WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет), 2002 Ю.М. Осипов, Е.А. Петров Анализ разветвленных цепей постоянного и переменного тока СОДЕРЖАНИЕ 1. Электрическая цепь. Ее преобразование и определение входных сопротивлений 2. Законы Кирхгофа. Составление системы уравнений по схеме и графу цепи 3. Расчет разветвленных электрических цепей постоянного тока. Прямая и обратная задачи 4. Расчет цепей синусоидального тока символическим методом 5. Решение системы линейных уравнений на ПЭВМ 6. Приложение 7. Список литературы В пособии изложена методика анализа линейных электрических цепей постоянного и переменного тока.

На примерах показано применение к расчету законов Ома и Кирхгофа.

Приведена последовательность использования ЭВМ при решении системы линейных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Приложение пособия содержит пять задач по двадцать пять вариантов каждая. Задачи могут быть использованы для аудиторных занятий и в качестве домашних заданий.

Пособие предназначено для студентов следующих направлений подготовки: 654000, 651100, 553100, 654400, 651900, 654300, 652300, 654500, 653700, 654600, 652000, 551900.

Рекомендовано кафедрой электротехники и прецизионных электромеханических систем СПбГИТМО, протокол № 3 от 29 декабря 2000 г.

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ. ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВХОДНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ Электрическая цепь содержит источники и приемники электрической энергии связанные проводами, что обеспечивает протекание токов по ее элементам.

Различают два типа источников: источники напряжения или ЭДС e, E и источники тока j, J. Идеализированный источник напряжения поддерживает неизменным значение напряжения на своих зажимах независимо от тока отдаваемого им в нагрузку. Его внутреннее сопротивление r равно нулю. Идеализированный источник тока обеспечивает постоянное значение тока, отдаваемого им в нагрузку независимо от напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление этого источника r бесконечно велико.

Пассивными элементами электрической цепи являются: резистивный r, R, индуктивный L и емкостной C.

Рис. 1.1. Элементы электрических цепей На рис. 1.1 показаны обозначения элементов на электрических схемах и условные положительные направления токов и напряжений. Перед анализом цепи необходимо указать эти направления; их выбор произволен.

Последовательное соединение элементов Соединение двух и более элементов называется последовательным, если элементы связаны между собой простыми узлами. В таком узле ток не делится на части. Поэтому ток во всех элементах этого соединения остается неизменным.

На рис. 1.2,a показано последовательное соединение n резистивных элементов. Этот набор элементов можно заменить одним эквивалентным, вычисленным по формуле Рис. 1.2. Эквивалентное преобразование последовательного соединения элементов Для последовательного соединения индуктивных и емкостных элементов используются аналогичные соотношения (рис. 1.2,б и рис. 1.2,в):

При объединении последовательно соединенных источников напряжений на рис. 1.2,г их суммируют алгебраически:

Последовательное соединение источников тока не рассматривается.

Параллельное соединение элементов Соединение нескольких элементов называется параллельным, если их выводы объединены в два узла; на каждом элементе цепи имеет место одно и то же напряжение.

Узлом называют соединение трех и более элементов или ветвей. В узле ток разветвляется.

Рис. 1.3. Эквивалентное преобразование параллельного соединения элементов На рис. 1.3,a показано параллельное соединение резистивных элементов. Его можно заменить эквивалентным, используя одну из формул:

где gk = 1/rk ; g э= 1/rэ – проводимости элементов.

Для параллельного соединения элементов r1 и r2 имеем Для параллельного соединения индуктивных элементов, емкостных элементов и источников тока на рис. 1.3,б,в,г формулы имеют вид в последнем соотношении токи суммируются алгебраически.

Параллельное соединение источников напряжения не рассматривается.

В разветвленных электрических цепях можно выделить фрагменты последовательно и параллельно соединенных элементов. Такое соединение называется смешанным.

