WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Выбор инвестиционного портфеля А.А.Новоселов Лекция для студентов Института математики СФУ Содержание 1 Введение 1 2 Простейший портфель 3 3 Разрешение противоречия "доходность–риск" 4 3.1 Векторная оптимизация............................ 4 3.2 Задача Марковица............................... 5 3.3 Взвешенный критерий............................. 6 3.4 Отношение к риску.............................. 7 4 Метод ожидаемой полезности 7 4.1 Постановка задачи............................... 7 4.2 Показательная полезность и отношение к риску.............. 8 4.3 Нормальное распределение и показательная полезность......... 8 5 Упражнения 9 1 Введение Одной из важнейших проблем теории риска является проблема оптимального распределения ограниченных ресурсов (например, капитала). Примерами приложений могут служить формирование инвестиционного портфеля, территориальное распределение производства.

Пусть (X1,..., Xn) – фиксированный случайный вектор, m = (m1,..., mn) – вектор его средних значений, а V = (vij) – ковариационная матрица, то есть mi = EXi, vij = E(Xi - mi)(Xj - mj), i, j = 1,..., n. (1) Пусть, далее, y = (y1,..., yn) – вектор из Ln = {y Rn| y1 +... + yn = 1}. (2) Сибирский Федеральный Университет, Свободный пр. 79, 660041, Красноярск, e-mail:

arcady@novosyolov.ru 2 А.А. Новоселов Портфелем называется случайная величина P = P(y) = y1X1 +... + ynXn, (3) при этом компоненты вектора y принято называть весами инструментов Xi, i = 1,..., n в портфеле. Математическое ожидание и дисперсия портфеля (3), как нетрудно заметить, равны (см. упражнение (5.1)) N N EP = y1m1 +... + ynmn = yT m, DP = vijyiyj = yT V y, (4) i=1 j=1 где верхний индекс T обозначает транспонирование.

Задача формирования портфеля заключается в выборе весов y наилучшим в некотором смысле образом.

Для сравнения случайных величин (точнее, их распределений) вводится мера риска µ, то есть отображение из некоторого множества случайных величин X (или множества их распределений F) в вещественную прямую:

µ : X R, (µ : F R).

Мера риска портфеля P оказывается при этом функцией весового вектора y:

µ(P) = µ(y1X1 +... + ynXn) = f(y), поэтому задача выбора портфеля формулируется следующим образом:

f(y) max(min) (5) y y при условии y Ln (6) и, возможно, дополнительных ограничениях, связанных с существом каждой конкретной задачи.

Обозначим I = (1, 1,..., 1)T, тогда множество Ln можно задать равенством Ln = {y Rn| yT I = 1}. (7) Всюду далее будем считать ковариационную матрицу V невырожденной; при этом -как V, так и V являются положительно определенными, что позволяет задать в Rn скалярное произведение -(u, v) = uT V v, u, v Rn (8) и норму u = (u, u), которую иногда называют энергетической. В некоторых случаях веса портфеля должны быть неотрицательными, в связи с чем задача оптимизации (5) рассматривается не на всем множестве Ln (6), а на его подмножестве Sn = {y Ln| y1 0,..., yn 0}, (9) называемом стандартным симплексом в Rn.

Выбор инвестиционного портфеля 2 Простейший портфель На множестве X случайных величин, обладающих конечным вторым моментом:

EX2 < в качестве меры риска можно выбрать дисперсию случайной величины:

µ(X) = DX, X X. (10) Обозначив DF дисперсию случайной величины, имеющей функцию распределения F, эту меру риска можно задать на множестве распределений F, обладающих конечным вторым моментом µ(F ) = DF, F F. (11) Дисперсию, как меру риска, следует минимизировать, поэтому задача (5), (6) преобразуется к виду yT V y min, (12) y yT I = 1. (13) Решим эту задачу методом множителей Лагранжа [2]. Для этого составим функцию Лагранжа задачи (5), (6) L(y, ) = yT V y + (yT I - 1), и найдем ее частные производные Ly = 2V y + I, L = yT I - 1.

