WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Математический анализ II Санкт-Петербург 2002 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Кафедра высшей математики Математический анализ II Учебное пособие Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой Санкт-Петербург 2002 © Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики Коллектив авторов:

И.А. Лапин, Л.С. Ратафьева Математический анализ II /Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой/ Учебное пособие. СПб: СпбГИТМО (ТУ). 2002. …с.

Предлагаемое учебное пособие представляет собой базовый конспект лекций по высшей математике для студентов 1 курса (II семестр) дневного и вечернего отделения общеинженерных специальностей. В нём рассмотрены следующие темы: 1. Определённые интегралы. 2. Несобственные интегралы. 3. Двойные и тройные интегралы. 4. Криволинейные интегралы.

5. Поверхностные интегралы. 6. Элементы теории поля. Содержание пособия соответствует федеральным образовательным стандартам и программе дисциплины "математика" для направления 550000 - Технические науки.

2000 г. Основное назначение пособия - помочь студентам в самостоятельном изучении данных разделов курса в условиях сокращённого количества аудиторных занятий. Является вторым изданием учебных пособий Анализ I и Математические основы теории физических полей, изданных в ЛИТМО в 1991 г. и в 1989 г. соответственно.

Содержание учебного пособия разбито на главы, параграфы и пункты.

Нумерация формул, теорем, примеров и рисунков сделаны по параграфам.

Список использованной литературы приводится в конце пособия без дополнительных ссылок.

Одобрено на заседании кафедры высшей математики ИТМО (ТУ) (протокол №3 от 8.02.2000 г.) 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Определённый интеграл...........................................

§1. Определённый интеграл. Его свойства............................................ §2. Вычисление определённого интеграла............................................ §3. Приложения определённого интеграла............................................ §4. Общая схема применения определённого интеграла..................... Глава II. Несобственные интегралы......................................

§1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку......

§2. Несобственные интегралы от неограниченных функций..............

§3. Интегралы, зависящие от параметра................................................

§4. Гамма - функция.................................................................................

§5. Бета - функция....................................................................................

Глава III. Двойной и тройной интегралы.............................

§1. Двойной интеграл...............................................................................

§2. Тройной интеграл...............................................................................

§3. Применения двойных и тройных интегралов..................................

§4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах................................................................................................

Глава IV. Криволинейные интегралы..................................

§1. Криволинейные интегралы I рода....................................................

§2. Криволинейные интегралы II рода...................................................

§3. Формула Грина...................................................................................

§4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования.........................................................................................

Глава V. Поверхностные интегралы......................................

§1. Поверхностные интегралы I рода.....................................................

§2. Поверхностные интегралы II рода....................................................

§3. Формула Остроградского..................................................................

§4. Формула Стокса..................................................................................

Глава VI. Элементы теории поля...........................................

§1. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению...........

§2. Векторное поле...................................................................................

§3. Теорема Остроградского (векторная форма). Дивергенция векторного поля и её механический смысл...........................................

§4. Скалярное векторное поле и его свойства. Уравнение неразрывности. Оператор Лапласа........................................................

§5. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру. Вихрь векторного поля. Векторная форма теоремы Стокса...........................

§6. Потенциальное векторное поле........................................................

Приложение 1. Интеграл Лебега............................................

Приложение 2. Интеграл Стилитьеса...................................

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ §1. Определённый интеграл. Его свойства 1. Определение определённого интеграла y B A Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ), определённую на промежутке [a ;b] (a < b), рис 1.

D C x a b xk k xk +Рис Выполним 5 операций.



1. Разобьём промежуток [a ;b] точками x0 =a,x1,x,...,xk,xk +1,...,xn = b произвольным образом на n частей. Обозначим xk = xk +1 - xk, а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через, т.е.

= sup{xk }; будем называть рангом дробления.

2. На каждом частичном участке [xk, xk +1] возьмём произвольную точку k и вычислим в ней значение функции f (k ).

3. Составим произведение f (k ) xk 4. Составим сумму n -n = (k ) xk f k =Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю ( 0) т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков xk ), будем находить предел последовательности интегральных сумм J = limn n Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек k, то он называется определённым интегралом от функции f (x ) по промежутку [a,b] и обозначается так:

b J = (x )dx f a Итак, мы привели ни что иное, как развёрнутое определение определённого интеграла от функции f (x ) по промежутку [a,b]. Принимая во внимание сказанное выше, можем дать определение определённого интеграла более компактно так:

b n def -f f (x )dx = lim (k ) xk (a < b), n k =a где a -нижний предел интегрирования, b - верхний предел. В этом случае, b когда для функции f (x ) существует определённый интеграл (x )dx, f a функция f (x ) называется интегрируемой на промежутке [a,b]. Заметим, что в приведённом определении предполагается, что a < b. Понятие определённого интеграла можно обобщить и на случай, когда b < a или b = a.

