WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

( ) ( )jvx - jv - j ' Производная характеристической функции при v = 0 будет 1 0 =.

( ) ' 1 ( ) Следовательно, среднее значение определиться как m1 = =.

j 1.13 Энергетические характеристики случайного процесса Корреляционной функции и ее свойства Корреляционная функция второго порядка случайного процесса, или смешанная начальная функция двумерного распределения, имеет вид + + m1 t1 t2 = B2 t1,t2 = x1x2W2 x1, x2,t1,t2 dx1dx2.

( ) ( ) ( ) {} ( ) - Данное равенство устанавливает реальный физический смысл корреляционной функции как функции, которая определяет статистическую связь между предшествующими и последующими значениями случайного процесса t. Следует отметить, что B2 t1,t2 = B2 t2,t1.

( ) ( ) ( ) Для стационарного случайного процесса + + B2 = m1 t t + = x1x2W2 x1, x2, dx1dx2, (1.117) ( ) ( ) ( ) () {} - где x1 - значение случайной функции в момент времени t, x2 - в момент t +.

Часто автокорреляционную функцию определяют как смешанную двумерную центральную моментную функцию. Для стационарного случайного процесса она записывается в виде:

B2ф = m1 t - m1 t + - m1 = ( ) ( ) { } + (1.118) = x1 - m1 x2 - m1 W2 x1, x2, dx1dx()() () Функция B2ф называется корреляционной функцией флуктуаций.

Легко убедиться в том, что B2ф = B2 - m12, где m1 - среднее ( ) ( ) значение случайного процесса. По существу эти две корреляционные функции для стационарного процесса отличаются только квадратом постоянной составляющей m1 и при нулевом среднем значении они совпадают.

Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса.

1. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четой функцией.

B2 = B2. (1.119) ( ) () Это свойство вытекает из определения стационарности:

B2 = m1 t t + = m1 t t - = B2.

( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) (} { } ) 2.При значение корреляционной функции B2 равно квадрату ( ) среднего значения случайного процесса. Действительно, при зависимость между t и t + должна ослабевать и в пределе эти ( ) ( ) процессы должны быть независимы. Так как среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей и поскольку для стационарного процесса среднее значение не зависит от времени, то lim B2 = B2 = lim m1 t t + = m( ) ( ) { ( ) ( ) } или m1 = B2, (1.120) ( ) т.е. среднее значение стационарного случайного процесса равно корню квадратному из асимптотического значения корреляционной функции при.

Корреляционная функция флуктуаций - B2ф = 0.

( ) 3.Значение корреляционной функции при = 0 равно средней мощности случайного процесса lim B2 = B2 0 = m1 t = m2 t = m2. (1.121) ( ) ( ) ( )2 { } ( ) { } Поскольку = m2 - m1 и для стационарного процесса дисперсия не зависит от времени, то = B2 0 - B2 = B2ф 0, (1.122) ( ) ( ) ( ) так как корреляционная функция флуктуаций при = 0 равна B2ф 0 = m2 - m( ) и определяет среднюю мощность процесса за вычетом среднего значения.

4. Значение корреляционной функции стационарного случайного процесса при = 0 всегда больше или равно значению при 0, т.е.

B2 0 B2 и B2ф 0 B2ф, (1.123) ( ) ( ) ( ) ( ) т.е. любое значение корреляционной функции не может превышать значение этой функции при = 0. Типичная кривая корреляци- оной функции приведена на рис 1.B2 - B( ) ( ) b2 = - называется коэффициентом корреляции или ( ) B2 ( ) нормированной корреляционной функцией. Время корреляции k определяется как половина ширины основания прямоугольника единичной высоты B( ) площадь которого равна площади под кривой коэффициента корреляции:

B2 0 2 k = d (1.124) ( ) b ( ) B( ) 0 - Рис.1. Отметим, что наряду с корреляционной функцией пользуются также статистической структурной функцией или корреляционной функцией приращений, которая определяется выражением:

+ + D2 t1,t2, = t1 + - t1 t2 + - t2 W2 x1, x2,t1,t2 dx1dx2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Энергетический спектр стационарного случайного процесса Выделим из реализации случайного процесса t отрезок этого ( ) процесса T t, ограниченный интервалом времени T. Применим к этой ( ) функции T t преобразование Фурье и найдем спектральную функцию ( ) + T t e- jtdt = T j.

( ) ( ) Используя равенство Парсеваля, запишем энергию этого отрезка процесса T t ( ) T + 1 ET = t dt = T j d.

