WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания по выполнению контрольных заданий на III семестр для студентов факультета вечернего и заочного обучения НОВОСИБИРСК 2002 Методические указания разработаны д.т.н., доцентом В.М.

Серяковым, к.ф.-м.н., доцентом Л.С. Дудоладовым, к.т.н., доцентом Ф.Н. Мелентовичем, к.ф.-м.н., доцентом В.А.

Сарайкиным Утверждены методической комиссией факультета ВиЗО 28 января 2002 года Рецензенты:

- В.Е. Вдовин, К.Ф.-М.Н., доцент (НГАСУ);

- А.И. Гулидов, д.ф.-м.н., профессор (НГАСУ) Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, 2002 Методические указания по разделам "Неопределенный интеграл", "Определенный интеграл", "Кратные и криволинейные интегралы" подготовлены в соответствии с программой курса высшей математики.

Рекомендуются студентам факультета вечернего и заочного обучения при выполнении контрольных работ.

Контрольная работа № 7 "Неопределенный интеграл" 1. Основные правила интегрирования Как известно, к основным правилам интегрирования относятся:

где и(х), v(jc) - некоторые функции переменной х, С - константа.

2. Таблица основных интегралов В основе нахождения неопределенных интегралов лежит использование табличных интегралов, которые необходимо знать наизусть. В современных курсах математического анализа к ним относят следующие интегралы:

1 3. Метод непосредственного интегрирования В некоторых случаях удается путём алгебраических или тригонометрических преобразований свести заданный интеграл к табличным и, используя таблицу и основные свойства интегралов, найти их.

В этих примерах были использованы алгебраические и тригонометрические преобразования, основные правила интегрирования и таблица основных интегралов.

4. Подведение под знак дифференциала Число неопределенных интегралов, которые можно найти, значительно увеличивается, если воспользоваться инвариантностью формул интегрирования (1)-(14). Напомним, что если, например Используя это свойство, представляют подынтегральное выражение в виде аналогичном табличному, подводя под знак дифференциала недостающие множители, слагаемые или функ- ции. При этом применяются следующие свойства дифференциалов и интегралов:

1. Под дифференциал можно добавлять постоянное слагаемое, так как dC = О. Поэтому d(f(x) + С) = df(x) + dC = df(x).

2. Под дифференциал можно вносить постоянный множитель, так как d[Cf(x)] = Cdf(x). Поэтому df(x) = d[Cf(x)].

С 3. Так как d f (x)dx = f(x)dx, то для того, чтобы внести некоторую функцию под знак дифференциала, её нужно проинтегрировать 5. Замена переменной в неопределенном интеграле Использование инвариантности формул интегрирования путем подведения под знак дифференциала необходимых функций представляет собой частный случай общего метода интегрирования - метода замены переменной.

Суть этого метода состоит в следующем. Выбирается новая переменная таким образом, чтобы подынтегральное выражение можно было представить зависящим только от этой переменной. Новую переменную t можно ввести двумя способами: а) t = (х) ; б)x=(t). В первом случае метод замены переменной и подведение под знак дифференциала дадут один и тот же результат. Во втором случае во многих примерах найти интеграл удается только с помощью замены переменной.

Данный интеграл можно было найти и с помощью подведения под знак дифференциала функции х2 и образования под знаком дифференциала выражения х3 - 2.

В этом примере использовать приём подведения под знак дифференциала не удастся.

6. Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям имеет вид:

При применении метода.интегрирования по частям главная трудность заключается в представлении интеграла в виде таким образом, чтобы, приняв, можно было найти и взять интеграл. Интегрирование по частям, как пра- вило, применяется в случаях, если подынтегральная функция представляет собой: а) произведение алгебраических и тригоно- метрических, экспоненциальных или логарифмических функций; б) произведение тригонометрических и экспоненциальных или логарифмических функций.

Если в этом примере подынтегральное выражение представить в виде и = еx/2, dv = (х + 5)dx, то нахождение второго интеграла в формуле интегрирования по частям приведёт к большим трудностям, чем в исходном интеграле.

Представление подынтегрального выражения в виде и = х, dv = arctgx dx не облегчает нахождение исходного интеграла, так как определение функции v из arctgx dx ничуть не проще.

7. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен А. Первым рассмотрим случай, когда подынтегральная функция имеет вид:

« где А,В,а,b,с —некоторые постоянные. Основные действия, которые нужно выполнить для нахождения таких интегралов, рассмотрим на конкретном примере.

Выделяем полный квадрат в знаменателе:

Б. Второй случай - подынтегральная функция имеет вид:

где А,В,а,b,с - некоторые постоянные. Порядок преобразований, приводящих к нахождению таких интегралов, покажем на конкретном примере.

(первый интеграл вычисляем путем подведения части подынтегральной функции под дифференциал, второй интеграл - табличный) 8. Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональной называется функция, которая представляет собой отношение двух многочленов: R(x) = P(x)/Q(x). Если степень многочлена Р(х) больше или равна степени Q(x), то дробнорациональная функция называется неправильной, в противном случае - правильной.



