WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 23 |

Для линейно поляризованного излучения из (I.3.1) вытекает скалярное уравнение tt E N0 E 3E E c +- a + b Edt + gE2 = Edt. (I.3.22) z c t t3 t 2N0 a = b = g = Уравнение (I.3.22), при описывающее дифракцию поля излучения в вакууме, было получено в [64]. Для оптической среды с дисперсией и нелинейностью уравнение (I.3.22) впервые было предложено в [31], где оно было получено редукцией системы из волнового уравнения и осцилляторных уравнений для поляризации электронной и колебательной природы. В [31] не обсуждались пределы его применимости. Векторное уравнение (I.3.16) впервые обосновывалось в [49] (см. также [50]).

Для целей численного моделирования и получения экспресс-оценок характера распространения излучения уравнение (I.3.22) удобно нормировать, перейдя в сопровождающую импульс систему отсчета y c E ~ y = времени = t - z и вводя новые переменные E =, z = a3z,, r N0 Ex ~ x = E, t =0t, где – максимальное значение напряженности поля r r входного импульса, 0 – его центральная частота, а – поперечный размер. В этих переменных уравнение (I.3.22) принимает вид [37, 56] t E 3E E - + B Edt + GE2 = D Edt. (I.3.23) z - - cr b В (I.3.23) знак «~» опущен; B = 3, cr = – частота излучении, 0 3a nnl G = при которой групповая дисперсия в среде равняется нулю;

nl, nnl = n2E0 имеет смысл нелинейной добавки к показателю преломления среды, индуцированной в поле монохроматической волны с c Eамплитудой, nl = ac0 – дисперсионная добавка; D =.

2N0r2nl B G D Соотношения между коэффициентами,,, которые зависят от характеристик среды и входных параметров излучения, определяют доминирование на начальном этапе распространения импульса нормальной или аномальной групповой дисперсии, самовоздействия или дифракции.

§ I.4. Уравнения динамики поля фемтосекундных световых импульсов как обобщение уравнений динамики их огибающих Покажем, что уравнение (I.3.22) включает как частный случай известные уравнения для огибающих квазимонохроматических импульсов [1, 21], в том числе модифицированные на случай малого числа осцилляций под огибающей [16, 22]. Для этого используем в (I.3.22) подстановку вида E(r,t) = (r,t)exp(i(k0z - 0t)) + c.с., (I.4.1) 0 k0 = 0c / N0 – новая Здесь – произвольная фиксированная частота,, (r,t) переменная. Для этой переменной уравнение (I.3.22) переписывается в виде 1 2 2 3 + + i - - in+1 n z V t 2 t2 6 t3 n=4 n n! tn 3 -i1 +) ( )- (i1 +2 )exp(2i(k z -0t) = t t 0 t i = (r,t )exp i0(t - t ) dt, () 2k0 i - (I.4.2) - k nk() N0 b g0 g где V =, n =, k = +a3 -, 1 = и 2 =.

n 4 0 c Рассматривая на основе уравнения (I.4.2) эволюцию квазимонохроматического импульса в нелинейной среде, естественно принять равной несущей частоте, а переменную (r,t) тогда можно ассоциировать с огибающей импульса. Ограничиваясь в (I.4.2) при учете дисперсии третьим и четвертым членами уравнения, пренебрегая в его левой части последним слагаемым, описывающим генерацию гармоник, и учитывая в разложении дифракционного слагаемого [37, 56] 0 t i (r,t )exp i0(t - t ) dt = () 2k0 i - i i (r,t) i 2(r,t) = (r,t) - + -..., (I.4.3) 2k0 t 0 t которое получается интегрированием по частям, только первый член, из (I.4.2) получаем хорошо известное нелинейное уравнение эволюции огибающей светового импульса вида [1, 21] 1 2 2 3 3 + + i - - i1 + ( )= i. (I.4.4) z V t 2 t2 6 t3 t 2kДля адекватного описания зависимости k() в спектральном диапазоне излучения в случае импульсов с малым числом осцилляций под огибающей и соответственно с широким временным спектром возможно увеличение количества удерживаемых в (I.4.2) дисперсионных слагаемых, а также целесообразно сохранение в нем исходного интегрального слагаемого, описывающего дифракцию. Отметим, что в [22] это слагаемое записано в виде эквивалентного обратного оператора:

- 0 t i (r, z,t )exp i0(t - t ) dt = (r, z,t). (I.4.5) ()0 t 1+ i - В справедливости представления (I.4.5) несложно убедиться, применив к i его правой и левой частям прямой оператор.

