. Доказать, что на вещественной прямой связными множествами являются только промежутки (отрезки, интервалы, полуинтервалы, включая бесконечные).

12. Разместить в единичном шаре пространства l2 счётное число шаров радиуса 1/10.

13. Доказать, что пространство основных функций D(R1) неметризуемо.

14. Пусть M = {x l1 : x Q}. Является ли множество M счётным 2. Полные метрические пространства 1. Доказать, что множество вещественных чисел является пополнением множества рациональных чисел.

2. Доказать, что пространства lp(1 p < ) — сепарабельные полные метрические пространства, а пространство l — полное, но не сепарабельное.

3. Доказать, если в пространстве C[a,b] рассмотреть метрику что b 1(f,g) = |f(x) - g(x)| dx, то в ней оно будет неполно.

a 4. Доказать, что всякая равномерно непрерывная функция на метрическом пространстве однозначно продолжается до непрерывной функции на его пополнении, и что это продолжение равномерно непрерывно.

5. При помощи принципа сжимающих отображений найти достаточное условие на параметр, при котором уравнение b (x) = K(x,y)(y) dy + f(x) a имеет единственное решение C[a,b]. (Здесь f C[a,b], K C([a,b]2)).

6. Найти пополнение метрического пространства, состоящего из непрерывных финитных на числовой оси функций с метрикой (x,y) = max |x(t) - y(t)|.

t 7. Существует ли числовая функция, непрерывная в рациональных и разрывная в иррациональных точках отрезка [0,1] 3. Компактные метрические пространства 1. Доказать, что компакты в Rn — это замкнутые ограниченные множества.

2. Пусть M — замкнутое подмножество Rn и x Rn. Доказать, что (x,M) = inf (x,z) достигается в некоторой точке z M.

zM Показать, что в произвольном метрическом пространстве (например, для M l2) это, вообще говоря, не так.

3. Исследовать канторово множество на отрезке: найти его мощность, меру, установить его замкнутость, компактность, нигде не плотность, найти фрактальную размерность.



4. Пусть X — метрическое пространство, обладающее тем свойством, что любая непрерывная на нем функция ограничена.

Доказать, что X — компакт.

5. Найти фрактальную размерность графика функции y = = sin(1/x), 0 < x 1.

6. Доказать, что компактное метрическое пространство имеет конечный диаметр.

7. Компактен ли единичный шар в l2 8. Доказать, что компактное метрическое пространство сепарабельно.

9. Доказать, что компактное подмножество метрического пространства замкнуто.

10. Доказать, что компакт нельзя изометрично отобразить на свое собственное подмножество.

11. Доказать, что множество M в l2 компактно оно замкнуто, ограничено и > 0 n x M |xk|2<.

k=n (Здесь x = (x1,x2,...)).

12. Пусть E — компактное метрическое пространство с метрикой (·,·). Пусть f : E E, причем (f(x),f(y)) < (x,y) для всех x = y. Доказать, что f имеет неподвижную точку. Верно ли, что неподвижная точка единственна Верно ли, что f — сжимающее отображение 13. Доказать, что множество {f C1[0,1] : f C + f C = 1} предкомпактно в C[0,1]. Является ли это множество предкомпактным в C[0,1] 4. Нормированные и топологические векторные пространства 1. Доказать, что нормированное пространство полно в нем всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

2. Доказать, что две нормы, определенные на одном и том же линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости последовательности по одной из норм следует ее сходимость по другой норме.

3. В пространстве C[a,b] рассматривается множество M, состоящее из многочленов p(x) степени 10, удовлетворяющих усло b вию |p(x)| dx 10. Компактно ли множество M a 4. Найти крайние точки замкнутого единичного шара в пространствах l2, l1, C[a,b], c0.

5. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества в Rn также будет компактным множеством.

6. Доказать, что непустое выпуклое компактное подмножество Rn гомеоморфно k-мерному шару, k n.

7. Пусть B1 и B2 — шары в нормированном пространстве с радиусами соответственно r1 и r2. Доказать, что если B1 B2, то r1 r2.

8. Пусть B1 B2... — последовательность вложенных замкнутых шаров в банаховом пространстве. Доказать, что Bk=.

k=9. Описать множества в Rn, которые могут служить замкнутым единичным шаром для некоторой нормы в Rn.

10. Пусть L — конечномерное подпространство нормированного пространства X. Доказать, что для любого x X в L найдется элемент наилучшего приближения.

