WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Кафедра математического моделирования И. Г. Карелина МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 4 учебное пособие для студентов 1-го курса по специальности 020400 “Психология” ВОРОНЕЖ 2002 Карелина И.Г. Математика.– Воронеж:ВГУ, 2002.– 32 с.

Вашему вниманию предлагается четвертая часть курса лекций по дисциплине "Математика", читаемого на факультете философии и психологии студентам, обучающимся по специальности Психология. Дисциплина "Математика"входит в блок естественно-научных и математических дисциплин ГОС ВПО по специальности 020400 Психология, читается студентам на первом курсе в течение двух семестров и рассчитана на 150 часов аудиторных занятий и 150 часов самостоятельной работы студентов.

Об организации текста. Пособие представляет собой курс лекций. Каждая лекция имеет деление на пункты, которые могут быть взяты за основу экзаменационных и зачетных вопросов. Нумерация формул в каждой лекции автономна. Начало доказательств отмечено знаком, окончание доказательства соответственно знаком.

В конце лекций имеются упражнения для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов.

Рецензенты:

заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей, доктор физико-математических наук А.В.Глушко Печатается в соответствии с решением Научно-методического совета математического факультета протокол № 3 от 16 декабря 2002 года.

(с) Карелина И.Г., 2002 (с) Воронежский государственный университет, 2002 2 Содержание СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 4 Системы линейных уравнений............... 4 Определитель........................ 6 Матрица........................... 9 Свойства определителя................... Упражнения......................... МАТРИЦЫ Основные понятия...................... Действия над матрицами.................. Обратная матрица...................... Матричная форма системы линейных уравнений..... Преобразование векторов.................. Приложения матриц..................... Упражнения......................... Лекция 14.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 14.1. Системы линейных уравнений 14.2. Определитель 14.3. Матрица 14.4. Свойства определителя 14.5. Упражнения 14.1. Системы линейных уравнений Рассмотрим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, (1) a21x + a22y = b2, здесь a11, a12, a21, a22, b1, b2, – действительные числа, x, y – неизвестные величины.

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченная пара чисел (x0, y0), при подстановке которой каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство.

Для нахождения решения этой системы воспользуемся методом исключения неизвестных. Для исключения переменной y умножим первое уравнение системы на a22, второе - на -a12, и сложим первое уравнение и второе; для исключения переменной x умножим первое уравнение системы на -a21, второе - на a11, и сложим первое уравнение и второе a11x + a12y = b1 a22 -a + + a21x + a22y = b2 -a12 a получим систему уравнений, каждая строка которой содержит только одну неизвестную величину (a11a22 - a12a21)x = b1a22 - b2a12, (2) (a11a22 - a12a21)y = b2a11 - b1a21, перед которой стоит один и тот же коэффициент = a11a22 - a12a21. (3) Возможно несколько случаев.

1. Если = 0, то, разделив обе части каждого из уравнений системы на число = 0, получим единственное решение системы b1a22 - b2a x0 =, (4) b2a11 - b1a y0 =.

Условие = 0 означает, что коэффициенты линейной системы обладают свойством a11 a =. (5) a21 a2. Если = 0, то левая часть каждого из уравнений системы (2) равна 0.

Если, кроме того, хотя бы в одном из уравнений правая часть отлична от нуля b1a22 - b2a21 = 0, либо b2a11 - b1a21 = 0, то исходная система не имеет решений.

Таким образом, отсутствие решений у исходной системы означает, что ее коэффициенты обладают свойством a11 a12 b= =. (6) a21 a22 b3. Если = 0, то левая часть каждого из уравнений системы (2) равна 0.

Если, кроме того, правая часть каждого из уравнений равна нулю b1a22 - b2a21 = 0, и b2a11 - b1a21 = 0, то исходная система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, наличие у исходной системы бесконечного множества решений означает, что коэффициенты системы, стоящие в первом уравнении, пропорциональны коэффициентам системы, стоящим во втором уравнении a11 a12 b= =. (7) a21 a22 bПроиллюстрируем полученные результаты графически.

