WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования Российской Федерации Воронежский государственный университет Математический факультет Кафедра математического моделирования Численное интегрирование и дифференцирование Учебно-методическое пособие по курсу «Методы вычислений» для студентов IV-V курсов всех форм обучения Составитель В.П.Трофимов Воронеж 2002 г.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену.

Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6].

Литература 1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб.

пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.

2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб.

пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:

Высшая школа, 1994. – 416 с.

3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с.

4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с.

5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с.

6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II / Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж.

гос. ун-т, 1988. – 19 с.

Обозначения R - множество вещественных чисел;

N – множество натуральных чисел;

С – множество комплексных чисел;

[ ba; ] C - банахово пространство функций непрерывных на R;

;( ba ) k )( C [ ba; ] - пространство функций, имеющих на непрерывные ;( ba ) k производные до порядка включительно;

- пространство алгебраических многочленов;

m m - пространство алгебраических многочленов степени не выше.

I. Численное интегрирование 1.1. Постановка задачи xf )( [ ba; ] Пусть функция определена и непрерывна на отрезке R ( Cf ), и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана) ;( ba ) b ( fY )= f x)( dx. ( ) a Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой.

Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница b b ( fY ) f x)( dx == F(x) a, a xF )( - первообразная для на.

xf )( [ ba; ] где На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой НьютонаЛейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не dx выражаются интегралы и exp(- )dxx. Кроме того, функция xf )( может ln x быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования.

1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс [ ba; ] < xx < < xn Выберем на отрезке точки. Формула численного интегрирования b n ( fY ) f x)( dx = ( f ) (2) A f (x ) = Yni i i=a Ai = 0(,, ni ) называется квадратурной. Величины R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы;

[ax b] (; i = 0,, n) - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, i чтобы b n == b - a (. 3) i dxA i=a Разность b n ( fR ) Y( f )-= Ynn (f ) = f x)( dx A f (xi ) (4) i i=a называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).

( fR ) Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в n нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах ( ( fR ) = 0 xf )( = const [ax ;b] ), если для. Будем говорить, что n m ( fR ) = квадратурная формула точна на многочленах степени, если для n f m m m любой функции, где - пространство многочленов степени не выше.

xi n + Квадратурная формула (2) содержит параметров: и iA = 0(,, n) xi n)( n. Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты i n)( iA = 0(,, n), то получим квадратурный процесс:

i b n n)( n)( xf )( dx Rn( f ). (5) A f (xi ) += i i=a Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой ( fR ) Cf n функции погрешность квадратурной формулы при.

;( ba ) n Rf ( f ) Это означает, что последовательность функционалов погрешности n Cf сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).

;( ba ) ( fY ) ( fY ) ( fR ) Замечание 1.,, являются линейными непрерывными n n C (ограниченными) функционалами на :

;( ba ) n n n)( n)( = AY bR -= a + Ain bY -= a in,,.

i=0 i=Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов ( Rn - 0 n ) погрешности не может равномерно сходиться к нулю при.

Из теоремыБанаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:

Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

( fR ) n C - 1) при для любой функции f, где n ;( ba ) множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в C ;

;( ba ) n n)( MA n 2) существует константа M > 0 такая, что для всех N.



i i=1.3. Интерполяционная квадратурная формула [ax b] (; i = 0,, n) Пусть заданы узлы квадратурной формулы (2). По i f ix = 0(,, n) подинтегральной функции и узлам построим i интерполяционный многочлен Лагранжа n (xL x0,;, xnn ; f ) = f (xi )li n)( (x), (6) i= x)( n)( n xl )( = = 0(,, ni ) )( = (xx - x0 ) (x - xnn ) где i,.

- xx )( (x) ni Положив b b b n n)( xf )( dx L (x; x0, xnn ; f )dx = f (x ) (x)dx, ii l i=a a a получим интерполяционную квадратурную формулу b n xf )( dx Rn( f ), ( )A f (xii ) += i=a где b n)( x)( dx, i == 0,,n. ( )ii lA a Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8).

Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы ix = 0(,, n) зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной i f функции.

Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах ( (xL x0,; xnn ;, f ) f (x) f n ) n степени, если. Очевидно, что если n + квадратурная формула (2) с узлами имеет алгебраический порядок точности n не ниже, то она является интерполяционной.

Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид b b ( fR ) ( f x)( dx -= L (x; x0,, xnn ; f ) )dx = rn(x; f )dx, n a a (xr f ) = f (; x) - Lnn (x; xo,, xn; f ) где - погрешность интерполяции.

n+1( ) Cf Если, то ;( ba ) n+1( ) max (xf ) xa b (xr ; f ) x)( n n n +1( )! и, следовательно, n+1( ) b max (xf ) xa b ( fR ) )( dxx. (9) n n n +1( )! a Часто оценку (9) заменяют более грубой n+1( ) max (xf ) n+xa b ( fR ) - ab )(. (10) n n +1( )! Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов n)( { [ax b],; i = 0,, n, n = 1,2, } :, необходимо и достаточно, чтобы i n n)( MA = const n для любого N.

i i=f n nk Действительно, для всякого многочлена степени имеем при b ( fR ) rnn (x f )dx = 0;

(xL x0,;, xkk ; f ) f (x) n и, следовательно, при a f для любой функции, где - пространство многочленов, всюду плотное в C. Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1.

;( ba ) n)( { [ax b],; i = 0,, n, n = 1,2, } Для любой таблицы узлов :, i используя формулу (8), получаем b n n n)( n)( lA x)( dx n(b - a), (11) i i i 0 i== a n n)( = max (xl ) где i - константа Лебега.

n xa b i= n)( ix = 0(,, n) Замечание 3. При любом выборе узлов интерполяции i ln n >. Введем имеет место (см. [4], стр. 118) неравенство С.Н.Бернштейна n : CL C(a;b), преобразующий функцию Cf оператор в an ;( b) ;( ba ) ( (xL x0n)(,;, xnn); f ) Ln интерполяционный многочлен Лагранжа. Оператор - n o L = линейный и ограниченный. Нетрудно показать, что. Из неравенства nn С.Н.Бернштейна и теоремы Банаха-Штейнгауса немедленно следует, что для n)( { [ax b],; i = 0,, n, n = 1,2, } любой таблицы узлов интерполяции :

i Cf найдется такая функция, для которой последовательность ;( ba ) ( (xL x0n)(,;, xnn); f ) интерполяционных многочленов неограниченно расходится.

n Замечание 4. Расходимость интерполяционного процесса может вызвать осложнения в задаче вычисления интеграла. При неудачном выборе узлов квадратурный процесс (5), порожденный квадратурной формулой (7)–(8), будет n Ai n)( может неограниченно расти).

расходящимся (сумма i=1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса [ ba; ] Возьмем на отрезке равноотстоящие узлы - ab ax += kh h = (, = 0,, nk ) и построим интерполяционную k n квадратурную формулу (см. (7)-(8)) b n n)( xf )( dx kh) + Rn( f ), A f (a += k k=a где b b n - xx )( dxx j n Akn)( = = dx k = 0,,,n.

- xx )( (x) - xx j=nk jk a a kj Сделав в интеграле замену переменного = ax + th, получим n -kn n -1( ) n)( bA -= a)( jt )( dt =- (b - a)Bkn)(, k = 0,,n.

k nk (! n - k)! j=kj Здесь коэффициенты n -kn n -1( ) Bkn)( = jt )( dt, k =- 0,,n (12) nk (! n - k)! j=kj не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены заранее.

Интерполяционная квадратурная формула с равноотстоящими узлами и n)( ( bA -= a)( Bkn) (k = 0,, n) коэффициентами, вычисленными по формуле k (12), b n n)( xf )( dx (b -= a) B f (a + kh) + Rn( f ), h = - ab n (13) k k=a называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.

n)( kB = 0(,, n) n Коэффициенты для вычислены и содержатся k в справочниках по численному интегрированию (см. [3], стр. 16-19). Приведем Bkn)( n значения для малых :

)1(,1 Bn == B1 )1( = ;

1 2( ),2 Bn == B22( ) =, B1 )2( = ;

6 1 3( ),3 Bn == B33( ) =, B1 3( ) = B33( ) = ;

o 8 7 32 4( ),4 Bn == B44( ) =, B1 4( ) = B34( ) =, B24( ) = ;

90 90 19 75 5( ),5 Bn == B55( ) =, B15( ) = B45( ) =, B25( ) = B35( ) =.

288 288 n n)( Квадратурная формула Ньютона-Котеса точна на константах:.

B = k k =n)( kB = 0(,, n) n 7 n = Для все коэффициенты положительны. При k n = встречаются три отрицательных коэффициента, а при все коэффициенты n)( kB = 0(,, n) n положительны. Для среди будут отрицательные.

k Причем имеет место, как показал Д.Пойа, соотношение n lim Bkn)( =.

n k= Bkn)( n Более того, абсолютные величины будут довольно быстро расти при =,0, nk для любого фиксированного. Это означает, что квадратурный процесс, порожденный квадратурными формулами Ньютона-Котеса (13), является расходящимся (не выполняется условие 2) теоремы 2). Поэтому в приложениях n n применяются формулыНьютона-Котеса при небольших значениях ( ).





n + Если число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) нечетное, то n+2( ) Cf n + алгебраический порядок точности формулы равен и для ;( ba ) погрешность представима в виде b n+2( ) f )( ( fR ) = xx )( dx, n n n + 2( )! a - ab )( (xx -= a)(x - a - h) (x - a - nh), h = [ ba; ] где, и множитель n n b xx )( dx n отрицателен.

a n + Если же число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) четное, то n+1( ) Cf n алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность ;( ba ) представима в виде b n+1( ) f )( ( fR )= n n )( dxx, n +1( )! a - ab )( (xx -= a)(x - a - h) (x - a - nh), h = [ ba; ] здесь, и множитель n n b n отрицателен.

