WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ 2 Санкт-Петербург 2001 2 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра сопротивления материалов Н. Б. ЛЕВЧЕНКО СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения ЧАСТЬ 2 Задачи № 12–24, 26, 27 Под редакцией д-ра техн. наук, проф. В. Д. Харлаба Санкт-Петербург 2001 3 УДК 539.3/8(07) Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 2 / Н. Б. Левченко; СПбГАСУ. СПб., 2001. - 110 с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по теме "Изгиб" с подробными объяснениями.

Ил. 55. Табл. 3. Библиогр. 7 назв.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения);

д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий) Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия © Н. Б. Левченко, 2001 © Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2001 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ В процессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в методических указаниях [4], по которым студенты выбирают схемы решаемых задач.

В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов.

Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний препода вателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетнопроектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Нагрузки :

F – сосредоточенная сила, кН;

M – сосредоточенная пара сил (момент), кНм;

q – интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

x– продольная ось стержня;

y, z – главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

A – площадь поперечного сечения, см2;

Sy, Sz – статические моменты относительно осей y, z, см3;

Iy, Iz – осевые моменты инерции относительно осей y, z, см4;

Ip– полярный момент инерции, см4.

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Qy, Qz, (Q) – поперечные силы, кН;

My, Mz, (M) – изгибающие моменты кНм;

Mк – крутящий момент, кНм.

Напряжения:

x,, z, () – нормальные напряжения, МПа;

y xy,, zx, () – касательные напряжения, МПа;

yz 1, 2, 3, (гл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

x,,z, () – относительные продольные деформации;

y,, zx, () – угловые деформации (углы сдвига);

xy yz l – абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (перемещение точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

– угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

– угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

пц – предел пропорциональности, МПа;

т – предел текучести, МПа;

р в – временное сопротивление (для хрупких материалов – предел прочв ности при растяжении, с – предел прочности при сжатии), МПа;

в [], [] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

– коэффициент Пуассона;

– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

4. ИЗГИБ Основные понятия и формулы Изгиб – такой вид деформации стержня, при котором его ось искривляется. Стержень, подверженный изгибу, называется балкой.



Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой. В данном разделе рассматриваются балки и рамы, подверженные плоскому поперечному изгибу. В этом случае вся нагрузка приложена перпендикулярно оси стержня в одной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии поперечного сечения; изогнутая ось является плоской кривой. При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия:

продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента зависят от вида рассматриваемой конструкции (прямолинейная балка, рама, криволинейный стержень) и приведены в соответствующих разделах.

Перед тем, как использовать метод сечений для определения внутренних усилий, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 4.1 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 4.1, б) и подвижной (рис. 4.1, в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 4.1, а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реак а М б в А А А А А А H H H A A A R R R R R A A A A A Рис. 4.1. Опорные реакции:

а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;

в – в шарнирно-подвижной опоре тивные силы (рис. 4.1, б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис. 4.1, в).

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений. Подробно процесс определения внутренних усилий рассматривается при решении конкретных задач.

Когда внутренние усилия найдены, можно определить напряжения в поперечном сечении изгибаемого стержня. В произвольной точке поперечного сечения возникают нормальное и касательное напряжения, которые для прямолинейных стержней находятся следующим образом:

• нормальные напряжения в балке определяются по формулеMz x = =, (4.1) I y где М – величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении;

z – координата той точки поперечного сечения, в которой определяется, в главной центральной системе координат; I – осевой момент y инерции относительно главной центральной оси y. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения показано на рис. 4.2, а.

Ось y, на которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной осью;

В рамах при наличии продольной силы к нормальным напряжениям добавляется слагаемое N A.

• касательные напряжения определяются по формуле Журавского2:

o QS (z) y xz = =. (4.2) I b(z) y В формуле Журавского Q – значение поперечной силы в рассматриo ваемом сечении; S (z) – статический момент отсеченной части сечеy ния, зависящий от того, в какой точке определяется касательное напряжение; b(z) – ширина сечения на уровне точки, в которой находится напряжение. Например, на рис. 4.2, б заштрихована отсеченная часть сечения и показана ширина b(z) при определении касательных напряжений в точках, удаленных от оси y на расстояние z.

а б y y z z Mz zmax = I y z max z ( ) b z Эпюра Рис. 4.2. К определению напряжений при изгибе:

а – распределение нормальных напряжений по высоте балки;

б – определение отсеченной части сечения в формуле Журавского Из формулы (4.1) следует, что максимальные нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от оси y (нейтральной оси). Для определения максимальных напряжений из формулы (4.1) можно получить Заметим, что формула Журавского для стержней массивного поперечного сечения дает величину не полного касательного напряжения x, а его проекции на ось z (xz). Для тонкостенных стержней (двутавр, швеллер) по формуле Журавского можно найти полное касательное напряжение x в любой точке поперечного сечения.

