WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Л.Н. Андреев, В.В. Ежова ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ Часть вторая Санкт-Петербург 2011 Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Л.Н. Андреев, В.В. Ежова ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ Часть вторая Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 Андреев Л.Н., Ежова В.В., Прикладная теория аберраций. Часть вторая.- Учебное пособие. - СПб: НИУ ИТМО, 2011. - 52 с.

Рассмотрены основные положения теории аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка: сферических, параболических, эллиптических, гиперболических. Для иллюстрации приведены принципиальные оптические схемы некоторых зеркальных, зеркальнолинзовых систем, компенсаторов аберраций и методики их расчета.

Пособие предназначено для студентов оптических направлений подготовки и специальностей: 200200.62, 200203.65, 200204.65, 140400.62, 200201.65.

Рекомендовано к печати Учным советом факультета ОИСТ, протокол № 11 от 13 декабря 2011 года.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет».

Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2011 Андреев Л.Н., Ежова В.В., 2011 Содержание Предисловие................................................................................................................. 5 ГЛАВА 1. Основы теории аберраций третьего порядка оптических систем, содержащих отражающие и асферические поверхности второго порядка........... 1.1. Геометрические свойства асферических отражающих поверхностей второго порядка........................................................................................................... 1.2. Коэффициенты аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка......................................................................................................... 1.3. Теорема об аберрационных свойствах отражающих поверхностей второго порядка......................................................................................................... 1.4. Связь аберраций третьего порядка с коэффициентами SI, SII, SIII … SV отражающих поверхностей второго порядка......................................................... 1.5. Коэффициенты аберраций третьего порядка и основные параметры P и W бесконечно тонкой линзы и системы из тонких компонентов, содержащих асферические поверхности второго порядка.......................................................... ГЛАВА 2. Зеркальные, линзовые, зеркально-линзовые системы и компенсаторы............................................................................................................ 2.1. Система из двух сферических зеркал............................................................... 2.2. Двухзеркальный концентрический объектив.................................................. 2.3. Двухзеркальные объективы из асферических поверхностей второго порядка....................................................................................................................... 2.4. Сферическое зеркало и плоскопараллельная пластинка................................ 2.5. Сферическое зеркало и мениск......................................................................... 2.6. Двухлинзовый афокальный компенсатор........................................................ 2.7. Компенсатор кривизны поверхности изображения........................................ 2.8. Компенсаторы хроматических аберраций....................................................... 2.9. Модульный принцип проектирования зеркально-линзового объектива..... 2.10. Методика расчета линзовых систем с асферическими поверхностями второго порядка......................................................................................................... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................... Предисловие Данное пособие является продолжением учебного пособия «Прикладная теория аберраций», СПб ИТМО (ТУ) 2002 г.

В пособии рассмотрены основные положения теории аберраций третьего порядка и методики расчта оптических систем, содержащих отражающие и асферические поверхности второго порядка, в том числе параболоидальные, эллипсоидальные и гиперболоидальные.

Несмотря на определенные технологические трудности изготовления отражающих поверхностей, по сравнению с преломляющими, зеркальные и зеркально-линзовые оптические системы обладают рядом преимуществ, по сравнению с линзовыми. Это, прежде всего, широкая область ахроматизации и увеличенное рабочее расстояние.

Асферические поверхности второго порядка также используются при проектирование различных оптических систем. Введение в оптические системы асферических поверхностей второго порядка позволяет существенно повысить оптические характеристики (относительное отверстие, угловое поле), улучшить качество изображения (коррекция аберраций) и упростить оптические схемы, по сравнению с системами, состоящими только из сферических поверхностей.

ГЛАВА 1. Основы теории аберраций третьего порядка оптических систем, содержащих отражающие и асферические поверхности второго порядка 1.1. Геометрические свойства асферических отражающих поверхностей второго порядка Уравнения кривых второго порядка имеют вид [1,2]:



y2 Az Bz2; (1.1) y2 2r0z 1 e2z2. (1.2) Коэффициент А в (1.1) определяет величину радиуса кривизны поверхности кривой в е вершине:

A 2r0. (1.3) Уравнение (1.1) в случае отрицательного В определяет собой эллипс, при положительном В - гиперболу, в случае равенства В нулю - параболу.

