WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 ||

0 n n+1.6. Квадратурные формулы с весом Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде b ( fY )= x)( f (x)dx, (20) a x)( - некоторая заданная функция, называемая весом. Обычно требуют, где b b )( dxx > 0. В разложении на чтобы интеграл абсолютно сходился и )( dxx a a )( = (xx ) f (x) xf )( множители функции функцию выбирают так, чтобы она [ ba; ] обладала достаточно высоким порядком гладкости на, при этом весовая x)( функция должна содержать все «особенности» подинтегральной функции x)( и быть по возможности наиболее простой.

В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид b n )( fx (x)dx Rn( f ), (21) A f (xii ) += i=a где b n)( xA )( lii (x)dx, i == 0,,n.

a Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби )( (xx -= a) (x - b) -,, >, позволяющей учитывать степенные [ ba; ] особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к [- ;11] отрезку и построим интерполяционную квадратурную формулу n 1( ) (1+- xx ) = f (x)dx A f ( ) + Rn( f ), (22) ii i=-),( = 0(,, ni ) xP )( где - корни многочлена Якоби.

i n+ Многочлен Якоби определяется формулой n -1( )n d ),( xP )( = 1( ) (1+- xx )-- [(1- ) + (1+ xx ) +nn ]. (23) n n!2n dxn [- ;11] Многочлены Якоби (23) ортогональны на отрезке с весом )( (1 -= xx ) (1 + x) x)( и для любого многочлена степени меньшей ( n-1) n )( (x)dx = 0.

(xx )Pn,( ) -С помощью теоремы 3 получаем, что алгебраический порядок точности n +квадратурной формулы (22) равен.

Квадратурная формула (22) содержит два параметра и, из нее могут быть получены специализированные квадратурные формулы, соответствующие распространенным видам степенных особенностей (см. [3]). В справочниках приведены квадратурные формулы Гаусса с другими весами.

1.7. Локально-интерполяционные (составные) квадратурные формулы Для повышения точности квадратурных формул используют прием, идея которого восходит к римановым интегральным суммам. Отрезок интегрирования [ ba; ] разбивают на некоторое число частичных отрезков, на каждом из которых применяют квадратурную формулу с небольшим числом узлов. В качестве параметра квадратурного процесса теперь используют число частичных отрезков.

[ ba; ] N Разобьем отрезок на частичных отрезков точками = xa < x10 < < x < x < x < < xN = b. Для вычисления интеграла на 1 jj j+- xx x ( =,1, Nj ) каждом частичном отрезке применим -1 jj n + 1 узлами i j)( [xx ; x ] интерполяционную квадратурную формулу с и j -1 jj Ai j)( = 0(,, ni ) коэффициентами. Получим квадратурную формулу j b n N j j)( xf )( dx (xi( j))+= R ( f ). (24) A f N )( i j=1 i=a l+1( ) = maxnl Cf Пусть и, тогда для погрешности квадратурной j ;( ba ) 1 Nj формулы (24) имеет место оценка n +1( ) j max (xf ) N xx x n +-1 jj j fR )( - xx )(.

N )( jj -n +1( )! j=j Квадратурная формула (24) называется локально-интерполяционной или составной.

[ ba; ] Наиболее часто формула (24) используется в случае, когда отрезок - ab h = разбит на частичные отрезки равной длины и на каждом частичном N n +отрезке используется квадратурная формула Ньютона-Котеса с узлами. Из - ab ax += jh h = (, = 0,,1, Nj ) = nn (24) получаем при, j и j N h j)( xx += i = 1(,, Nj, i = 0,, n) i j-1 локально-интерполяционную n квадратурную формулу ( fY ) = Y ( f )+ R( N,n)( f ) (, 25),( nN ) где N n - ab n)( ( ( fY ) = fB (xk j)) (. 26),( nN ) k N j=1 k= Сумма абсолютных величин коэффициентов формулы (26) N n n - ab n)( ( bB -= a)( Bkn) k N j=1 k=0 k=N не зависит от числа частичных отрезков.

Оценка погрешности квадратурной формулы (25) имеет вид n+1( ) n+max (xf ) - ab )( xa b fR )( (. 27),( nN ) n+n +1( )! N Из теоремы 2 и (27) следует, что квадратурный процесс, порожденный локально-интерполяционной квадратурной формулой (25), является сходящимся n+1( ) C N при (со скоростью на функциях из класса ).

n+1 ;( ba ) N Приведем простейшие составные квадратурные формулы, часто применяемые в практике.

Правило трапеций - ab,1 xn == a + kh, h =, = 0,, Nk, k N b N -- ab 1 xf )( dx = f (xk ) ++ f x )( + R ( f ).

