WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики В.И.Егоров Точные методы решения задач теплопроводности Учебное пособие Санкт-Петербург 2006 В.И.Егоров Точные методы решения задач теплопроводности. Учебное пособие. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. - 48 с.

Учебное пособие «Точные методы решения задач теплопроводности» составлено в соответствии с программой курса "Специальные разделы высшей и вычислительной математики" Государственного стандарта высшего и профессионального образования для направления подготовки дипломированных специалистов 140402 – Теплофизика и направления подготовки бакалавров и магистров 140400 – Техническая физика.

Подготовлено на кафедре компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга.

Одобрено к изданию на заседании кафедры КТФ и ЭМ 20 октября 2005 года. Одобрено на заседании методической комиссии инженернофизического факультета 17 января 2006 года.

Рецензенты:

Зав.кафедрой информатики Российского государственного педагогического университета им.А.И.Герцена, проф., д.т.н. Копыльцов А.В.

Профессор кафедры ОЭПиС Санкт-петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, д.т.н.

Коняхин И.А.

Допущено Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 140402 – Теплофизика и 140400 – Техническая физика © Автор: В.И.Егоров, 2006.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2006.

2 Оглавление Введение ………………………………………………………………………. 4 Раздел 1. Понятие об уравнениях математической физики ……………….. 5 Раздел 2. Вывод уравнения теплопроводности …………………………….. 8 Раздел 3. Температурное поле неограниченной пластины при граничных условиях первого рода…………………………… Раздел 4. Анализ полученного решения.

Среднеобъемная температура. Расход тепла…………………….. Раздел 5. Граничное условие третьего рода ………………………………... Раздел 6. Вспомогательные задачи ………………………………………….. Раздел 7. Температурное поле неограниченной пластины при граничных условиях третьего рода………………………….. Раздел 8. Температурное поле шара и бесконечного цилиндра при граничных условиях третьего рода………………………….. Литература ……………………………………………………………………. Приложение Введение Настоящее учебное пособие составляет часть методического обеспечения учебного курса «Специальные разделы высшей и вычислительной математики», который читается студентам кафедры компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга СПб ГУ ИТМО с 1993 года.

В пособии рассмотрен метод разделения переменных для решения стационарных одномерных задач теплопроводности для неограниченной пластины при граничных условиях первого и третьего рода, для бесконечного цилиндра и шара при граничных условиях третьего рода.

В пособии содержатся таблицы и номограммы, необходимые студентами для выполнения расчетных заданий.

Раздел 1. Понятие об уравнениях математической физики Предметом теории уравнений математической физики является изучение математической дифференциальных уравнений, описывающих различные физические явления.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной, математическая физика изучает уравнения в частных производных, то есть такие уравнения, решением которых являются функции, зависящие от нескольких переменных.

Так, например, U U Y + X = 0 - уравнение в частных производных первого x y порядка, 2U 2U U - + = 0 - уравнение в частных производных второго x x2 yпорядка.

Пусть дано уравнение U = f (y), (1.1) y где U=U(x,y). Все функции, удовлетворяющие уравнению (1.1) имеют вид U (x, y) = f ( y)dy + (x), (1.2) где (x) – произвольная функция от x. Это легко проверить непосредственной подстановкой.

Итак, решение (1.2) уравнения (1.1) содержит одну произвольную функцию, а, как известно, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную. По аналогии решение (1.2) называется общим решением уравнения (1.1).

Большая часть задач математической физики связана с решением линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка вида 2U 2U 2U U U A + B + C + D + E + FU = 0, (1.3) xy x x x2 yгде А, В, С, D, Е, F – постоянные числа.

