WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 23 |

Для интерпретации как комплексной огибающей светового импульса удобно брать равной центральной частоте спектра входного излучения. Чтобы уравнение (I.5.29) содержало мало слагаемых, т.е. было более простым для анализа, при аппроксимации зависимости k() целесообразно использовать не разложение (I.5.25), а ряд только с положительными степенями. Но при этом можно показать [73], что такой ряд при одинаковом числе оставляемых слагаемых аппроксимирует дисперсию среды несколько хуже ряда (I.5.25).

Уравнения (I.5.28) и (I.5.29) можно получить непосредственно из (I.5.19), используя приближения медленно меняющихся профиля поля импульса E и его огибающей (см. § I.1 и § I.4). Медленность их изменения на малых расстояниях (порядка нескольких длин волн) в средах со слабой дисперсией физически очевидна. Подчеркнем, что требование слабой дисперсии достаточно на интервале, где спектральная плотность излучения не равна нулю, т.е. в линейных широкозонных диэлектриках, вопреки расхожему мнению (см., например [1, 21]), методы медленно меняющихся профиля и огибающей могут быть применимы и для описания распространения импульсов с широкими спектрами. Условием этого является то, что спектральный континуум лежит в диапазоне, где выполнятся (I.5.26) и зависимости n или k() хорошо ( ) аппроксимируются степенными рядами с малым числом удерживаемых слагаемых. Именно поэтому даже генерация спектрального суперконтинуума часто, особенно при сохранении большого числа слагаемых в разложении k(), хорошо описывается в приближении медленно меняющейся огибающей [12, 74], которое, на первый взгляд, пригодно только для квазимонохроматического излучения.

В заключение настоящего параграфа приведем обобщение укороченных уравнений эволюции пространственного (I.5.6), (I.5.18) и временного (I.5.24) спектров на случай волновых пакетов, у которых может быть широким и пространственный и временной спектры.

dg n c2kx c2ky ( )1x + i - gx = 0;

dz c 2n2 2n( ) ( ) dgyc2ky n ( )1- c2kx + i - gy = 0; (I.5.30) dz c 2n2 2n( ) ( ) dg z + ikxgx + ikygy.

dz x В (I.5.30) gi(,kx,ky ) =E(t, x, y, z)ei(t-k x-ky y)dtdxdy – пространственно- - - временные спектры декартовых компонент поля Ei, i=x,y,z.

Таким образом, спектральное укороченное уравнение вида обыкновенного дифференциального уравнения (I.5.24) имеет простые (не интегро-дифференциальные, типа (I.5.27)) полевые аналоги (I.5.28) и (I.5.29) в том случае, если в спектральном диапазоне излучения дисперсия среды хорошо аппроксимируется малым числом членов степенных рядов.

Понятно, что выполнение такого условия наиболее проблематично для излучения со сверхшироким спектром, уравнение динамики которого и является основным предметом анализа данной части книги.

§ I.6. Нелинейные уравнения эволюции спектров непараксиальных волн При обобщении спектрального подхода на нелинейные среды и демонстрации принципов построения укороченных уравнений динамики пространственно-временного спектров фемтосекундных импульсов в этих средах ограничимся скалярной задачей анализа самовоздействия двумерного пучка TE-поляризованного излучения. При этом, как и ранее, z будем полагать ось выделенным направлением, вдоль которого x y распространяется излучение, ось – поперечной координатой, ось – направлением линейно поляризованного электрического поля излучения.

Диэлектрическую среду, в которой распространяется сверхкороткий импульс, по-прежнему будем полагать однородной и изотропной с произвольной зависимостью от частоты линейного показателя преломления n(). Нелинейную часть электрической индукции среды будем рассматривать в простейшем виде Dnl =nlE3, где nl = 4 – нелинейная проницаемость, – нелинейная восприимчивость среды. Такое представление нелинейного отклика диэлектрика, как отмечалось и ранее, в поле сверхкороткого импульса вполне оправдано в первом приближении при его нерезонансном характере и электронной природе. Практическая безынерционность нерезонансной нелинейности диэлектриков в поле сверхкоротких лазерных импульсов подтверждается слабой дисперсией их коэффициентов нелинейного показателя преломления в значительной части диапазонов прозрачности этих материалов [43].

