WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

3. Из зависимостей (4.11), (4.12) можно определить вид функций Q и М:

• если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то Q = const, а М – линейная функция x;

• если на участке действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Q – линейная функция, а М – квадратная парабола;

• если на участке действует линейно распределенная нагрузка, то соответственно Q является квадратной параболой, а М – кубической.

4. Характер поведения функции на участке (то есть ее возрастание или убывание) зависит, как известно, от знака первой производной функции. И из дифференциальных зависимостей (4.11), (4.12) следует:

• если на участке распределенная нагрузка q > 0 (действует вниз), то поперечная сила Q на этом участке является убывающей функцией;

• если на участке поперечная сила положительна, то функция М(x) возрастает;

• если на участке в каком-то сечении x0 функция Q(x0 ) = 0, то на эпюре М в этом сечении имеет место экстремум.

5. По знаку второй производной функции определяется выпуклость функции. Из зависимости (4.13) вытекает, что эпюра М всегда имеет выпуклость в сторону действия распределенной нагрузки (q – вниз, выпуклость – вниз и наоборот). По знаку второй производной от Q можно определить выпуклость эпюры Q. Из (4.11) d Q dq = - dx2 dx d Q и, если q(x) – возрастающая функция, то < 0 и эпюра Q имеет dxвыпуклость вверх.

6. Из (4.11) следует, что xxM = Q(x)dx.

xxЭто означает, что приращение изгибающего момента М на участке между сечениями х1 и х2 равно площади эпюры Q на указанном участке.

Примечание. Зависимости (4.11) и (4.12) и перечисленные правила справедливы, если начало отсчета x вести слева направо и эпюру М строить со стороны растянутых волокон.

Рекомендуем после построения эпюр обязательно проанализировать результаты, проверив выполняются ли все перечисленные правила в решенной Вами задаче.

Пример Условие задачи Дана балка с действующими на нее нагрузками (рис. 4.6, а).

Требуется определить внутренние усилия – поперечную силу Q и изгибающий момент М в балке, построить графики их изменения вдоль оси стержня (эпюры Q и М).

а xxx=15 кН/м qМ =5 кН м А =30 кН F2 = 60 кН м М B А =10 кН/м q=20 кН F=1 м =2 м b =1 м a c R =30 кН A б Эпюра Q =1,33 м x=13,Mmax Эпюра М Рис. 4.6. К решению примера 1 по построению эпюр Q и М:

а – схема балки с нагрузками;

б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента Решение Прежде всего найдем опорные реакции. Балка имеет жесткое защемление на правом конце4 и в этом закреплении при заданной вертикальной нагрузке возникают две опорные реакции: вертикальная реакция RA и реактивный момент MA. Горизонтальная реакция при действии вертикальной нагрузки равна нулю. Это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Определим RA и MA, используя два других уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, в каждое из которых входит только одна неизвестная. В данном случае такими уравнениями являются "сумма проекций всех сил на вертикальную ось (ось z) равна нулю" и "сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю":

z = 0; - F1 + F2 + q1a - q2b - RA = 0;

mA = 0;

- F1(a + b + c) + F2(b + c) + q1a(a / 2 + b + c) - q2b(b / 2 + c) - M + M = 0.

A Из первого уравнения найдем RA = 30 кН, из второго – МА =5 кНм.

Полученные положительные знаки опорных реакций подтверждают выбранные нами направления опорных реакций: RA – вверх, а МА – против часовой стрелки. Для проверки рекомендуем использовать любое другое уравнение равновесия, например mB = 0:

– 302 – 1521 – 60 + 1012,5 + 304+5 = – 150 + 150 = 0.

Теперь определяем внутренние усилия: поперечную силу Q и изгибающий момент М. В соответствии с методом сечений рассекаем балку на каждом участке (в данной задаче их три) произвольным сечением и рассматриваем все силы, расположенные с одной стороны от сечения: слева или справа. Удобно рассматривать все силы с той стороны от сечения, где сил меньше. Начало отсчета координаты x на каждом участке можно выбирать произвольным образом. Например, В балке с заделкой можно строить эпюры Q и М без определения опорных реакций, рассматривая все силы с одной стороны от сечения – со свободного конца. Но студенту, только начинающему осваивать построение эпюр, рекомендуем все же реакции находить. Это дополнительная проверка правильности решения задачи.

