WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ © К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 СОДЕРЖАНИЕ 1 Неопределенный интеграл …..…………………………………………. 4 1.1 Таблица интегралов. Свойства интегралов ……………………...... 4 1.2 Интегрирование подстановкой …………………………………….. 5 1.3 Интегрирование по частям.………………………………………... 5 1.4 Вычисление интегралов от рациональных дробей. Метод неоп- ределенных коэффициентов ………………………………………... 7 1.5 Вычисление интегралов, содержащих иррациональные выраже- ния ………………………………………………………..………….. 10 1.6 Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические вы- ражения ………………………………………………………………. 12 2 Определенный интеграл ……………………..…………………………. 12 2.1 Формула Ньютона-Лейбница ………………………………………. 12 2.2 Замена переменной в определенном интеграле.…………………. 12 2.3 Формула интегрирования по частям для определенного интегра- ла ……………………………………………………………………... 13 3 Приложения определенного интеграла ………………………………... 14 3.1 Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными явно …………………………………………………………………… 14 3.2 Площадь фигуры на плоскости, ограниченной кривой, заданной параметрически ………………………………………….…………... 15 3.3 Объём тела с известными площадями поперечных сечений …….. 15 3.4 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной явно ……….. 17 3.5 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной параметриче- ски …………………………………………………………………….. 18 3.6 Длина дуги отрезка кривой в пространстве, заданной параметри- чески.................................................................................................. 18 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-3.7 Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ox ……………………………………………………………….. 3.8 Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Oy …………………………………………………………………………… ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ……………………………………….. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………………. ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1 Таблица интегралов. Свойства интегралов Вычисление неопределенных интегралов основано на использовании таблицы интегралов:

xn+xndx = +C, (n -1);

n +dx = ln x +C;

x eaxdx = eax +C;

a ax axdx = +C;

ln a sin ax dx = - cosax +C;

a cosax dx = sin ax +C;

a dx = tgax +C;

a cos2 ax dx = - ctgax +C;

a sin2 ax dx x = arcsin +C;

a a2 - xdx = ln x + x2 ± a2 +C;

x2 ± adx 1 x = arctg +C;

x2 + a2 a a dx 1 x - a = ln +C;

x2 - a2 2a x + a а также на использовании следующего свойства c1 f1(x)+ c2 f2(x) dx = c1 f1(x)dx + c2 f2(x)dx, ( ) где c1 и c2 - произвольные числа.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Пример 1. Вычислить интеграл 1 I = + dx.

x7 x Решение.

--x I = x dx + 4 dx = + 4ln x +C = - + 4ln x + C.

x 43 x 1.2 Интегрирование подстановкой (заменой переменной) Если F(x) – произвольная первообразная функции f (x), то f (u(x)) u (x)dx = f (u(x)) du (x) = f (u) du = F(u(x)) + C.

Пример 2. Вычислить интеграл I = 5 x dx.

8x2 - Решение.

1 dx2 2 I = = d (8x - 7) (8x - 7)= 2 8x2 -.

(8x - 7) 1 = + C = 8x2 - ( ) 16 1.3 Интегрирование по частям Если подынтегральную функцию можно представить в виде udv, где u = u(x), v = v(x), то udv = uv - vdu.

Пример 3. Вычислить интеграл ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-I = 3x +5 sin 4x -7 dx ( ) ( ) и сделать проверку дифференцированием.

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям:

u = 3x + 5 du = 3dx, sin(4x - 7)dx = dv v = - cos 4x - 7.

( ) Далее получаем 3x + 5cos 4x - 7 + I = - cos(4x - 7)dx = ( ) 4 3x + ( ) = - cos 4x - 7 + cos(4x - 7)d(4x -7) = ( ) 4 (3x + 5)cos(4x - 7) + = - sin(4x - 7) + C.

4 Сделаем проверку:

3x + 5 - cos(4x - 7) + sin(4x - 7) + C = 4 3 3x + 5 = - cos(4x - 7) - (- sin(4x - 7)) 4 + cos(4x - 7) 4 = 4 4 3 = - cos(4x - 7) + (3x + 5) sin(4x - 7) + cos(4x - 7) = (3x + 5) sin(4x - 7) 4 Получена подынтегральная функция, значит все сделано верно.