)( dxx a Приведем наиболее распространенные формулы Ньютона-Котеса:

Формула трапеций b - ab,1 fn (x)dx == [ af )( f (b)]++ R1( f ).

a - ab )( 2( ) ( fR ) -= ),( ;b].

[af Cf Если, то ;( ba ) Формула Симпсона (парабол) b - ab,2 fn (x)dx == [ af )( 4 f ((a ++ b) / 2) + f (b)]+ R2( f ).

a 4( ) - ab f )( 4( ) ( fR ) -= ( ;, ba ).

Cf Если, то ;( ba ) 2 Формула трех восьмых n =,b 3h 1 3 3 xf )( dx f a + h)( + f a + 2( h) + f b)( + R3( f ).

8 af )( += 8 8 8 a - ab )( - ab 4( ) 4( ) ( fR ) -= ),( ;b], h =[af.

Cf Если, то ;( ba ) 6480 1.5. Квадратурные формулы Гаусса n + Пусть требуется построить квадратурную формулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно [ax ;b] n + определить параметра квадратурной формулы: узлы и i iA = 0(,, n) коэффициенты.

i Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной n + 1 n + формулы с узлами не может быть выше, чем. Действительно, 2 xp )( [ (x)] == [(x - x0 ) (x - xnn )] n + возьмем многочлен степени. Тогда b n xp )( dx > 0, xpA )( = но i i и, следовательно, погрешность квадратурной i=a pR )( > формулы.

n Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с n + алгебраическим порядком точности.

n + Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами [ax b] (i = 0;,, n) n + имела алгебраический порядок точности, i )( = (xx - x0 ) (x - xnn ) необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени [ ba; ] n + 1 x)( был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или ( n ) n n равной, то есть для любого многочлена b )( = 0. (14) (xx )dx n a n + Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок n + точности, называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.

n n + Для любого N многочлен степени, удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни [ax b] (i = 0;,, n), существует и единственен. Поэтому квадратурная формула i Гаусса может быть построена.

iA = 0(,, n) Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно i следующее равенство b x)( n - xx dx i a Ai = = 0(,,ni ). (15) ( xin )( ) n n AA == b - a).( > (0 iA = 0,, n) Следовательно, все и Отсюда и i i i i i== из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда f подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.

2( n+2) Cf Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид ;( ba ) b 2( n+2) f )( ( fR )= n n [ )( ] dxx, [a;b].

2( n + 2)! a Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка [- 1;1 ]. Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.

Многочлены вида n 1 d x)( ( -= 1( )n), 0(xx ) 1 (16) n n!2n dxn x)( называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является n n многочленом степени.

Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:

x)( [- 1;1 ] 1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену n )( = (xx )dx n n-степени меньше : для любого.

n - x)( 2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на n (- 1;1 ) интервале.

x)( [- 1;1 ] 3. Многочлены образуют ортогональную систему на :

n 1 )( = 0 )( (xx )dx (xx )dx i j i = j ji при и ji при.

-1 -4. Имеет место рекуррентная формула:

+1( ) (xn ) - (2n +1) (x) + n (x) = 0. (17) nn n-+ x)( = 1 )( = xx Формула (17) позволяет, используя равенства и, найти 0 многочлен Лежандра любой степени.

,, x)( Если известны корни многочлена Лежандра, то, используя 0 n n+(15), получаем квадратурную формулу Гаусса n f )( i xf )( dx = 2 + ( fR ) (, 18) +1 2 n 1( - )[ i )] ( i=-1 ni где = iA = 0(,,n).

i +1 1( - )[ i )] ( ni Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим,,, x)( что корни многочленов Лежандра и коэффициенты 0 n n+iA = 0(,, n) [- 1;1 ] квадратурной формулы (18) обладают симметрией на i x = относительно точки.

Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный + ba b - a [ ba; ] x = + t отрезок осуществляется с помощью замены переменной :

2 b ab +- ba b - a dtt xf )( dx = f + 22 a -Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для [ ba; ] произвольного отрезка + ba b - a f + b i n xf )( dx (b -= a) + ( fR ) (, 19) +1 2 n 1( - )[ i )] ( i=a ni,, x)( где корни многочлена Лежандра.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.