1+ 0 t При использовании метода огибающих в уравнении (I.4.2) пренебрегают последним членом в его левой части, так как суть метода состоит в уходе от рассмотрения динамики «быстрых» осцилляций электрического поля.

Поэтому, несмотря на полную эквивалентность линеаризованных уравнений (I.3.22) и (I.4.2), в нелинейных задачах последнее, в отличие от первого, не учитывает генерацию кратных частот (для них следует писать дополнительные уравнения) и их взаимодействие с исходным излучением.

Кроме того, для импульсов из малого числа колебаний теряется главное преимущество метода огибающих – возможность уйти от анализа каждого из многочисленных колебаний под этой огибающей, поскольку длительность импульса становится сравнимой с временным масштабом всего одного колебания. Потеря физического содержания понятия огибающей для импульсов предельно коротких длительностей проявляется и в значительном усложнении (I.4.2) по сравнению как с (I.4.4), так и с обобщающим его полевым уравнением (I.3.22).

Таким образом, в предельном случае квазимонохроматических импульсов уравнение (I.3.22) переходит в кубическое нелинейное уравнение Шредингера для огибающей сигнала, модифицированное с учетом высоких порядков теории дисперсии. Т.е. (I.3.22) удовлетворяет принципу соответствия и содержит в себе как частный случай основное уравнение нелинейной оптики сверхкоротких импульсов. В отношении векторного уравнения (I.2.2) и уравнения (I.2.3), учитывающего инерционную электронно-колебательную нелинейность, принцип соответствия обоснован в [49] и [65].



Как видно из предыдущего рассмотрения, уравнения эволюции поля световой волны обычно получают в приближении его медленно меняющегося профиля. В пренебрежении нелинейностью вещества и дифракцией излучения они не обладают существенными преимуществами перед уравнениями эволюции огибающих, которые получают в близком по физической сути приближении медленно меняющейся огибающей. Но, конечно, важно, что полевые уравнения точнее учитывают дифракцию однонаправленного излучения, а также проще и адекватней описывают нелинейные процессы генерации и кросс-модуляции компонент сверхуширяющегося спектра фемтосекундного излучения.

В следующем параграфе мы обсудим еще один – спектральный – подход к описанию распространения излучения, спектр которого, как временной, так и пространственный, может быть широк. В нем будет показано, что при выводе уравнений эволюции спектров излучения не требуются приближения ни медленно меняющейся огибающей, ни медленно меняющегося профиля. Более того, спектральный подход позволяет легко установить условия применимости этих приближений. Но самое главное, что спектральные уравнения, в отличие от полевых, позволяют достаточно просто описывать непараксиальную дифракцию излучения. Это важнейшее преимущество спектрального подхода в описании динамики излучения с широкими спектрами может быть продемонстрировано уже в линейной оптике. Рассмотрим линейные спектральные уравнения.

§ I.5. Линейные уравнения эволюции спектров непараксиальных волн Проанализируем вначале частный случай распространения излучения с бесконечно узким временным, но в общем случае широким пространственным спектром, т.е. дифракцию монохроматического излучения. Оптическую среду будем предполагать диэлектрической, немагнитной, однородной и изотропной. Тогда базовые уравнения классической оптики – уравнения Максвелла – можно записать в виде [38]:

(I.5.1a) (I.5.1б) где и – амплитуды напряженности полных электрического 1 E = Eeit + к.с. и магнитного H = Heit + к.с. полей, – частота 2 излучения, – диэлектрическая проницаемость среды на этой частоте, c – скорость света в вакууме. Еще два уравнения Максвелла, демонстрирующие соленоидальность векторов и (т.е. то, что их дивергенция равна нулю), уже содержатся в (I.5.1а), и их не выписываем.

