WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

Таким же образом можно определить вероятность того, что случайная функция t при моментах времени t1,t2,...,tn будет находиться ниже ( ) уровней соответственно x1, x2,..., xn. Тогда Fn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn = P t1 x1, t2 x2, tn xn (1.82) ( ) ( ) ( ) ( ) { } называется n -мерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса, а nFn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn ( ) = Wn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn (1.83) () x1x2...xn называется n -мерной плотностью вероятностей случайного процесса.

Многомерная плотность вероятностей почти полностью характеризует (описывает) случайный процесс.

Из функции распределения n -го порядка могут быть получены все функции распределения более низких порядков вплоть до первого, т.е.:

+ + Wm x1, x2,..., xm,t1,t2,...,tm =.. n - m.. Wn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn dxm+1...dxn, () ( ) () - Иногда достаточно знать о случайном процессе меньше, чем дают функции распределения. Можно ограничится моментными функциями, которые в общем виде определяются выражением:

12 n mk1k2...kn t1,t2,...,tn = m1 t1 t2... tn = ()( )k ( )k ( )k { } + + k k k =... x11x22...xnnWn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn dx1dx2...dxn. (1.84) () - Некоторые свойства случайных процессов описываются небольшим количеством моментных функций, наиболее распространенными из них являются:

- среднее значение (математическое ожидание) случайного процесса (или первая начальная моментная функция) + m1 t = m1 t = xW1 x,t dt = a t ; (1.85) ( ) { } ( ) ( ) ( ) - дисперсия (мощность) случайного процесса (или вторая центральная моментная функция) + M t = m1 t - m1 t = - m1 t W1 x,t dx = t ; (1.86) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } { } { } x -корреляционная функция (второго порядка) случайного процесса (или смешенная вторая начальная моментная функция) + + m1 t1 t2 = x1x2W2 x1, x2,t1,t2 dx1dx2 = B2 t1,t2. (1.87) ( ) ( ) {} () ( ) - Как видно из приведенных формул (1.85), (1.86) и (1.87) среднее значение и дисперсия случайного процесса в общем случае являются функциями времени, а корреляционная функция зависит от двух временных параметров.

1.10 Стационарные и нестационарные случайные процессы. Эргодические случайные процессы Стационарные случайные процессы Случайный процесс t называется стационарным в узком смысле ( ) (или строго стационарным), если его функция распределения Wn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn произвольного порядка n не меняется при любом ( ) сдвиге всей группы точек t1,t2,...,tn вдоль временной оси (для любых n и ), т.е.

Wn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn = Wn x1, x2,..., xn,t1 -,t2 -,...,tn -.

( ) ( ) Другими словами, случайный процесс будет строго стационарным, если выражения для функций распределения любого порядка не зависят от положения начала отсчета времени.

Если вероятностные характеристики случайного процесса не инвариантны по отношению к произвольному смещению начала отсчета времени, то процесс – нестационарный.

Из приведенного определения следует, что для стационарного случайного процесса:

- одномерная функция распределения имеет один и тот же вид в любой момент времени (т.е. не зависит от времени) W1 x,t = W1 x,t - = W1 x ; = t ( ) ( ) ( ) ( ) - двумерная функция распределения может зависеть лишь от разности t2 - tW2 x1, x2,t1,t2 = W2 x1, x2,t2 - t1 ;

( ) ( ) - трехмерная функция распределения может зависеть лишь от двух разностей t2 - t1 и t3 - t1, т.е.

W3 x1, x2, x3,t1,t2,t3 = W3 x1, x2, x3,t2 - t1,t3 - t( ) ( ) и т.д.

Так как одномерные функции распределения стационарных случайных процессов не зависят от времени, то среднее значение и дисперсия этих процессов не зависят от времени. Поскольку двумерная функция распределения зависит только от разности = t2 - t1, то и корреляционная функция такого процесса зависит от одного временного параметра :

+ + B2 = x1x2W2 x1, x2, dx1dx2.

( ) ( ) - Случайные процессы, у которых среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция второго порядка зависит только от одного временного параметра, называются стационарными в широком смысле. Следует отметить, что стационарность в широком смысле не тождественна строгой стационарности. Случайные процессы, стационарные строго, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.

Нестационарные случайные процессы 1.Аддитивные нестационарные процессы. К аддитивным нестационарным процессам относятся процессы вида t = t + t, где ( ) ( ) ( ) t стационарный случайный процесс; t - некоторая ( )- ( ) детерминированная функция при условии t const.