В указанных предположениях уравнение распространения света в диэлектриках (I.3.1) для временного спектра излучения G(z, x,) = E(z, x,t)exp(-it)dt может быть переписано в виде [58] 2G 2G 2n2() + + G + G( - )G( - )G()dd = 0. (I.6.1) z2 x2 c2 c- В свою очередь, уравнение (I.6.1) для пространственного спектра + g(z,kx,) = G(z, x,)exp(ikxx)dx можно переписать в виде 2g 2n2() 2 +- kx g + g(k - mx - nx, - ) z2 c2+ x (I.6.2) 43c g(mx, - )g(nx,)dmxdnxdd = 0.

При переходе от (I.6.1) к (I.6.2) использовано соотношение i(-kx +lx +mx +nx ) x dx = (-kx + lx + mx + nx ).

e Уравнения (I.6.1)–(I.6.2) описывают распространение световых волн как в z положительном, так и в отрицательном направлениях оси, а также их взаимодействие за счет нелинейности среды. Получим уравнение однонаправленного распространения излучения.

Линеаризованное уравнение (I.6.2) имеет решение n() kx c-i 1- z c 2n2 () g(z,kx,) = C1(kx,)e + (I.6.3) n() kx ci 1- z c 2n2 () +C2(kx,)e, C1 Cгде, – константы интегрирования. Первое слагаемое описывает дифракцию прямой волны, второе – обратной. Из (I.6.3) очевидно, что C2 = непараксиальная дифракция прямой волны ( ) описывается укороченным линейным уравнением g n() kxc+ i 1- g = 0. (I.6.4) zc 2n2() Обобщим уравнение (I.6.4) на режим нелинейного распространения излучения. Будем искать нелинейное укороченное уравнение в виде [58] g n() kxc+ i 1- g + N(g) = 0, (I.6.5) zc 2n2() N (g) где – неизвестный нелинейный оператор.



Переход от линеаризованного уравнения (I.6.2) к укороченному уравнению (I.6.4), как подробно обсуждалось в предыдущем параграфе, физически означает переход к анализу дифракции однонаправленной волны. Ясно, что решение укороченного уравнения (I.6.4) является и частным решением линеаризованного полного уравнения (I.6.2). Для N (g) определения вида оператора в (I.6.5) также потребуем, чтобы решения укороченного уравнения (I.6.5) являлись и решением полного уравнения (I.6.2). В соответствии с методикой, предложенной в [59], g g z продифференцировав (I.6.5) по и выразив через из этого же z уравнения, получаем:

g n() kxc+ i 1- g + N(g) = z z c 2n2() 2g 2n2() n() kxc = + - kx g - i 1- N(g) + (I.6.6) z2 c2 2n2() c + N(g) = 0.

z N (g) Сопоставив (I.6.6) с (I.6.2), для оператора получаем соотношение n() kxc-i 1- N(g) + N(g) = c 2n2() z 2 = g(kx - mx - nx, - ) (I.6.7) 43c+ g(mx, - )g(nx,)dmxdnxdd.

N (g) Будем искать в форме N(g) = x (k,,mx,nx,,) g(kx - mx - nx, - )g(mx, - ) (I.6.8) + g(nx,)dmxdnxdd, где (kx,,mx,nx,,) – неизвестная функция. Тогда, используя тот факт, что с точностью до малых более высокого порядка выполняется ( - )n( - ) g(kx - mx - nx, - ) -i zc (kx - mx - nx)2c 1- g, (-)2n2(-) (I.6.9) ( - )n( - ) mxcg(mx,-) -i 1- g, zc ( - )2n2( - ) n() nxcg(nx,) -i 1- g, zc 2n2() из соотношения (I.6.7) с учетом (I.6.8) можно получить = i, где 43c (kx,,mx,nx,,) = kxc2 (kx - mx - nx)2c= n() 1- + ( - )n( - ) 1- + 2n2() ( - )2n2( - ) (I.6.10) -2 mc2 nxcx +( - )n( - ) 1- + n() 1-.

(-)2n2(-) 2n2() Таким образом, нелинейное укороченное уравнение, описывающее непараксиальную динамику пространственного спектра однонаправленного излучения, принимает вид [58] g n() kxc2 2 + i 1- g + i x (k,,mx,nx,,) (I.6.11) zc 2n2() 43c + g(kx - mx - nx, - )g(mx, - ) g(nx,)dmxdnxdd = 0, где описывается соотношением (I.6.10).

Уравнение (I.6.11) после процедуры (I.6.6) с учетом (I.6.7)–(I.6.10) сводится к полному уравнению (I.6.2) с точностью до слагаемых пятого g порядка по (из-за приближения (I.6.9)). Она достаточна, поскольку с этой точностью из (I.3.1) получены и исходные полные спектральные уравнения (I.6.1), (I.6.2).