В уравнении (1.2) е2 - эксцентриситет кривой второго порядка.

Если е2=0 имеем окружность, при е2=1 - параболу, при 0< е2 <1 - эллипс, при е2 > 1 - гиперболу.

Сферическое зеркало Уравнение окружности рис. 1.1 при е2=0 в уравнении (1.2) имеет вид:

y2 2r0Z z2. (1.4) Рисунок 1.1. Сферическое зеркало Фокусное расстояние сферического зеркала определяется из рассмотрения инварианта Аббе:

n n n n ; (1.5) s s r так как n n 1, то 1 1 ; (1.6) s s r s ; s f ;

r f. (1.7) Линейное увеличение в сопряженных плоскостях, проходящих через точки А и А’ рис. 1.1, равно:

n s s ; (1.8) ns s s r s. (1.9) 2 r s Параболоидальное зеркало Рисунок 1.2. Параболоидальное зеркало Основное свойство параболы: парабола является геометрическим местом точек, равноудаленных от фокуса и директрисы. Из этого свойства вытекает, что для параболоидального зеркала все лучи, идущие из бесконечно удаленной точки на оси, после отражения собираются в фокусе F' [7].

Для параболы уравнение (1.2) при е2=1 имеет вид:

y2 2r0z ;

r f s, (1.10) где r0 - радиус при вершине параболы.

Эллипсоидальная отражающая поверхность Рисунок 1.3. Эллипсоидальная отражающая поверхность Рассмотрим геометрические свойства кривой второго порядка - эллипса (рис. 1.3).

На рис. 1.3: AB - большая ось (2a), CD - малая ось (2b), A, B, C, D - c вершины, O - центр, F1 и F2 - фокусы, e - эксцентриситет.

a Эллипс является геометрическим местом точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (2а) [2]. Каждое из этих расстояний выражается:

r1 MF1 a er ; r2 MF2 a er ; r1 r2 2a. (1.11) bРадиус кривизны в вершинах А и В равен r0A,B, а для C и D - a ar0C,D.

b Из свойств эллипса вытекает, что плоскости, проходящие через фокуса F1 и F2 перпендикулярно оптической оси, являются сопряженными.

Найдм линейное увеличение в этих сопряжнных плоскостях:

n s ns при n n 1 имеем s. (1.12) s Из рис. 1.3 следует, что:

s 2c s 2c a c a1 e;

s a c c a ae a1 e; (1.13) s a1 e e. (1.14) s a1 e e Далее из варианта Аббе и (1.14) получим:

r0 rs ; s ; r0 s1 e;

1 e 1 e 1 1 1 e 1 e 2re SF SF r r (1.15) 1 e 1 e 1 e2 1 e2.

Выражая величины a, b, c через r0 и e, имеем:

a r1 e2;

rb (1.16) 1 e2;

e c r1 e2.

В случае, если начало координат находится в вершине эллипса (A, B), уравнение эллипса имеет вид (1.2):

y2 2r0z 1 e2z2, 0 e2 1.

Гиперболоидальное зеркало На рис. 1.4: Z - действительная ось, O1, O2 - вершины, О - центр, F1 и F2 фокусы - точки, лежащие на оси по обе стороны от центра на расстоянии С от него.

Рисунок 1.4. Гиперболоидальная отражающая поверхность 2b 2 c2 a2, c e a Фокальное свойство гиперболы Гипербола является геометрическим местом точек, для каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а [2].

Точки, для которых r1 r2 2a, принадлежат одной ветви гиперболы рис. 1.4 (левой), точки, для которой r2 r1 2a, - другой е ветви (правой).

Каждое из этих расстояний выражается: r1 ez a; r2 ez a.

bРадиус в вершинах О1 и О2: r0.

a Выразим величины s и s’ через e и r0:

2c 2a s c a;

s s 2a c a;

n s c a ; (1.17) ns c a r0 r0e a e2 1; c ae e2 1;

r0 r0 e s ; s ;.

1 e 1 e e Для гиперболы е2 >1.

1.2. Коэффициенты аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка Сферическое зеркало Рассмотрим случай расположения предмета на бесконечности.

При 1 0, 1, 1 1, h1 f 1, J 1, n n 1, коэффициенты аберраций следующие:

SI P ;

SII HP W ;

SIII H P 2HW 1; (1.18) SIV Ф 1;

3 SV H P 3H W 2H, где P и W - основные параметры сферического зеркала, H - приведенная высота пересечения второго параксиального луча с зеркалом.