( ) 2.Мультипликативные нестационарные процессы. Такие процессы описываются одним из следующих соотношений: t = t t или ( ) ( ) ( ) t = t t, где t и t - некоторые случайные функции, в том числе ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) и стационарные; t - произвольная детерминированная функция.

( ) 3.Квазистационарные (почти стационарные) процессы. Это такие случайные процессы, для которых справедливы соотношения TT t0 - t t0 + m1 t = при ;

( ) { }m других - t B2 t2 - t1 ( ) ( ) при t0 - T 2 t1,t2 t0 + T 2.

B2 t1,t2 = ( ) других - ( ) t1,t Здесь T - интервал фактического существования случайной функции t ;

( ) t0 - некоторый произвольный момент времени.

4.Периодические и почти периодические нестационарные процессы. Такие процессы определяются по условию:

-для периодических процессов Wn x1,t1; x2,t2;...; xn,tn = Wn x1,t1 + T; x2,t2 + T;...; xn,tn + T, ( ) ( ) т.е. n - мерная плотность вероятностей является периодической функцией с периодом T от каждого из аргументов t1,t2,...,tn ;

- для почти периодических процессов Wn x1,t1; x2,t2;...; xn,tn -Wn x1,t1 + T ; x2,t2 + T ;...; xn,tn + T <, ( ) ( ) где - некоторая положительная сколь угодно малая величина.

Параметр T носит название «почти период».

Эргодические случайные процессы А.Я.Хинчиным установлено свойство эргодичности у стационарных случайных процессов.

Эргодическими процессами называют такие стационарные случайные процессы вероятностные характеристики которых, полученные по ансамблю реализаций в какой - либо момент времени (в одном сечении), с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадают с аналогичными характеристиками, полученными усреднением по времени на одной единственной реализации за достаточно большой промежуток.

Условием эргодичности стационарного случайного процесса является требование, чтобы функция корреляции процесса с увеличением = t2 - tстремилась к нулю.

Из эргодичности случайных процессов следует возможность ограничится при вычислении моментных функций только одной реализацией процесса:

T mk t = lim (1.88) ( ) { } (t)kdt, T T T B2 = lim (1.89) ( ) (t) (t + )dt.

T T 1.11 Функциональное преобразование случайных процессов Исходный случайный процесс t имеет функцию распределения ( ) W x,t. Новый случайный процесс t связан с t детерминированной ( ) ( ) ( ) функциональной зависимостью t = f t. Требуется определить ( ) ( ) плотность вероятности и моментные функции этого процесса t.

( ) Предположим, что существует обратная функция t = t, т.е.

( ) ( ) случайные процессы t и t связаны между собой взаимно однозначным ( ) ( ) соответствием. Из того факта, что x0 < t1 x0 + dx, достоверно следует, ( ) что y0 < t1 y0 + dy, y0 = f x0, и наоборот. Поэтому вероятности ( ) ( ) выполнения этих неравенств равны между собой. При достаточно малых dx и dy имеем:

W x,t1 dx = W y,t1 dy.

( ) ( ) Следовательно dx W y,t1 = W x,t1. (1.90) ( ) ( ) dy dx Отношение в (1.90) берется по абсолютному значению, так как функции dy распределения всегда неотрицательны.

Если функция y = f x такова, что обратная ей функция x = y ( ) ( ) неоднозначна, то одному значению y соответствует несколько ветвей функции y. Обозначим их через x1 y, x2 y,.... Тогда из того факта, что ( ) ( ) ( ) y0 < t1 y0 + dy, следует одна из взаимно независимых возможностей:

( ) x1 < t1 x1 + dx1, либо x2 < t1 x2 + dx2 и т.д.

( ) ( ) Применяя правило сложения вероятностей, получим dx1 dxW y,t1 = W x1,t1 +W x2,t1 +... = ( ) ( ) ( ) W (xkt1) dxk, (1.91) dy dy dy k Рассмотрим в качестве иллюстрации примеры, когда преобразование осуществляется элементарными функциями.

Пример. Осуществляется линейное преобразование t = a t + b.

( ) ( ) Это преобразование является однозначным, поэтому:

W y,t = W x,t = W,t.

( )11 y - b ( ) aa a Как видно, при линейном преобразовании случайного процесса кривая распределения смещается на величину b, а масштаб вдоль координатной оси изменяется в a раз.

Пример. Квадратичное преобразование. В данном случае каждому значению случайного процесса t, которое всегда положительно, ( ) соответствуют два значения процесса t : 1 t1 = t1 и ( ) ( ) ( ) 2 t1 =- t1. Тогда ( ) ( ) W y,t = W y,t + W - y,t при y > 0, ( )2 y ( ) ( ) 2 y W y,t = 0 при y < 0.