Как и обыкновенные линейные однородные уравнения, уравнение (1.3) обладает свойством суперпозиции: если каждая из функций U1(x, y), U2(x, y), … Un(x, y) является решением уравнения (1.3), то их линейная комбинация C1U1(x, y)+ C2U2(x, y)+…+ CnUn(x, y), где C1, C2, …, Cn – произвольные постоянные, тоже является решением этого уравнения. Это можно проверить непосредственной подстановкой. Но в отличие от обыкновенного линейного однородного уравнения n-го порядка, которое имеет ровно n линейно независимых частных решений, а их линейная комбинация дает общее решение, линейное однородное решение в частных производных может иметь бесчисленное множество линейно независимых решений U1(x, y), U2(x, y), … Un(x, y).



Составим ряд (1.4) C Ui (x, y).

i i=Так как уравнение (1.3) – линейное, то, если ряд (1.4) сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и y, то он будет общим решением уравнения (1.3). Укажем основные типы уравнений математической физики для случая функций двух независимых переменных.

1. Уравнение параболического типа U 2U = a. (1.5) xК решению этого уравнения приводят распространение теплоты, потому его называют уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье.

2. Уравнение гиперболического типа 2U 2U =. (1.6) 2 xЭто уравнение называют волновым уравнением или уравнением колебания струны, так как оно описывает поперечные колебания струны, продольные колебания стержня и так далее.

3. Уравнение эллиптического типа – уравнение Лапласа 2U 2U + a = 0. (1.7) x2 yК исследованию этого уравнения приводят решения задач о стационарном тепловом состоянии, гидродинамики, диффузии и других.

Названия типов этих уравнений даны по аналогии с названиями кривых второго порядка.

В данном пособии мы будем подробно рассматривать только задачи, связанные с распространением теплоты, потому приведем вывод уравнения теплопроводности.

Раздел 2. Вывод уравнения теплопроводности Пусть t(x, y, z, ) – температура, – время, dS – элемент площади поверхности тела, n0 - орт нормали к поверхности, направленный по направлению потока теплоты, то есть в сторону уменьшения температуры.

t Тогда < 0.

n ndS grad t Рис.2.1. Нормаль к поверхности и градиент температуры.

t Производная равна проекции grad t на направление n0, то есть nt = gradn0t (2.1) nПо закону (гипотезе) Фурье количество теплоты, протекающее через поверхность dS за время d в направлении n0 равно t dQ = - dS d (2.2) nгде >0 – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, Вт/мК или ккал/мчК.

Для определенности рассмотрим случай, когда тело (V), ограниченное поверхностью (S), нагревается, тогда n0 - орт внутренней нормали.

n n(V) (S) Рис.2.2. Внешняя и внутренняя нормали к поверхности.

Возьмем орт внешней нормали n0 = - n0. Из (2.1) и (2.2) получим dQ = gradntdS d. (2.3) Количество теплоты, протекающее через всю поверхность (S) за время d, равно Q = d gradnt dS (2.4) ( S ) По теореме Гаусса-Остроградского поток вектора a через замкнутую поверхность (S) равен (2.5) n a dS = div a dV (S ) (V ) Применяя эту теорему получим Q = d gradnt dS = d (2.6) div( grad t )dV ( S ) (V ) За счет поглощаемой теплоты тело нагревается. Пусть за время d температура элемента объема dV повысилась на dt. При этом поглощается количество теплоты t cdVdt = cdV d, где – плотность, кг/м3; С – удельная теплоемкость, Дж/(кгК) или ккал/(кгК), которые предполагаем постоянными.

Общее количество теплоты, поглощаемое всем телом (V) за время d, равно t Q = d (2.7) c dV.

(V ) Приравнивая правые части равенств (2.6) и (2.7), получим t c dV = div( grad t) dV, (V ) (V ) или t c - div( grad t)dV = 0.