( ) T ( ) 0 Если теперь устремить T, то энергия ET будет бесконечно увеличиваться, однако средняя мощность реализации за время T будет конечной и равной:

+ + T j ( ) ET Pc = lim = lim d = G d, ( ) T T T 2 T - T j ( ) где G = lim - энергетический спектр стационарного ( )T T случайного процесса.

Энергетический спектр G есть средняя мощность, приходящаяся на ( ) единицу полосы частот. Полная же средняя мощность случайного процесса будет + Pc = G d. (1.125) ( ) + Для процесса с нулевым средним значением G d =.

( ) Поскольку выражение для энергетического спектра получено на основе равенства Парсеваля, не учитывающего фазовых соотношений, то по спектру G невозможно восстановить исходную реализацию.

( ) Так как скорость протекания случайного процесса во времени может быть определена, с одной стороны, корреляционной функцией, а с другой – энергетическим спектром, то между ними должна существовать связь. Эта связь устанавливается теоремой Винера – Хинчина, согласно которой энергетический спектр и корреляционная функция стационарного случайного процесса связаны парой преобразования Фурье:

+ B2 = G e d = ( ) ( )j G()cos( )d ; (1.126) - + G = B2 e d = 2 cos d. (1.127) ( ) ( )j B ( ) ( ) - Однако так как преобразование Фурье возможно только при условии абсолютной интегрируемости функций, то формулы (1.126) и (1.127) справедливы при условии, что входящие в них несобственные интегралы являются сходящимися. Поэтому эти выражения можно использовать, когда стационарные случайные процессы не содержат постоянных и периодических составляющих.

Рассмотрим следствия, вытекающие из формул (1.126) и (1.127):

B2 0 = ( ) G()d ; G(0) = 2B ( )d.

0 Время корреляции можно вычислить по формуле G ( ) k =. (1.128) 2B2 ( ) Ширина энергетического спектра определяется зависимостью 1 G()d G()d 0 Vэ = или Vэ =, (1.129) G 0 G ( ) ( ) где 0 - частота, на которой энергетической спектр имеет максимальное значение.

Основные свойства энергетического спектра стационарного случайного процесса.

1. Энергетический спектр не отрицателен при любых значениях :

G 0.

( ) 2. При ограниченной дисперсии случайного процесса lim G = 0.

( ) 3. Энергетический спектр является вещественной функцией.

4. Энергетический спектр – четная функция: G = G.

( ) () Для нестационарных случайных процессов энергетический спектр может быть определен как преобразование Фурье от усредненной по времени корреляционной функции этого процесса T + + Gн = ( ) ( ) (- ) Tlim T B2 t,t - dt exp j d.

T В качестве иллюстрации к этому параграфу рассмотрим два примера.

Пример. Определить корреляционную функцию B2 стационарного ( ) случайного процесса, если энергетический спектр его задан в виде G0 0 G = при.

( ) 0 > Согласно формуле (1.126) получим sin 1 G0 G0 ( ) GB2 = cos d = = Sa 1.

( ) ( ) ( ) G()cos( )d = Пример. Определить соотношение между шириной энергетического спектра Vэ и шириной энергетического спектра Vэ1 на уровне 0,5G 0, ( ) если энергетический спектр стационарного случайного процесса задан соотношением G = при.

( ) + < Ширина энергетического спектра определяется выражением (1.129) 1 Vэ = d = arctg = G()d = G 04 + 2 ( ) Ширина энергетического спектра Vэ1 на уровне 0,5G 0 находится по ( ) формуле 4 G Vэ1 == 0,5G 0 = 0,5 =, ( )2 4 ( ) + Vэ( )откуда Vэ1 =.

Окончательно получаем.

Vэ =.

Vэ1 1.14 Совместное распределение случайных процессов Статистические свойства одновременно действующих двух случайных процессов t и t полностью определяются n + m - мерной ( ) ( ) ( ) интегральной функцией распределения ' ' Fn+m x1,..., xn, y1, y,..., ym,t1,...,tn,t1,...,tm = ( ) '' = P t1 x1,..., tn xn, t1 y1,..., tm ym ( ) ( ) ( ) ( ) { } или n + m - мерной плотностью вероятностей ( ) ' ' Wn+m x1,..., xn, y1,..., ym,t1,...,tn,t1,...,tm = ( ) ' ' (n+m)Fn+m x1,..., xn, y1,..., ym,t1,...,tn,t1,...,tm ( ).

= x1x2...xny1y2...ym Случайные процессы t и t являются статистически независимыми, ( ) ( ) если для любых n и m выполняется соотношение ' ' ' ' Wn+m x1,..., xn, y1,..., ym,t1,...,tn,t1,...,tm = Wn x1,..., xn,t1,...,tn Wm y1,..., ymt1,...,tm ( ) ( ) ( ).

