WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

s t = (1.26) ( ) sin kx ( ) T Максимумы и минимумы s t при изменении t от 0 до определяются ( ) lT равенством sin 2kt = 0. Откуда t =. Кривая функции s t совершает ( ) ( ) 4k колебания вокруг ординаты s t = +1 или -1. При этом первый максимум ( ) наибольший (при l =1). Его ордината равна T T 4k sin 2kx sin y dy 2 ( )dx = 2 ( ), (1.27) y sin kx ( ) 2k sin 2k где обозначили y = 2kx.

y y При больших значениях k в выражении (1.27) sin можно заменить на.

2k 2k В пределе при k t 0 имеем ( ) T 2 sin y dy = Si =1,179..., (1.28) ( ) y где Si z ( )- интегральный синус.

Мы получили 1,179…, а должна быть единица.

На рис.1.2б представлен график аппроксимирующей функции нашего процесса при k, из которого видно, что в точках разрыва процесса имеется всплеск функции. Следует отметить, что независимо от вида исходного процесса в точках разрыва первого рода ряд Фурье будет давать скачек на ~18% превышающий значения исходного процесса.

1.3 Интегральное преобразование Фурье Импульсный процесс s t можно представить рядом Фурье, однако это ( ) представление будет верно лишь на интервале существования импульса, В остальные моменты времени, когда s t = 0, ряд будет давать другие ( ) значения. Если необходимо получить аналитическое представление импульсного детерминированного процесса, верное в любой момент времени, следует пользоваться интегральным преобразованием Фурье.

Пусть задан импульс s t. Мысленно образуем периодическую ( ) последовательность таких импульсов с периодом T. Такая последовательность будет описываться зависимостью + sn t = s t + mT, где m - целое число.

( ) ( ) m=Такой периодический процесс можно разложить в ряд Фурье и вычислить комплексные амплитуды. Обозначив k =, получим T g D = sn t e- jtdt. (1.29) ( ) ( ) T T Так как интегрирование проводится в пределах от -T 2 до +T 2, то величина g D не изменится, если вместо sn t представить s t, а интегрирование ( ) ( ) ( ) проводить в бесконечных пределах:

+ g D = s t e- jtdt = S j. (1.30) ( ) ( ) ( ) TT Величину + S j = s t e- jtdt (1.31) ( ) ( ) называют спектральной функцией, соответствующей импульсу s t.

( ) Вид спектральной функции зависит только от аналитического выражения импульса s t, т.е. от формы импульса. Отметим, что ( ) g g D = D k = S jk, (1.32) k ( ) ( ) T т.е. для вычисления комплексной амплитуды любой гармоники периодической последовательности импульсов достаточно вычислить спектральную функцию S j исходного импульса, взять ее значение на ( ) частоте искомой гармоники S jk и умножить на.

( ) T Выразим теперь импульс s t через его спектральную функцию.

( ) + + + g 1 jkt jkt sn t = s t + mT = D e =S jk e. (1.33) ( ) ( ) k ( ) 2 T m=- k=- k=Устремим T к бесконечности. При этом все импульсы, кроме исходного s t, отодвинутся в бесконечность и при конечных значениях t останется ( ) импульс s t. Таким образом, ( ) + lim s t + mT = s t.

() ( ) t m=С другой стороны, учтя, что = и, обозначив = k+1 - k, получим T новую запись правой части выражения (1.33):

+ 1 jkt S jk e k+1 - k.

( ) ( ) k=Если теперь T, то k+1 - k 0, а сумма в пределе превращается в интеграл:

+ + jkt jt lim S jk e k+1 - k = S j e d. (1.34) ( ) ( ) ( ) T 2 k=Таким образом, + jt s t = S j e d. (1.35) ( ) ( ) Формулы (1.31) и (1.35) называются парой преобразования Фурье.

Первая осуществляет прямое преобразование и позволяет найти спектральную функцию, вторая осуществляет обратное преобразование Фурье и дает возможность вычислить значение импульса в любой момент времени.

Из приведенного рассмотрения ясно, что интеграл Фурье представляет собой импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах. На этом основании говорят о сплошном (непрерывном) спектре, которым обладает импульсный процесс.

Необходимо, однако, помнить, что S j не спектр, а спектральная функция ( ) импульса, ибо на каждой данной частоте энергия импульса равна нулю.

Спектральную функцию можно представить в виде действительной A и мнимой B части:

( ) ( ) S j = A - jB = S e- j(), (1.36) ( ) ( ) ( ) ( ) + + где: A = s t cos t dt и B = s t sin t dt, а ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - S = A2 + B2 - модуль спектральной ( ) ( ) ( ) функции, B ( ) = arctg - фаза спектральной функции.

( ) A ( ) Модуль спектральной функции есть функция четная, фаза – нечетная относительно частоты.

