WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

N = - m) (48) (xi N -i=Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины.

Для сравнения значений случайной величины пользуются среднеквадратическим отклонением от среднего (СКО) СКО = = (49) Погрешности как случайные величины описываются полями рассеяния с типовыми законами рассеяния, функциями плотности вероятности Поля рассеяния первичной погрешности Поле рассеяния первичной погрешности описывается законами распределения плотности вероятности. Типовыми законами являются • Нормальный закон распределения • Закон Релея • Равномерный закон распределения Функции плотности распределения имеют вид:

- m) 1 (x fнорм (x, m, ) = exp, x x exp- x fРел (x, m) = 2 m2 4 m2,, (50) x <, m - a x m + a f (x, m, a) =.

2a равн 0, иначе.

Графики плотности распределений имеют вид:

Рис.37 Типовые законы распределения Реже используются производные от перечисленных законов распределения:

• Закон Симпсона (закон распределения суммы случайных величин, распределённых по равномерному закону) • Композиция законов Гаусса и равной вероятности (закон распределения суммы соответствующих величин) • Закон модуля нормального распределения Функция плотности распределения суммы двух независимых случайных величин определяется как свёртка исходных функций распределения. Плотность распределения по закону Симпсона (треугольное распределение) выражается формулой 0, xm+a x-m+a fСимп(x,m,a)= (x-t,m,a)fравн(t,m,a)dt=, m-axm равн f a (51) m+a-x, mxm+a.

aСвёртка функции Гаусса с равномерным распределением (уплощенный закон распределения). Графически свёртка представляется площадью под сдвинутой на x гауссовой кривой, очерченной границами равномерного распределения (см. рис.38) Поэтому функция плотности распределения композиции выразится через разность интегральных функций распределения Гаусса, нормированных на высоту прямоугольного «импульса»:

Рис.38 Свёртка нормального распределения с равномерным распределением fкомп (x, m, a, ) = [Fнорм (x - m + a,0, ) - Fнорм (x - m - a,0, )] (52) 2а Чтобы получить функцию распределения модуля распределения Гаусса рассмотрим следующий рис.39.

Рис.39 К определению функции вероятности модуля По определению интегральной функции распределения получаем:

F(y) = P{y Y} = P{| x | Y} = Fнорм (y) - Fнорм (-y) (53) Дифференцируя это равенство, получаем выражение для функции плотности модуля нормального распределения:

f (x, m, ) = fнорм (x, m, ) + fнорм (-x,m, ), x 0. (54) мод Графики функций плотности распределения комбинированных законов представлены ниже (рис.40).

Рис.40. Комбинированные законы распределения.

Поле рассеяния может укладываться в поле допуска, быть уже его или шире. В случае, когда поле рассеяния не укладывается в поле допуска, дисперсия погрешности в поле допуска будет отличаться от дисперсии поля рассеяния. Вводится понятие коэффициента относительного рассеяния по отношению к нормальному распределению, укладывающемуся в поле допуска (Рис.41). Относительный коэффициент рассеяния поля рассеяния в поле допуска погрешности, распределённой по нормальному закону, причём q = 3, как на рисунке, равен 1.

Рис.41 Нормальное распределение, укладывающееся в поле допуска В общем случае относительный коэффициент рассеяния рассчитывается по формуле (q) Kq = = = (55) (q) q / 3 q где - СКО поля рассеяния в поле допуска.

Назовём полным полем допуска наименьшее поле допуска в пределах которого поле рассеяния укладывается в поле допуска так, что вероятность попадания в которое случайной величины составляет 0,997. Это доверительная вероятность нормальной случайной величины в поле допуска q = 3.