(V ) Это равенство должно выполняться для произвольного объема (V), где происходит теплообмен, а это возможно в том и только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю. Отсюда следует равенство t c dV = div( grad t) (2.8) Будем считать постоянным. Тогда t t t grad t = i + j + k, x y z 2t 2t 2t div( grad t) = + + x2 y2 z и уравнение (2.8) можно записать в виде t 2t 2t 2t c = + + (2.9) x2 y2 z Выражение = a называют коэффициентом c температуропроводности. Тогда уравнение (2.9) примет вид t 2t 2t 2t = a + + (2.10) x2 y2 z Это уравнение теплопроводности в случае, когда теплофизические характеристики постоянные, а температура зависит от времени и трех координат.

В случае одномерной задачи, когда t=t(x, ), получим уравнение t 2t = a. (2.11) x Это уравнение теплопроводности для теплоизолированного стержня, для неограниченной пластины.

Под неограниченной пластиной понимают пластину, толщина которой конечна, а длина и ширина неограниченные. На практике можно считать, что эти условия выполнены, если длина и ширина велики по сравнению с толщиной. Ниже будут подробно рассмотрены задачи именно для такой пластины.

Но для решения каждой конкретной задачи, кроме дифференциального уравнения, должны быть заданы условия, специфические именно для задачи.

Так, чтобы найти температурное поле тела в любой момент времени, нужно знать распределение температуры распределение температуры в начальный момент времени, начальные условия и закон взаимодействия тела с окружающей средой, граничные условия.

При решении задач мы будем использовать граничные условия двух типов:

1. Граничное условие первого рода, когда задана температура поверхности тела в любой момент времени.

2. Граничное условие третьего рода, когда известна температура среды, а на поверхности тела происходит конвективный теплообмен (об этом граничном условии ниже будет сказано подробнее).

Раздел 3. Температурное поле неограниченной пластины при граничных условиях первого рода Пусть неограниченная пластина толщиной 2R c постоянной начальной температурой tH охлаждается при условии, что на ее поверхностях в течение всего процесса охлаждения поддерживается температура равная нулю. Требуется определить температуру t(x,) в любой точке x в любой момент времени.





Нулевая температура поверхностей позволяет упростить решение задачи. В дальнейшем этим решением легко воспользоваться и в случае, кгда температура поверхностей отлична от нуля.

Итак, нужно найти функцию t(x,), удовлетворяющую следующим условиям:

уравнению теплопроводности:

t 2t = a ; (3.1) x t -R 0 R x Рис.3.1. Расположение системы координат в неограниченной пластине.

Начальному условию t(x, 0)=tH; (3.2) граничным условиям t(R, )=0, (3.3) t(-R, )=0. (3.4) Это однородная задача, так как граничные условия однородные, t(x,)=0 им удовлетворяет.

Условие (3.4) можно заменить следующим t |x=0 = 0, (3.5) x что означает отсутствие потока тепла в плоскости x=0 и следует из симметрии температурного поля пластины в заданных условиях.

Одним из способов решения задач подобного типа является метод разделения переменных, или метод Фурье, которым мы и воспользуемся для решения поставленной задачи (3.1)-(3.5). Метод состоит в том, что ищется решение уравнения (3.1) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной t(x, )=T()T(x). (3.6) Подставив эту функцию в уравнение (3.1) получим XT’=aX”T или T ' X" = a (3.7) T X Равенство (3.7) должно быть тождеством. Это возможно только в том случае, если обе его части равны одному и тому же постоянному числу, которое оказывается обозначить –an2, где a – коэффициент температуропроводности, а n – неизвестное пока число. Итак, требуется решить два уравнения:

T ' = -an2, aX "T = -an2 (3.8) T Решение первого из них имеет вид T = Ce-an (3.9) Знак минус перед an2 выбран потому, что показатель степени в (3.9) должен быть отрицательным, так как иначе t(x,) неограниченно возрастала бы при +. Второе из уравнений гармонических колебаний X” + n2X=0, а его решением является X=C1cos nx + C2sin nx (3.10) Перемножив T и X из (3.9) и (3.10) и обозначив произвольные постоянные СС1=А, СС2=В, получим решение уравнения (3.1) в виде t(x, ) = e-an (Acos nx + B sin nx) (3.11) Выражение для t(x, ) из (3.11) удовлетворяет уравнению (3.1) при любых значениях произвольных постоянных n, А и В для определения используем (3.2), (3.3), и (3.5).

t Из условия (3.5) |x=0 = e-an (-Asin nx + B cos nx) |x=0 = x или e-an Bn = 0. Отсюда В=0, так как при n=0 получили бы t=const.