Приравнивая эти производные к 0, из первого уравнения получаем -y = - V I, подставляем отсюда y во второе уравнение, находим = -2/ I 2, так что решением задачи (12), (13) является вектор -V I y =. (14) I Отметим, что значения ожидаемой доходности и дисперсии портфеля на оптимальном y равны (m, I) EP(y) = yT m =, f(y) =. (15) I 2 I В качестве иллюстрации выпишем решение этой задачи для случая некоррелированных инструментов (компонент вектора X). При этом ковариационная матри-2 -2 2 -ца V является диагональной: V = diag(1,..., n), так что V = diag(1,..., n ), n - I 2 = i и i=-i yi =, i = 1, 2,..., n, f(y) =.

-2 --2 -1 +... + n 1 +... + n В частности, если 1 =... = n =, то 1 yi =, i = 1,..., n, f(y) =.

n n 4 А.А. Новоселов 3 Разрешение противоречия "доходность–риск" В рамках парадигмы "доходность–риск"предполагается, что инвестор стремится увеличить, насколько это возможно, ожидаемую доходность портфеля (в наших обозначениях – EP), одновременно сводя к минимуму "риск"DP. Далее рассмотрим вкратце общую постановку таких векторных задач оптимизации и подходы к их решению, а потом опишем подробнее два таких подхода в задаче портфельной оптимизации.

3.1 Векторная оптимизация Пусть g1,..., gm – некоторые функции, заданные на множестве D Rn, и принимающие значения в R. Задача g1(y) min, y...

gm(y) min, y y D называется задачей векторной (многокритериальной) оптимизации. Поскольку точки y, на которых достигаются минимумы различных функций gi, i = 1,..., m, как правило, различны, само понятие решения задачи требует определения. Не вдаваясь в подробное рассмотрение этой проблемы, рассмотрим два подхода к ее разрешению.



Один из подходов заключается в следующем: значения всех целевых функций, кроме одной, например, первой, фиксируются, и вместо исходной рассматривается обычная задача минимизации с дополнительными ограничениями g1(y) min, y g2(y) = a2,...

gm(y) = am, y D, зависимость решения которой от параметров a2,..., am затем исследуется дополнительно.

Другой подход заключается в присваивании критериальным функциям положительных весов 1,..., m (один из которых, например, m всегда можно выбрать равным 1), и решается задача оптимизации со взвешенным скалярным критерием g(y) = 1g1(y) +... + m-1gm-1(y) + gm(y) min, y y D.

Рассмотрим оба эти подхода применительно к проблеме выбора оптимального (в смысле ожидаемой доходности и дисперсии) портфеля, в которой g1(y) = yT V y, g2(y) = -yT m и D = Ln.

Выбор инвестиционного портфеля 3.2 Задача Марковица В [4] используется первый из описанных подходов: ожидаемая доходность портфеля yT m фиксируется на некотором уровне M, и решается задача минимизации дисперсии портфеля yT V y. При этом возникает задача, похожая на (12)–(13), с одним дополнительным ограничением:

yT V y min, (16) y yT I = 1, (17) yT m = M, (18) где M – параметр задачи. Решая (16)–(18) методом множителей Лагранжа (см.

упражнение (5.2)), получаем:

y(M) = uM + v, (19) где m I 2 - I(m, I) I m 2 - m(m, I) -1 -u = V, v = V и = I 2 m 2 - (m, I)2.

Видно, что зависимость решения y от параметра задачи M линейна. Вычисляя дисперсию портфеля на оптимальном векторе (19), получаем I 2M2 - 2(m, I)M + m 2 = f(y(M)) = DP(y(M)) =, (20) так что зависимость оптимального "риска"от ожидаемой доходности квадратична.

Минимальное значение в (20) достигается при M = (m, I)/ I 2 и равно 1/ I 2 (см.

упражнение (5.3)). Интересно отметить, что оптимальный вектор долей y, соответ-ствующий M, имеет вид y(M) = V I/ I 2, что совпадает с решением задачи (12)–(13). Отметим также, что IT u = 0, IT v = 1, то есть вектор v лежит в гиперплоскости Ln (7), а вектор u параллелен этой гиперплоскости.

Множество точек плоскости (2, M), связанных соотношением (20) при M M, обычно называется эффективной границей [5]. Точки этого множества соответствуют портфелям, обладающим минимальной дисперсией 2 при заданной ожидаемой доходности M, или, что в данном случае эквивалентно, максимальной ожидаемой доходностью M при заданной дисперсии 2. Отметим, что на эффективной границе 2 является строго возрастающей функцией от M: "чем больше доходность, тем больше риск".