Действительно, будем считать по определению, что ba b если b < a, то (x )dx =- (x )dx, а если a = b, то (x )dx = f f f ab a 2. Теорема существования определённого интеграла Возникает вопрос: всякая ли функция f (x ) интегрируема на данном промежутке [a,b]. Предварительно дадим определение кусочнонепрерывной функции.

Определение. Функция f (x ) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a,b], если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва.

Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a,b], является частным случаем кусочно-непрерывной функции.

Приведём теперь без доказательства теорему существования определённого интеграла.

Теорема (достаточное условие интегрируемости). Если функция f (x ) кусочно-непрерывна на промежутке [a,b], то на этом промеb жутке она интегрируема, т.е. существует (x )dx.

f a Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции.

3. Геометрический смысл определённого интеграла Допустим, что функция f (x ) непрерывна и положительна на промежутке [a,b]. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис 1). Интегральная n -сумма n = (k ) xk даёт нам сумму площадей прямоугольников с осf k =нованиями xk и высотами f (k ). Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции ABCD, т.е.

n -SABCD (k ) xk, f k =причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n + и 0 мы получим b SABCD = (x )dx f a В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.

4. Свойства определённого интеграла a Свойство 1. (x )dx = 0 (по определению) f a ba Свойство 2. (x )dx =- (x )dx (по определению), т.е. при перемене f f ab местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 3.(линейность интеграла) bb b 1 1 [c f1(x ) +c2f2(x )]dx = c1f (x )dx +c2f (x )dx aa a Для доказательства достаточно составить интегральную сумму для функции y = c1f1(x ) +c2f2(x ) и воспользоваться свойствами пределов функции. Действительно, n -1 n -1 n -lim c1f1(k ) +c2f2(2) xk = c1 n (k ) xk +c2 n (k ) xk = lim lim [] f1 fn k =0 k =0 k =0 0 bb = c1 1(x )dx + c2 2(x )dx f f aa Отметим, что из доказанного свойства следуют такие очевидные факты bb а) (x )dx = c (x )dx, cf f aa т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла bb b б) (x ) + f2(x ) = (x )dx + (x )dx, ] 1 1 [f f f aa a т.е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций по данному промежутку [a,b].

Свойство 4. Каковы бы ни были числа B y bcb C A a,b,c, (x )dx = (x )dx + (x )dx, f f f aac лишь бы только функция f (x ) была бы интегрируема на каждом из промежутков [a,b],[a,c ] и [c,b] (рис 2). x a c b рис Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из трёх интегралов, включив точку c в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся интегральных сумм при условии, что n, 0.

Свойство 5. (Теорема. Оценка определённого интеграла) Теорема. Если f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], то имеет место такая оценка определённого интеграла:

b m (b -a ) (x )dx M (b -a ), f a где m -наименьшее, а M - наибольшее значения функции f (x ) на промежутке [a,b].

Доказательство. Очевидно, что функция f (x ) имеет на промежутке [a,b] наименьшее (m ) и наибольшее (M ) значения, т.к. f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], т.е.

x [a,b]:m f (x ) M.

n -Составим интегральную сумму для f (x ) : n = (k ) xk. Ясно, что f k =n -1 n -1 n -m xk f (k ) xk M xk.





k =0 k =0 k =n -Учитывая, что x = b -a и, вынося постоянный множитель за знак k k =суммы, получим:

n -m (b -a ) (k ) xk M (b -a ) f k =Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим b m (b -a ) (x )dx M (b -a ).

f a Свойство 6. (Теорема о среднем) Теорема. Если f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], то между точками a и b найдётся хотя бы одна точка такая, что будет иметь место равенство b f (x )dx = f ( ) (b -a ) a Доказательство. Допустим, что a < b. В силу свойства 4 имеет место оценка b m (b -a ) (x )dx M (b -a ).

f a Функция f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], следовательно, принимая значения, равные m и M, она принимает и всякое промежуточное значение, т.е. найдётся точка (a < < b) такая, что функция f (x ) примет в b этой точке значение равное f (x )dx, т.е. будет b -a a bb f ( ) = f (x )dx => f (x )dx = f ( ) (b -a ).

b -a aa M y Заметим, что значения функции f (x ) в точке : f ( ) называется "средним", откуда и название этого m свойства.

x a b Рис Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если f (x ) > 0 на [a,b], то, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f ( ).