на рис. 4.6, а начало отсчета x на каждом участке – свое и находится в начале участка. Запишем выражения для Q и М на каждом участке.

Участок 1: 0 x1 a.

Рассмотрим силы, расположенные слева от сечения. По определению поперечной силы и с учетом правила знаков для Q (см.

рис. 4.5, а):

Q(x1) = F1 - q1x1.

Здесь q1x1 – равнодействующая равномерно распределенной нагрузки, действующей слева от сечения.

По определению изгибающего момента и с учетом правила знаков для М (см. рис. 4.5, б):

M (x1) = F1x1 - q1x1 x1 2, где во втором слагаемом x1 2 – плечо равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (q1x1), взятой слева от сечения (равнодействующая приложена по середине длины отсеченной части балки x1).

Для построения эпюр найдем значения Q и М на границах участка:

в начале участка (х1 = 0) Q = F1, а M = 0;

в конце участка ( x1 = a ) Q = F1 - q1a ; M = F1a - q1 a2 2.

Участок 2: 0 x2 b.

Снова рассмотрим все силы, расположенные слева от сечения.

Q(x2 ) = F1 - q1a - F2 + q2x2 ;

M (x2 ) = F1(a + x2 ) - q1a(a 2 + x2 ) - F2x2 + q1x2 x2 2.



Граничные значения Q и М:

в начале участка ( x2 = 0) Q = F1 - q1a - F2;

M = F1a - q1 a2 2, в конце участка ( x2 = b) Q = F1 - q1a - F2 + q2b ;

M = F1(a + b) - q1a(a 2 + b) - F2b + q2 b2 2.

Участок 3: 0 x3 c.

Теперь рациональнее рассмотреть все силы справа от сечения.

Тогда Q(x3) = -RA;

M (x3) = M + RAx3.

A Из этих выражений следует, что поперечная сила на третьем участке – постоянная величина, а изгибающий момент меняется по линейному закону и на границах участка имеет следующие значения:

в начале участка ( x3 = 0) M = M, A в конце участка ( x3 = c ) M = M + RAc.

A Запишем результаты определения внутренних усилий в таблицу, сосчитав численные значения Q и М на границах участков (табл. 1).

Таблица Граничные значения Пределы Выражения для Q и М Q, кН М, кН м изменения х на в начале в конце в начале в конце участке участка участка участка участка Участок 1 Q(x1) = 20 - 15x1; 20 – 10 0 0 x1 M(x1) = 20x1 - 7,5xУчасток 2 Q(x2 ) =-40 + 10x2 ; – 40 – 30 10 – 0 x2 M (x2 ) = 10 - 40x2 + 5x2 Участок 3 Q(x3 ) =-30 ; – 30 – 30 5 0 x3 M(x3 ) = 5 + 30x Из таблицы видно, что поперечная сила на первом участке меняет свой знак, т. е. график Q пересекает нулевую линию. Это значит, что изгибающий момент на этом участке имеет экстремум. Найдем максимальное значение М на этом участке. Сначала определим то значение координаты х1, при котором поперечная сила равна нулю.

Обозначим это значение координаты х0 (см. рис. 4.6).

Q(x0 ) = 20 -15x0 = 0 х0 = 1,33 м.

Чтобы найти максимальное значение изгибающего момента, подставим х0 в выражение для М на первом участке:

M = M (x0 ) = 201,33 - 7,51,332 = 13,3 кНм.

max По результатам вычислений в таблице строим эпюры Q и М на каждом участке (см. рис. 4.6, б). Не забываем после построения эпюр проанализировать результаты по тем правилам проверки правильности построения эпюр, которые перечислены ранее.

Пример Условие задачи На балку кроме равномерно распределенной нагрузки действует линейно распределенная (треугольная) нагрузка (рис. 4.7, а). Построим эпюры распределения поперечной силы и изгибающего момента, обращая внимание на определение Q и М на участке с треугольной нагрузкой.

Решение Найдем опорные реакции. Балка имеет шарнирное опирание и для определения двух не равных нулю опорных реакций RA и RB (горизонтальная реакция HA = 0) составим два независимых уравнения статики. Рациональными уравнениями, в каждое из которых входит одна неизвестная реакция, в данном случае являются:

a b mA = 0; q1a + q2 b - Fb - M + RB (b + c) = 0, 2 2 a b b mB = 0; q1a( + b + c) - q2 ( + c) + Fc - M - RA(b + c) = 0.

