WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

Рис.L( p,q,m ) = n (cos( ), cos( ), cos( )), p = n cos( ), q = n cos( ), m = n cos( ).

Рис.Если длину направленного отрезка на луче АВ, где А – точка предмета, В – точка на входном зрачке обозначить как s=AB, то вектор луча имеет вид:

L AB = s. (1) n Тогда координата точки В на луче может быть записана как:

L B = A + s. (2) n Назовём (2) уравнением луча, а матрицу из двух векторов (A,L) матрицей луча.

Точка предмета задаётся аппликатой S предметной плоскости с учётом положения входного зрачка относительно передней поверхности Z, и/или двумя углами: полевым углом «u» и азимутом (рис.8).

Будем считать пучок заданным, если задано число лучей N и для каждого луча известна матрица луча (X,L). Если предмет находится на конечном расстоянии, то, принимая за А точку предмета, а за В точку зрачка, находим оптические направляющие косинусы из соотношения (1):

(B - A, BY - AY, B - AZ ) AB X X Z L = n = n (3) s AB Оптический путь луча:

OP = n AB.

(4) Если предмет находится на бесконечности, то все лучи параллельны друг другу и их оптические направляющие косинусы имеют значения:

sin( u )cos( ) L = n sin( u )sin( ) (5) cos(u ) Для пучка параллельных лучей оптический путь луча отсчитывается от центральной точки входного зрачка, то есть главный луч падающего пучка имеет нулевое значение оптического пути. В этом случае оптический путь определяется скалярным произведением радиус-вектора точки зрачка и оптическим вектором направляющих косинусов падающего луча:

OP = (B, L) (6) Рис.9. Алгоритм построения программы построения пучка лучей Блок-схема программы приведена на рис.9. В приведённом алгоритме предлагается координаты точек разбиения входного зрачка определять в теле программы построения пучка лучей. Однако эта процедура может быть осуществлена до обращения к программе «Пучок», тогда вместо входных переменных R,h,c потребуется одна переменная – вектор координат Х.

Построение проекций пучка. Для контроля и иллюстрации удобно изобразить пучок графически. Вектор пучка инвариантен к замене координат точки на луче, поэтому справедливо в матрице луча координаты точек зрачка поменять на координаты точки предмета. Это можно осуществить уже непосредственно в программе «Пучок». Далее, если в уравнении луча (2) менять длину каждого луча s от нуля до определённого значения, то получим последовательность матриц луча, координаты которых заполняют пространство пучка. Шаг изменения длины луча удобно связать с изменением продольной координаты. На каждом шаге среди множества каждой из поперечных координат существуют минимальное и максимальное значения. На множестве шагов эти значения формируют границы проекций пучка на продольные координатные плоскости. Эта процедура оформлена в программе «Контур» (рис.10).

Рис.10.Программа построения контура пучка.

Здесь входными переменными служат: U – вектор луча, L=S-Z – расстояние от зрачка до плоскости предмета, М – число дискретов на лучах пучка. Для удобства комментариев операторы программы пронумерованы в соответствии с уровнями, на которых они появляются.

Чтобы на графике не отображать бесконечные величины в операторе №1 происходит переопределение переменной: параллельный пучок отображается в пределах фиксированной длины.

Во втором операторе определяется шаг и направление движения по отображению координат пучка. Если координаты нулевого и первого луча одинаковые, то пучок задан от точки предмета, и направление построения пучка – положительное (с учётом знака переднего отрезка). В противном случае пучок строим, отталкиваясь от входного зрачка. Аналогичное условие действует в операторе 4.1, где определяется начальное значение аппликаты при построении контура.

В цикле 4.2 с помощью уравнения луча (2) и извлекаемых из матриц лучей координат (нулевой столбец) и направляющих косинусов (первый столбец) вычисляются координаты точек на лучах.

Во втором цикле (оператор 5) по плоскостям разбиения пучка определяются поперечные границы пучка. Если К=Контур(U,L,M), то переменные K0, K1 в зависимости от К4 отобразят проекцию пучка на плоскость OXZ, а переменные K2, K3 в зависимости от К4 – на плоскость OZY.