Взаимные начальные моментные функции определяются зависимостью:

' ' ' mk1...knr1...rm t1,t2,...,tn,t1,t2,...,tm = ( ) + + k k r rm ' ' =.. n + m.. x11...xnn y11...ym Wn+m x1,..., xn, y1,..., ym,t1,...,tn,t1,...,tm dx1...dxndy1...dym.

( ) () - Простейшей совместной моментной функцией является взаимная корреляционная функция + + ( ) ( ) ( ) () {} Bxy t1,t2 = m1 t1 t2 = xyW2 x, y,t1,t2 dxdy - (1.130) + + B t1,t2 = m1 t1 t2 = yxW2 x, y,t1,t2 dxdy ( ) ( ) ( ) () {} yx - Для независимых случайных процессов имеем:

+ + Bxy t1,t2 = xW x,t1 dx yW y,t2 dy = ax t1 ay t2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - где ax t и ay t средние значения случайных процессов t и t ( ) ( ) ( ) ( ) соответственно.

Случайные процессы, взаимные корреляционные функции которых равны постоянной величине, называются некогерентными процессами.

Корреляционные свойства двух случайных процессов в два момента времени описываются корреляционной матрицей B2x t1,t2 Bxy t1,t( ) ( ), Byx t1,t2 B2 y t1,t( ) ( ) где B2x t1,t2 и B2 y t1,t2 - корреляционные функции процессов t и t.

( ) ( ) ( ) ( ) Например, корреляционная функция суммы двух случайных процессов t = t + t будет иметь вид:

( ) ( ) ( ) B2z t1,t2 = B2x t1,t2 + B2 y t1,t2 + Bxy t1,t2 + Byx t1,t2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Два процесса называются стационарно связанными, если их совместная функция распределения вероятностей любого порядка не зависит от начала отсчета времени.

Взаимная корреляционная функция двух стационарно связанных случайных процессов зависит только от разности моментов времени t2 - t1 = :

+ Bxy = xyW2 x, y, dxdy. (1.131) ( ) ( ) При этом Bxy = Byx. (1.132) ( ) () Однако в отличие от корреляционной функции взаимная корреляционная функция не является четной, т.е.

Bxy Bxy.

( ) () Взаимная корреляционная функция двух стационарно связанных процессов удовлетворяет неравенству:

Bxy B2x 0 B2 y 0.

( ) ( ) ( ) Bxy ( ) Зависимость bxy = называется коэффициентом ( ) B2x 0 B2 y ( ) ( ) взаимной корреляции.

Взаимные энергетические спектры двух случайных процессов t и ( ) t определяются выражениями:

( ) Gxy = lim xT j yT j, (1.133) ( )T T (- ) ( ) Gyx = lim xT j yT j. (1.134) ( )T T ( ) (- ) Из соотношений (1.133) и (1.134) видно, что взаимные энергетические спектры Gxy и Gyx являются комплексно сопряженными величинами.

( ) ( ) Связь между взаимными энергетическими спектрами и взаимными корреляционными функциями двух стационарно связанных случайных процессов устанавливается посредством пары преобразования Фурье:

+ + Gxy = Bxy e- j d, Gyx = Byx e- j d ;

( ) ( ) ( ) ( ) - + + 1 Bxy = Gxy e d, Byx = Gyx e d.

( ) ( )j ( ) ( )j 2 - 1.15 Некоторые свойства случайных процессов Непрерывность стационарного случайного процесса Стационарный случайный процесс является непрерывным в среднеквадратическом в точке t, если имеет место равенство:

lim m1 t + T - t = 0. (1.135) ( ) ( ) { } T Необходимым и достаточным условием непрерывности стационарного случайного процесса всюду при любых t является непрерывность корреляционной функции этого процесса в точке = 0.

Дифференцируемость Случайный процесс дифференцируем в среднеквадратическом в точке t, если выполняется равенство t + T - t ( ) ( )( )' lim m- t = 0, T T ' где t - производная процесса t в среднеквадратическом в точке t.

( ) ( ) ' Рассмотрим некоторые характеристики производной t.

( ) 1.Среднее значение производной случайного процесса равно производной от среднего значения самого случайного процесса, для которого это среднее значение дифференцируемо:

' m1 ' t = m1 t. (1.136) ( ) ( ) Отсюда следует, что среднее значение производной стационарного случайного процесса всегда равно нулю.