Подставив В=0 в (3.11), получим решение в виде t(x, ) = Ae-an cos nx = 0 (3.12) Воспользуемся теперь условием (3.3) t(R,)=0, t(R, ) = Ae-an cos nR = 0. Коэффициент А0, т.к.иначе получили бы тривиальное решение t(x, )=0, следовательно cos nR = 0. (3.13) Это уравнение, называемое характеристическим уравнением задачи, имеет, бесчисленное множество корней. Обозначив nR = µ, получим (2k -1) nR = µ = ; k = 0,±1,±2...± K Каждому значению K соответствует свой корень µк, (2k -1) µk = nk R = ; k = 0,±1,±2...± K (3.14) a(2k -1)Обозначим an2 = = k.

k 4RЧисла к называются собственными (характеристическими) числами k задачи, а функции cos nk x = cos x называются собственными a функциями задачи. При k = 1, 2,… все собственные функции различны.

Если же взять k = 0, -1, -2,…, то новых собственных функций не получим.

Таким образом, нашлось множество функций вида (3.12) -aµk µk x Rt(x, ) = Ake cos, k = 1, 2,…, R где µк определены формулой (3.14) Так как уравнение (3.1) линейное, то оно обладает свойством суперпозиции и ряд -aµk µk x Rt(x, ) = Ake cos (3.15) R k=Является решением этого уравнения, если он сходиться и его можно почленно дифференцировать два раза по x и один раз по.

Допустим, что эти условия выполнены. Решение (3.15) удовлетворяет граничным условиям (3.3) и (3.5), так как каждый член ряда удовлетворяет этим условиям.

Вычислим коэффициент АК, используя условие (3.2), из которого при =0 следует µk x tH = Ak cos (3.16) R k =x Покажем, что система функций cos µk, к = 1, 2,… ортогональна на R [0,R]. Пусть ik. Вычислим интеграл R R x x 1 x x k cos µk R cos µi R dx = cos(µ - µi ) R + cos(µk + µi ) dx = 2 R 0 1 sin(µk - µi )R sin(µk + µi )R = + = 2 µk - µi µk + µi так как µk ± µi = ((2k -1) ± (2i -1)) есть число кратное.

Так как t(x,0)=tH удовлетворяет на [0,R] условиям Дирихле (она в данном случае постоянна), то (3.16) – это ряд Фурье для tH, коэффициенты которого вычисляются по формуле R x H t cos µk R dx Ak =. (3.17) R x cos µk R dx Если начальная температура не постоянна и условие (3.2)имеет вид t(x,0)=f(x), где f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то R x f (x)cos µk dx R Ak =.

R x cos µk R dx Вычислим интегралы, входящие в (3.17).

R x R 2tH R +H t cos µk R dx = tH µk sin µk = (-1)k (2k -1) R R x 1 x cos µk R dx = (1+ cos 2µk R)dx = R.

2 0 4tH Итак, Ak = (-1)k +(2k -1) Подставив эти значения АК в (3.15), получим окончательное решение задач в виде µ a k 4tH (-1)k+1 - x Rt(x, ) = e cos µk. (3.18) (2k -1) R k =Можно показать, что этот ряд сходится при любом x [-R,R] и любом.

Как уже было сказано выше, решение получено при условии, что ряд можно почленно дифференцировать. Достаточным условием для возможности дифференцирования и интегрирования ряда является существование числового знакоположительного сходящегося ряда, мажоратного для ряда (3.18).

В учебниках по математической физике, например в [1], доказывается, что такой ряд существует.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.