WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оренбургский государственный университет Кафедра Математических методов и моделей в экономике Г.Г. АРАЛБАЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Рекомендовано к изданию Редакционно – издательским советом Оренбургского государственного университета Оренбург 2002 ББК 22.17я7 А 79 УДК519.676(07) Введение Настоящие методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения экономических специальностей высших учебных заведений.

Методические указания содержат перечень основных тем курса теории вероятностей и математической статистики, общие рекомендации по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцы решений задач, контрольные задания и вопросы для самопроверки.

2 1 Общие методические указания Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. После изучения соответствующей темы, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы (включать в контрольную работу ответы на вопросы не требуется).

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1) контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке указывается фамилия, имя, отчество студента; полный шифр; дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента; фамилия проверяющего преподавателя;

2) контрольные задачи располагают в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи полностью переписать условие;

3) решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул;

4) контрольная работа отсылается в учебное заведение;

5) получив из учебного заведения прорецензированную работу, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование;

6) в межсессионной период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти собеседование по зачтенной контрольной работе;

7) студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

2 Перечень основных тем по теории вероятностей и математической статистике 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики. Вероятность события. Относительная частота событий. Полная группа событий Классическое определение вероятностей.

2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий.

Теорема о вероятности суммы двух совместных событий.

3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

4. Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона. Нормальное распределение.

5. Случайные величины и их числовые характеристики. Предельные теоремы. Система случайных величин.

6. Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Понятие интервальной оценки. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

7. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения. Проверка гипотез о равенстве средних и о равенстве дисперсий двух нормальных распределений. Критерий согласия.

8. Парный корреляционный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание парного коэффициента корреляции.

9. Регрессионный анализ. Оценка парной линейной регрессии. Проверка значимости и интервальное оценивание параметров уравнения регрессии.

3 Примеры решения задач Тема 1. Вероятность события. Относительная частота со- бытий. Полная группа событий. Классическое определение вероятностей Задача 1.

Известно, что среди 10 изделий верхней одежды имеются 3 не прошедших контроль качества. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 изделий обнаружить среди них 2 не прошедших контроль.

Решение. Перенумеруем все 10 изделий. Возможными случаями будем считать соединения по 5 изделий из 10, различающиеся только номерами, входящих в каждое соединение. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 10 элементов по 5.

m n М CM CN-m -M Р (А) = =.

n CN N 10! 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5! N=C10 = = = 252;

5!(10 - 5!) 1* 2 * 3 * 4 * 5 * 5! Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что не прошедших контроль из 3 можно извлечь С3 = 3 способами.

Кроме того, 3 не прошедших контроль изделия можно выбрать из 7 про7 * 6 *шедших контроль C = = 35 различными способами.

1* 2 *Каждый вариант из двух не прошедших контроль комбинируется с каждым вариантом из трех прошедших контроль, следовательно, число возможных случаев N, благоприятствующих событию А, вероятность которо2 C * C го требуется найти, равно М= = 3*35=70. Отсюда, Р(А)= 3 70 =.

252 Задача 2. Пусть имеется партия, состоящая из 100 изделий обуви, среди которых возможны 2 бракованные пары обуви. Определить вероятность из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного.

Решение.

Воспользуемся формулой:

m n CMCN-m -M Р (А)= n CN Пусть событие А- из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного.

Тогда, 10 C98C Р (А)= = C98! 98!*10!*90! 98*97 *95*94 *93*90*89 *88!*90! 10!*88! = = = = 100! 10!*88!*100! 88!*100 *99 *97 *96 *95*94 *93*92 *91*90! 10!*90! 90 *= 0.81.



100 *Тема 2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий Задача 3. Система контроля изделий состоит из двух независимых проверок, выполняемых одновременно. По параметрам изделие считается годным, если оно прошло обе проверки. Вероятность изготовления годной детали по первому параметру равна 0.9, по второму - 0.95.

Найти вероятность проверки изделия.

Решение.

Если на вход системы контроля поступило изделие, то возможны элементарные исходы:

= {0,0}, = {0,1}, = {1,0}, = {1,1}, где 0 означает, что из1 2 3 делие признано бракованным, 1 - годным.

Испытания независимы, поэтому получаем следующие значения вероятностей элементарных исходов.

Р = Р( )= (1-q )*(1-q ) = 0.1*0.05= 0.1 1 1 P =P( )= 0.1*0.95= 0.095;

2 P =P ( )= 0.9*0.95= 0.855;

3 Р =Р( )=0,9*0,05=0,045;

4 Сумма вероятностей элементарных событий для полной группы событий должна быть равна 1.