2.Корреляционная функция производной случайного процесса определяется выражением 2B2 t1,t( ) B2 ' t1,t2 =. (1.137) ( ) t1tДля стационарного случайного процесса имеем '' B2 =-B2, (1.138) ' ( ) ( ) т.е. корреляционная функция производной случайного процесса равна второй производной корреляционной функции самого процесса, взятой с обратным знаком.

3. Энергетический спектр производной стационарного случайного процесса равен:

G ' = 2G. (1.139) ( ) ( ) 4.Мощность производной стационарного случайного процесса определяется формулой + B2 ' 0 = 2G d. (1.140) ( ) ( ) ' 5.Отношение средних мощностей производной t и самого процесса t ( ) ( ) равно + 2G d ( ) B2 ' ( ) 1 ==. (1.141) + B2 ( ) G d ( ) Корень квадратный из последнего соотношения называется средней квадратической частотой спектра случайного процесса.

Пример. На вход идеальной дифференцирующей цепи поступает случайный процесс со средним значением m1 t = usin и ( ) (t ) корреляционной функцией B2 t1,t2 = e-(t1-t2), ( )где - дисперсия случайного процесса.

Определить среднее значение и дисперсию случайного процесса на выходе цепи.

Среднее значение случайного процесса на выходе цепи согласно ' (1.136) будет равно m1 ' t = m1 t = cos.

( ) ( ) (t ) Корреляционная функция на выходе цепи будет определяться выражением 2B2 t1,t2 ( ) B2 ' t1,t2 == 2 e-(t1-t2) 1- 2 t1 - t2.

( ) ( ) t1tПоложив в последнем выражении t1 = t2 = t, получим величину дисперсии t = = 2.

( ) '' Интегрирование Интеграл в среднеквадратическом случайного процесса t можно ( ) представить в виде b t = (1.142) ( ) h(t,v) (v)dv, a где h t,v - заданная детерминированная функция, a и b - произвольные ( ) постоянные величины.

Этот интеграл является новым случайным процессом, среднее значение которого равно b m1 t = (1.143) ( ) h(t,v)m (v)dv.

a Если исходный процесс t являлся стационарным, ( ) b m1 t = m1 (1.144) ( ) h(t,v)dv.

a Корреляционная функция проинтегрированного процесса определяется выражением b b B2 t1,t2 = (1.145) ( ) h(t,v1)h(t2,v2)B2 (v1,v2)dv1dv2.

a a Для стационарного исходного случайного процесса имеем b b B2 t1,t2 = (1.146) ( ) h(t,v1)h(t2,t2)B2 (v2 - v1)dv1dv2.

a a Как видно из выражения (1.146) проинтегрированный процесс в общем случае уже является нестационарным случайным процессом.

Для определения энергетического спектра интеграла стационарного случайного процесса можно использовать выражение G = G. (1.147) ( ) ( ) Умножение случайного процесса на детерминированную функцию Имеется случайный процесс t со средним значением m1 t и ( ) ( ) корреляционной функцией B2 t1,t2. Новый случайный процесс t связан ( ) ( ) с процессом t соотношением t = t t, где t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) детерминированная функция.

Среднее значение процесса t будет определяться соотношением ( ) m1 = t m1 t, (1.148) ( ) ( ) т.е. при умножении случайного процесса на детерминированную функцию среднее значение этого нового процесса равно математическому ожиданию исходного процесса, умноженному на детерминированную функцию.

Корреляционная функция нового процесса будет равна B2 t1,t2 = t1 t2 B2 t1,t2. (1.149) ( ) ( ) ( ) ( ) Таким образом, при умножении случайного процесса на детерминированную функцию корреляционная функция этого нового процесса равна корреляционной функции исходного процесса на детерминированную функцию для аргументов t1 и t2.

Если t = - постоянная, то:

( ) m1 t = m1 t и B2 t1,t2 = 2B2 t1,t2.

( ) ( ) ( ) ( ) Сложение случайных процессов Рассмотрим случайный процесс t, представляющий собой сумму ( ) n случайных процессов t = ( ) (t).

i i= Среднее значение этого процесса равно n m1 t = (1.150) ( ) ( ) m t, 1i i=т.е. при сложении случайных процессов их средние значения складываются.

Корреляционная функция процесса t определяется соотношением ( ) nn n B2 t1,t2 = (1.151) ( ) ( ) ( ) B t1,t2 + B t1,t2, 2i j i i=1 i=1 j=где B2i t1,t2 - корреляционные функции процессов i t, а B j t1,t2 - ( ) ( ) ( ) i взаимные корреляционные функции.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.