2 2 Напомним как определяется момент от треугольной нагрузки.

Равнодействующая от треугольной нагрузки равна площади треугольника q2 b 2 и приложена в центре тяжести треугольника, поэтому плечо этой равнодействующей относительно точки А равно (2 3) b, а относительно точки В – (b 3) + c. Из этих уравнений найдем RA = – 31,9 кН, RB = – 18,1 кН. Отрицательные знаки показывают, что обе реакции направлены не вверх, как показано на рис. 4.7, а, а в противоположную сторону. Для проверки опорных реакций составим уравнение равновесия "сумма проекций сил на вертикальную ось z равна нулю":

z = 0; 101- 40 4 2 + 20 + 31,9 +18,1 = 80 - 80 = 0.

Определение внутренних усилий производим, записывая выражения для Q и М в таблицу (табл. 2).

Поясним выражения для Q и М на втором участке, а именно третьи слагаемые в этих выражениях, учитывающие треугольную нагрузку. Чтобы найти равнодействующую от треугольной нагрузки, расположенной слева от рассматриваемого сечения на участке длиной х2, определим интенсивность распределенной нагрузки в сечении х2, которая на рис. 4.7, а обозначена qx. Для этого составим пропорцию:

40 xqx q2 = x2 b, откуда qx =. Тогда равнодействующая этой расx2 40 x2 xпределенной нагрузки на участке длиной х2 qx =. Она 2 4 приложена в центре тяжести треугольника, и изгибающий момент, 40 x2 x2 xсоздаваемый этой нагрузкой, равен, где – плечо равно8 3 действующей.

Таблица Граничные значения Пределы Выражения для Q и М Q, кН М, кН м измене- ния х на в на- в в на- в участке чале конце чале конце участка участка участка участка Участок 1 Q(x1 ) =-10x1; 0 – 10 0 – 0 x1 M (x1 ) =-10x1 x1 Участок 2 – 41,9 38,1 – 5 – 66,x2 xQ(x2 ) =-10 - 31,9 + 40 ;

0 x2 4 x2 xM (x2 ) =-10(0,5 + x2 ) - 31,9x2 + 8 Участок 3 Q(x3 ) = 18,1 18,1 18,1 – 30 – 66,;

0 x3 M(x3 ) =-30 - 18,1 xПоскольку поперечная сила на втором участке меняет знак, найдем экстремальное значение изгибающего момента в сечении х0 на этом участке (рис. 4.7, б). Определим величину х0, приравняв выражение для поперечной силы на втором участке нулю:

40xQ(x0) = - 41,9 + = 0, откуда х0 = 2,89 м. Тогда 40 2,M = M (x2 = x0) = -10(0,5 + 2,89) - 31,9 2,89 + = max = 86,0кН·м По полученным в таблице выражениям строим эпюры внутренних усилий. Напомним, что выпуклость эпюры М направлена в сторону распределенной нагрузки. Выпуклость эпюры Q на втором учаа xxx3 M = 30 кНм =20 кН F = 10 кН/м qq x A B = 40 кН/м qR = –31,9 кН A R = –18,1 кН B =4 м =2 м b c =1 м a б 38, 18,Эпюра Q =2,89 м x41,9 Mmax = 86,66,Эпюра M Рис. 4.7. К решению примера 2 по построению эпюр Q и М:

а – схема балки с нагрузками;

б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента стке можно определить по знаку второй производной d Q dx2 = -dq dx. В данном случае функция q(x) является убы вающей, следовательно dq dx < 0, а d Q dx2 > 0. Это означает, что эпюра Q имеет выпуклость вниз. Можно определить выпуклость эпюры поперечной силы и по-другому. В сечении, где интенсивность распределенной нагрузки равна нулю (начало второго участка в данной задаче), угол наклона касательной к кривой Q(x) должен равняться нулю, так как в этом сечении dQ dx = 0. Это возможно тогда, когда функция Q(x) имеет выпуклость вниз.





После того, как Вы нарисовали эпюры, рекомендуем обязательно проанализировать их по правилам проверки правильности построения эпюр.

4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19) Рекомендуемая литература:

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 4 (§ 4.1, 4.2).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 23–24), гл. 15.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.6–7.8, 7.10), гл. 5 (§ 5.1–5.5).