Раскроем выражения основных параметров сферического зеркала:

1 W 1 0,50 ; (1.19) n n 1 P 1 0,25.

n n Подставляя эти значения P и W в (1.18), имеем:

SI ;

1 SII sp ;

4 SIII sp 2 sp 1; (1.20) SIV 1;

1 SV sp3 sp 2 2sp, 4 где sp H, так как 1 1.

В таблице 1.1 приведены числовые значения коэффициентов аберраций SI, SII, SIII, SIV, SV для некоторых значений входного зрачка sp H при s.

Таблица 1.sp SI SII SIII SIV SV 0 -0,25 0,50 -1,00 1,00 -1,00 -0,25 0,25 -0,25 1,00 -0,-2,00 -0,25 0 0 1,00 Из анализа уравнений (1.20) и табл. 1.1 следует, что в случае расположения входного зрачка в центре кривизны зеркала ( sp 2) - кома, астигматизм и дисторсия третьего порядка равны нулю SII SIII SV 0.

Рассмотрим далее случай расположения предмета на конечном расстоянии от сферического зеркала s s.

Коэффициенты аберраций SI, SII, SIII, SIV, SV, связанные с параметрами W и Р, приведены в [9]:

SI hP;

SII HP JW ;

H H SIII P 2J W J Ф ; (1.21) h h SIV Ф ;

3 H H H SV P 3J W 2J Ф.





h3 h3 hРаскроем выражение W и P при следующих условиях нормирования:

x x, 1 n 1, n n 1.

Тогда получаем:

1 x2 xW 1 W 1 ; (1.22) n n 1 x2 x x2 x P 1 1 P1 1.

n n x Подставляя значения W и P (1.22) в (1.21) и имея в виду, что h1 s, 1 x H sp, J sp s, а так как W ; P, получим:

2 x x2 x SI sp 1 1 ;

1 x x2 x x xSII sp 1 1 1 sp s ;

4 x2 x sp 1 1 1 1 sp s sp sФ; (1.23) x2 x SIII sp x 4 s s SIV Ф ;

f x2 x x2 x sp 2 1 sp s sp ssp 1 1 1 SV sp3 2 Ф.

2 x x 4 2 s ssПараболоидальное зеркало Коэффициенты аберраций 3-го порядка для одной асферической поверхности 2-го порядка SI, SII, SIII, SIV, SV при 1 0, 1, 1 1, h1 f 1, J 1, n n 1 имеют вид:

SI P P ;

SII HP P JW ;

SIII H P P 2HW 1; (1.24) SIV 1;

3 SV H P P 3H W 2H, где P - дополнительный параметр асферического зеркала, H - приведенная высота пересечения второго параксиального луча с зеркалом, 1 W, P.

2 Для параболы имеем:

3 n n n n P b e2, так как е2 =1. (1.25) 2 n n n n Подставляя значения P, P и W в выражение (1.24), получим:

SI 0; SI 0;

SII ; SII W ;

SIII sp 1; SIII H 1; (1.26) SIV 1; SIV 1;

3 SV sp 2 2sp ; SV H 2H.

2 В табл. 1.2 приведены числовые значения коэффициентов аберраций SI, SII, SIII, SIV, SV для некоторых значений входного зрачка sp H, где sp - sp приведенное к фокусному расстоянию параболическое зеркало sp.

rТаблица 1.sp SI SII SIII SIV SV 0 0 0,50 -1,00 1,00 -1,00 0 0,50 0 1,00 -0,-2,00 0 0,50 1,00 1,00 2,Из анализа выражений (1.26) и табл. 1.2 следует:

1. сферическая аберрация отражающего параболоида для бесконечно удаленного предмета отсутствует ( SI 0);

2. кома ( SII ) не зависит от положения входного зрачка;

3. в случае расположения входного зрачка в фокусе зеркала ( sp 1) астигматизм отсутствует ( SIII 0);

4. дисторсия отсутствует при sp 0 и sp.