Задание 2:

Написать по алгоритму (рис.9) программу построения пучка, проверить правильность программы построением контура пучка.

Области исходных параметров зрачка и пучка объединить, так же как и области соответствующих вычислений.

3. ПАРАКСИАЛЬНАЯ СИСТЕМА Для центросимметричных систем со сферическими поверхностями преобразование пространства предметов (X,Y,Z) в параксиальном приближении имеет вид проективного или дробно-линейного:

f f f f X = X, Y = Y, Z =, (7) Z Z Z где f и f’ – переднее и заднее фокусные расстояния, которые отсчитываются от главных плоскостей, в которых линейное увеличение равно 1. Такое преобразование (его ещё называют абсолютным) переводит точку в точку (стигматичность), а плоскость в плоскость.

Сферическая поверхность с радиусом r осуществляет проективное преобразование, то есть является абсолютной системой, если выполняется инвариант Аббе (в параксиальной области):

1 1 1 1 n n n - n n - - = n или - = =.

r s r s s s r (8) Здесь s и s’ – передний и задний отрезки, расстояния от вершины поверхности до предмета и изображения, – оптическая сила поверхности.

Главные плоскости сферической поверхности совпадают и касаются её в вершине.

Умножая обе части инварианта Аббе на высоту луча h и введя обозначения для тангенсов углов:



h h =, =, (9) s s Получаем параксиальный закон преломления на главной плоскости сферической поверхности:

= (n + h). (10) n При исследовании параксиальных систем используется два типа лучей: первый параксиальный (нулевой) луч, исходящий из осевой точки плоскости предметов О и идущий на край входного зрачка, второй параксиальный луч исходит из точки предмета в центр входного зрачка (рис.1), где А – точка предмета, S – передний отрезок, D – диаметр входного зрачка, Z – положение входного зрачка, u – полевой угол, 1 – апертурный угол.

В общем случае тангенс угла входного луча 0 определим с помощью геометрии по рис.11. Напомним, что согласно правилам знаков геометрической оптики, луч, пересекающий оптическую ось снизу составляет с ней отрицательный угол, а идущий сверху – соответственно, положительный угол.

Рис.11 К определению угла входного луча с оптической осью и параметров прохождения лучей через систему H tg(0 ) = tg(u) +. (11) S - Z Зная направление луча, определяем высоту луча на первой поверхности h1 = H + Z tg(0 ) (12) Высота луча на следующей поверхности зависит от угла преломления и расстояния до следующей поверхности (рис.11):

h2 = h1 - 2 t. (13) Если точка предмета находится на оси (u=0), то можно определить передний и задний отрезки луча на оптической оси, отсчитываемые от оптической поверхности. Задний отрезок для k-поверхности определится формулой Рис.12 Программа параксиальной оптики hk S =. (14) k В случае, когда предмет находится на оптической оси и на бесконечности, можно определить заднее фокусное расстояние системы, используя соотношение l = 1 + 2 - 12. (15) n где l – «сдвиг», направленный отрезок с началом в главной задней точке системы 1 и оканчивающийся в передней главной точке системы 2. В качестве системы 2 используем текущую поверхность, а в качестве системы 1 предшествующую этой поверхности часть системы.

l = t - (S - f ), (16) где заднее фокусное расстояние системы определяется формулой n f =. (17) Формулы (8)-(17) достаточны для построения программы нахождения параксиальных характеристик центросимметричных оптических систем.

Блок-схема программы представлена на рис.12.

Исходными данными для построения эквивалентной параксиальной системы служат три вектора и 4 скаляра:

• Вектор радиусов “R”, • вектор толщин и воздушных промежутков “Т”, • вектор показателей преломления пространств предмета, системы и пространства изображения “n”, • Высота луча на входном зрачке “H”, • Расстояние от первой поверхности до входного зрачка “Z”, • Передний отрезок “S”, • Полевой угол в градусах “u”.