Постепенно, шаг за шагом, заменой отдельных групп элементов на эквивалентные, можно представить все элементы одним эквивалентным, присоединенным к источнику питания.

Если такое преобразование осуществляется с резистивными элементами, то конечный результат называется входным сопротивлением цепи со стороны источника питания.

1.1.Определить входное сопротивление для схемы рис. 1.4 со стороны источника питания с напряжением u.

Рис. 1.4. Последовательность упрощения разветвленной цепи Решение рекомендуем начинать с упрощения удаленных от источника питания элементов.

На первом этапе объединяем последовательно соединенные элементы r1 и r2 и параллельно соединенные r3 и r4 :

Схема упрощается и на рис. 1.4,б принимает вид последовательного соединения трёх элементов. На втором этапе суммируем r12, r34 и r5 (рис. 1.4,в):

rэ = r12 + r34 + r5.

В результате вся совокупность резистивных элементов сведена к одному эквивалентному, которое и будет входным сопротивлением цепи.

Задача решена.

1.2. Определить входные сопротивления для схем рис. 1.5.

Рис. 1.Анализ этих схем показывает, что на рис. 1.5,a-д можно выделить последовательно и параллельно соединенные элементы, но в схеме рис. 1.5,е их нет. Чтобы получить такие группы элементов и на этой схеме, необходимо найти соединение "звездой" или "треугольником" и эквивалентно преобразовать одного в другое.



На рис. 1.6 показаны такие соединения и формулы эквивалентного перехода.

Рис. 1.6. Преобразование ”Треугольник” ”Звезда” Варианты упрощения схемы на рис. 1.5,е могут быть следующими.

Рис. 1.Так преобразуя "звезду" r4, r5, r6 в "треугольник", получаем схему рис. 1.7,a, где можно выделить параллельно и последовательно соединенные элементы. Аналогично можно, к примеру, преобразовать "треугольник" r1, r4, r5, в "звезду" и также упростить схему (рис.

1.7,б). Возможны и другие преобразования.

1.3. Полагая все значения сопротивлений исходной цепи (рис. 1.5,е) равными 1[Ом], найти ее входное сопротивление, используя схемы на рис. 1.7.

1.4. Заменив в схемах рис. 1.5 все резистивные элементы на индуктивные и, сохранив прежнюю нумерацию элементов, определить эквивалентную индуктивность каждой схемы.

1.5. Заменить в схемах рис. 1.5 все резистивные элементы на емкостные с прежней нумерацией. Определить эквивалентную емкость цепи для каждой схемы.

Рис. 1.8. Последовательность эквивалентного преобразования цепи с емкостными элементами Например, для схемы рис. 1.4 после такой замены получим рис. 1.8,а. Объединяя элементы по аналогичным формулам, найдем на первом этапе преобразования (рис.1.8,б) На втором этапе соответственно получим (рис. 1.8,в):

Задача решена.

Рассмотрены простейшие приемы преобразования пассивных цепей, составленных элементами R, L, C. Эквивалентные индуктивность, емкость и входное сопротивление определялись по отношению к выводам источника питания.

Однако существует необходимость в определении входного сопротивления относительно любой ветви пассивной цепи, получающейся после того, как напряжения источников ЭДС и токи источников тока исходной цепи приняты равными нулю. Например, при расчете тока в ветви методом эквивалентного генератора, при оценке результатов измерения напряжения вольтметром с малым внутренним сопротивлением.

Для определения входного сопротивления в данном случае необходимо выполнить следующее.

1. Разомкнуть ветвь, по отношению к которой требуется определить входное сопротивление. Зажимы разомкнутой ветви как-либо обозначить.

2. Исключить источники энергии, сохранив их внутренние сопротивления: источники напряжения закоротить (ru = 0), а источники тока разомкнуть (rj ).

3. Объединяя последовательно и параллельно соединенные элементы, привести цепь к одному сопротивлению по отношению к обозначенным зажимам. Это сопротивление и будет входным со стороны рассматриваемой ветви.