NN,( 1) 2 xf 0)( N k=a - ab )( 2( ) Cf R max (xf ).

Если, то ;( ba ) N,( 1) xa b 12N Правило Симпсона (парабол) - ab,2 xn == a + kh, h = = 0,,,2Nk, k 2N b N -1 N -- ab xf )( dx = xf )( 2 f (x20 ) ++ 4 f (x2kk ) + f (x2N ) + + 6N k=1 k=a + ( fR ).

2( N,2) - ab )( 4( ) 4( ) R max (xf ).

Cf Если, то 2( N,2) ;( ba ) xa b 2880N Замечание 5. Алгоритмы численного интегрирования, построенные на основе локально-интерполяционных квадратурных формул (25) имеют существенный недостаток – они насыщаемые. Насыщаемость проявляется в том, что асимптотическое представление погрешности формулы (25) имеет главный член. Отсюда следует неулучшаемость оценки погрешности, сколь бы ни была f гладкой функция.

f В зависимости от гладкости функции можно выписать любое заданное число членов асимптотического ряда, в который разлагается погрешность ( fR ) Cf. Рассмотрим конкретный пример – правило трапеций. Если, то,( nN ) ;( ba ) ( fR ) для погрешности квадратурной формулы имеет место представление N,( 1) cR h += O h42 ),( (28) N,( 1) b - ab -= fc x)( dx h = h где и 1 не зависит от. Из (28) и следует N a насыщаемость правила трапеций. Классом насыщения в данном случае является C2 ;( ba ) пространство.

Имеются простые способы преодоления дефекта локально интерполяционных квадратурных формул – их насыщаемости. Все они основаны на простом соображении, что у соответствующей линейной комбинации двух значений составной квадратурной формулы с различными, но кратными шагами, главный член погрешности исключается. Например, для правила трапеций в силу RR =- O(4 h4 ) (28), и мы получаем повышение порядка точности, если,( 1) (2NN,1) N возьмем линейную комбинацию значений формулы для числа узлов и 2N соответственно с коэффициентами 1 и – 4.



Пусть погрешность локально-интерполяционной квадратурной формулы (25) представима в виде +l chR += O hmm ),(,( nN ) - ab h = c h где и константа не зависит от. Тогда N +l ( fY ) Y ( f )+= ch + O hmm ),(,( nN ) m h +lm ( fY ) Y ( f )+= c + hO ),( 2(,nN ) m h mm +l ( fY ) Y( N,n)( f ) =- c 2( 1) +- (hO ).

2(,nN ) Отсюда получаем m ( fY )-Y( N,n)( f ) h 2(,nN ) +lm c = + hO )( m 22 - +lm hO )( и, следовательно, с точностью до имеем ( fY )-Y( N,n)( f ) 2(,nN ) ( fY ) Y ( f ) - (. 29) 2(,nN ) 2m -c Если, то 2m 2(,nN )( fY )-Y( N,n)( f ) +lm ( fY ) = + hO ).( (30) 2m -Вычисление приближенной оценки погрешности по формуле (29) называется правилом Рунге.

Число 2m 2(,nN )( fY )-Y( N,n)( f ) * Y = 31( ) 2m - в (30) называется уточненным (экстраполированным) по Ричардсону +lm ( fY ) hO )( приближенным значением интеграла (с погрешностью ).

Замечание 6. Используя этот прием, можно уничтожить и следующие члены асимптотического разложения погрешности квадратурной формулы.

Однако целесообразнее применять квадратурные формулы, сразу приводящие к ненасыщаемым алгоритмам, например, составные формулыГаусса. Отметим, что составные квадратурные формулы, основанные на формулах Гаусса с достаточно большим числом узлов, дают хорошие результаты как для очень гладких функций, так и для функций невыской гладкости.

Замечание 7. Каждая квадратурная формула рассчитывается на определенную гладкость подинтегральной функции. Например, для правила ( fR ) = O 4, если Cf Симпсона погрешность. Если квадратурная 2( N,2) ;( ba ) N m формула имеет алгебраический порядок точности, то при ее применении можно рассчитывать получить «малую погрешность» только в том случае, когда f m имеет непрерывные производные до порядка, не меньшего. В противном случае погрешность вычисления интеграла может оказаться большой. Для f увеличения порядка гладкости подинтегральную функцию представляют в виде двух слагаемых xf )( = f (x) + f21 (x), (32) xf )( xf )( которые выбирают так, чтобы: содержала все особенности или их b xf )( dx xf )( главную часть и 1 вычислялся точно; должна иметь непрерывные a b xf )( dx m производные порядка, большего, для того, чтобы интеграл 2 можно a было вычислить с достаточной точностью с помощью выбранной квадратурной формулы. Приемы разложения (32) для конкретных классов подинтегральных функций изложены в [3].

b xf )( dx = 10-1.8. Задание. Вычислить интеграл с точностью, a используя правило Симпсона и составную квадратурную формулу Гаусса с пятью узлами. Оценить погрешность используемых квадратурных формул и определить число частичных отрезков разбиения, необходимое для достижения заданной точности вычисления интеграла.

b xf )( dx Замечание 8. Обычно для вычисления интеграла с точностью a N используют итерационный процесс с последовательным удвоением числа частичных отрезков разбиения.