Графиком каждой из функций, стоящих в строках системы (1), является прямая линия. Решить систему (1) – значит найти координаты точек пересечения этих прямых.

a a 11 = a Условие (5) означает, что прямые a 21 y a x a x=b + 21 22 пересекаются в точке с координатами (x0, y0), которые находятся с помощью a x+ = a x b 11 12 (4).

x a a b 11 = = a a 21 22 b y Условие (6) означает, что прямые паa x+ = a x b 11 12 раллельны, а значит, не имеют точек пересечения.

x a x a x= b + 21 a a b = = a a 22 b y Условие (7) означает, что прямые совa x+ = a x падают, а значит, имеют бесконечно мно- b 11 12 a x a x= b го общих точек. + 21 x 14.2. Определитель Число решений системы уравнений, как было показано в предыдущем пункте, зависит от числа = a11a22 - a12a21, определяемого коэффициентами системы (1). Это число называют определителем второго порядка системы линейных уравнений (1) и записывают в виде a11 a = a11a22 - a12a21 =, (8) a21 a где элементами таблицы являются коэффициенты исходной линейной системы уравнений.



Рассмотрим определитель x, полученный из определителя системы заменой его первого столбца на столбец свободных членов и определитель y, полученный соответственно заменой второго столбца на столбец свободных членов b1 a12 a11 b x =, y = b2 a22 a21 b С помощью определителя, если = 0, решение системы (1) можно записать в виде x y x0 =, y0 =. (9) Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x0; y0), которое находят по формулам (9).

Пример Для всех значений параметра a решить систему ax - 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3.

Вычислим определитель a - = = a(a + 6) - (-4) · 2 = a2 + 6a + 8.

2 a + Найдем, при каких a определитель = 0, для этого решим уравнение a2 + 6a + 8 = 0, его корни a = -4, a = -2.

Для нахождения решения (x0; y0) системы воспользуемся правилом Крамера, для этого вычислим определители a + 1 - x = = (a + 1)(a + 6) - (-4)(a + 3) = a2 + 11a + 18, a + 3 a + a a + y = = a)(a + 3) - 2(a + 1) = a2 + a - 2.

2 a + Таким образом, при a = -4, a = -2 система имеет единственное решение a2 + 11a + 18 a2 + a - x0 =, y0 =.

a2 + 6a + 8 a2 + 6a + При a = -4 система не имеет решений, так как = 0, x = 0, y = 0.

Так как при a = -2 = 0, x = 0, y = 0, то система имеет бесконечно ax - a - много решений вида (x; ).

Решая, аналогично предыдущему, систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (так называемую систему третьего порядка) a11x + a12y + a13z = b1, a21x + a22y + a23z = b2, (10) a31x + a32y + a33z = b3, мы получаем равенства, в левой части которых в качестве коэффициента перед переменными x, y, z стоит выражение = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11 a12 a a21 a22 a23, (11) -(a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) = a31 a32 a его называют определителем третьего порядка.

Обозначим через x, y, z соответственно определители, полученные из определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b b2 a22 a23, y = a21 b2 a23, z = a21 a22 b2.

x = b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b Правило Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x0; y0; z0), где x y z x0 =, y0 =, z0 =.

Правило нахождения определителя третьего порядка графически можно проиллюстрировать следующим образом со знаком “+” со знаком “-” Пример Вычислить следующие определители 5 = 5 · (-1) - 7 · 3 = -26, 3 - 5 7 3 -1 = 5 · (-1) · 1 + 0 · 1 · 1 + 0 · 3 · 1 0 1 -0 · (-1) · 0 - 5 · 1 · 1 - 1 · 7 · 3 = -5 - 5 - 21 = -21.

14.3. Матрица Рассмотрим произвольную систему m линейных уравнений c n неизвестными.

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm Здесь через aij обозначены коэффициенты, стоящие перед неизвестной xj в i-той строке, через bi обозначен свободный член в i-той строке.

