WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова И. П. Иродова ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ В КУРСЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Учебное пособие Рекомендовано научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Математика Ярославль 2010 УДК 517 ББК В162я73 И 83 Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2010 года Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук, доцент Е. Р. Матвеев;

кафедра математического анализа Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского Иродова, И.П. Линейные функционалы и операторы в курсе функциоИ 88 нального анализа/ И.П.Иродова; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль, 2010. 119 с.

ISBN 978-5-8397-0725-5 Пособие содержит основные и наиболее важные понятия теории линейных функционалов и операторов. Изложение ведется в форме задач и упражнений.

Приводится достаточно большое число примеров с подробными решениями.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 010100.62 Математика, по специальности 010101.65 Математика (дисциплина ”Функциональный анализ и интегральные уравнения”, блок ОПД), очной формы обучения.

A Сборник подготовлен с использованием издательской системы LTEX.

Библиогр.: 9 назв.

ISBN 978-5-8397-0725-5 © Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2010 Оглавление Предисловие 2 1. Линейные нормированные пространства 5 2. Непрерывные линейные функционалы 13 3. Норма функционала 17 4. Общий вид функционалов в различных пространствах 21 5. Сопряженные пространства 29 6. Сильная и слабая сходимость последовательности функционалов 33 7. Теорема Хана–Банаха 35 8. Линейные непрерывные операторы 43 9. Норма оператора и примеры ее вычисления 48 10. Пространство линейных ограниченных операторов 11. Обратные операторы 12. Сопряженные операторы 13. Компактные операторы 14. Спектр оператора Приложение. Тестовые задания Предисловие Соединение идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа дало новую отрасль математической науки функциональный анализ. Как отмечается в [6], ”его методы с успехом используются во многих разделах современной теоретической и прикладной математики. Более того, развитие таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, теория управления, методы вычислений и др. вряд ли было бы столь успешным, если бы при этом не использовались идеи и методы функционального анализа.” Это объясняет то обстоятельство, что функциональный анализ - одна из базовых дисциплин, которую изучают студенты, обучающиеся по специальности ”Математика”.

Курс ”Функциональный анализ и интегральные уравнения” довольно сложен. Это связано с высокой степенью абстракции вводимых понятий. Именно абстрактность позволяет исследовать далекие на первый взгляд друг от друга вопросы. Поэтому необходимо научиться применять методы функционального анализа, а также освоить методику решения задач.

Настоящее учебное пособие отличается от учебной литературы, опубликованной по этой теме. Главное отличие состоит в том, что в пособии кроме необходимого кратко изложенного теоретического материала собрано большое число задач с подробными решениями. Следует отметить, что хотя задачи подобраны разной степени сложности, предпочтение отдается вычислительным задачам.

Причина такого выбора заключается в желании помочь студенту научиться решать задачи. Здесь уместно напомнить высказывание А.Нивена - ”Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.” Учебное пособие разделено на параграфы. Каждый параграф начинается с необходимых определений. Часть теоретического материала содержится в задачах. В пособии отсутствуют полные математические доказательства, но приведены ссылки на литературу, где их можно найти.

В приложении даны индивидуальные задания, которые помогут проверить качество полученных знаний.

1.

Линейные нормированные пространства Множество L называется линейным нормированным пространством, если 1) L – линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа;

2) каждому элементу x L ставится в соответствие вещественное число x, называемое нормой, причем предполагается, что выполняются следующие три условия:

1. x 0; x = 0 только при x = 0;

2. x = || · x для любого x L и любого вещественного или комплексного числа ;

3. x + y x + y для любых x, y L.

Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных пространств.

n 1. Пространство lp, 1 p <. Элементами этого пространства являются упорядоченные наборы из n действительных чисел x = (x1,..., xn), n 1. Норма определяется с помощью равенства n p x = |xk|p.

k=Заметим, что в случае p = 2 мы получаем евклидово пространство Rn.

n 2. Пространство l. Элементами пространства, так же как в предыдущем примере, являются упорядоченные наборы из n действительных чисел. Норма определяется по формуле x = max |xk|.