Выведенное уравнение (I.6.11) позволяет анализировать нелинейную эволюцию светового излучения, спектр которого – как временной, так и пространственный – может становиться очень широким. Правильное описание явления сверхуширения временного спектра возможно из-за учета в (I.6.11) произвольной дисперсии линейного показателя преломления среды и из-за отсутствия существенной дисперсии нерезонансной нелинейности электронной природы в значительной части диапазона прозрачности диэлектриков [43]. Описание с помощью (I.6.11) уширения пространственного спектра излучения (например, из-за самофокусировки) возможно до его ширины, сопоставимой с волновым числом. Если в пространственном спектре kx появляются частоты, большие волнового числа, то в (I.6.11) второе слагаемое становится действительным. Этим компонентам пространственного z спектра соответствуют экспоненциально изменяющиеся вдоль поля, аналогичные полям, возникающим при полном внутреннем отражении. При распространении излучения с таким сверхуширенным пространственным спектром следует дополнительно анализировать возможность генерации обратной волны [75].

Отметим, что уравнение непараксиальной динамики спектра импульса (I.6.11) несложно обобщить на случай сред с инерционной нелинейностью отклика среды. Например, в [76] нелинейное слагаемое в спектральном уравнении учитывает не только электронную нерезонансную, но и рамановскую нелинейность. Развитие спектрального подхода в нелинейной оптике, которое представлено в данном параграфе только для щелевой дифракции, на общий трехмерный случай должно строиться на нелинейном обобщении уравнении (I.5.30) [77]. Важная роль продольной компоненты поля в непараксиальной самофокусировке излучения обсуждалась, например, в [78] (в указанной работе рассматривалась динамика поля только монохроматического излучения).

В заключение данного параграфа обратим внимание на еще одно важное преимущество нелинейных спектральных уравнений перед полевыми. Для нелинейного спектрального уравнения легко строить итерационные решения, поскольку обычно простой вид имеет решение линеаризированного уравнения, которое естественно выбирать начальным итерационным решением. Покажем это, получив приближенное решение уравнения (I.6.11).

Используя подстановку n() kxc g(z,kx,) = U (z,kx,)exp -i 1- z, (I.6.12) c 2n2() U = const которая при представляет собой решение линеаризованного уравнения (I.6.11), и применяя метод последовательных приближений Пикара [79], в первой итерации для комплексной амплитуды спектра (I.6.12) несложно получить формулу [80] U (z,kx,) =U0(kx,) + () f kx,,mx,nx,, 43 ( I.6.13) U0(kx - mx - nx, - ) U0(mx, - )U0(nx,) dmxdnxdd, в которой zkxcexp f kx,,mx,nx,, = -i -1 - 2n 1- -() ( ) c 2n2() (I.6.14) - kxc -1 - 2n 1-, ( ) 2n2() U0(kx,) – пространственно-временной спектр излучения на входе в нелинейную среду (при z = 0).

kxcКак видно из (I.6.14), при -1 - 2n 1- = 0 выполняется ( ) 2n2() z f 0.

f =-i. При 0, как следует из исходного уравнения (I.6.11), c kxcПри 0 справедливо n 1- -ikxc.

( ) 2n2() § I.7. Уравнения эволюции спектров фемтосекундных световых импульсов как обобщение уравнений динамики их полей Описывающее непараксиальную динамику импульсов со сверхширокими временными спектрами нелинейное уравнение (I.6.11) удовлетворяет принципу соответствия, т.е. включает в себя как частный случай известные спектральные и рассмотренные выше полевые уравнения [67].





Полагая излучение монохроматическим частоты 0, следовательно, предполагая g(kx,) =g(kx)(-0) +g*(kx)(+0), (I.7.1) можно показать, что в пренебрежении генерацией гармоник уравнение (I.6.11) принимает вид уравнения непараксиальной самофокусировки монохроматической волны, выведенного в [59]:

gkx 3k+ ik 1- g + i zk2 4n2(0) g*(- kx)g(-)g()dd (I.7.2) = 0.