Выходными параметрами являются:

• Фокусное расстояние системы, • Задний фокальный отрезок, • Вектор высот, • Вектор углов наклона луча.

Тестирование программы осуществляется с помощью формул для заднего фокусного расстояния и заднего главного отрезка линзы в воздухе:

, (d’=S’f – f’) (18) r1, r2 – радиусы кривизны, n – показатель преломления, t- толщина линзы.

Результаты, рассчитанные по этим формулам и по программе для произвольной линзы, должны совпадать.

Графическое представление о системе можно получить, если для каждой линзы системы построить её контур и все контуры разместить на одном графике, отметив на нем положение главных плоскостей. Построение контура линзы осуществляется программой «Линза».

Комментарии к программе: Входными параметрами служат: R1, R2 – радиусы кривизны, D1 и D2 – световые диаметры первой и второй поверхности, t - толщина линзы, t0 – промежуток системы от вершины первой поверхности системы линз до первой поверхности текущей линзы.

1) Открытие счётчика точек контура.

2) Цикл по 20 точкам контура первой поверхности.

2.1. Текущая высота снизу вверх.

2.2. Угол из центра кривизны первой поверхности в текущую точку высоты.

2.3. Пополнения счётчика точек контура.

2.4. Вычисление абсциссы точки контура.

2.5. Вычисление ординаты точки контура.

3) Аналогичные вычисления для второй поверхности, но сверху вниз и учётом толщины линзы.

4) Замыкание контура присвоением координат начальной точки.

5) Вывод координат с прибавлением промежутка t0.

Задание 3:

Сформируйте область входных данных для произвольной линзы, область вычислений, в которой создайте программу вычислений по приведённой блок-схеме, поместите туда программу «Линза», организуйте вычисления выходных параметров. В области результатов протестируйте полученные результаты и постройте контур линзы.

Программа «Имя» (рис.12) позволяет определить только задние кардинальные точки. Чтобы определить соответствующие передние величины, необходимо провести расчёт в обратном ходе. Оборачивание векторов радиусов, толщин и показателей преломления осуществляется с помощью функции Маткад «reverse». При этом радиусы изменяют знаки на противоположные. Текст программы «Эквивалент», осуществляющей полный параксиальный расчёт, приведён на рис.14.

Рис.13 Контур линзы. В качестве примера: линза-мениск с радиусами кривизны -50 и 100 мм, толщиной 5 мм Для формирования выходных данных используются встроенные матричные операторы Маткад:

• submatrix(a,n1,n2,m1,m2) – формирует подматрицу из элементов матрицы «а», включающих строки с n1 по n2 и столбцы c m1 по m2, • stack(a,b) – объединяет две матрицы, имеющие одинаковое число столбцов и суммарное число строк в одну, • augment(a,b) – объединяет две матрицы с одинаковым числом строк в одну.





Рис.14 Программа, позволяющая объединить параметры параксиальной системы в прямом и обратном ходе Задание 4:

Если тестирование прошло удачно, расширьте область вычислений программой «Эквивалент». Расширьте область данных заданием многолинзовой системы по одному из вариантов, приведённых в приложении. и проведите вычисления. Оформите результаты расчётов.

Факультатив:

Располагая векторами высот и углов, можно вычислить аберрационные коэффициенты третьего порядка [1], суммы Зейделя, в переменных углов первого луча и высот первого «h» и второго «y» лучей при нормировке, когда тангенсы входных лучей равны 1, представлены ниже в виде документа Маткад. Луч №1 трассируется из точки предметной плоскости, расположенной на оси в точку входного зрачка, высота которой H=Z-S. Луч №2 трассируется из внеосевой точки предмета в центр входного зрачка, H=(S=Z). Число поверхностей N, счёт ведётся с номера «ноль». S – передний отрезок, Z - расстояние от первой поверхности до плоскости входного зрачка. «n» - вектор показателей преломления.

Вследствие большого числа слагаемых коэффициент дисторсии Sразбит на две части.