На практике ограничиваются анализом эволюции электрического поля световой волны. Тогда, применив операцию к левой и правой части уравнения (I.5.1а), выразив из (I.5.1б) и учтя соленоидальность электрического поля, для E несложно получить уравнение Гельмгольца [38]:

, (I.5.2) где волновое число. Поскольку уравнение (I.5.2) – линейное и k – скалярная величина, то далее обычно независимо рассматривают эволюцию каждой из декартовых компонент поля, решая скалярное уравнение Гельмгольца со своими граничными условиями для каждой из компонент.

Полагая, что для скалярных компонент поля выполняется и, при, т.е. считая ось z выделенным направлением, вдоль которого распространяется излучение, для пространственного спектра, (I.5.3) где kx, ky – пространственные частоты, из уравнения Гельмгольца несложно получить уравнение [66]. (I.5.4) Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (I.5.4) можно записать в виде, (I.5.5) где постоянные интегрирования с1 и c2 определяются из граничных условий.

Первое слагаемое в (I.5.5) описывает дифракцию прямой волны, второе – обратной. Из (I.5.5) очевидно, что дифракция только прямой волны (с2 =0) описывается укороченным (с производной по z более низкого порядка, чем в (I.5.4)) уравнением. (I.5.6) Если на входе в среду (при z = 0) световой пучок широкий и не имеет мелкой поперечной структуры, т.е. пространственный спектр световой волны узкий и для всех ее спектральных компонент выполняется, (I.5.7) то (I.5.6) можно переписать в виде [67] (I.5.8) По известным уравнениям непараксиальной дифракции (I.5.6) и параксиальной дифракции (I.5.8) однонаправленного излучения (световых пучков), а также их решению (I.5.5) (где c2 =0), используя преобразование Фурье, (I.5.9) можно получить полевые аналоги этих уравнений.

Уравнение параксиальной динамики поля, как следует из (I.5.8) и с учетом (I.5.9), может быть записано в виде [67] (I.5.10) При использовании подстановки (I.5.11) и пренебрежении производными по поперечным координатам выше второго порядка из (I.5.10) следует параболическое уравнение, (I.5.12) которое хорошо известно в линейной оптике и описывает дифракцию Френеля. Укороченное уравнение (I.5.12) несложно получить непосредственно из уравнения Гельмгольца, сделав подстановку (I.5.11) и полагая амплитуду поля (точнее, ее производную) медленно изменяющейся на расстояниях порядка длины волны :

. (I.5.13) Понятно, что приближение медленно меняющейся амплитуды (I.5.13) в линейной оптике эквивалентно параксиальному приближению (I.5.7).

Полевой аналог уравнения (I.5.6) непараксиальной дифракции однонаправленного излучения имеет вид [68], (I.5.14) где [69], – функция Ханкеля.

Уравнение (I.5.14) было получено на несколько десятков лет позже уравнения (I.5.12) и практически не встречается в учебной и научной литературе. Зато, наверное, в любом учебнике высшей школы по оптике можно найти полевой аналог соотношения (I.5.5) для однонаправленного излучения (при c2 = 0), который имеет вид (I.5.15) здесь х, у – координаты в плоскости z = 0. Соотношение (I.5.15) при есть не что иное, как математическое выражение эвристического принципа Гюйгенса–Френеля, с которого и началась теория дифракции [41].





Таким образом, простому алгебраическому соотношению (I.5.5) и обыкновенным дифференциальным уравнениям (I.5.6) и (I.5.8), получаемым для спектров, в полевом подходе соответствует весьма громоздкий интеграл (I.5.15), а также интегро-дифференциальное уравнение (I.5.14) и уравнение в частных производных (I.5.10). Учитывая, что процедура быстрого преобразования Фурье – одна из наиболее совершенных в программировании [70], ясно, что численно моделировать, да и качественно анализировать дифракционные явления часто удобней в рамках спектрального подхода. Особенно это относится к излучению с широким пространственным спектром (ср. вид уравнений (I.5.6) и (I.5.14) или их решений (I.5.5) и (I.5.15)).