Математическое ожидание и СКО четырёх из шести рассмотренных законов в полном поле допуска приведены в таблице:

Параметры типовых законов:

В общем случае, если задан закон плотности вероятности f(x) и границы поля допуска qH и qB, то коэффициент относительной асимметрии q, приведённый коэффициент асимметрии Cq и коэффициент относительного рассеяния Kq вычисляется по формулам:

qH + qB 1 m m q = -, Cq =, 2 q q -qB qB Kq = f (x)dx (x - m)2 f (x)dx, q (56) qH qH qB qB - qH где m = x f (x)dx, q =.

qH Задание на лабораторную работу №1 «Моделирование типовых законов распределения первичных погрешностей» 1. Для законов распределения Релея (50), Симпсона (51) сформировать в среде Маткад функции пользователя fR(x,m) и fС(x,m,a) и построить графики.

Чтобы проанализировать влияние параметров, здесь и далее при построении графиков на общих осях использовать два набора параметров. Определить средние значения и (СКО), используя формулы (41) и (47). Сравнить вычисленные значения СКО со значениями из таблицы параметров типовых законов.

2. Функции плотности вероятности нормального закона и равномерного формировать не надо, они встроены в ядро Маткад и имеют вид, соответственно: dnorm(x,m,) и dunif(x,a,b). где a

3. Используя законы нормального и равномерного распределений сформировать функции пользователя уплощенного закона (52). Построить график. Здесь потребуется функция распределения вероятности Гаусса, интегральный закон. В Маткаде он имеет вид: рnorm(x,m,) 4. Используя закон dnorm(x,m,), сформировать функцию пользователя для функции плотности вероятности модуля нормального закона. Построить график.

5. Все 6 типовых законов имеют от 1 до 3 параметров. Составьте программу-функцию, объединяющую все 6 законов. Функция будет содержать 5 формальных параметров: текущее значение случайной переменной, 3 параметра и номер закона.



6. Используя границы поля допуска как параметры составить программу расчёта относительных коэффициентов асимметрии и рассеяния и приведённого коэффициента рассеяния (56).

7. Рассчитать конкретный пример, протестировать его, используя данные таблицы СКО (см.выше) и таблицу 3.1 на стр.145 в книге Латыева С.М. [3].

8. Построить график поля рассеяния в границах поля допуска.

9. С помощью Меню «Вставка»-«данные» или «элемент» и находящихся там кнопок, флажков, блоков текста и др., а также «Вставка»-«область» организовать интерфейс пользователя.

10. Копируя полученные результаты в виде рисунков, проанализируйте случаи расположения гауссово поля рассеяния относительно поля допуска: 1) в полном поле допуска, 2)симметрично выходящем за поле допуска, 3) симметрично расположенным внутри поля допуска 4) односторонне выходящем за поле допуска.

11. Проанализируйте взаимодействие остальных пяти законов, описывающих поле рассеяния с полем допуска и установите значения полных полей допуска, подбирая параметры так, чтобы нормировочный коэффициент поля рассеяния в поле допуска равнялся примерно 0,997.

Сравните полученные данные с данными из книги Латыева С.М. (таблицу 3.на стр.145 [3]).

12. Составьте «твёрдую» копию отчёта.

8. Критерии качества изображения на основе пятна рассеяния изображения точки Среди показателей качества, обеспечиваемых при конструировании оптических приборов, основными являются показатели назначения, характеризуемые в частности качеством изображения. Среди критериев качества изображения точечного предмета используют [1]:

а) критерии, связанные с волновым фронтом: максимальное и среднеквадратическое отклонение волнового фронта от сферы сравнения.

б) критерии, основанные на функции рассеяния точки: линейная разрешающая способность, число Штреля, концентрация энергии в круге заданного радиуса ко всей энергии в пятне.

в) критерии, основанные на оптической передаточной функции:

разрешающая способность, частотно-контрастная характеристика г) аберрационные критерии.