1kn 6 1. Линейные нормированные пространства 3. Пространство lp последовательностей x = (x1, x2,...) (xk R), удовлетво p ряющих условию |xk|p <, 1 p < с нормой k= p x = |xk|p.

k=4. Пространство l (иногда обозначают m) последовательностей x = (x1, x2,...), удовлетворяющих условию sup |xk| < с нормой k x = sup |xk|.

k 5. Пространство сходящихся последовательностей x = (x1, x2,...) с нормой x = sup |xk|.

k Обозначается это пространство символом c.

6. Пространство c0. Элементами этого пространства являются последовательности x = (x1, x2,...), сходящиеся к нулю. Норма задается как в предыдущем примере.



Продолжим список нормированных пространств. Теперь элементами пространства будут функции (и даже классы функций), а не последовательности.

7. Пространство C[a, b] непрерывных на [a, b] функций с нормой x = max |x(t)|.

t[a,b] Эта норма называется равномерной.

8. Пространство Ck[a, b] k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций с нормой k x = max |x(i)(t)|.

t[a,b] i=9. Пространство M[a, b] всех ограниченных на [a, b] функций с нормой x = sup |x(t)|.

t[a,b] 10. Пространство Lp[a, b], 1 p < непрерывных на [a, b] функций с нормой p b x = |x(t)|pdt.

a Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 11. Рассмотрим множество всех функций x, заданных на [a, b], для которых интеграл Лебега |x(t)|pdt [a,b] конечен. Здесь 1 p <.

Две функции, отличающиеся только на множестве меры нуль, будем считать тождественными. Напомним, что такие функции называются эквивалентными.

Положим p x = |x(t)|pdt.

[a,b] Полученное пространство обозначается Lp[a, b] и называется пространством Лебега. Отметим, что в отличие от пространства Lp[a, b] элементами пространства являются не отдельные функции, а классы эквивалентных функций.

12. Пространство L[a, b]. Так же, как в предыдущем примере, будем считать две функции тождественными, если они отличаются лишь на множестве меры нуль. Для функции x L[a, b] определим истинный (или существенный) супремум по формуле vrai sup |x(t)| := inf (µ {t [a, b] : |x(t)| > } = 0).

t[a,b] Заметим, что для непрерывной функции истинный супремум совпадает с ее максимумом.

Норма в L[a, b] вводится по формуле x = vrai sup |x(t)|.

t[a,b] Как показывают приведенные выше примеры, на одном и том же линейном n пространстве можно по-разному вводить норму. Сравните пространства lp, а также пространства C[a, b] и Lp[a, b].

Две нормы · 1 и · 2, заданные на линейном пространстве L, называются эквивалентными, если существуют такие константы a, b > 0, что a x 1 x 2 b x 1 для всех x L.

Задача 1.1. Доказать, что если X – конечномерное пространство, то любые две нормы в нем эквивалентны.

В частности, доказать следующее неравенство n n n a x l x l b x l.

q p q Указать наилучшие значения констант a = a(p, q, n) и b = b(p, q, n).

8 1. Линейные нормированные пространства Нормированное пространство X называется непрерывно вложенным в нормированное пространство Y (пишется X Y ), если 1) X Y ;

2) существует такая постоянная > 0, что для любого x X выполняется неравенство x Y x X.

Постоянная называется константой вложения.

Задача 1.2. Доказать, что 1) l1 lp lq l;

2) C[a, b] L[a, b] Lq[a, b] Lp[a, b] L1[a, b];

здесь q > p.

В каждом случае найти константу вложения.

Указание: использовать неравенство Гельдера (см. (2.2) или (3.3)).

Пример 1.1. Можно ли на множестве дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций взять за норму следующую величину x = |x(a)| + |x (a)| + |x (a)| Решение. Чтобы решить эту задачу, нужно проверить свойства нормы.

Можно заметить, что первое свойство нормы не выполняется. Действительно, пусть x = 0. Тогда |x(a)| = |x (a)| = |x (a)| = 0. (1.1) Отсюда не следует, что x(t) = 0. Например, функция x(t) = (t - a)3 удовлетворяет условиям (1.1). Таким образом, ответ на задачу 1.3 является отрицательным.