Пример. Определить спектральную функцию экспоненциального импульса ue-t t > s t = при.

( ) t < Спектральная функция будет равна + + uu - jarctg S j = s t e- jtdt = ue-te- jtdt = e = ( ) ( ) + j + 2 = - = S e- j() ( ) u Здесь S = - модуль и = arctg - фаза спектральной ( ) ( ) + функции экспоненциального импульса.

В табл. 1.1 приведены спектральные функции некоторых, часто встречающихся на практике импульсных процессов.

Таблица 1.№ Временная функция Спектральная функция п/п.

s t = t - t( ) ( ) S j = e- jt( ) t u sin s t = при ( ) S j = u ( ) t > 3 t2 - S j = u e ( ) s t = ue ( ) 4 u ue-t t > S j = ( ) s t = при ( ) + j t < t cos u cos t S j = ( )2u s t = при ( ) 10 t > t sin u cos2 t S j = u ( ) s t = при ( ) 0 t > 1 2 t < u1+ 2t 1- cos - t o S j = u 2 ( ) s t = при ( ) u1- 2t 0 t t > S j = u += ( ) s t = ue- t ( ) + j - j 2u = + 1.4. Свойства преобразования Фурье Рассмотрим некоторые простые свойства преобразования Фурье.

1. Преобразование Фурье четной и нечетной функций Если s t четная функция, то ее преобразование Фурье дает также четную ( ) функцию. Действительно:

+ + + S j = s t e- jtdt = s t cos t dt - j s t sin t dt.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - При четной s t второй интеграл равен нулю и функция S j, ( ) ( ) определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно.

Если s t нечетная относительно t, то в ноль обращается первый ( )- интеграл и + S j =- j s t sin t dt.

( ) ( ) ( ) В этом случае S j - нечетная и чисто мнимая функция.

( ) 2. Линейность преобразования Фурье Докажем, что оператор Фурье линеен. Линейным называется оператор $ (обозначим его буквой L ), для которого выполняется равенство $c $ $ L f1 + c2 f2 = c1L f1 + c2 L f2, (1.37) ( ) где: c1 и c2 - произвольные постоянные; f1 и f2 - произвольные функции.

Линейность оператора Фурье вытекает из того, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов и, что постоянную величину можно вынести за знак интеграла.

3.Сдвиг процессов во времени Пусть процессу s1 t произвольной формы, существующему на интервале ( ) t1,t2, соответствует спектральная функция S1 j. Задержим этот процесс [ ] ( ) на время t0 так, чтобы новый процесс s2 t существовал на интервале ( ) t1 + t0,t2 + t0, т.е. s2 t = s1 t - t0.

[] ( ) ( ) Найдем спектральную функцию S2 j процесса s2 t :

( ) ( ) + + S2 j = s2 t e- jtdt = s1 t - t0 e- jtdt, ( ) ( ) ( ) - введем новую переменную = t - t0, тогда:

+ + - jt S2 j = s1 e- j( +t0)d = e- jt0 s1 e- j d = e S1 j. (1.38) ( ) ( ) ( ) ( ) - Таким образом, смещению процесса на величину t0 в сторону запаздывания (опережения) соответствует сдвиг фазы спектральной функции, т.е. сдвиг всех спектральных составляющих на величину e- jt0 в сторону отставания (опережения). Модуль спектральной функции при этом не меняется.

4. Изменение масштаба времени Рассмотрим процесс s1 t, существующий на интервале 0,T и имеющий ( ) [ ] спектральную функцию S1 j. Сожмем процесс во времени в n раз так, что ( ) T 0, новый процесс s2 t окажется заданным в интервале и s2 t = s1 nt.

( ) ( ) ( ) n Спектральная функция этого процесса будет + S2 j = s1 nt e- jtdt.

( ) ( ) Введем новую переменную = nt и получим + - j n S2 j = s1 e d = S1 j (1.39) ( )11 ( ) ( ) nn Из соотношения (1.39) следует, что сжатие процесса во времени в n раз приводит к растяжению (по частоте) ширины спектральной функции в n раз и к уменьшению в n раз ее модуля.

5.Дифференцирование и интегрирование Пусть процессу s1 t соответствует спектральная функция S1 j так что ( ) ( ) + + jt S1 j = s1 t e- jtdt, s1 t = S1 j e d.

( ) ( ) ( ) ( ) - Продифференцируем процесс s1 t по времени и найдем его спектральную ( ) функцию + ds1 t ( ) jt = jS1 j e d.

( ) dt Это выражение можно рассматривать как обратное преобразование Фурье ds1 t ( ) для процесса s2 t =, имеющего спектральную функцию ( ) dt S2 j = jS1 j.