Пример 4. Вычислить интеграл I = xln 2xdx.

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям:

1 dx xu = ln 2x du = 2dx =, xdx = dv v =.

2x x Далее получаем ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-x2 dx x2 ln 2x 1 x2 ln 2x x2 +C.

I = ln 2x - x2 = - xdx = 2 2 x 2 2 2 1.4 Вычисление интегралов от рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов Вычисление интеграла R(x)dx от правильной рациональной дроби Pm(x) R(x) = (m < n) Qn(x) осуществляется при помощи разложения дроби R(x) в сумму простейших дробей вида A B Cx + D Ex + F,,, (p2 - 4q < 0), x - a - b)k x2 + px + q (x2 + px + q)k (x коэффициенты A,B,C, D,E,F которых можно вычислить, используя метод неопределенных коэффициентов, что будет показано на примерах.



Вычисление интеграла R(x)dx от неправильной рациональной дроби Pm(x) R(x) = (m n) Qn(x) осуществляется сначала при помощи выделения целой части рациональной дроби R(x), например, методом деления многочленов «в столбик» Ql (x) R(x) = Sm-n(x) + (m > n, l < n), Qn(x) а затем при помощи разложения полученной правильной дроби Ql (x) Q(x) = (l < n) Qn(x) в сумму простейших дробей.

Пример 5. Вычислить интеграл ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-5x + I = dx.

x3 - 4x2 - 21x Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

5x + 4 5x + 4 A B C = = + + = ( )( ) x3 - 4x2 - 21x x x + 3 x - 7 x x + 3 x - A(x + 3)(x -7) + Bx(x -7) +Cx(x + 3) =.

x(x + 3)(x - 7) Следовательно, 5x + 4 = A(x + 3)(x -7) + Bx(x -7) +Cx(x + 3).

Для определения коэффициентов A,B и C подставим в это соотношение значения x = 0, x = -3 и x = 7 соответственно:

4 = -21A A = - ;

11;

-11= 30B B = - 39.

39 = 70C C = В результате получаем 4 dx 11 d(x + 3) 39 d(x - 7) I = - - + = 21 x 30 x + 3 70 x - 4 11 = - ln x - ln x + 3 + ln x -7 +C.

21 30 Пример 6. Вычислить интеграл (x - 5) dx I =.

x3 - 6x2 + 9x Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

A x - 3 + Bx(x - 3) + Cx x - 5 x - 5 A B C ( )= = + + =.

x3 - 6x2 + 9x x(x - 3)2 x x - 3 (x - 3)2 x(x - 3)ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Следовательно, x - 5 = A x - 3 + Bx(x - 3) + Cx.

( )Для определения коэффициентов A,B и C подставим в это соотношение значения x = 0, x = 3 и, например, x =1 соответственно:

5;

-5 = 9A A = - 2;

-2 = 3C C = -4 =16A- 2B +C.

Из последнего соотношения можно найти коэффициент B :

1 1 80 2 61.

B = (-16A-C + 4) = + + 4 = 2 2 9 3 Поэтому 5 dx 61 d(x + 3) 2 d(x + 3) 5 61 I = - + - = - ln x + ln x + 3 + + C.

9 x 9 x + 3 3 9 3(x + 3) (x + 3)2 Пример 7. Вычислить интеграл (x - 2) dx I =.

x3 + 6x2 +10x Решение. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

x - 2 x - 2 A Bx + C = = +.

x x3 + 6x2 +10x x(x2 + 6x +10) x2 + 6x +Следовательно, x - 2 = A(x2 + 6x +10) + Bx2 + Cx = (A + B)x2 + (6A + C)x +10A.

Далее получаем -2 =10A A = -, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-A+ B = 0 B = -A =, 6 6A+C =1 C =1- 6A =1+ =.

5 Поэтому 1 dx 1 (x +11)dx I = - + = 5 x (x2 + 6x +10) 1 1 1 d(x2 + 6x +10) 1 8dx = - ln x + + = 5 5 2 (x2 + 6x +10) (x2 + 6x +10) 1 1 8 dx = - ln x + ln(x2 + 6x +10) + = 5 10 (x + 3)2 +1 1 = - ln x + ln(x2 + 6x +10) + arctg(x + 3) + C.