+l chR += O hmm )( Если, то условием останова процесса является,( nN ) выполнение неравенства ( fY )-Y(2N,n)( f ),( nN ), m -при этом интеграл вычисляется по формуле (31).

Варианты заданий № № a xf )( xf )( b a, b варианта варианта 1 0 1 21 0,cos xx 2 0 1 22 0,sin xx 3 0 1 23 0,exp( +- xx +1) 4 1 2 24 0,exp( - xx ) 5 0 25 0,- 01,5sin2 x a = sin x 6 1 2 26 0,sin ln xx b = x 7 0 1 27 0,xx exp(-x) 8 0 28 0,+ cos( xx ) 9 0 29 0,x 1( + sin x) 10 0 30 1,1+ xcosx № № a xf )( xf )( b a, b варианта варианта 11 0 31 0,1( + cos3 x) 12 0 32 0,1( + sin3 x) 13 0 1 33 0,exp(-xx ) 14 0 1 34 0,sin(3 + xx ) 15 0 1 35 0,cos x a = 0,exp( x) 2( + x) b =,1 16 0 1 36 0,x exp(xx ) 17 2 3 37 0,+ ln xx 18 2 3 38 0,xx + ln x 19 2 3 39 0,sin ln xx 20 1 2 40 1,cos 1+ ln xx Приложение. Для выполнения задания можно использовать следующие процедуры (на языке Паскаль):

1. Процедура simps, реализующая алгоритм правила Симпсона (парабол):

Procedure simps(a,b:real; var n:longint; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции.} var i :longint;

h,x :real;

begin h:=(b-a)/n; y:=0; x:=a;

for i:=1 to n do begin y:=y+f(x)+4*f(x+0.5*h)+f(x+h); x:=x+h end;

y:=y*h/ end;

2. Процедура gauss, реализующая алгоритм составной формулы Гаусса с пятью узлами:

Procedure gauss(a,b:real; var n:word; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f – имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции;

vec – одномерный массив (type vec=array[1..5]of real).} var i,j :word;

h,x,x1 :real;

ag,xg :vec;

z :real;

begin ag[1]:=0.2369268850; xg[1]:=-0.9061798459;

ag[2]:=0.4786286705; xg[2]:=-0.5384693101;

ag[3]:=0.5688888889; xg[3]:=0.0;





ag[4]:=ag[2]; xg[4]:=-xg[2];

ag[5]:=ag[1]; xg[5]:=-xg[1];

h:=(b-a)/n; z:=0; x1:=a+0.5*h;

for j:=1 to n do begin for i:=1 to 5 do begin x:=x1+0.5*h*xg[I]; z:=z+ag[i]*f(x); end;

x1:=x1+h end;

y:=z*0.5*h end;

II. Численное дифференцирование 2.1. Постановка задачи. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа [ ba; ] Пусть на отрезке R определена достаточно гладкая функция m ( Cf ) xf )( [ax ;b] и требуется вычислить в точке ее производную ;( ba ) k )( xf )( = 1(,, mk ) f. Если функция задана таблично или имеет сложное аналитическое выражение, то непосредственное дифференцирование невозможно.

Поэтому строят приближенные формулычисленного дифференцирования.

Один из универсальных способов конструирования формул численного f дифференцирования состоит в том, что по функции и узлам [ax b] (; i = 0,, n) строят интерполяционный многочлен Лагранжа (6) i (xL x0,; xnn ;, f ) и полагают k )( xf )( L(k )(x; x0,, xn; f ), k = 1,,m. (33) n Разность k )( (xr f ) f (; x) -= L(nk )(x; x0,, xn ) (34),( nk ) называется погрешностью формулы численного дифференцирования (33).

k Для получения оценок погрешности формулы (33) для заданного k )( xf )( существования производной недостаточно. Обычно требуется +lk )( Cf l выполнение условия,.