Схема интегрирования дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов..

1. Если дробно-рациональная функция неправильная, то путем деления многочлена на многочлен выделяется целая часть и оста ток, который представляет собой правильную дробь.

2. Правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей. В задачах, приведенных в контрольных заданиях, может встретить- ся три типа подобных дробей:

где A,B,C,D,a,p,q - некоторые действительные числа, k=2,3,...

3. Интеграл от данной дробно-рациональной функции находится как сумма интегралов от целой части и простейших дробей.

4. Целая часть представляет собой некоторый многочлен, его интегрирование элементарно. Простейшие дроби типа а) и б) находятся путем подведения под знак дифференциала. Интегрирование дроби типа в) рассмотрено в п. 7.

Дробно-рациональная функция под знаком интеграла является правильной дробью. Для разложения её на сумму простейших дробей представим знаменатель в виде произведения линейных и квадратичных многочленов:

Тогда, учитывая, что х = —1 — есть корень многочлена в знаменателе кратности два, имеем Для нахождения коэффициентов A,B,C,D,F приведем данное выражение к общему знаменателю. Так как знаменатели дробей, стоящих в левой и правой частях равны, то должны быть равны и числители:

Полученное равенство справедливо для любых значений переменной x.

Полагая независимую переменную равной 0 и -1, сразу находим величины коэффициентов А и В :

при х = о, 1 = А ;

при х = -1, -1 = B.

Таким образом, А = 1, В =-1.

Для определения остальных коэффициентов придадим х еще три значения, например 1, 2 и —2. Получаем:

при х = 1, С + D + F = 5, при х = 2, 5С + 6D + 3F = 25, при х = -2, 5С + 2D - F = 13.

Решая систему из 3-х уравнений для 3-х неизвестных, находим:

С = 2, D = 2, F = 1. В результате имеем 9. Интегрирование выражений, рационально зависящих от тригонометрических функций одного и того же аргумента Здесь R, R1 - дробно-рациональные функции своих аргументов Рассмотрим основные случаи, которые могут встретиться при интегрировании таких выражений.

А. Универсальная тригонометрическая подстановка t= tg(x/2) приводит все интегралы вида (R(sinx,cosx)dx к рассмотренным выше интегралам от дробно-рациональных функций. При такой Применим универсальную тригонометрическую подстановку Подстановка t = tg (x/2) во многих случаях приводит к дробнорациональным функциям, требующим при интегрировании проведения большого числа вычислений. Поэтому при нахождении интегралов от тригонометрических функций применяют и частные подстановки, учитывающие специфику функции под интегралом. Б. Подстановка t=tg x используется в случаях, когда необходимо взять интегралы вида:

В. Если при нахождении интегралов, где п,т — целые числа, одно из них нечетное, то при нечетной степени у cos x делается замена t = sin x, при нечетной степени у sin x делается замена t = cos x.

Если в интегралах обе степени четные, то для понижения степени у тригонометрических функций рекомендуется использовать формулы:

Обе степени - четные числа. Применяем формулы понижения степени.

10. Интегрирование некоторых иррациональных выражений А. Рассмотрим интегрирование иррациональных функций, которые можно представить в виде:

где R — рациональная функция своих аргументов.

Пусть r — есть наименьшее общее кратное всех чисел n1, n2, …, nk. Тогда сводится к интегралу от дробно- рациональной функции путем замены х =tr.

Здесь n1 =3, n2 =2. Наименьшее общее кратное чисел 3, 2 есть 6.

Б. Интегралы от иррациональных функций вида где a,b,c,d - некоторые постоянные, находятся с помощью подстановки, (ax+b)/(cx+d)=tr, в которой степень r — наименьшее общее кратное чисел п1,п2,...n.

Пример 22. Найти Здесь п1= 3, п2= 6, п3 = 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6.

Контрольная работа № 8 "Определенный интеграл" Задача 1. Вычислить определённый интеграл I. Основой для вычисления определённых интегралов является формула Ньютона- Лейбница где F(x) — первообразная для функции f(х), т.е. F'(x) = f(x).

Формула Ньютона-Лейбница, как правило, применяется в случаях, когда первообразную подынтегральной функции удаётся определить либо путем непосредственного интегрирования, используя основную таблицу интегралов, либо в результате несложных математических преобразований. Пример 1.

II. В случаях, когда для нахождения первообразной применяется интегрирование по частям, определённый интеграл вычисляется по формуле:

III. Часто для вычисления определённого интеграла используется замена переменной x = (t).

Если выполняются условия:

а) существуют значения t1 = и t2 = такие, что () = а, a () = b;

б) функция (t) на отрезке [а,b] непрерывна вместе со своей производной;

в) для t значения функции x = (t) принадлежат отрезку [a,b] Необходимо обратить внимание на новые пределы интегрирования в определённом интеграле, стоящем в правой части равенства. Они находятся с помощью формулы замены переменной х = (t) из равенств () = а и () = b. Важным моментом использования способа замены переменной является тот факт, что в конце вычисления определённого интеграла переход к старой переменной х совершать не требуется.