Критерии, связанные с аберрациями оптической системы играют первоочередную роль на стадиях конструирования, таких как выбор принципиальной конструкции, расчёт показателей качества, определение допусков на оптические детали. В процессе проектирования оптической системы осуществляется минимизация тех или иных коэффициентов разложения аберраций, обычно третьего порядка, поскольку для них получены аналитические выражения, зависящие от параметров трассировки параксиальных лучей. При этом сводка влияний параметров, таблица численных производных, служащая для оптимизации системы в рамках параксиального приближения в области начального отрезка разложения аберрации в ряд Тейлора, может служить и для приближённой оценки передаточных коэффициентов реального состояния номинально рассчитанной оптической системы с тем большей точностью, чем меньше остаточные аберрации системы.

Совершенной считается система, если число Штреля превышает 0,8, при этом средняя квадратическая ошибка (СКО) волновой аберрации не превышает /14, а максимальное отклонение волнового фронта от опорной сферы Гаусса не превосходит /4 (критерий Рэлея). В рамках этих ограничений известны критерии Марешаля для первичных аберраций Зейделя [1].

1) Допустимое значение сферической аберрации третьего порядка в линейной мере через длину волны и заднюю апертуру оптической системы sin выражается формулой 3, SСф.

sin2) Поперечная аберрация комы третьего порядка 1, SКома.

sin 3) Астигматизм третьего порядка как продольная разность положений меридионального и сагиттального фокусов 0, Zm - Zs.

sin Критерии Марешаля ориентированы, как указано выше, на хорошо скоррегированную оптическую систему и не учитывают реальных аберраций, не всякая система столь совершенна и использование этих критериев может быть не оправдано. Кроме того, информация о передаточных коэффициентах аберраций третьего порядка часто не является доступной для конструктора, использующего рассчитанные ранее оптические системы, помещённые в справочники и каталоги.

Таким образом, перед конструктором, имеющем в наличии конструктивные номинальные параметры оптической системы и решающим задачу определения допусков на параметры разрабатываемой конструкции, стоит задача выбора критерия оценки качества изображения и определения передаточных коэффициентов, связанных с этим критерием.

Наиболее просто задача решается в том случае, если рассчитанная оптическая система сопровождена сводкой влияния параметров, полученных на модели оптической системы (Смотри файл «Модель»).

Альтернативным решением задачи назначения допусков может являться предлагаемый нами метод, основанный на суммарных аберрациях реального пятна рассеяния номинальной оптической системы. Для этих целей построена модель оптической системы, имеющая необходимый интерфейс.

Одним из преимуществ предлагаемого метода является учёт реальных характеристик системы в отношении качества построенного им изображения.

Рассмотрим, например, два объектива. На рис.42 представлены хроматические пятна рассеяния фокальных осевых изображений, построенных фотографическим объективом Мининар-1Л (рис.42-а) и микрообъективом апохроматом ОСХ-100 (рис.42-б). Качество изображения микрообъетива на порядок лучше, однако, и его качество строго не отвечает критерию Рэлея. При учёте того факта, что реальные характеристики часто не являются совершенными, и фактически отсутствует необходимая информация о передаточных коэффициентах аберраций третьего порядка, а геометрическое пятно рассеяния может быть получено на модели оптической системы, если известны её конструктивные параметры, возникает необходимость в определении критериев качества изображения, основанных на реальном пятне рассеяния.





Рис.Конструктору при выборе той или иной конструкции крепления деталей оптической системы необходимо указать допуски на две группы параметров, одни из которых не нарушают осевую симметрию, другие её нарушают. К первым относятся допуски на радиусы кривизны поверхностей, толщины, воздушные промежутки, показатели преломления и дисперсии. Ко вторым относятся допуски на базовые поверхности, определяющие зазоры в посадках, торцевые и радиальные биения оптических поверхностей.

Для точки на оси пятно рассеяния определяется поперечной аберрацией, её максимальным значением, задающим диаметр пятна рассеяния и СКО, характеризующим плотность рассеяния. Данная аберрация для осевой точки предмета полностью определяется суммарной сферической аберрацией. Некоторая доля этой аберрации, 30-40%, может служить величиной суммарной аберрационной погрешности, аккумулирующей частичные аберрации, связанные со всем спектром первичных технологических погрешностей конструкции оптической системы, допуски на которые требуется установить (рис.43).

