WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и по математике © К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x + 3 5 ( ) - 4x - x2 0 (1) Решение. Рассмотрим, сначала, уравнение x + 3 5 ( ) - 4x - x2 = 0 и найдем его корни:

5 - 4x - x2 = 0 x2 + 4x - 5 = 0 x + 5 x -1 x1 = -5, x2 =1;

( )( ) x + 3 = 0 x3 = -3.

Отсюда, в частности, вытекает, что область определения неравенства (1) имеет вид x 1. (2) [-5, ] Рассмотрим теперь строгое неравенство 1 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 x + 3 5 ( ) - 4x - x2 < 0.

В этом случае, в силу того, что квадратный корень положителен, выполняется неравенство x + 3 < 0 x < -3, откуда, воспользовавшись (2), получаем, что, решение неравенства (1) имеет вид:

x - 3 x =1. (3) [-5, ] Для завершения решения задачи остается заметить, что во множество (3) входят целые числа: -5, - 4, - 3, 1, сумма которых равна -11.

Ответ: -11.

Пример 2. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 2x -1 - 8 - x > 0.

Решение. Сначала найдем решение неравенства. Для этого воспользуемся тем, что подкоренные выражения не могут быть отрицательными:

2x -1 > 8 - x 2x -1 - 8 - x > 0 2x -1 > 8 - x 8 - x 0 3x > 9 x > 3 x 3, 8.

( ] 8 x x 8 Теперь заметим, что во множество 3, 8 входят следующие целые числа:

( ] 4, 5, 6, 7, 8. Сумма этих чисел равна 30.

Ответ: 30.

Пример 3. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству -x2 + 4x < 2.

Решение. Сначала найдем решение неравенства. Для этого, воспользовавшись тем, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, возведем неравенство в квадрат:

x2 - 4x + 4 > 0 (x - 2 2 > 0 x -x2 + 4x < ) -x2 + 4x < 2 x 0, [ ] [ ] -x + 4x 0 x2 - 4x 0 x 0, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Теперь заметим, что в найденное множество решений неравенства входят следующие целые числа: 0,1, 3, 4. Сумма этих чисел равна 8.

Ответ: 8.

Пример 4. Решить неравенство x - 4 <1.

Решение. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, а подкоренное выражение не может быть отрицательным, возведем (в пределах области определения) неравенство в квадрат:

x - 4 <1 x < x - 4 <[ ) x - 4 0 x 4 x 4, 5.

Ответ: x 4, 5.

[ ) Пример 5. Решить неравенство 3 - 2x 0. (3) x2 - 3x + Решение. Перепишем, сначала, неравенство (3) в следующем виде:

3 2 - x - x 3 - 2x 2 0 0 0.

x2 - 3x + 2 x x ( -1 x - )( ) ( -1 x - )( ) Теперь найдем его область определения:

3 x - x 1, x ) 2 2 (-, x 1, x 2 x 1, x В области x (-,) числитель и знаменатель неравенства (3) положительны, следовательно, неравенство не выполняется.

В области x1, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-числитель положителен, а знаменатель отрицателен, следовательно, неравенство (3) выполняется.

В точке x = неравенство обращается в верное равенство.

.

Ответ: x 1, Пример 6. Решить неравенство 3 x + x Решение. С помощью замены переменного x = y, x 0, y получаем 3 x + x 2 y2 + y 2 y2 + y - 2 0 y + 2 y -1 ( )( ) y -1 0 y 1 x 1 0 x 1 x 0,1.

( ) [ ] Ответ: x 0,1.

[ ] Пример 7. Решить неравенство x + 6 < x Решение. Поскольку левая часть неравенства не может быть отрицательной, то правая часть неравенства положительна. Следовательно, неравенство можно возвести в квадрат, не забывая при этом об области определения:

x > x > x > x + 6 < x x + 6 < x ( )( ) x - x - 6 > 0 x - 3 x + 2 > x + 6 x > x > x 3, +.

( ) x ( - 3 > ) x > Ответ: x 3, +.

( ) Пример 8. Решить неравенство x2 - 9 > x - 2 (4) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Решение. Поскольку левая часть неравенства (4) неотрицательна, а значения правой части могут иметь любой знак, то возникают два случая:

Случай 1.

- 9 x x - 2 < В этом случае неравенство (4) выполняется и можно получить его решение:

x2 x 3 x - 9 0 -3 x x x -3 x - 3.

(-, ] x - 2 < 0 x < 2 x < 2 x < Случай 2.

x2 - 9 > x - x - 2 В этом случае обе части неравенства (4) неотрицательны, и неравенство можно возвести в квадрат:

x > 4x > - 9 > x2 - 4x + 4 x x2 - 9 > x - 2.

x, + x 2 x x - 2 x Объединяя результаты двух случаев, получаем ответ задачи.