11. Верно ли, что система функций {xk} является k=а) полной в C[0,1];

б) базисом в C[0,1] 12. В каких пространствах lp (1 p ), c0, c система {ek}, k=ek(n) = kn является базисом. Существует ли базис в пространстве c 13. Является ли пространство C1[0,1] с нормой · 1, где f 1 = = |f(0)| + f C для любой функции f C1[0,1], банаховым 5. Геометрия гильбертова пространства 1. Доказать, что норма пространства C[a,b] не может порождаться никаким скалярным произведением.

2. а) Доказать, что любая последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение.

б) Показать, что последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в банаховом пространстве может иметь пустое пересечение.

3. Привести пример последовательности вложенных ограниченных замкнутых множеств из l2, имеющих пустое пересечение.

4. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, {ek} k=— ортонормированный базис H, {gk} — ортонормированk= в ная система в H, причем ek - gk 2 <. Доказать, что k={gk} является ортонормированным базисом в H.

k=5. Пусть {xn}, {yn} — последовательности в гильбертовом пространстве, причем xn 1, yn 1, (xn,yn) 1. Доказать, что xn - yn 0.

6. Доказать, что гильбертово пространство строго выпукло (т.е. его единичная сфера не содержит отрезков положительной длины).

7. Исследовать ««гильбертов кирпич»»: доказать, что это замкнутое множество без внутренних точек; выяснить, является ли он поглощающим множеством, к каким его точкам можно провести опорную гиперплоскость.

8. Пусть {e1,...,en} — базис подпространства L H. Доказать, G(x,e1,...,en) что x H 2(x,L) =, где G(a1,...,an) — опредеG(e1,...,en) литель Грама.

6. Линейные ограниченные операторы в нормированных пространствах 1. Пусть X и Y — конечномерные нормированные пространства.

Доказать, что любой линейный оператор из X в Y непрерывен.

2. Оператор в Rn задан матрицей A. Выразить норму оператора p через коэффициенты матрицы в случаях p = 1, p = 2, p =.

Доказать неравенство A 2 A 1 A.

3. Пусть E1 и E2 — нормированные пространства, A : E1 E— линейный оператор. Верно ли, что A непрерывен, если а) dim E1 < ; б) dim E1 = 4. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормированное пространство X в фактор-пространство X/L (L — линейное пространство, замкнутое по норме X) и ставящий в соответствие элементу x X содержащий его класс смежности, является линейным ограниченным оператором.

5. Пусть H — гильбертово пространство, A : H H — ограниченный линейный оператор, определённый на всей H. Доказать, что |(Ax,y)| A = sup.

x,yH x y x =0, y =6. Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы:

t а) A : C[0,1] C[0,1], (Ax)(t) = x(s) ds;

б) A : C[-1,1] C[-1,1], t (Ax)(t) = x(s) ds - sx(s) ds;

-1 в) A : L1[0,1] L1[0,1], (Ax)(t) = x( t);

г) L2[0,1] L2[0,1], (Ax)(t) = t x(s) ds.

7. Будет ли ограниченным оператор A : C[0,1] C[0,1] (Ax)(t) = dx = с областью определения L — линейным многообразием dt непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций d 8. а) Доказать, что оператор D = : C1[a,b] C[a,b] непреdx рывен.





б) Доказать тождество (xDx)nu = xnDn(xnu), u Cn[a,b].

9. Пусть {en}nN — ортонормированный базис гильбертова пространства H, n R. Доказать, что если последовательность n ограничена, то равенства Aen = nen определяют ограниченный линейный оператор A : H H, определённый на всём H, причём A = sup |n|.

n 10. Пусть X, Y — банаховы пространства, A : X Y — ограниченный линейный оператор. Всегда ли равенства а) x 1 = Ax ; б) x 2 = x + Ax задают в X норму Будет ли X в этой норме банаховым пространством 11. Пусть H — гильбертово пространство, An L(X,Y ) и Anx Ax на всех элементах x L, где L — линейное подпространство, всюду плотное в X. Следует ли отсюда, что Anx Ax на всех x X 12. Пусть E1 и E2 — банаховы пространства. Пусть последовательность {An} L(E1,E2) такова, что для любого x Eпоследовательность {Anx} фундаментальна в E2. Доказать, что существует A L(E1,E2) такой, что Ax = lim Anx для n любого x E1. Доказать, что A lim An. Можно ли n последнее неравенство заменить равенством 13. Пусть X, Y — банаховы пространства, An L(X,Y ), n N;

Anx Ax на любом элементе x X. Доказать, что если xn x, то Anxn Ax.

14. Пусть L1,L2 — замкнутые линейные подпространства гильбертова пространства, P1,P2 — ортогональные проекторы соответственно на L1,L2, (L1,L2) = P1 - P2. Доказать, что а) 1;

б) < 1 L1 и L2 имеют одинаковую размерность.