Р() = = 0.05+ 0.095 + 0.045 +0.085= 1.

Рi i =Тема3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Формула Байеса Задача 4. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех рабочих линиях. Производительность первой линии 38% от всего общего производства, на второй - 35%, на третьей - 27%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95;98% и 97%.

Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано соответственно на первой, второй и третьей линиях.

Решение.

Обозначим через А, А, А события, состоящие в том, что наугад взятое 1 2 изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(А ) = 0.38; Р(А ) = 0.35; Р(А ) = 0.27 и эти 1 2 события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы, т.е. Р(А ) + Р(А )+ Р(А ) = 1.

1 2 Если через В обозначим событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным, то согласно условию задачи Р(В\ А ) = 0.05, Р(В\ (А )= 0.02, ; Р(В\А ) = 0.1 2 Используем формулу полной вероятности Р(В) = ) * Р(В\ (Аi ) P(Ai i -Р(В) = Р(А1) * Р(В\ А1) + Р(А )* Р(В\ (А )+ Р(А3 )* Р(В\А ) = 2 2 =0.38*0.05 + 0.35*0.02 + 0.27*0.03 =0.Р(В)= 0.0341 означает, что вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным равна 3.41%. Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие окажется изготовленным на первой, второй или третьей линии равны соответственно 0.38; 0.35; 0.27.

Допустим, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим апостериорные вероятности того что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. Здесь применяют формулу Байеса:

Р(АК ) * Р(В / AК ) Р(А /В) = K n * P(B / AI ) ) P(AI I =0.05*0.т.е. Р(А1/В)= = 0.5572;

0.0.02 * 0.Р(А /В) = = 0.2053;

0.0.03* 0.Р(А3 /В) = = 0.2375.

0.Таким образом, вероятность того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие, изготовлено первой, второй, третьей линией равны соответственно 0.5572; 0.2053; 0.2375.

Тема 4 Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона Задача 5. Вероятность изготовления качественного изделия равна 0,9. Какова вероятность того, что, из 4 взятых наугад изделий не менее 3 окажутся качественными Решение.

Пусть событие состоит в том, что А - не менее 3-х изделий окажутся качественными; включает в себя следующие события:

А1 - из 4 изделий 3 качественные;

А - из 4 изделий 4 качественные;

По теореме сложения вероятностей Р (А)=Р(А1) +Р(А ) Вероятности Р(А1) и Р(А ) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Если проводится n независимых испытаний, вероятность наступления которых постоянна и равна р. Вероятность не наступления этого события тогда q=1-p, а вероятность того, что событие А в n испытаниях появится m раз.

m m n-m P (m) = C p q n n 3 3 4-P(А1) = P (3) = C p q = 4 4! = * 0.9 * (1-0.9)1 = 0.2916;

3!(4 - 3)! Искомая вероятность равна Р(А) = 1,2916 + 0,6561= 0,9477;

Задача 6. Вероятность изготовления качественных изделий равна 0.Найти вероятность того, что в партии из 200 изделий будут качественными.

Решение. Применить формулу Бернулли в данной задаче затруднительно, так как надо будет возводить в 200- ую степень число 0.95.

В таких случаях применяется приближенная формула - локальная теорема Лапласа:

P (m)= * (x), n n * p * q x1 m - n * p где (x) = * e и x =.

2 * n * p * q Из условия задачи р = 0,9; q = 1-р = 0,1; n = 200; m=170.

170 - 200 * 0.Тогда, Х = = - 2,200 * 0.9 * 0. Из таблицы 1 приложений находим (- 2,357) = ( 2,357) = 0,1* 0.Искомая вероятность равна P (170) 0.200 * 0.9 * 0. Задача 7.

Среди изделий одежды 0,02% имеющих дефекты. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 изделий будет обнаружено 5 с дефектом Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности Р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения P (m). Поэтому при малых значениях Р для вычисления n P (m) применяют асимптотическую формулу Пуассона:

n m P (m) = * e-, n ! где е = 2,7182; = n*p.