Ответ: x - 3, +.

(-, ] Пример 9. Решить неравенство x + 2 > x (5) Решение. Поскольку левая часть неравенства (5) неотрицательна, а значения правой части могут иметь любой знак, то возникают два случая:

Случай 1 (правая часть неравенства отрицательна).

В этом случае в пределах области определения неравенство выполняется:

x + 2 0 x - x + 2 > x x 0.

) [-2, x < 0 x < Случай 2 (правая часть неравенства неотрицательна).

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- x + 2 > x x В этом случае обе части неравенства (5) неотрицательны, и неравенство можно возвести в квадрат:

x + 2 > x2 x2 - x - 2 < 0 x - 2 x +1 < x + 2 > x ( )( ) x 0 x 0 x x x - 2 < 0 x < ( ) [ ) x 0 x 0, 2.

x Объединяя результаты двух случаев, получаем ответ задачи.

Ответ: x 2.

) [-2, Пример 10. Решить неравенство 2 - x < 4 + 3x - x2 (6) Решение. Поскольку правая часть неравенства (6) неотрицательна, а значения левой части могут иметь любой знак, то возникают два случая:

Случай 1 (левая часть неравенства отрицательна).

В этом случае в пределах области определения неравенство (6) выполняется:

4 + 3x - x2 0 x2 - 3x - 4 0 x - 4 x +1 ( )( ) 2 - x < 4 + 3x - x2 2 - x < 0 x > 2 x > x - 4 0 x ( ) ( ] x > 2 x 2, 4.

x > Случай 2 (левая часть неравенства неотрицательна).

2 - x < 4 + 3x - x 2 - x В этом случае обе части неравенства (6) неотрицательны, и неравенство можно возвести в квадрат:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2 - x < 4 + 3x - x2 4 - 4x + x2 > 4 + 3x - x2 2x2 - 7x > x 2 x 2 - x > 0 x < 2x x - 2 x < 0 x 0.

(-, ) x x Объединяя результаты двух случаев, получаем ответ задачи.

Ответ: x 0 2, 4.

(-, ) ( ] Пример 11. Решить неравенство x - <1. (7) 8 + x Решение. Область определения неравенства (7) имеет вид 8 + x > 0 x > -8. (8) В области (8) неравенство (7) эквивалентно неравенству x - 4 < x + 8 (9) Поскольку правая часть неравенства (9) неотрицательна, а значения левой части могут иметь любой знак, то возникают два случая:

Случай 1 (левая часть неравенства отрицательна).

В этом случае в пределах области определения неравенство (9) выполняется:

x + 8 x > - x - 4 < x + 8 x - 4 < 0 x 4.

(-8, ) x < x > - Случай 2 (левая часть неравенства неотрицательна).

x - 4 < x + x - 4 В этом случае обе части неравенства (9) неотрицательны, и неравенство можно возвести в квадрат:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-x - 4 < x + - 8x +16 < x + 8 x2 - 9x + 8 < x x 4 x x - 4 x - 8 x -1 < 0 x - 8 < 0 x < ( )( ) ( ) [ ) x 4 x 4, 8.

x 4 x Объединяя результаты двух случаев, получаем ответ задачи.

Ответ: x 8.

(-8, ) ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x + 2 ( ) - x - x2 2. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x + 4 ( ) - 4x - x2 3. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству x ( -1 5 + 4x - x2 ) 4. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 6 - x - 3x - 2 < 5. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 3x - 4 - 4 - x > 6. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству 7 - x - x - 3 < 7. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству -x2 - 6x < 8. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству -x2 - 4x < 9. Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству -x2 + 6x < ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10. Решить неравенство 2 - x <11. Решить неравенство 1- x > x + 12. Решить неравенство x + 5 > 3x - 13. Решить неравенство ( - x x2 + x - 2 ) 14. Решить неравенство x + 3 x( ) - x - 2 15. Решить неравенство x - x2 - 2x - 16. Решить неравенство x + 2 x( ) - 2x - 3 17. Решить неравенство 2 - x x2 - x - 18. Решить неравенство ( - x x2 - 5x + 4 ) 19. Решить неравенство x - x2 - 6x - 20. Решить неравенство x - 3 x - 4 21. Решить неравенство x - x - 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-22. Решить неравенство x3 - 7x x 23. Решить неравенство x2 -16 > x - 24. Решить неравенство 4 - x < 16 + 6x - x25. Решить неравенство 3 - x <15 - x 26. Решить неравенство 24 - 2x - x2 < x 27. Решить неравенство 3 - x > -x -28. Решить неравенство -x2 + 6x - 5 < 8 - 2x 29. Решить неравенство x











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.