( ) Для случая, когда исходный случайный процесс являлся стационарным и нормальным, получим:

y -a y +a ( ) ( ) y+a-- a y 11 2 2 W y =+ e = e ch 2.

( ) e 2 2 y 2 2 y Для нахождения моментных функций нет необходимости определять W y,t. Начальные моментные функции вычисляются по формуле ( ) + + k mk t = ykW y,t dy = f x W x,t dx. (1.92) ( ) { } ( ) ( ) ( ) - В частности, среднее значение функционально преобразованного процесса определяется зависимостью + m1 t = f x W x,t dx = a t. (1.93) ( ) { } ( ) ( ) ( ) Центральные моментные функции находятся из выражения + k Mk t = f x - m1 t W x,t dx. (1.94) ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) В частности, для дисперсии имеем + M2 t = f x - m1 t W x,t dx = t. (1.95) ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) Корреляционную функцию можно определить по формуле + + B2 t1,t2 = f x1 f x2 W2 x1, x2,t1,t2 dx1dx2. (1.96) ( ) ( ) ( ) ( ) - Если исходный случайный процесс – стационарный, то среднее значение, дисперсию и корреляционную функцию после функционального преобразования можно представить выражениями:

+ m1 t = f x W x dx = a ; (1.97) ( ) { } ( ) ( ) + M2 t = f x - a W x dx = ; (1.98) ( ) { } ( ) ( ) + + B2 = f x1 f x2 W2 x1, x2, dx1dx2. (1.99) ( ) ( ) ( ) ( ) - Для эргодических случайных процессов можно использовать усреднение во времени:

T B2 = lim f x t f x t + dt. (1.100) ( ) ( ) T T 1.12 Характеристическая функция и ее свойства Для практических приложений большое значение имеет специальный вид функционального преобразования случайной величины. Именно:

jv = e, где v - произвольный вещественный параметр.

jv Среднее значение случайной величины e называется характеристической функцией случайной величины :

+ jv 1 v = m1 e = W1 x e dx. (1.101) ( ) ( )jvx { } Выражение (1.101) следует рассматривать как обратное преобразование Фурье. Следовательно, имеет место и прямое преобразование Фурье, которое позволяет по заданной характеристической функции определить функцию распределения:

+ W1 x =1 v e- jvxdv. (1.102) ( ) ( ) Зависимость (1.101) можно распространить и на дискретные случайные величины:

jvxk 1 v = e, (1.103) ( ) P k k так как для дискретной случайной величины плотность вероятности можно выразить, введя дельта – функцию, а именно:

W x = x - xk.

( ) ( ) P k k Попутно заметим, что плотность вероятности постоянной величины равна + дельта - функции, т.е. W x = x - a и x - a dx =1.

( ) ( ) ( ) Рассмотрим некоторые свойства характеристической функции.

1.Модуль характеристической функции равен или меньше единицы.

Действительно:

+ + + jvx 1 v = W1 x e dx W1 x e dx = W1 x dx =1, так как e =1.

( ) ( )jvx ( )jvx ( ) _ - Таким образом, интеграл выражения (1.101) сходится при любых вещественных v.

+ 2. 1 0 = W1 x dx =( ) ( ) 3. 1 = 1 v, где 1 v - функция, комплексно сопряженная (-v ) ( ) ( ) характеристической функции.

4. Если 1 v характеристическая функция случайной величины, то для ( ) случайной величины, получаемой линейным преобразованием = a + b, характеристическая функция равна + jv ax+b ( ) 1 v = e W1 x dx = 1 av e.

( ) ( ) ( )jbv Одним из видов полезного применения характеристической функции является упрощение вычислений моментов распределения.

Если существует k - й начальный момент распределения случайной величины, то характеристическая функция этой величины имеет производную k - го порядка, причем k + d 1 v ( ) = jk xkW1 x e dx, ( )jvx dvk откуда k d 1 v 1 ( ).

mk = (1.104) { } jk dvk v= При k =1 получим выражение для среднего значения случайной величины:

' m1 =- j1 0. (1.105) { } ( ) Если существуют начальные моменты любого порядка, то характеристическую функцию можно представить рядом Маклорена mk 1 v =1+ jv. (1.106) ( ) ( )k k! k= Центральные моменты распределения связаны простыми соотношениями с производными от логарифма характеристической функции v = ln 1 v. (1.107) ( ) ( ) Функция v называется кумулянтной функцией.