Эта формула используется при < = Таким образом Р = 0,0002 ; n= 10000; m=5;

25 P (10) = * e-2 = = 0.135 = 0.5! Задача 8. Вероятность изготовления качественных изделий = 90%.

Найти вероятность того, что из 500 изделий качественных будет от 400 до 440.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна Р, то вероятность P ( m m m2 ) того, что собыn тие А в таких испытаниях наступит не менее m раз и не более m2 раз определяется по интегральной теореме Лапласа.

x1 k1 - n * p k2 - n * p P ( k k k ), =, n 1 e dx, где = 2 * n * p * q n * p * q x t Функция (x) = e dt называется функцией Лапласа. В приложени2 * ях (таблица 1) даны значения этой функции для 0 x 5. При х >5 функция (x) = 0,5. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа (-x) = -(x). Используя функцию Лапласа, имеем:

P ( k k k ) ( )- ().

n 1 По условию задачи n = 500; р = 0,9; q=0.1; k = 400; k = 440.

1 По приведенным выше формулам находим и :

400 - 500 * 0.9 440 - 500 *0. = -7.45 ; = -1.49.

500* 0.9 * 0.1 500*0.9 *0.Тогда Р500(400 k 440) (-1.49)- (- 7.45) = -(1.49)+ (7.45) = = - 0,4319 + 0,5 = 0,0681.

Вопросы для самопроверки по темам 1-1. Что называется событием Приведите примеры событий; невозможных событий.

2. Какие события называются несовместимыми Совместимыми Противоположными 3. Что называется относительной частотой события 4. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

5. Что называется условной вероятностью события 6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и не- зависимых событий.

7. Напишите формулу полной вероятности.

8. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях 9. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется 10. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

11. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется Тема 5. Случайные величины и их числовые характеристики Задача 9.

Составить закон распределения вероятностей числа появления события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.6.

Решение.

Обозначим через А1 -первое событие, А2 – второе событие, А3 – третье событие. События А1, А2, А3 независимы.

Пусть А=0 означает не появление ни одного из рассматриваемых событий.

Р(А=0)=Р(1)*Р(2)*Р(3)=(1-0.6)(1-0.6)(1-0.6)=0.064.

А=1-означает появление одного из рассматриваемых событий.

Р(А=1)=Р(А1)*Р(2)*Р(3)+Р(1)*Р(А2)*Р(3)+Р(1)*Р(2)*Р(А3)= =0.6*(1-0.6)(1-0.6)3=0.288 аналогично для А2 и А3.

Р(А=2)=Р(А1)*Р(А2)*Р(3)+Р(А1)*Р(2)*Р(А3)+Р(1)*Р(А2)*Р(А3)= =0.6*0.6*(1-0.6)3=0.432;

Р(А=3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0.63=0.216.

Таким образом, получили закон распределения вероятностей:

Таблица Х 0 1 2 Р 0.064 0.288 0.432 0.Задача 10.

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Таблица Х 40 42 41 Р 0.1 0.3 0.2 0.Найти:1) математическое ожидание М(Х);

2)дисперсию D(Х);

3) среднее квадратическое отклонение (х).

Решение. 1) Если закон распределения случайной величины задан значениями Х х1 х2... хn Р р1 р2... рn,, где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле:

n М(Х)=х1*р1+х2*р2+...+хn*рn= х1*р1.

i =Тогда М(Х)= 40*0.1+42*0.3+41*0.2+44*0.4= 42.4.

2) Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

n D(Х)=М[Х-M(X)]2= [x1-M(X)]2*p1.

i=Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем D(Х)=(40-42.4)2*0.1+(42-42.4)2*0.3+(41-42.4)2*0.2+(44-42.4)2*0.4= =2.42*0.1+0.42*0.3+1.42*0.2+1.62*0.4=2.04.

Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), т. е.

D(X)=M(X2)-[M(X)]2.

Для вычисления М(Х2) составим следующий закон распределения величины Х2:

Таблица Х2 402 422 412 Р 0.1 0.3 0.2 0.Тогда М(Х2)=402*0.1+422*0.3+412*0.2+442*0.4=160+529.2+336.2+774.4= = 1799.8 и D(X)=1799.8-42.42=2.04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии D(X), то есть (Х)= D(X).

Из этой формулы имеем: = 1.43.

2.Задача Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения 0 при х<0, F(x)= x3 при 0х1, 1 при х>0.

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X).

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F(X), то есть f(x) = F’(x).

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

0 при х<0, f(x) = 3х2 при 0х1, 0 при х>1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой:

М(Х)= х*f(x)*dx.

Так как функция f(x) при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем 1 3x4 М(Х)=х*f(x)*dx =x*3x2*dx = 0 = 4.

0 3) Дисперсию D(X) определим по формуле:

D(X) = [x-M(X)]2*f(x)dx.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.