M max =, (4.3) Wy где Wy = I zmax – момент сопротивления балки при изгибе. Для y балок круглого и прямоугольного сечений моменты инерции и моменты сопротивления находятся по формулам bh r I = ; I = ; (4.4) y y 4 r3 bh Wy = ; Wy =. (4.5) 4 Закон распределения касательных напряжений, определяемых по формуле Журавского, зависит от формы поперечного сечения. Для балок круглого и прямоугольного сечений касательные напряжения изменяются по высоте балок по закону квадратной параболы (рис. 4.3, а). Они равны нулю в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y, и максимальны в точках, лежащих на оси y. Из формулы (4.2) для балок круглого и прямоугольного сечений следуют формулы для определения максимальных касательных напряжений 4 Q 3 Q = ; =. (4.6) max max 3 A 2 A Очень часто употребляемым сечением для балок является двутавр. Касательные напряжения в полках и стенках двутавровой балки распределяются по разным законам. Наиболее важными при проверке прочности являются касательные напряжения в стенке двутавра. На рис. 4.3, б показана эпюра распределения касательных напряжений в стенке двутавра. Максимальные касательные напряжения в двутавровой балке так же, как и в балках круглого и прямоугольного сечений, действуют в точках, лежащих на нейтральной оси y. Об определении касательных напряжений в двутавре подробно будет сказано при решении задачи о проверке прочности двутавровой балки.





б max а /h y y r max y /h /2 / b b Эпюра z z Эпюра z Рис. 4.3. Распределение касательных напряжений по высоте:

а – балок круглого и прямоугольного сечений;

б – двутавровой балки Основной задачей расчета конструкций яв= xz ляется обеспечение их прочности. Известно, что условие прочности в точке тела зависит от мате= x риала и от вида напряженного состояния в этой точке. Напряженное состояние произвольной Рис. 4.4. "Балочное" точки стержня при изгибе (балки) показано на напряженное рис. 4.4. Назовем такое напряженное состояние состояние "балочным". Это частный случай плоского напряженного состояния, которое отличается от общего случая отсутствием на площадках, перпендикулярных оси z, нормальных напряжений. Для "балочного" напряженного состояния из теорий прочности получены частные формулы проверки прочности. Для хрупких материалов справедливы:

• вторая теория прочности 1- 1+ + 2 + 42 []р; (4.7) 2 • теория Мора (k = р с ) в в 1- k 1+ k + 2 + 42 []р ; (4.8) 2 для пластичных материалов используются • третья теории прочности 2 + 42 []; (4.9) • четвертая теория прочности 2 + 32 []. (4.10) 4.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 ( § 2.4–2.5), гл. 4 (§ 4.1, 4.2), гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 8 (§ 8.1–8.5, 8.9).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 21–25), гл. 15, гл. 8.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5 (§ 5.1–5.5), гл. 7 (§ 7.1–7.8, 7.10, 7.13–7.14), гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения Статически определимая балка – балка, в которой опорные реакции, а, следовательно, и внутренние усилия можно найти из одних уравнений статики.

Осваивать расчет статически определимых балок удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

1. Определение внутренних усилий в балках.

2. Проверка прочности балок.

3. Определение перемещений и проверка жесткости балок.

Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.

Примеры решения задач 4.1.1. Определение внутренних усилий в балках при плоском поперечном изгибе (задачи № 12–15) Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.5).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 22).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.1–7.5).

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Введем правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если она обходит сечение по часовой стрелке (т. е. сила, находящаяся слева от сечения и направленная вверх, или сила, находящаяся справа от сечеa б > 0 > M M > 0 > Q Q Рис. 4.5. Правило знаков: а – для поперечной силы;

б – для изгибающего момента в балке ния и направленная вниз, – положительны) (рис. 4.5, а). Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз.

Обращаем внимание на то, что знак внутреннего усилия – изгибающего момента – зависит от того, с какой стороны от сечения находится момент3. Как видно из рис. 4.5, б момент, находящийся слева от сечения, действует по часовой стрелке, а момент, расположенный справа от сечения, – против часовой стрелки. И оба они положительны.

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Та Не следует путать правило знаков для внешних моментов, которое используется при составлении уравнений равновесия и часто зависит от желания составителя уравнения, с правилом знаков для изгибающего момента – внутреннего усилия.

кое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Известно [2], что изгибающий момент М, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки q связаны между собой такими дифференциальными зависимостями:

dM = Q, (4.11) dx dQ = -q (4.12) dx и, как следствие (4.11) и (4.12), d M = -q. (4.13) dxПри выводе формул (4.11)–(4.13) нагрузка q считалась положительной, если она направлена вниз.

Из определений для поперечной силы и изгибающего момента, а также из дифференциальных зависимостей (4.11)–(4.13) вытекают следующие правила проверки правильности построения эпюр Q и М:

1. На эпюре Q под сосредоточенной силой имеет место скачок на величину этой силы. На эпюре М в этом сечении должен быть перелом, т. е. резкое изменение угла наклона прямой (или касательной к кривой).

2. На эпюре М скачок имеет место под сосредоточенной парой на величину этой пары.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.