5 10 1.5 Вычисление интегралов, содержащих иррациональные выражения Пример 8. Вычислить интеграл x ( - 9 dx ) I =.

x2 -8x + Решение. Заметив, что (x2 - 8x + 5) = 2x -, выделим в числителе подынтегральной функции производную от квадратного трехчлена и разобьем интеграл на 2 слагаемых 1 (2x -8) -10 1 (2x -8) dx I = dx = -10 dx = I1 -5I2.

2 2 x2 -8x + 5 2 x2 -8x + 5 x2 -8x + Далее получаем 1 (2x -8) dx 2 2 2 I1 = = -8x + 5 d -8x + 5 2 -8x + 5 + C1, (x ) (x )= (x ) x2 -8x + ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-dx I2 = dx = = d(x - 4) = x2 -8x +5 x2 -8x +16-x ( - 4 -), = ln x - 4 + x - 4 -11 +C( )I = I1 -5I2 = -8x +5 -5ln x - 4+ x - 4 -11 +C.

( )(x )Пример 9. Вычислить интеграл I = dx.

x 5x2 - Решение.

d dx dx dx x = = = - = 4 x 5x2 - x2 5 - 5 x x25 x2 xx d 1 1 x = - = - arcsin + C.

2 x 5 x Пример 10. Вычислить интеграл I = dx.

1+ x Решение. Совершим замену переменного вида x = t.

Тогда x = t3 dx = 3t2dt I = 3 t2dt = 3 (t2 -1+1)dt = 3 (t2 -1)dt +3 1dt = 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t 3t2 3x= 3 (t -1)dt +3ln t = - 3t + 3ln t + C = - 33 x + 3ln x + C.

2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1.6 Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические выражения Пример 11. Вычислить интеграл cos5 xsin6 x dx Решение.

cos5 xsin6 x dx = cos4 xsin6 xcos xdx = = (1-sin2 x)2 sin6 xd(sin x) = (1-2sin2 x + sin4 x)sin6 x d(sin x) = sin7 x 2sin9 x sin11 x = (sin6 x -2sin8 x +sin10 x) d(sin x) = - + + C.

7 9 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1 Формула Ньютона-Лейбница Если F(x) – произвольная первообразная функции f (x), то выполнено следующее соотношение b b f (x) dx = F(x) = F(b) - F(a).

a a 2.2 Замена переменной в определенном интеграле b Если в определенном интеграле f (x) dx сделать замену переменной a x = x(t); x(t = ) = a, x(t = ) = b, то будет выполнено соотношение:

b f (x)dx = f (x(t)) x (t)dt.

a Пример 12. Вычислить определенный интеграл ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-xdx I =.

2x +1 +Решение. Сделаем в интеграле замену переменной 2x +1+1= t.

Тогда значению x = 0 будет соответствовать значение t = 2, а значению x = – значение t = 4.





Далее получаем t ( -1 -1 - 2t )2 = t2x +1 = t -1, 2x +1= (t -1)2, x =, dx = (t -1)dt, 2 4 4 (t - 2t)(t -1) dt = (t - 2)(t -1)dt = (t2 - 3t + 2)dt = 1 I = 2t 2 2 2 1 t3 3t2 1 64 1 8 = - + 2t = - 24 + 8 - - 6 + 4 =.

2 3 2 2 3 2 3 2.3 Формула интегрирования по частям для определенного интеграла Для определенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид b b b udv = uv -vdu.

a a a Пример 13. Вычислить определенный интеграл I = 3x +10 sin xdx.

( ) Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям:

2 I = - (3x +10)d cos x = - (3x +10)cos x + 3 cos xdx = 0 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28- = - +10 cos +10cos0 + 3sin x = 10 + 3 = 13.

2 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 3.1 Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными явно Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями x = a, x = b a b, y = f1(x), y = f2(x) f1(x) f2(x), ( ) ( ) вычисляется по формуле b S = f2(x) - f1(x) dx.

( ) a Пример 14. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1+ 2x - x2, y = 3 - x, y = 1.

Решение. Найдем сначала точки пересечения линий:

1+ 2x - x2 = 3- x x2 - 3x + 2 = 0 x1 =1, x2 = 2 y1 = 2, y2 = 1;

1+ 2x - x2 = 1 x2 - 2x = 0 x3 = 0, x4 = 2 y3 = y4 = 1.