;( ba ) Замечание 9. Для конструирования формул численного дифференцирования можно также использовать интерполяционные сплайны. В xf )( xf )( вычислительной практике для вычисления и обычно используют xS )( интерполяционный естественный кубический сплайн :

j)( j)( xf )( (S3 (x; x0,, xn; f )), j = 1,2.

Приведем простейшие формулы численного дифференцирования.

=,1 nk = 1) xf + h)( - f (x) xf )( = + (xr1( 1, ) f ).;

h h 2( ) (xr ; f ) -= ),( ; x + (xf h).

Cf Если, то 1( 1, ) ;( xx +h) =,1 nk = 2) xf + h)( - f (x - h) xf )( = + (xr1(,2) f ).;

2h h3( ) (xr ; f ) -= ),( - h; x + h).

(xf Cf Если, то 1(,2) hx ;( x+- h) =,2 nk = 3) xf + h)( - 2 f (x) + f (x - h) xf )( = + (xr f ).;

2(,2) hh2 4( ) 4( ) (xr ; f ) -= ),( - h; x + h).

(xf Cf Если, то 2( 2, ) hx ;( x+- h) Представления погрешности (34) формулы численного дифференцирования f (33), выражаемые через производные функции, удается найти только в частных случаях. Общая оценка погрешности формулы (33) определяется следующей теоремой.

xx += ih h > 0, i = 0,,n (, x00 = a, xni = b) Теорема 4. Пусть, m+1( ) nm,0 Cf. Тогда существуют такие константы, зависящие ;( ba ),, nmk mk,, n h f толькоот и независящие от шага и функции, что k )( (k ) (xr f ) f (; ) -= Lx (x; x0,, xn ),( nk ) n 1-+ km m+1( ) max fh (x), (35) mk,, n xa b (xL xon,;, xn; f ) где - интерполяционный многочлен Лагранжа (6) и 0 mk n.

Замечание 10. Оценка (35) с постоянными сильно завышена и редко,, nmk используется на практике. Однако оценка (35) полезна тем, что она устанавливает [ ba; ] h скорость убывания погрешности относительно шага на всем отрезке при mk,, n 0 mk n h фиксированных значениях параметров ( ). Шаг является основным параметром, которым распоряжается вычислитель.

2.2. Сходящиеся формулы численного дифференцирования f Пусть гладкая на некотором интервале D вещественной прямой R k )( ( Cf ) xf ),( x D функция и требуется вычислить производную.

D xx += jh h > 0,, x D, j = 0,±1,±2, Построим сетку Рассмотрим формулу ji численного дифференцирования s k )( xf )( fb x + jh),( (36) hk -= rj j bj - jr s, r + s k где R,.

Разность s )( (kk ) (fr x)( ) f (x) -= fb x + jh)( (37) hk -= rj j называется погрешностью формулы численного дифференцирования (36).

Формула численного дифференцирования (36) называется сходящейся, если k )( (fr x)( ) 0 h 0 Cf (в любой точке гладкости при для любой функции D f функции ).

k )( p xf )( h Будем говорить, что формула (36) аппроксимирует с порядком )( pk p (fr x)( )= O(h ) h (имеет - ый порядок точности), если при.

Функцию комплексного переменного С вида s j )( = b j -= rj назовем характеристической функцией (символом) формулы численного дифференцирования (36).

Теорема 5. Формула численного дифференцирования (36) является сходящейся тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция )( представима в виде -ks -ks j = 1. (38) )( ( -= 1)k, j j -= rj -= rj Замечание 11. В представлении (38) характеристической функции сходящейся формулы численного дифференцирования множитель -ks -+ ksr j -rj = j -rj -= rj j=+ - ksr имеет корней; они называются характеристическими числами сходящейся формулычисленного дифференцирования (характеристические числа отличны от 1).

p Для построения формулы численного дифференцирования, имеющей - ый порядок точности, можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Теорема 6. Для того чтобы формула численного дифференцирования (36) k )( p xf )( h аппроксимировала с порядком, необходимо и достаточно, чтобы ее jb = -r,( -r + 1,, s) коэффициенты являлись решением системы линейных j уравнений s s s s,0 jbb == 0,, jk -1b = 0, jkb = k!, j jj j =- rj -= rj =- rj -= rj 39( ) s s k ++ pk -bj,0, j b == 0.

j j =- rj -= rj + pk + sr + Система (39) содержит уравнений относительно bb,,,bs-11,bs неизвестных.

-- rr + Из теоремы 6 следует, что для построения искомой формулы численного r s дифференцирования (36) нужно найти решение системы (39). Выберем и так, + sr + 1 = k + p чтобы. В этом случае определитель системы (39) есть определитель Вандермонда и отличен от нуля:

Pages:     | 1 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.