Прямоугольную таблицу чисел, содержащую m строк и n столбцов, называют матрицей системы линейных уравнений или просто матрицей a11 a12 a13... a1n a21 a22 a23... a2n A =...

am1 am2 am3... amn Здесь через aij обозначены элементы, стоящие в i-той строке и j-том столбце.

Матрицу, содержащую столбец свободных членов, называют расширенной матрицей a11 a12 a13... a1n b a21 a22 a23... a2n b =...

am1 am2 am3... amn bm Если число строк и столбцов матрицы совпадает,то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n, в противном случае – прямоугольной порядка m n.

Каждой квадратной матрице порядка n можно поставить в соответствие число, называемое ее определителем a11 a12 a13... a1n a21 a22 a23... a2n det A =...

an1 an2 an3... ann Для матриц второго и третьего порядка правило нахождения определителя мы установили выше. Сформулируем правило для вычисления определителя произвольного порядка.

Минором Mij элемента aij называют определитель, в котором вычеркнуты i-тая строка и j-тый столбец.

a11... a1j-1 a1j a1j+1... a1n.........

ai-11... ai-1j-1 ai-1j ai-1j+1... ai-1n ai1... aij-1 aij aij+1... ain Mij = ai+11... ai+1j-1 ai+1j ai+1j+1... ai+1n.........

an1... anj-1 anj anj+1... ann Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называют его минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j Aij = (-1)i+j · Mij.

Вычисление определителей выше третьего порядка сводится к вычислению определителей более низкого порядка, разложив его по i-той строке (j-тому столбцу) по правилу a11 a12... a1j... a1n a21 a22... a2j... a2n...

= ai1 ai2... aij... ain (12)...

an1 an2... anj... ann = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + aijAij + · · · + ainAin Правило Крамера. Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными x1, x2,... xn отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x0; x0;... ; x0), которое находят по правилу 1 2 n i x0 =, i где определитель i получается из определителя заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы.





Пример Пользуясь правилом Крамера, решим систему линейных уравнений 4-го порядка x2 +x4 = 2x1 -3x3 +x4 = 3x2 +x3 +2x4 = x2 -x3 = -Матрица и расширенная матрица этой системы имеют вид 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 -3 1 2 0 -3 1 A = = 0 3 1 2 0 3 1 2 0 1 -1 0 0 1 -1 0 - Вычислим определитель матрицы A, разложив его по первому столбцу, так как из четырех элементов этого столбца три равны нулю, 0 1 0 0 -3 2 0 -3 3 1 = det A = = (-1)1+1 · 0 · + 0 3 1 2 1 -1 0 1 -1 1 0 1 1 0 3 1 2 0 -3 +(-1)2+1 · 2 · + (-1)3+1 · 0 · + 1 -1 0 1 -1 1 0 0 -3 +(-1)4+1 · 0 · = -2 · (0 + 0 - 3 - 1 - 0 + 2) = 4, 3 1 в силу правила Крамера, так как = 0, система имеет единственное решение.

Вычислим определители i, i = 1, 2, 3, 4, которые получаются из определителя заменой его i-того столбца на столбец свободных членов.

Для нахождения 1 разложим его по первой строке 1 1 0 0 -3 1 0 -3 3 1 1 = = (-1)1+1 · + 0 3 1 1 -1 -1 1 -1 1 -3 1 1 0 - 0 1 2 0 3 +(-1)1+2 · + (-1)1+4 · = -1 -1 0 -1 1 - = (-6 - 1) - (6 + 1 + 2) - (-3 - 9 - 1) = -3, поэтому 1 x1 = = - = -0, 75.

Для нахождения определителя 2 разложим его по первому столбцу 0 1 0 1 0 2 1 -3 0 1 2 = = (-1)2+1 · 2 · = 0 0 1 -1 -1 0 -1 -1 = -2 · (1 + 2) = -6, поэтому 2 x2 = = - = -1, 5.