1.6. Для схемы на рис. 1.9 найти входное сопротивление по отношению к пятой ветви.

Рис. 1.На рис. 1.10,a показана схема цепи после исключения всех источников и сохранения их внутренних сопротивлений. В разомкнутой пятой ветви зажимы помечены символами m, n и показано стрелкой, что входное сопротивление Rвх5 определяется относительно именно этих зажимов.

Рис. 1.На первом этапе объединяем элементы слева от пятой ветви схема упрощается до представленной на рис. 1.10,б. Окончательно объединяем параллельно соединенные сопротивления rэ и r6 и добавляем к ним сопротивление пятой ветви r5:

Полученный результат и будет решением поставленной задачи.

1.7. Для схемы рис. 1.9 определить входные сопротивления со стороны ветвей: первой, третьей, четвертой, шестой и седьмой.

В следующих разделах пособия электрическая цепь относительно двух любых ее выводов будет рассматриваться как двухполюсник. Двухполюсник, содержащий источники энергии, будет называться активным. В пассивном двухполюснике источников энергии нет.

Изучение материала первого раздела пособия рекомендуем закончить решением первой и второй задач приложения. Вариант выбирайте самостоятельно или по рекомендации преподавателя.

2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ И ПО ГРАФУ ЦЕПИ Независимо от формы и мощности сигналов, генерируемых источниками питания e(t) и j(t), токи и напряжения в любой электрической цепи подчиняются законам Кирхгофа.

Полагаем: цепь, кроме источников содержит лишь резистивные элементы r.

Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю Положительные направления токов каждой ветви произвольны. Токи направленные к узлу принимаются отрицательными, направленные от него – положительными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в нем.

Направление обхода контура произвольно. При записи левой части равенства те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура принимаются положительными; ЭДС, направленные против выбранного направления обхода – отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения на тех элементах rk через которые протекают токи ik, положительное направление которых совпадает c направлением обхода и со знаком минус – падения напряжения на тех элементах, через которые протекают токи, положительное направление которых противоположно направлению обхода.

Cложная цепь содержит Nв ветвей, объединенных в Nу узлов и NJ ветвей с источниками тока. В ней кроме резистивных элементов могут быть только источники тока, только источники ЭДС, источники ЭДС и тока совместно.

Порядок анализа на основании законов Кирхгофа Определить число неизвестных токов, равное NB - NJ.

Указать положительное направление тока в каждой ветви.





Составить N1 = N у - 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа.

Составить N2 = NВ - NJ - (NУ - 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать лишь те контуры, которые не содержат ветвей с источниками тока. Указать направление обхода контуров.

Число уравнений равно числу неизвестных токов N1 + N2 = NВ - NJ.

2.1. Составить систему уравнений для цепи, схема которой изображена на рис. 2.1,а Рис. 2.Цепь образована шестью ветвями NB = 6, последняя содержит источник тока NJ = 1.

Нумеруем токи i1 i6 и указываем произвольно положительные направления первых пяти (рис. 2.1,б). Последним током i6 полагаем ток источника i6 = j6; их направления одинаковы.

В цепи четыре узла Nу = 4, указываем их номера на схеме. По первому закону Кирхгофа составляем три уравнения для трех узлов из четырех N1 = Nу - 1 = 4 - 1.

По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения для контуров k и m не содержащих ветвь с источником тока N2 = NВ - NJ - (NУ - 1) = 6 - 1 - (4 - 1) = 2.

Перед записью уравнений указываем направление обхода этих контуров (рис. 2.1,б).

узел - i2 + i5 - i6 = 0, узел 2 i1 + i4 - i5 = 0, узел 3 (2.3) - i3 - i4 + i6 = 0, контур k r1 i1 + 0 i2 + r5 i5 = e1 + e2, контур m r1 i1 + r3 i3 - r4 i4 = e1 - e4.