* - kx (kx -)2 (-)2 1- - 1- + 1- + 1k2 k2 kk Несложно показать, что в пределе плоской волны, распространяющейся z вдоль оси, для которой g(kx,) = 2G()(kx), (I.7.3) уравнение (I.6.11) переходит в уравнение G n() + iG + zc (I.7.4) 2 G( - )G( - )G()dd +i = 0, c n() + ( - )n( - ) + ( - )n( - ) + n() - которое описывает генерацию спектрального суперконтинуума в волноведущих структурах с сильной дисперсией и впервые было приведено в [36]. В этой же работе [36] продемонстрирован переход от уравнения (I.7.4) в пределе слабой дисперсии к его известному нелинейному полевому аналогу [31], который можно получить также в приближении медленно меняющегося профиля.

Для параксиального излучения и слабой дисперсии уравнение (I.6.11) сводится к уравнению [67] n() - Ng N0 [ ] kxc + i g + i g - i g + i z c c 2N0 83cN (I.7.5) g(kx - mx - nx, - )g(mx, - )g(nx,)dmxdnxdd = 0, полевым эквивалентом которого является уравнение, (I.7.6) представляющее собой двумерное уравнение (I.3.22). В дисперсионном представлении линейного показателя преломления (I.5.25), записывая (I.7.6), для простоты мы ограничились лишь первым зависящим от частоты слагаемым.

Таким образом, в этом и предыдущих двух параграфах показано, что при анализе динамики излучения с широкими пространственными и временными спектрами спектральный подход может быть более плодотворным, чем полевой. Сопоставлением уравнений эволюции поля излучения в виде интегро-дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с их спектральными аналогами в виде обыкновенных дифференциальных уравнений этот тезис проиллюстрирован сначала для линейной оптики. Затем показано, что преимущества линейных спектральных уравнений перед полевыми приводят к более богатым возможностям спектрального подхода и в нелинейной оптике. Продемонстрирован метод обобщения укороченных спектральных уравнений линейной оптики на случай нелинейного распространения сверхкоротких импульсов со сверхширокими и пространственными, и временными спектрами. Показано, что получаемое спектральное уравнение в соответствующих предельных переходах принимает вид других известных уравнений, в том числе непараксиальной самофокусировки монохроматического излучения и генерации спектрального суперконтинуума в волноводах. Показано, что его полевой аналог является относительно простым лишь для параксиального излучения и слабой дисперсии среды. Впрочем, справедливо будет отметить, что последнее выполняется в огромном числе практических ситуаций. Но и в этом случае спектральный подход полезен хотя бы методически, помогая ясней очерчивать пределы применимости тех или иных приближений полевого подхода.

Рассмотренные выше в настоящей главе полевые и спектральные подходы позволили за последнее десятилетие теоретически прояснить многие явления нелинейной оптики фемтосекундных импульсов. Начнем их обсуждение с закономерностей нелинейной динамики поля фемтосекундного излучения в оптических волноводах, для которых обычно используют приближение плоской волны, не меняющей поперечную структуру (см. § 1.1).

§ I.8. Самовоздействие фемтосекундных световых импульсов в волноводах Блестящие обзоры многих достижений оптики фемтосекундных импульсов, в том числе в оптических волноводах, даны в изданных ранее монографиях наших коллег [1, 12]. Не считая целесообразным повторять их анализ, мы в следующих параграфах настоящей главы сакцентируем внимание на проблемах оптики фемтосекундных импульсов из небольшого числа колебаний светового поля. Для излучения, например, широко распространенного титан-сапфирового лазера около десятка и менее полных колебаний поля электромагнитной волны содержатся в импульсах с длительностями 30–20 фс и менее. Для таких импульсов нелинейная оптика приобрела существенно отличительные черты, связанные, в первую очередь, с неразрушением оптических сред (по крайней мере, за длительность таких предельно коротких импульсов) даже при весьма высоких интенсивностях излучения. Возможности увеличения интенсивности световой волны в среде без оптического пробоя вещества приводят к качественному изменению как облика известных нелинейных оптических явлений, так и самой природы взаимодействия света с веществом. Так, фазовая само- и кросс-модуляция излучения при высоких интенсивностях переходит в явление генерации спектрального суперконтинуума, развитие которого в сильных световых полях определяется недостижимой для длинных импульсов в твердотельных диэлектриках без оптического пробоя плазменной нелинейностью вещества. Именно для построения теории нелинейной оптики импульсов с малым числом колебаний, которые имеют очень широкий спектр излучения, и были разработаны новые полевые и спектральные подходы, рассмотренные в настоящей главе выше.

Начнем обсуждение основных закономерностей распространения фемтосекундных импульсов из небольшого числа колебаний светового поля со случая малоинтенсивного излучения.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 23 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.