Эллипсоидальное зеркало Коэффициенты аберраций третьего порядка для эллипсоидальной отражающей поверхности имеют вид (1.27) [9]:

SI hP P;

SII HP P JW ;

H H SIII P P 2J W J ; (1.27) h h h n 1 1 n SIV Ф П ;

h h nn 3 H H H n SV P P 3J W 2J, n nn h2 h2 h где h и Н - высоты пересечения первого и второго параксиального лучей с отражающей поверхностью; J - инвариант Лагранжа; и ' - углы пересечения первого параксиального луча с оптической осью.

Раскроем выражения P, P, W, h, Н и J для эллипса при следующих x условиях нормирования: 1, 1, n n 1:

r0 r0 x 1 e s ; s ; ;

1 e 1 e e 1 e h s s ; H sp ;

1 e 1 2 J sp s1 e ; Ф ;

e r0 s1 e 1 2e W ;

n 1 e n 1 2e2 n2 2e P ; P e2.

n n 1 e3 1 e n После подстановки этих величин в (1.27) получаем:

1 e 2e2 2eSI s 0 ;

3 1 e 1 e 1 e 2 s s1 ee p SII ;

1 e4sp s 2sp s e 1 e SIII ; (1.28) 2 s s 1 e 1 e 1 n n SIV Ф ;

r0 h nn sp ssp 2 4sp s sp 6e SV.

1 e2 s2 s21 e В таблице 1.3 приведены числовые значения SI, SII, SIII, SIV, SV при rрасположении предмета в одном из фокусов эллипса s для различных 1 e положений входного зрачка sp при e=0,5 и s=-100.

Таблица 1.sp SI SII SIII SIV SV 0 0 -14,80 44,44 -0,04 r 0 -11,11 8,33 -0,04 18,r 0 -9,87 0 -0,04 9,1 e r 0 -7,41 -11,11 -0,04 -16,Из анализа уравнений (1.28) и табл. 1.3 следует:

1. в случае расположения предмета в одном из фокусов отражающего эллипсоида сферическая аберрация отсутствует ( SI 0) и гомоцентричность пучка не нарушается;

2. кома не зависит от положения входного зрачка;

3. в случае расположения предмета и входного зрачка соответственно в фокусах F1 и F2 - астигматизм отсутствует ( SIII 0);

21 es 2r4. дисторсия отсутствует при sp 0 и sp.

2 e 2 e Гипербоидальное зеркало При вычислении коэффициентов аберраций третьего порядка для отражающего гиперболоида могут быть использованы уравнения (1.28).

Эксцентриситет гиперболы е2>1.

В табл. 1.4 приведены числовые значения SI, SII, SIII, SIV, SV при rрасположении предмета в одном из фокусов гиперболы s для 1 e различных положений входного зрачка sp при e=1,5 и s=-100.

Таблица 1.sp SI SII SIII SIV SV 0 0 9,60 -16,00 0,04 r 0 11,52 0 0,04 -11,r 0 12,00 5,00 0,04 -6,1 e r 0 14,40 36,00 0,04 50,Из анализа уравнений (1.28) и табл. 1.4, как и в случае расположения предмета в одном из фокусов гиперболы, так как же и для эллипса, следует:

1. сферическая аберрация отсутствует ( SI 0);

2. кома не зависит от положения входного зрачка ( sp );

3. в случае расположения предмета и входного зрачка соответственно в фокусах F1 и F2 - астигматизм отсутствует ( SIII 0);

21 es 2r4. дисторсия исправлена при sp 0 и sp.

2 e 2 e 1.3. Теорема об аберрационных свойствах отражающих поверхностей второго порядка На основе теории аберраций 3-го порядка и фокальных свойств кривых второго порядка может быть сформулирована следующая теорема.

Отражающие поверхности второго порядка - параболоидальная, эллипсоидальная и гиперболоидальная - обладают следующими свойствами:

1. при расположении предмета в одном из фокусов сферическая аберрация 3-го порядка исправлена ( SI 0) и гомоцентричность пучка лучей не нарушается;

2. при выполнении п.1 кома 3-го порядка не зависит от положения входного зрачка ( sp );

3. при выполнении п.1 астигматизм 3-го порядка ( SIII ) зависит от положения входного зрачка ( sp ), и при расположении предмета и входного зрачка в сопряженных фокусах F1 и F2, соответственно, он исправлен ( SIII 0);

Pages:     || 2 | 3 | 4 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.