Несмотря на привычность вышеприведенных рассуждений, обратим внимание читателя на то, что не все решения уравнения Гельмгольца (I.5.2) являются решениями исходных уравнений Максвелла (I.5.1). Так, уравнение (I.5.2) допускает решения в виде световых пучков с широким пространственным спектром, поляризация которых линейная. Например, для спектра x-компоненты поля оно может иметь вид (I.5.5), а для спектров y- и z-компонент быть нулевым. Однако поле таких пучков характеризуется ненулевой дивергенцией, что противоречит уравнениям (I.5.1). Поэтому, найдя решения скалярного уравнения Гельмгольца, например, для поперечных компонент поля Ex и Еy, для определения продольной компоненты Ez полезно использовать условие соленоидальности поля, (I.5.16) которое для пространственного спектра (I.5.3) принимает вид [67]. (I.5.17) С учетом (I.5.6) для однонаправленной волны из (I.5.17) следует. (I.5.18) Из (I.5.18) понятно, что приведенное замечание особенно важно для световых волн с широким пространственным спектром. Следовательно, результаты большого числа работ (см., например, [71, 72] и обзоры в них), в которых непараксиальная дифракция света изучается на основе анализа уравнений Гельмгольца (для монохроматических волн) или волнового уравнения (для импульсов), являются только «полуфабрикатами» решений уравнений Максвелла. Их можно конструировать, как предложено выше, а также по другим методикам. Например, автором [72] такие решения предложено строить в виде ротора от вектора, формируемого скалярными декартовыми проекциями поля, которые определяются как решения волнового уравнения (или уравнения Гельмгольца для монохроматических волн).

Проанализируем другой частный случай. Рассмотрим теперь излучения с бесконечно узким пространственным, но широким временным спектром, т.е. дисперсию плоской поперечно однородной волны.

Оптическую среду будем по-прежнему предполагать диэлектрической, немагнитной, однородной и изотропной. Тогда уравнения Максвелла несложно редуцировать к волновому уравнению вида [38], (I.5.19) где z – направление, вдоль которого распространяется плоская волна;

D электрическая индукция в среде без пространственной дисперсии имеет вид, (I.5.20) а (t) характеризует инерционность отклика среды.

Дополнительно отметим, что в рассматриваемом случае уравнениям Максвелла удовлетворяют те решения (I.5.19), которые имеют вид поперечной волны.

Для временного спектра каждой из поперечных (в декартовой системе координат x и y) компонент поля G, z = E t, z e-itdt ( ) ( ), (I.5.21) где – частота, из волнового уравнения (I.5.19) несложно получить уравнение вида. (I.5.22) В (I.5.22) n() – показатель преломления среды для монохроматического излучения частоты, причем, где.

Решение дифференциального уравнения (I.5.22) имеет вид, (I.5.23) где постоянные интегрирования D1 и D2 определяются из граничных условий. Первое слагаемое в (I.5.23) описывает дисперсию волны, распространяющейся в положительном направлении оси z, второе – дисперсию обратной волны.

Из (I.5.23) понятно, что эволюция спектра однонаправленного излучения (например, при D2 = 0) описывается укороченным уравнением вида. (I.5.24) Уравнение (I.5.24) позволяет анализировать распространение света в средах со сколь угодно сложной дисперсией, например, описываемой формулой Зелмейера [41].

При анализе одного из наиболее важных на практике случаев распространения излучения, спектр которого находится в диапазоне прозрачности среды, зависимость ее показателя преломления может быть хорошо аппроксимирована рядом [41], (I.5.25) где N0, a1, a2,..., b1, b2,... – эмпирические дисперсионные параметры среды.

Аппроксимация (I.5.25) обусловлена нерезонансным характером взаимодействия света с веществом, и поэтому ей присуще также условие слабой дисперсии. (I.5.26) Полевой аналог обыкновенного дифференциального уравнения для спектра (I.5.24) имеет вид интегро-дифференциального уравнения E, + n t - t E t dt = 0, ( ) ( ) (I.5.27) z c t где n(t) = n()eitd характеризует инерционность отклика среды.

С учетом разложения зависимости показателя преломления от частоты в ряд (I.5.25) уравнение (I.5.27) может быть представлено в виде (см. § I.1) I.5.28) где. При получении (I.5.28) полагали, что при.

Используя подстановку, где, E t, z = t, z ei( t-k0z) + кс.

.

( ) ( ) n описывается формулой (I.5.25), – произвольная частота из ( ) диапазона, где выполняется аппроксимация (I.5.25) (т.е. справедливо (I.5.28)), для комплексной амплитуды можно получить. (I.5.29) В (I.5.29), n = 1, 2, 3;.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 23 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.