Приведём без доказательства ещё несколько интересных свойств определённого интеграла.

Свойство 6.

b а) Если a < b и x [a,b]: f (x ) 0, то (x )dx 0 ;

f a b б) Если a < b и x [a,b]: f (x ) 0, то (x )dx 0 ;

f a Свойство 7.

bb Если a < b и x [a,b]: f (x ) (x ), то (x )dx )dx ;

f (x aa Свойство 8.

bb Если a < b, то (x )dx f (x ) dx ;

f aa Свойство 9. Изменение значения f (x ) в одной или в любом конечном числе точек из промежутка интегрирования не влияет на интегрируемость функции и не меняет значения определённого интеграла.

§2. Вычисление определённого интеграла 1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу) Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], то инx теграл с переменным верхним пределом (t )dt имеет производную, равf a ную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

x = f (t )dt f (x ) a x Доказательство. Допустим, что f (x ) > 0, тогда, в силу геометрического смысла определённого интеy грала, очевидно, что функция C B x (x ) = (t )dt даёт площадь криво(x ) f (x ) a линейной трапеции ABCD.

A D x a xk xk +b В свою очередь Рис x +x x x +x x +x (x + x ) = f (t )dt = (t )dt + f (t )dt = (x ) + f (t )dt f aax x x +x Откуда следует, что (x ) =(x +x ) -(x ) = f (t )dt.

x x +x Последний интеграл в силу теоремы о среднем: f (t )dt = f ( ) x, x причём точка лежит между точками x и x + x ; тогда = f ( ).

x Устремим x к нулю, тогда в силу непрерывности функции f (x ) будет lim0 f ( ) = f (x ), следовательно:

x x x (x ) = (t )dt = lim0 = lim0 f ( ) = f (x ), f a x x x x т.е. окончательно получим:

x = f (t )dt f (x ) a x 2. Формула Ньютона-Лейбница Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], то определённый интеграл от этой функции по промежутку [a,b] равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е.

b f (x )dx = F (b) - F (a ) (Формула Ньютона-Лейбница) a Доказательство. Обозначим через F (x ) первообразную функции f (x ), тогда, принимая во внимание доказанную выше теорему Барроу, имеем:

x (1) f (x )dx = F (x ) +c a Полагая в этом равенстве x = a, получим:

a F (a ) +c = (x )dx = 0 => c = -F (a ). Положим в равенстве (1) x = a, тоf a b гда получим (x )dx = F (b) - F (a ).

f a Итак, для того, чтобы вычислить определённый интеграл, достаточно вычислить разность значений первообразной на верхнем и на нижнем значениях пределов интеграла. Заметим, что разность f (b) - F (a ) обозначают так:

b b f (x )dx = F (x )a = F (a ) - F (b) a Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную кривыми 2 y = x и y = x (рис 2) y 2 M Решение. Параболы y = x и y = x пересекаются в точках O (0,0) и M (11),, y = x ограничивая область, изображенную на y = x рис 2. В силу геометрического смысла определённого интеграла очевидно, что 1 x 0 2 искомая площадь S = - x )dx. Рис (x Для вычисления определённого интеграла применим формулу НьютонаЛейбница. Получим 3 x x 1 1 2 S = - x )dx = - = - = (x 3 4 3 4 Ответ: S = кв. ед.

Рассмотрим теперь основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

3. Подстановка в определённом интеграле.

Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a,b], и в определённом интеграле произвести замену переменной интегрирования при помощи подстановки x = (t ), причём функция (t ) и её производная (t ) непрерывны на промежутке [, ], причём () = a, ( ) = b и, кроме того, функция (t ) имеет обратную функцию t = (t ), то b f (x )dx = f [(t )](t )dt a Доказательство. Пусть F (x ) - первообразная для функции f (x ), т.е.

F (x ) = f (x ), тогда F[(t )] = f [(t )] (t ). Следовательно () t f [(t )](t )dt = F[(t )] = F[( )]- F[()] = F (b) - F (a ), b b а т.к. (x )dx = F (b) - F (a ), то ясно что (x )dx = [(t )] (t )dt f f f a a Замечание 1. Для вычисления определённых интегралов замена переменной может определяться соотношением t = (x ) или (t ) = (x ), или (x,t ) = 0 при выполнении необходимых ограничений на функции, задающие замену переменных.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.