Пример 3.

Задача 2. Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов I. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.





Если функция f(x) непрерывна на промежутке [а,), то несобственный интеграл определяется как ;

-, (1) Если функция f(х) непрерывна на промежутке (-,b],то несобственный интеграл определяется равенством (2) Если конечные пределы в равенствах (1),(2) существуют, то несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют - расходящимися.

Для функции непрерывной между — и несобственный интеграл f(x)dx равен следующей сумме:

где с - любая точка между - и ; часто значение с полагают равным нулю.

Для ответа на вопрос о сходимости несобственного интеграла нужно установить существуют ли конечные пределы в равенствах (1) и (2). Делают это, как правило, с помощью нахождения первообразной F(x) для подынтегральной функции f(x). Тогда Интеграл является сходящимся.

II. Интегралы от функций с бесконечными разрывами.

Для функций; неограниченных на отрезке [а, b] различают три случая:

а) если f(х) не ограничена при х b, то несобственный интеграл равен (3) б) если f(х) не ограничена при х а, то несобственный интеграл равен (4) в) если f(x) не ограничена в точке с [а,b], то несобственный интеграл равен (5) При существовании конечных пределов в равенствах (3)-(5) соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

Если известна первообразная F(x) подынтегральной функции f(x), то где F(b) в первом равенстве есть предел F(x) при хb, во втором F(a) — предел F(x) при ха. Если эти пределы существуют, то соответствующие интегралы будут сходящимися, если не существуют, то расходящимися. Пример 5.

Интеграл сходится.

Пример 6.

Интеграл расходится.

Задача 3. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах Геометрический смысл определенного интеграла от функции f(x) О заключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью х, прямыми х = а, х = b и графиком функции у = f(x), т.е.

Если плоская фигура ограничена прямыми х = а, х = b и графиками функций y1 = f(x), у2 = (х), причем для всех точек х на отрезке [a,b] f(x) (х), то её площадь вычисляется по следующей формуле:

Для вычисления площади необходимо:

а) построить на плоскости (х,у) графики всех указанных функций;

б) выделить фигуру, ограниченную данными кривыми;

в) спроектировать фигуру на одну из осей х или у (в зависимо- сти от вида фигуры). Границы получившегося отрезка [а, b] ([с,d]) дадут нижний и верхний пределы интегрирования;

г) определить функцию f(х) ( (у) ), ограничивающую фигуру сверху и (х) ( (y)) - ограничивающую фигуру снизу;

д) вычислить Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ln x, x = e, y=0.

Построим графики указанных функций. Область, ограниченная тремя кривыми, указана на рис. 1. В данной задаче её целесообразно спроектировать на ось х. Поступив таким образом, получим нижний предел интегрирования а = 1, верхний b = е. Искомая площадь определяется интегралом:

Рис. Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y=x2, y2=4x.

Построим графики данных функций (рис. 2). Для того, чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения кривых.

Таким образом, точки пересечения кривых М1(0; 0) и М2(4; 4).

Спроектировать полученную фигуру можно как на ось х, так и на ось у. При проектировании на ось у нижний предел интегрирования равен с = 0, а верхний d = 4. В этом случае сверху фигуру ограничивает график функции 4у = х2, а снизу - у2= 4х.

Тогда Рис.Задача 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми В данной задаче кривые могут быть заданы либо параметрическими уравнениями в прямоугольной системе координат, либо в полярных координатах.

I. Задание кривых в параметрическом виде.

Если линия АВ (рис. 3) задана параметрически уравнениями то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = b и осью Ох, вычисляется по Рис.формуле (6) точке b- значение Здесь точке а соответствует Пример 9.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:

На первом шаге решения задачи следует построить область, площадь которой необходимо найти. Параметрические уравнения зад а ю т эллипс с полуосями а= =22, b = 52 (рис. 4). Условие у определяет часть фигу- Рис. ры, точки которой (х,у) будут расположены выше прямой y = 5.

Для установления пределов интегрирования t1 и t2 в (6) нужно найти точки пересечения эллипса с прямой у = 5. Для этого решаем систему уравнений II. Задание кривых в полярных координатах.

Если линия АВ задана в полярной _ системе координат уравнением р Рис. = (), то площадь фигуры, ограниченной этой кривой, полярными ра- диусами ОА и ОВ (рис. 5), вычисляется по формуле (7) где = и = - уравнения прямых ОА и ОВ.

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой - cos2.

Построим в полярной системе координат область, ограниченную данной кривой. Для этого составим таблицу, в которой для некоторых выбранных значений полярного угла, вычислим соответствующие величины полярного радиуса.

При изменении от 180° до 360° с шагом 15° значения, вычисленные в таблице, будут повторяться. Проведем прямые = const со значениями углов, указанных в таблице, и отложим на них соответствующие значения. В результате этих действий получим фигуру, изображенную на рис. 6. Искомая площадь S = 2S1, где S1 - площадь одной из частей фигуры, симметричная относительно вертикальной оси.

Используя формулу (7), имеем:

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.