( ) Последовательным дифференцированием кумулянтной функции находим:

' 1 v ( ) ' ' v =. Отсюда имеем m1 =- j' 0 =- j1 0 ;

( ) { } ( ) ( ) 1 v ( ) '' ' 1 v 1 v - ( ) ( ) ( ) 1 v '' ' =-M2.

'' v = ; '' 0 =1 0 - ( ) { } ( ) ( ) ( ) 1 1 v ( ) Следовательно, дисперсия случайной величины будет равна M2 = = -'' 0. (1.107) { } ( ) Аналогично получим выражения для центральных моментов третьего M{ } и четвертого M4 порядка, а также коэффициентов асимметрии k и { } эксцесса :

M3 =- j3''' 0 ; M4 = j4(4) 0 + 3M2 ;

{ } ( ) { } ( ) ''' 0 (4) ( ) ( ) k = ; =.

'' '' ( ) ( ) Производная k -го порядка кумулянтной функции в точке v = 0, поделенная на jk, называется кумулянтом или семиинвариантом k -го порядка случайной величины.

Характеристической функцией совокупности случайных величин 1,2,...,n является математическое ожидание случайной величины exp j v11 + v22 +... + vnn, где v1,v2,...,vn - вещественные параметры.

( ) Если известна n -мерная плотность вероятности случайных величин Wn x1, x2,..., xn, то посредством n -кратного обратного преобразования () Фурье получим n -мерную характеристическую функцию + + j v1x1+v2x2+...+vnxn () n v1,v2,...,vn =.. n.. Wn x1, x2,..., xn e dx1dx2...dxn. (1.108) () ( ) () - И наоборот, многомерная плотность вероятности совокупности n случайных величин может быть получена из характеристической функции прямым n кратным преобразованием Фурье:

+ + Wn x1, x2,..., xn =.. n.. n v1,v2,...,vn e- j(v1x1+v2x2+...+vnxn)dv1dv2...dv () ( ) () ( )n - (1.109) Если случайные величины 1,2,...,n взаимно независимы, то плотность вероятностей будет определяться зависимостью n Wn x1, x2,..., xn = (1.110) () W (xk ), 1k k=а характеристическая функция выражением n n v1,v2,...,vn = vk. (1.111) () ( ) 1k k= Следует отметить, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин 1 + 2 +... + n равна произведению характеристических функций слагаемых n v =1k (1.112) ( ) (v).

k=В частном случае, когда слагаемые имеют одинаковые функции n распределения, v = 1 v.

( ) ( ) На основании изложенного свойства случайного процесса также могут описываться последовательностью характеристических функций:

+ jv1x1 v1,t1 = W1 x1,t1 e dx1;

( ) ( ) + + j v1x1+v2x( 2 v1,v1,t1,t2 = W2 x1, x2,t1,t2 e dx1dx2 ;

() ( )) - ……………………………………………………….

n v1,v2,...,vn,t1,t2,...,tn = ( ) + +.

j v1x1+v2x2+...+vnxn () =.. n.. Wn x1, x2,..., xn,t1,t2,...,tn e dx1dx2...dxn ( ) () - Можно построить характеристику случайного процесса в целом, увеличивая неограниченно число n моментов времени. Тогда n lim n v1,v2,...,vn,t1,t2,...,tn = lim m1 exp j tk = ()k ( ) v n n k= + = m1 exp j v t t dt = v t. (1.113) ( ) ( ) ( ) v t - называется характеристическим функционалом процесса t.

( ) ( ) Моментные функции определяются в соответствии с соотношением nn v1,v2,...,vn,t1,t2,...,tn ( ) mn t1,t2,...,tn =, (1.114) () v1=v2=...=vn=jnv1v2...vn а корреляционные функции – по формуле nn v1,v2,...,vn,t1,t2,...,tn ( Bn t1,t2,...,tn =. (1.115) ()jnv1v2...vn ) v1=v2=...=vn=Располагая последовательностью корреляционных функций B1 t1, B2 t1,t2, B3 t1,t2,t3,..., ( ) ( ) ( ) можно представить характеристическую функцию случайного процесса согласно (1.115) в виде n js n v1,v2,...,vn,t1,t2,...,tn = exp Bs ti,...,tk vi...vk. (1.116) () () s! s=1 i,...,k= Пример. Одномерная плотность вероятностей стационарного случайного процесса имеет вид e- x x > W1 x = при.

( ) x < Определить характеристическую функцию этого процесса и среднее значение.

Характеристическая функция будет равна:

+ + jvx- x 1 v = W1 x e dx = e dx =.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.