Если Вы научились строить эпюры Q и М, то можете приступать к проверке прочности балок. Задача о проверке прочности балки чаще всего сводится к решению двух вопросов:

• подбору сечения балки, т. е. определению таких минимальных размеров поперечного сечения, которые удовлетворяют условиям прочности в опасных точках;

• определению грузоподъемности балки, т. е. нахождению такой максимальной нагрузки (допускаемой нагрузки) на балку, при которой удовлетворяются условия прочности во всех опасных точках.

Рассмотрим примеры проверки прочности балок круглого или прямоугольного сечений, двутавровых балок и балок произвольного моносимметричного сечения.

Пример Условие задачи На балку круглого поперечного сечения действует нагрузка, показанная на рис. 4.8, а. Требуется подобрать размеры поперечного сечения (или определить грузоподъемность балки) так, чтобы выполнялись условия прочности во всех опасных точках.

Решение Строим эпюры Q и М (рис. 4.8, б). Эпюры Q и М нужны для того, чтобы найти положение опасных сечений и опасных точек в балке.

Найдем положение опасных сечений для этой балки. Опасными сечениями в балках круглого и прямоугольного сечений являются:

• сечение, где действует максимальный по модулю изгибающий момент (сечение а–а на рис. 4.8, в);

• сечение, где действует наибольшая по абсолютной величине поперечная сила (сечение b–b на рис. 4.8, в).

В опасных сечениях находятся опасные точки – точки, в которых действуют либо максимальные нормальные, либо максимальные касательные напряжения. Чтобы найти положение опасных точек, посмотрим на эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте балки, которые построены на рис. 4.8, в. Из эпюры видно, что наибольшие нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y. Таким образом, опасными точками с максимальными нормальными напряжениями являются точки 1, 1, расположенные в сечении а–а (рис. 4.8, в). В одной точке действуют максимальные растягивающие напряжения, в другой – максимальные сжимающие. В данной задаче в сечении а–а максимальный момент положителен, т. е. он изгибает балку выпуклостью вниз, поэтому в точке 1 действуют растягивающие, а в точке 1 – сжимающие напряжения. Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии материала балки одинаковы (дерево или пластичный материал), то обе точки являются равноопасными. Опасная точка с максимальными касательными напряжениями, как видно из эпюры, расположена на оси балки в сечении b–b, где действует наибольшая поперечная сила (точка 2 на рис. 4.8, в).

а =15 кН/м qМ =5 кН м А =30 кН F2 = 60 кН м М А =10 кН/м q=20 кН F=1 м b =2 м =1 м a c R =30 кН A б Эпюра Q =1,33 м x=13,Mmax Эпюра М в a b y b a z Эп. Эп.

Рис. 4.8. К решению примера 1 о проверке прочности балки:

а – схема балки с нагрузками; б – эпюры внутренних усилий;

в – опасные сечения и опасные точки Запишем условия прочности в опасных точках. Начнем с рассмотрения опасных точек 1, 1, так как именно эти точки чаще всего бывают наиболее опасными. Эти точки находятся в линейном напряженном состоянии (рис. 4.9, а) и условие прочности в этих точках записывается так же, как при растяжении-сжатии:

max [], где максимальные напряже max б a ния определяем по формуле max (4.3). Тогда условие прочности в точках 1, 1 будет иметь вид max M max [].

Wy Если стоит задача подРис. 4.9. Напряженное состояние опасных бора сечения, то из этого точек условия находим требуемый момент сопротивления балки:

M необх max Wy, [] а, зная момент сопротивления, по формулам (4.5) определяем размеры поперечного сечения балки. Например, для балки круглого попенеобх речного сечения необходимый радиус r 4Wy. Для деревянных балок диаметр ходовых бревен ограничен и не должен быть больше 26 см. Для бревна с радиусом 13 см момент сопротивления равен 1725 см3. Если полученное из условия прочности значение необходимого момента сопротивления будет больше 1725 см3, то следует подобрать сечение из нескольких бревен. В рассматриваемом примере для деревянной балки с [] = 10 МПа = 1кН/см2 найдем необх Wy 4000см3. Тогда количество бревен 4000/1725 = 2,32 3. И радиус одного из трех бревен будет r 4 4000 3 = 11,9 12 см.

Если требуется определить грузоподъемность балки, то из условия прочности в точках 1, 1 находим максимальное значение изгибающего момента:

M Wy[], max которое зависит от нагрузки. Зная эту зависимость из эпюры М, найдем значение допускаемой нагрузки.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.