Рис.Для точки вне оптической оси на пятно рассеяния оказывают влияние спектр аберраций. Элементарным аберрациям третьего порядка можно сопоставить параметры реального пятна рассеяния, характеризующие свойства выделенной аберрации. Эти параметры, сопоставленные конкретной элементарной аберрации, назовём суммарной аберрацией.

Как уже упоминалось, обобщённая сферическая аберрация характеризует размытость пятна рассеяния и характеризуется величиной СКО поперечной аберрации в плоскости наблюдения.

Суммарная аберрация комы – это вектор с началом в точке пересечения главного луча плоскости установки и концом в точке центра “тяжести” точек пересечения лучей, точки сосредоточения пучка лучей.

Суммарная кома есть мера асимметрии пучка.

Рис.44 Обобщённая кома Об астигматизме можно судить по форме пятна в двух перпендикулярных направлениях: по горизонтальной и вертикальной осям, например, определяя разность СКО соответствующих координат. Строго говоря, в данном случае мы имеем дело с одной из плоскостей, форма пятна при астигматизме меняется вдоль направления распространения пучка.

Дисторсия определяется как вектор между точкой идеального изображения, построенного по законам нулевых лучей, и точкой центра тяжести пятна рассеяния.

Кривизна поля изображения определяется как продольная разность положений плоскостей наводки, в которых достигается минимум СКО поперечной аберрации, или минимальное пятно рассеяния, для точек предмета на оси и на краю поля зрения.

Хроматизм увеличения оценивается как наибольшее относительное смещение хроматических пятен рассеяния в плоскости наводки.

9. Расчёт на точность по методу соответствия допусков коэффициентам влияния При точностном анализе функционального устройства определяются допуски на первичные погрешности и факторы q = qв - qн = 2q так, чтобы суммарная погрешность q не превышала заданной в техническом задании.

qн – нижняя граница допуска, qв – верхняя граница допуска, q – размах допуска, q - полуинтервал допуска, 0q – серидина допуска.

В методе соответствия допусков передаточным коэффициентам суммарная погрешность разбивается на равные части, равные частичные погрешности q, с учётом типа погрешностей. Различают три типа погрешностей: систематические, случайные и смешанные, случайные с систематической составляющей.

1) Систематические погрешности суммируются алгебраически nc q = q c,i (57) i=nc - число систематических ошибок. При равных частичных погрешностях последняя вычисляется по формуле q q = (58) nc Частичная погрешность связана с первичной погрешностью с помощью передаточного коэффициента (функции):

q = Aq (59) Из (58) и (59) следует, что допуск на первичную систематическую погрешность вычисляется по формуле:

q q = (60) Aq nc 2) Случайные погрешности суммируются так, что их дисперсии складываются. При равных частичных погрешностях СКО суммарной погрешности пропорционально СКО частичной погрешности и квадратному корню из числа погрешностей = n2 = n2 (61) СКО частичной погрешности связано с СКО первичной погрешности с помощью передаточного коэффициента А подобно (59), поэтому для СКО первичной погрешности, распределённой по нормальному закону получаем формулу = (62) q Aq nДля нормальной величины 99,7% всех событий находятся в интервале q= ± 3. Поскольку сумма нормальных случайных величин распределена q также по нормальному закону, то, умножая (62) на 6, получаем формулу для допуска на первичную нормальную погрешность q = (63) Aq nФормула (63) используется при предварительном расчёте допусков.

Коэффициент = n2 называют коэффициентом влияния.

3) Случайные погрешности, имеющие систематическую составляющую, распределены асимметрично относительно номинального значения. Так называемый приведённый коэффициент асимметрии имеет две составляющие: относительное значение центра поля допуска и относительный коэффициент асимметрии, представляющий собой относительное смещение поля рассеяния относительно центра поля допуска:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.