( ) ( ) Таким образом, для производной детерминированного процесса по времени спектральная функция будет равна S2 j = jS1 j. (1.40) ( ) ( ) Пусть процесс s1 t имеет спектральную функцию S1 j, а ( ) ( ) t процесс s2 t S2 j. Положим, что s2 t = s1 d. Теперь ( )- ( ) ( ) ( ) ds2 t ( ) продифференцируем по времени процесс s2 t и получим = s1 t. Из ( ) ( ) dt этого равенства с учетом выражения (1.40) следует, что S1 j = jS2 j.

( ) ( ) Поэтому спектральная функция процесса s2 t, равного интегралу от ( ) процесса s1 t, определяется выражением ( ) ( ) S2 j =. (1.41) ( )S1 j j 6. Спектральная функция произведения двух временных функций Пусть процесс s t образован произведением двух функций f t и ( ) ( ) g t, имеющих спектральные функции F j и G j соответственно.

( ) ( ) ( ) Спектральная функция такого процесса будет иметь вид + + S j = s t e- jtdt = f t g t e- jtdt. (1.42) ( ) ( ) ( ) ( ) - Представим процесс g t в виде обратного преобразования Фурье и ( ) подставим в выражение (1.42):

+ + jt S j = f t G j e d e- jtdt = ( )2 ( ) ( ) - Во внутреннем интеграле заменим на и получим + + + + jt = f t G j e d e- jtdt = G j f t e- j(-)tdt d = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 - - + = G j F j - d.

( ) ( ) F j - - спектральная функция процесса f t при частоте -.

( ) ( ) Таким образом, с точностью до постоянного множителя спектральная функция произведения двух функций времени f t и g t ( ) ( ) равна интегральной свертке спектральных функций F j и G j ( ) ( ) перемножаемых временных функций.

Полученное равенство справедливо при любой частоте, в том числе и при = 0, когда + + f t g t dt = G j F j d. (1.43) ( ) ( ) ( ) (- ) - Заменив на, получим + + + f t g t dt = G j F j d = G j F j d, (1.44) ( ) ( ) ( ) (- ) ( ) ( ) 2 - - где F j = F j - функция, комплексно сопряженная спектральной ( ) (- ) функции F j. Из выражения (1.44) имеем при g t = f t равенство ( ) ( ) ( ) Парсеваля:

+ + 1 f t dt = F j d. (1.45) ( ) ( ) - Выражение (1.45) определяет электрическую энергию процесса (выделяемую F j ( ) на единичном сопротивлении), а значение d - энергия этого процесса в бесконечно узкой полосе частот.

1.5 Энергия взаимодействия двух процессов. Равенство Рэлея Определим энергию взаимодействия двух процессов s1 t и s2 t, ( ) ( ) имеющих спектральные функции S1 j и S2 j соответственно.

( ) ( ) Воспользуемся равенством Парсеваля и найдем энергию суммы двух процессов:

+ + S1 j + S2 j d. (1.46) ( ) ( )2 1 ( ) ( ) s t + s2 t dt = - Квадрат модуля подынтегрального выражения правой части равенства можно записать в виде:

S1 j + S2 j = S1 j + S2 j j + S2 j.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SС учетом записанного раскроем скобки в левой и правой частях равенства (1.46):

+ + + + 1 s1 t dt + s2 t dt + 2 s1 t s2 t dt = S1 j d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - - - + + + S2 j d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S1 j S2 j + S1 j S2 j d. (1.47) 2 - Согласно равенству Парсеваля левые и правые слагаемые в обеих частях уравнения (1.47) попарно должны быть равны. Поэтому + + s1 t s2 t dt = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S1 j S2 j + S1 j S2 j d. (1.48) - Представим комплексные спектральные функции через их модули и фазы:

S1 j = S1 j e- j1 ; S2 j = S2 j e- j2 ;

( ) ( ) ( ) ( ) j1 jS1 j = S1 j e ; S2 j = S2 j e.

( ) ( ) ( ) ( ) Подставим указанные значения спектральных функций в выражение (1.48) + + j 2- s1 t s2 t dt =+ S1 j S2 j e- j(2-1) d = S1 j S2 j e ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) - + = S1 j S2 j cos 2 -1 d (1.49) ( ) ( ) () Соотношения (1.48) и (1.49) называют равенствами Рэлея. Равенство Парсеваля вытекает из них как частный случай при S1 j = S2 j.