Пример 1.2. Можно ли на числовой прямой в качестве нормы взять функцию x = |x3| Решение. Покажем, что не выполняется второе свойство нормы. Действительно, пусть = 2, x = 1. Тогда x = 23 = 8, а x = 2 · 1 = 2.

Пример 1.3. Можно ли на плоскости в качестве нормы взять функцию x = |x1| + |x2| Решение. Несложно проверить (сделать самостоятельно), что первые два свойства нормы выполняются. Докажем, что не выполняется третье свойство.

1 1 Возьмем x = 0), y = (0, ). Тогда x = y =. С другой стороны, 4 1 1 (4, x + y =, и x + y = 1. Получаем x + y x + y.

4 Замечание. Линейное пространство называется квазинормированным, если третье свойство нормы (неравенство треугольника) заменяется на более n слабое условие x + y c( x + y ). Докажите, что пространство lp при 0 < p < 1 является квазинормированным.

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа Задача 1.3. Можно ли на множестве непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций взять за норму следующую величину 1) x = min |x(t)| + |x(a)|;

t[a,b] 2) x = max |x (t)|;

t[a,b] b 3) x = |x (t)|dt;

a 4) x = max |x (t)| + |x(a)|.

t[a,b] 5) x = max |x (t)| + |x(a) - x(b)|.

t[a,b] C понятием нормы тесно связано понятие сходимости. Пусть x1, x2,... – последовательность точек в нормированном пространстве L. Говорят, что эта последовательность сходится к x L, если xn - x L 0 при n.

Приведем несколько задач на сходимость последовательностей.

1 1 Пример 1.4. Будет ли последовательность x(n) = (,,...,, 0, 0...) схоn n n n диться в пространстве l1 Решение. Предположим, что последовательность {x(n)} сходится к x l1.

Тогда последовательность {x(n)} сходится к x покоординатно. Так как x(n) =, если n i, то x(n) 0 при n (i- фиксировано). Следоваi i n тельно, x = (0, 0, 0,...). С другой стороны, n x(n) - x l = = 1.

n i=Полученное противоречие показывает, что последовательность {x(n)} не сходится в пространстве l1.

Пример 1.5. Будет ли последовательность xn(t) = tn sin(1 - t) + t2 сходиться в пространстве C[0, 1] Решение. Предположим, что последовательность сходится к функции x C[0, 1]. Так как сходимость в пространстве C[0, 1] равносильна равномерной сходимости, то {xn} сходится к x и поточечно. Заметим, что xn(t) tдля любого t [0, 1]. Тогда x(t) = t2. Но из поточечной сходимости не следует равномерной сходимости, поэтому необходимо проверить сходится ли последовательность к x равномерно. Обозначим = xn - x. Так как (0) = (1) = и (t) > 0 при t (0, 1), то максимум непрерывной функции достигается во внутренней точке отрезка [0, 1]. Чтобы найти точку максимума, вычислим производную функции. Имеем (t) = ntn-1 sin(1 - t) - tn cos(1 - t).





10 1. Линейные нормированные пространства Для нахождения точки максимума t получим уравнение t cos(1 - t) n =.

sin(1 - t) Это уравнение имеет решение на (0, 1). Действительно, правая часть уравнения является непрерывной функцией, область значения которой совпадает с [0, +). Таким образом, (t)n+1 cos(1 - t) xn - x C[0,1] =.

n Так как t (0, 1), то xn - x C[0,1] и последовательность сходится в n пространстве C[0, 1].

t Пример 1.6. Будет ли последовательность xn(t) = sin сходиться в проn странстве L1[0, 1] Решение. Докажем, что xn L [0,1] 0 при n. Имеем t xn L [0,1] = sin dt = n(1 - cos ).

n n Тогда 1 1 - cos t lim n(1 - cos ) = lim = lim sin t = 0.

n t0 tn t Здесь в первом переходе выполнили замену переменных, во втором – использовали правило Лопиталя, а в третьем переходе учли непрерывность функции sin t. Итак, последовательность сходится.

Задача 1.4. Доказать, что если последовательность {xn} сходится в пространстве C[a, b], то она сходится и в пространстве Lp[a, b].