у S1 Sх 1 Далее получаем (см. рисунок):

1 S = S1 + S2 = 2x - x2 -1) dx + - x -1) dx = (1+ (0 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-1 x3 x2 1 1 = x2 - + 2x - =1- + (4 - 2) - (2 - ) =.

3 2 3 2 0 3.2 Площадь фигуры на плоскости, ограниченной кривой, заданной параметрически Площадь S фигуры на плоскости, ограниченной замкнутой кривой, заданной параметрическими соотношениями x = x(t), y = y(t) t1 t t2, ( ) пробегаемой при возрастании параметра t против хода часовой стрелки и оставляющей рассматриваемую фигуру слева от себя, вычисляется с помощью любой из следующих трех формул:

t' S = - y(t)x (t)dt, tt' S = x(t)y (t)dt, tt' ' S = x(t)y (t) - x(t) y (t) dt.

( ) t3.3 Объем тела с известными площадями поперечных сечений Объём тела с площадью поперечного сечения S = S(t) a t b ( ) вычисляется по формуле b V = S(t)dt.

a Пример 15. Найти объем тела, образованного вращением полуволны синусоиды y = sin x o x вокруг оси OX.

( ) Решение. Сечение тела плоскостью x = const является кругом с радиусом r = sin x и площадью (см. рисунок) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-S = r2 = sin2 x.

y x Следовательно, 1- cos2x x V = sin2 xdx = dx = - sin 2x =.

2 2 4 0 0 Пример 16. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривыми y = -x2 + 4x, y = 0.

Решение. Решая относительно x уравнение -x2 + 4x = y, находим пределы изменения x при каждом значении y :

x1,2 = 2± 4- y.

Парабола y = -x2 + 4x пересекает ось Ox в точках x = 0, x = 4, ее вершина имеет координаты x = 2, y = 4, а ветви направлены вниз. Сечение рассмат( ) риваемого тела вращения плоскостью y = const существует для 0 y 4 и при 0 y < 4 является круговым кольцом, внешний радиус которого равен 2+ 4- y, а внутренний радиус равен 2- 4- y. При y = 4 внутренний и внешний радиусы кольца совпадают, и кольцо вырождается в окружность.

Поэтому площадь сечения S( y) равна ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2 S( y) = 2+ 4- y - 2- 4- y = 8 4- y.

( ) ( ) Отсюда вытекает, что объем тела вращения относительно оси Oy равен 4 4 V = S( y)dy = 8 4- ydy = -8 4 - yd(4- y).

0 0 Если теперь сделать замену z = 4- y, то мы получим 4 0 2 V = -8 4- yd(4- y) = -8 zd(z) = 8 zd(z) =8 z2 =.

3 0 0 4 3.4 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной явно Длина дуги отрезка гладкой кривой на плоскости, заданной соотношением y = y(x) a x b, ( ) вычисляется по формуле b ' s = 1+ y (x)dx.

a Пример 17. Найти длину дуги кривой y = lncos x, 0 x.

Решение. Воспользовавшись формулой для длины дуги кривой, заданной явной функцией, получим 6 6 -sin x ' s = 1+ y (x)dx = 1+ dx = dx = cos x cos2 x 0 0 6 6 6 1 cos x d(sin x) dt = dx = dx = =.

cos x cos2 x 1-sin2 x 1- t0 0 0 Последний интеграл (неопределенный) входит в таблицу интегралов, поэтому ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-dt 1 t +1 1 s = = ln = ln.

1- t2 2 t -1 0 2 3.5 Длина дуги отрезка кривой на плоскости, заданной параметрически Длина дуги отрезка гладкой кривой на плоскости, заданной параметрическими соотношениями x = x(t), y = y(t) t1 t t2, ( ) вычисляется по формуле t' 2 ' s = x (t) + y (t)dt.

t3.6 Длина дуги отрезка кривой в пространстве, заданной параметрически Длина дуги отрезка гладкой кривой в пространстве, заданной параметрическими соотношениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) t1 t t2, ( ) вычисляется по формуле t' 2 ' 2 ' s = x (t) + y (t) + z (t)dt.

tПример 18. Найти длину дуги плоской кривой, заданной параметрическими формулами x = cost + tsint, y = sint - t cost, 0 t 2.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.