( ) ( ) Окончательно для нашей задачи равенство (1.47) принимает вид + + + 2 s1 t + s2 t dt = S1 j d + S2 j d + ( ) ( )2 1 ( ) ( ) 2 - - (1.50) + + S1 j S2 j cos 2 -1 d ( ) ( ) () Из выражения (1.50) следует, что общая энергия, создаваемая совместно двумя процессами, может превышать сумму энергий отдельных независимых процессов, Эта дополнительная составляющая создается теми спектральными составляющими двух процессов, сдвиг фаз между которыми меньше. При фазовом сдвиге более общая энергия может 2 уменьшиться. Естественно, что это имеет место для когерентных колебаний, т.е. таких колебаний, между которыми существует функциональная зависимость. Некогерентными называются колебания, значения которых не связаны. Энергия взаимодействия некогерентных колебаний равна нулю.

Некогерентные колебания всегда ортогональны, т.е. для них выполняется условие:

ts1 t s2 t dt = 0.

( ) ( ) tОднако ортогональные колебания не обязательно некогерентны.

Например, процессы s1 t = acos t и s2 t = bsin t являются ( ) ( ) ( ) ( ) s1 t ( ) ортогональными, но и когерентными, так как s2 t = b 1-, т.е. между ( ) aними существует функциональная зависимость.

1.6 Преобразование Лапласа Некоторые процессы, не удовлетворяющие определенным условиям, например условиям Дирихле, не могут быть представлены обратным преобразованием Фурье, так как для них не существует или не определена спектральная функция. Например, процесс, описываемый функцией Хевисайда (функцией единичного скачка), не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Для анализа таких процессов используются методы операционного исчисления, связанные с интегральными преобразованиями Карсона и Лапласа. Рассмотрим преобразование Лапласа.

Умножим функцию процесса s t на e-ct, где c - положительная ( ) константа, выбранная так, чтобы новая функция s t e-ct удовлетворяла ( ) условию абсолютной интегрируемости. Теперь спектральная функция нового процесса будет иметь вид + S j,c = t e-ct e- jtdt. (1.51) ( ) ( ) s Для обеспечения существования этого интеграла будем задавать все процессы s t так, чтобы s t = 0 при t < 0. При этом ( ) ( ) + S j,c = s t e-(c+ j)tdt = S c + j. (1.52) ( ) ( ) () Проведем над S c + j обратное преобразование, т.е.

( ) + jt S c + j e d = s t e-ct. (1.53) () ( ) Умножим обе части выражения (1.53) на ect, объединим степенные множители под интегралом и заменим переменную интегрирования на c + j. Получим c+ j S c + j e(c+ j)d c + j = s t. (1.54) () () ( ) 2 j c- j Обозначим в выражениях (1.52) и (1.54) комплексное число c + j = p.

Тогда:

+ L s t = S p = s t e- ptdt ; (1.55) ( ) ( ) ( ) c+ j L-1 S p = s t = S p eptdp. (1.56) ( ) ( ) ( ) 2 j c- j Соотношения (1.55) и (1.56) называются парой преобразования Лапласа.

Зависимость (1.56) также называют формулой Меллина-Фурье или формулой обращения. При этом говорят, что S p - изображение s t и, наоборот, s t ( ) ( ) ( ) - оригинал S p, ( p - комплексная, а t - вещественная переменные) ( ) Основные свойства преобразования Лапласа:

1) линейность - L s1 t + s2 t = L s1 t + L s2 t, ( ) ( ) ( ) ( ) L cs t = cL s t ;

( ) ( ) 2) линейное изменение масштаба - L s = S ;

(t ) p 3) сдвиг во времени - L s t - t0 = e- pt0L s t, t0 > 0 ;

( ) ( ) ( ) 4) сдвиг спектральной функции - L t e-t = S p + ) ;

( ) ( s c+ j 5) свертка преобразований - L s1 t s2 t = S1 p S2 p - p dp;

( ) ( ) 2 j ( ) ( ) c- j t 6) свертка оригиналов - L s2 t - d = L s1 t L s2 t ;

( ) ( ) s ( ) ( ) ' 7) правило производной - L t = pL s t - pS 0 ;

( ) ( ) ( ) s t 8) правило интеграла - L s( )d = L s(t).

p При проведении расчетов полезно использовать интегрирование по методу вычетов. Согласно теореме о вычетах интеграл функции f p ( ) комплексного переменного по любому замкнутому контуру C, лежащему внутри односвязной области, равен 2 j, умноженному на сумму вычетов Resak f p в особых точках ak подынтегральной функции:

( ) n (1.57) ( ) Res f p.

ak Сf ( p)dp = 2 j k=C Вычет функции f t в полюсе p = ak кратности m вычисляется по формуле ( ) 1 d(m-1) Re sak f p = lim f p p - ak, (1.58) ( ) ( )()m m ( -1 !pak dpm-) в частности, в полюсе первого порядка имеем Re sak f p = lim f p p - ak. (1.59) ( ) ( )( ) pak Применяя теорему о вычетах к формуле обращения (1.56) и образуя замкнутый контур интегрирования окружностью бесконечно большого радиуса, получим следующее выражение для определения оригинала:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.