Задача 1.5. Будет ли последовательность {xn} сходиться в пространстве X -1) x(n) = (e-1,, e-n, 0, 0,...), X = l3;

ne..., 3n t t 2) xn(t) = -, X = C[0, 1], X = L2[0, 1];

3 t n 3) xn(t) = e + sin t, X = C[0, 1], X = L4[0, 1];

tn, t [0, 1) 4) xn(t) =, X = L2[0, 1].

et, t [-1, 0] t, t - рационально 5) xn(t) =, X = L2[0, 1].

t +sin t n e, t - иррационально Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа Среди всех нормированных пространств выделим пространства, которые называются полными (банаховыми). Для этого напомним определение фундаментальной последовательности.

Последовательность {xn} точек нормированного пространства L называется фундаментальной (сходящейся в себе), если она удовлетворяет условию Коши, то есть если для любого > 0 существует такое N = N(), что xk - xm L < для всех k, m > N.

Нетрудно проверить, что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Для этого достаточно использовать неравенство треугольника. Однако обратное утверждение неверно. Существуют фундаментальные последовательности, которые не сходятся. Используя понятие фундаментальности, можно решать задачи, в которых требуется проверить сходимость последовательности.

Пример 1.7. Будет ли последовательность x(n) = (1, 1,..., 1, 0, 0...) схо n диться в пространствах lp, p 1 Решение. Так как x(n) - x(n+1) l = 1, то можно сделать вывод, что поp следовательность {x(n)} не является фундаментальной, а значит, не может сходиться в пространстве lp.

1 1 Пример 1.8. Будет ли последовательность x(n) = (1,,,...,, 0, 0...) схо2 3 n диться в пространстве l1 Решение. Если, как в предыдущем примере, вычислить расстояние между x(n) и x(n+1), то получим x(n) - x(n+1) l = 0.

n + Но отсюда нельзя сделать вывод о том, что это фундаментальная последовательность (эту ошибку часто делают студенты). Последовательность фундаментальна, если x(n) - x(m) l 0 при n, m. А мы взяли частный случай m=n + 1. Если взять m=2n, то 1 1 1 1 x(n) - x(2n) l = + +... + n · =.

n + 1 n + 2 2n 2n Следовательно, последовательность не может сходиться, так как она даже не фундаментальна.

После того, как мы напомнили определения сходящейся и фундаментальной последовательностей, мы можем дать определение банахова пространства.

Линейное нормированное пространство L называется банаховым, если любая фундаментальная последовательность этого пространства сходится. Отметим, что все пространства, приведенные в начале этого раздела (кроме про странства Lp[a, b]), являются банаховыми.

12 1. Линейные нормированные пространства Задача 1.6. Пусть L – банахово пространство. Доказать, что подпространство L0 является банаховым тогда и только тогда, когда L0 замкнуто.

Задача 1.7. Доказать, что c, c0 – банаховы пространства.

Указание: использовать задачу 1.6 и то, что c0 c l.

2.

Непрерывные линейные функционалы Пусть L – линейное нормированное пространство. Отображение f, действующее из L в R, будем называть функционалом.

Функционал f называется линейным, если он аддитивен, то есть для всех l1, l2 из L f(l1 + l2) = f(l1) + f(l2), и однороден, то есть для всех l L и любых вещественных чисел f(l) = f(l).

Множество kerf = {x L : f(x) = 0} называется ядром функционала f.

Функционал f называется непрерывным в точке x0 L, если для любого > 0 существует > 0, что для всех x таких, что x - x0 L < выполняется неравенство |f(x) - f(x0)| <.

Дадим более удобное в применении определение непрерывного функционала, которое в линейном нормированном пространстве эквивалентно определению, данному ранее.

Функционал f называется непрерывным в точке x0 L, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0, f(xn) сходится к f(x0).

Если функционал непрерывен в каждой точке пространства L, то его будем называть непрерывным на L.

Приведем простейшие свойства линейных непрерывных функционалов.

Задача 2.1. Доказать, что если линейный функционал непрерывен в какой-либо одной точке x0 L, то он непрерывен на L.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.