Для нахождения определителя 3 разложим его по первому столбцу 0 1 1 1 1 2 0 1 3 0 2 = = (-1)2+1 · 2 · = 0 3 0 1 -1 0 1 -1 = -2 · (2 - 3 + 2) = -2, поэтому 3 x3 = = - = -0, 5.

Для нахождения определителя 4 разложим его по первому столбцу 0 1 0 1 0 2 0 -3 3 1 2 = = (-1)2+1 · 2 · = 0 3 1 1 -1 - 0 1 -1 - = -2 · (-3 - 1 - 1) = 10, поэтому 4 x4 = = = 2, 5.

Решением системы линейных уравнений является вектор с координатами (-0, 75; -1, 5; -0, 5; 2, 5).

14.4. Свойства определителей В силу формулы (12) вычисление определителя произвольного порядка может быть сведено к вычислению определителей третьего порядка. Поэтому, сформулировав свойства для определителей произвольного порядка, их доказательство приведем для определителей третьего порядка.

1. Общий множитель строки (или столбца) можно выносить за знак определителя a11 a12... a1j... a1n a11 a12... a1j... a1n......

kai1 kai2... kaij... kain = k ai1 ai2... aij... ain......

an1 an2... anj... ann an1 an2... anj... ann Доказательство.

Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какойнибудь строки, например второй, имеют один и тот же множитель k a11 a12 a ka21 ka22 ka23 = a11ka22a33 + a12ka23a31 + a13ka21a32 a31 a32 a -(a13ka22a31 + a12ka21a33 + a11ka23a32) = = k [a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11 a12 a a21 a22 a-(a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)] = k a31 a32 a 2. Если некоторая строка (столбец) определителя представляет собой сумму двух строк (столбцов), то определитель равен сумме определителей, у которых указанная строка (столбец) равна соответствующему слагаемому, а остальные стоки (столбцы) такие же, как у исходного определителя a11 a12... a1j... a1n...

ai1 + ai2 +... aij + cij... ain + cin = i1 i...

an1 an2... anj... ann a11 a12... a1j... a1n a11 a12... a1j... a1n......

ai1 ai2... aij... ain + ci1 ci2... cij... cin =......

an1 an2... anj... ann an1 an2... anj... ann Доказательство.

Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого все элементы какойнибудь строки, например второй, представляют собой сумму некоторых чисел a2j + c2j a11 a12 a a21 + c21 a22 + a23 + 22 = a31 a32 a = a11(a22 + )a33 + a12(a23 + )a31 + a13(a21 + c21)a3222 -a13(a22 + c22)a31 - a12(a21 + c21)a33 - a11(a23 + c23)a32) = = [a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32] + + [a1122a33 + a1223a31 + a1321a32 - a1322a31 - a1221a33 - a1123a32] = a11 a12 a13 a11 a12 a a21 a22 a23 + 21 22 = a31 a32 a33 a31 a32 a 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то определитель изменит знак на противоположный a11 a12... a1j... a1n a11 a12... a1j... a1n......

ai1 ai2... aij... ain ak1 ak2... akj... akn......

= - ak1 ak2... akj... akn ai1 ai2... aij... ain......

an1 an2... anj... ann an1 an2... anj... ann Доказательство.

Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого третья и вторая строки поменялись местами a11 a12 a a31 a32 a33 = a11a23a32 + a12a21a33 + a13a22a31 a21 a22 a -(a13a21a32 + a11a22a33 + a12a23a31) = = - [a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11 a12 a a21 a22 a-(a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)] = - a31 a32 a 4. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю a11 a12... a1j... a1n...

ai1 ai2... aij... ain...

= ai1 ai2... aij... ain...

an1 an2... anj... ann Доказательство.

Рассмотрим определитель 3-го порядка, у которого вторая и третья строки одинаковые a11 a12 a a21 a22 a23 = a11a22a23 + a12a21a23 + a13a21a22 a21 a22 a -(a13a22a21 + a11a22a23 + a12a21a23) = 5. Определитель, имеющий строку (столбец), состоящую из нулей, равен нулю a11 a12... a1j... a1n...

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.