Решение данной системы уравнений показано в 3.1 при расчете цепи постоянного тока.

Составление системы уравнений по графу цепи При анализе сложных цепей во избежание ошибок имеет смысл формализовать порядок составления уравнений Кирхгофа, выполняя его не по схеме цепи, а по ее упрощенному аналогу – топологическому графу.

Прежде уточним понятие ветви. Ветвью называют набор последовательно соединенных источников и приемников электрической энергии, имеющий два зажима для присоединения к другим участкам цепи. В качестве приемников рассматриваем лишь элементы r. Таким образом ветвь удобно рассматривать в виде обобщенного элемента цепи.

Рис. 2.2,б Различают ветви с источниками напряжения – тип 1 и ветви с источниками тока – тип 2.

Ветвь первого типа на рис. 2.2,a содержит в общем случае m сопротивлений и n источников напряжений. Используя формулы (1.1) – (1.4), можно объединить элементы и перейти к канонической схеме, содержащей минимум элементов и представленной справа на рис. 2.2,а, где Ветвь второго типа не содержит несколько источников тока, что отмечалось ранее, но может включать набор сопротивлений (рис. 2.2,б). Используя формулу (1.1), целесообразно перейти к канонической схеме, где Очевидно, что сопротивление ветви второго типа определяется только бесконечно большим сопротивлением источника тока Jk, сопротивление других ветвей не изменяет значение тока в ней. Следовательно, каноническая ветвь данного типа содержит только один источник тока. Переход от реальной схемы электрической цепи к эквивалентной, где каждая ветвь заменена на каноническую, не изменяет значений токов в ветвях и напряжений между узлами.

Обратимся к законам электрической цепи в общей формулировке.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в любом узле, или сечении равна нулю – Под сечением понимают любую замкнутую поверхность, рассекающую схему электрической цепи на две части: внешнюю по отношению к поверхности и внутреннюю.

Его изображают в виде следа замкнутой поверхности, охватывающей часть схемы, включающей один или несколько узлов. Сечение обобщает понятие узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений для любого замкнутого контура равна нулю – Уравнения равновесия цепи, определяемые формулами (2.4) и (2.5), являются тождественными равенствами, справедливыми для любого момента времени.

Число и вид уравнений, которые следует составить для полного описания физических процессов в цепи, в первую очередь для определения токов и напряжений, зависят от способа соединения ветвей цепи и от их типа. Структуру цепи, определяемую способом соединения ветвей, будем анализировать, абстрагируясь от содержания каждой ветви:

вместо схемы цепи исследуют ее топологический граф. При изображении ветвей графа целесообразно различать, какой тип ветви она заменяет. В пособии принято первый тип ветви изображать ветвью графа в виде сплошной линии (прямой или кривой), а для ветви второго типа, в которой значение тока определяется самим источником тока, в виде пунктирной линии. Ветви графа NВ и узлы NУ нумеруют в соответствии с номeрами ветвей схемы и узлов исходной цепи. Ориентация ветвей графа также должна соответствовать выбранным направлениям токов и напряжений исходной цепи. Так для канонической ветви первого типа (рис. 2.2,а) ток и напряжение выбираются всегда совпадающими по направлению, соответственно с этим направлением ориентируется и ветвь графа. Если эта ветвь содержит только источник напряжения, то она называется вырожденной и ее ориентация в графе производится по напряжению источника и направляется против действия ЭДС. Для ветви второго типа ветвь графа ориентируется по направлению действия источника тока.

Анализ топологического графа начинается выделением ветвей дерева графа NД и ветвей связи NС. Ветви дерева образуют связный подграф, объединяющий все узлы, но не создают ни одного замкнутого контура. Выбор ветвей дерева произволен, но в него не включаются ветви графа, замещающие источники тока.

Ветви связи являются дополнением к ветвям дерева. Присоединение очередной ветви связи к ветвям дерева образует замкнутый контур, который называется главным контуром.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.