15. Пусть Pt, t [0,1] — однопараметрическое семейство проекторов в гильбертовом пространстве, непрерывно (в смысле нормы оператора) зависящих от параметра t. Доказать, что все Pt имеют одинаковый ранг (т.е. размерность образа).

16. Пусть E1, E2 — нормированные пространства, причем dim E2 <. Пусть A : E1 E2 — линейное отображение.

Доказать, что A непрерывно тогда и только тогда, когда Ker A замкнуто. Верно ли это утверждение в случае dim E2 = 17. Пусть E — линейное пространство, f — ненулевой линейный функционал на E. Доказать, что существует x E такой, что E = Ker f [x].

18. Пусть E — линейное пространство, f : E R — функционал, удовлетворяющий свойствам:

а) f(x) 0 для всех x E;

б) f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

в) f(x) = ||f(x) для всех x E, R;

г) множество {x E : f(x) 1} выпукло.

Доказать, что f является нормой в пространстве E.

19. Пусть E1 и E2 — банаховы пространства, множество A L(E1,E2). Доказать, что множество A равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое, что A M для всех A A.

20. Пусть оператор I : l1 l2 реализует естественное вложение l1 в l2. Доказать, что I L(l1,l2), но не имеет ограниченного обратного. Является ли пространство l1 с l2-нормой банаховым 21. Пусть оператор I : L2[0,1] L1[0,1] реализует естественное вложение L2[0,1] в L1[0,1]. Доказать, что I L(L2[0,1],L1[0,1]), но не имеет ограниченного обратного. Является ли пространство L2[0,1] с L1[0,1]-нормой банаховым 22. Доказать, что последовательность операторов {An}, An L(C[0,1]), (Anf)(x) = f(x1+ n ) поточечно сходится к I. Верно ли, что An сходится к I по операторной норме 23. В пространстве l2 для элемента x = (x1,x2,...) l2 определим последовательности операторов:

x xAnx =,,... ;

n n 0,0, Bnx =...,0,xn+1,xn+2,..., n N.

n Являются ли эти последовательности сходящимися а) поточечно; б) по операторной норме 24. Рассмотрим оператор A : C[0,1] C[0,1] t (Ax)(t) = esx(s) ds и последовательность операторов An : C[0,1] C[0,1] n t sk (Anx)(t) = x(s) ds, n N.

k! k=Сходится ли последовательность An к A Каков характер сходимости 25. Доказать, что если x l2 (x1y1,x2y2,...) l1, то y l2.

26. Доказать, что а) тригонометрическая система не является базисом в пространстве CP [-,];

б) система {xk} не является базисом в L2[0,1].

k=27. Назовём операторной экспонентой eA оператор вида: eA = Ak = (A0 = I — тождественный оператор).

k=0 k! Доказать, что если X — банахово пространство, A L(X), то оператор eA L(X), eA e A. Чему равно eI 28. Пусть X — банахово пространство, A L(X). Доказать, что ряд Ak сходится в L(X) тогда и только тогда, когда для k=некоторого натурального k выполняется неравенство Ak < 1.

29. Пусть An — оператор кусочно-линейной интерполяции в C[a,b] по n равноотстоящим узлам. Исследовать последовательность {An} на сходимость (по норме и поточечную).

30. Пусть оператор U определён всюду в комплексном гильбертовом пространстве H и отображает его на все H. Он называется унитарным, если для любых x,y H выполняется равенство (Ux,Uy) = (x,y). Доказать, что а) унитарный оператор линеен и ограничен;

б) унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен;

в) произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор.

7. Обратный оператор, спектр, резольвента 1. Пусть E — банахово пространство, A L(E). Доказать, что (An) = {n| (A)}.

2. Пусть X — линейное пространство, A : X X — линейный оператор, удовлетворяющий при некоторых k R соотношению I + 1A + 2A2 +... + nAn = ( — нулевой, I — тождественный оператор). Доказать, что A-1 существует.

3. Доказать, что оператор A : C1[0,1] C[0,1] dx (Ax)(t) = dt имеет правый, но не имеет левого обратного.

4. В пространстве C1[0,1] рассмотрим подпространство L = = {x(t) C1[0,1] : x(0) = 0} и оператор A : L C[0,1]:

dx (Ax)(t) = + a(t)x(t); a(t) C[0,1].

dt Доказать, что A имеет ограниченный обратный.

5. Рассмотрим оператор A : C[0,1] C[0,1] t (Ax)(t) = x(s) ds.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.