С помощью этих коэффициентов вычисляются аберрации:

сферическая, кома, астигматизм, дисторсия и хроматизм положения и увеличения. В приведённых ниже формулах аберрации зависят от «r» - радиус-вектор точки на входном зрачке, «» - азимутальный угол точки на входном зрачке, отсчитываемый от оси OX, «L» - высота предмета в меридиональной плоскости OYZ, параметр с=1/2nNN, ni – разность показателей преломления i-среды для граничных длин волн полихроматического пучка лучей.

Сферическая аберрация:

Кома, меридиональная и сагиттальная:

Астигматизм меридиональный и сагиттальный:

Дисторсия:

Хроматизм положения:

Хроматизм увеличения (%):

4. Моделирование взаимодействия луча с оптической поверхностью Оптическая поверхность характеризуется формой и коэффициентами показателей преломления примыкающих к ней оптических сред, относящихся к пространствам предмета и изображения. Для отражательной поверхности значение коэффициента преломления пространства изображения условно принимают равным противоположному значению показателя преломления для пространства предмета.

Форма поверхности может быть плоской, сферической и асферической. Среди асферических поверхностей выделяют асферические поверхности второго порядка и высшего порядка. В свою очередь среди асферических поверхностей высшего порядка в зависимости от формы представления выделяют асферику первого и второго типа.

Отражательные поверхности второго порядка обладают свойством переносить излучение из одного фокуса в другой. Для сферы эти два фокуса сливаются в один. На рис.15 представлены основные типы отражательных поверхностей второго порядка в виде главных сечений. Отличительным признаком является коническая постоянная k. Если k>-1, то оба фокуса расположены по одну сторону поверхности: это сплюснутый эллипсоид (сфероид) (k>0), сфера (k=0), эллипсоид (0

Рис.15 Основные типы отражательных поверхностей второго порядка Плоские кривые второго порядка (рис.15) могут быть получены как сечение конической поверхности, вследствие чего они называются кониками.

Коники имеют две главные оси: одна проходит через фокусы, другая перпендикулярно первой через центр симметрии. При вращении коники около одной из главных осей получаются поверхности: сфероид, сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид. Иногда их называют коникоидами.

Если поместить начало координат декартовой системы на пересечении коники с первой главной осью, совпадающей с осью аппликат, а для сфероида на второй главной осью, то коникоид будет описываться формулой:

F(x, y, z,k, R) = x2 + y2 + (1+ k) z2 - 2 R z = (19) Знак вершинного радиуса R определяется по расположению коники. Если кривая расположена справа от вертикальной оси, то R>0, в противном случае R<0.

Будем называть систему координат, в которой нормаль в точке вершины поверхности лежит на оси OZ, а начало совпадает с вершиной, локальной системой координат.

Асферическая поверхность высшего порядка может быть представлена с помощью ряда или относительно радиальной переменной x2+y2, или продольной переменной z:

N N 1) z = (x2 + y2 )i 2) x2 + y2 = zi (20) ci ci i=1 i=где сi – коэффициенты асферики.

Заметим, что поверхность второго порядка (19) представляется асферикой второго типа (20) с коэффициентами: c1 = 2 R; c2 = -(1+ k).

Пересечение луча с поверхностью.

Пусть луч, исходящий из точки А=(X,Y,Z), направленный по оптическому вектору L=n(p,q,m), имеет до пересечения с поверхностью неизвестную длину s, тогда координаты точки поверхности с помощью уравнения луча запишутся в виде x L В = y = A + s. (21) n z Плоская поверхность в локальной системе координат описывается AZ уравнением z=0, поэтому из (21) для плоскости получаем, что s = - n.

LZ Подставляя полученное значение длины луча s в уравнение луча (21), получает координаты точки пересечения луча с плоскостью в локальной системе координат:

L B = A - AZ. (22) LZ Подстановка (21) в (19) позволяет получить квадратное уравнение относительно длины луча s для кривой поверхности.

L2 AX LX + AY LY + (1+ k)AZ LZ - R LZ Z s + F(X,Y, Z, k, R) = 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.