Интересно представить себе, что такое M – доходность, соответствующая минимальной достижимой дисперсии портфеля. Рассмотрим сначала частный случай, когда V = E совпадает с единичной матрицей (все инструменты некоррелированы -и имеют единичные дисперсии). При этом V = E, так что I 2 = n, (m, I) = m1 +... + mn, и m1 +... + mn M = n является просто средним арифметическим доходностей инструментов.

6 А.А. Новоселов Пусть теперь матрица V – диагональная, то есть, инструменты по-прежнему некоррелированы, но имеют, вообще говоря, различные дисперсии i, i = 1,..., n.

--При этом матрица V также является диагональной с элементами i, i = 1,..., n на главной диагонали, поэтому имеем n -i mi i=M =, n -i i=то есть, M является выпуклой комбинацией чисел m1,..., mn с коэффициентами -k > 0, k = 1,..., n, n -i i=в частности, заведомо min{m1,..., mn} M max{m1,..., mn}.

Можно предположить, что и в общем случае M является взвешенным средним или выпуклой комбинацией доходностей инструментов; первое предположение действительно выполняется, однако веса могут оказаться отрицательными, вследствие чего комбинация будет невыпуклой, и, в частности, возможны случаи M < min{m1,..., mn}, M > max{m1,..., mn}.

Приведем соответствующие примеры. Пусть n = 3, 4 3/2 V = 3/2 1 0, 0 0 -тогда y(M) = V I/ I 2 = (-2/15, 2/3, 7/15)T, и при векторе доходностей m = (1, 2, 2.1)T получаем M = 2.18 > max{m1, m2, m3} = 2.1, а при m = (2, 1, 1)T выполняется M = (13/15) < min{m1, m2, m3} = 1.

3.3 Взвешенный критерий Рассмотрим теперь прием одновременной оптимизации ожидаемой доходности и дисперсии сворачиванием векторного критерия в скалярный. Пусть > 0 – взвешивающий параметр, тогда можно рассмотреть следующую задачу:

g(y) = yT V y - yT m min, (21) y yT I = 1. (22) Решение ее методом множителей Лагранжа (см. упражнение (5.4)) дает -1 (m, I) V I -y = y() = V m - I + (23) I 2 I - (m, I) g(y) =, (24) I Выбор инвестиционного портфеля причем ожидаемая доходность и дисперсия оптимального портфеля принимают значения (m, I) EP(y) = yT m = +, (25) I 2 I DP(y) = yT V y = +. (26) 2 I 2 I Исследуем поведение решения этой задачи при изменении параметра на (0, ).

Из (25) и (26) ясно, что ожидаемая доходность и дисперсия оптимального портфеля являются строго убывающими функциями, и -V I (m, I) lim y() =, lim EP(y()) =, lim DP(y()) =, I 2 I 2 I то есть предельное решение совпадает с (14), (15).





3.4 Отношение к риску Параметр M задачи Марковица (16)–(18) может служить индикатором отношения инвестора к риску: более рискованный инвестор склонен задать большее значение ожидаемой доходности M, принимая на себя больший "риск"2. В задаче (21)–(22) аналогичную роль играет параметр : меньшие его значения приводят к большей ожидаемой доходности и большей дисперсии портфеля. В действительности между этими параметрами существует еще более тесная связь, а именно, решения задач (16)–(18) и (21)–(22) со значениями параметров M и, связанных соотношением (m, I) M = M() = +, > 0, (27) I 2 I или обратным соотношением (m, I) = (M) =, M > M =, (28) M I 2 - (m, I) I приводят к одинаковым портфелям (см. упражнение 5.5).

4 Метод ожидаемой полезности 4.1 Постановка задачи Рассмотрим теперь другой подход к выбору оптимального портфеля, основанный на теории полезности [6]. Пусть U : R R – неубывающая вогнутая функция. С ее помощью можно задать следующую меру риска:

(X) = EU(X), X X, (29) которая называется ожидаемой полезностью риска X.

Ожидаемая полезность портфеля (3) имеет вид g(y) = EU(P) = EU (y1X1 +... + ynXn).

8 А.А. Новоселов Рассмотрим задачу оптимизации портфеля g(y) max, (30) y y Ln. (31) Функционал является вогнутым по значению, откуда вытекает вогнутость g, как функции y на Ln [7], поэтому (30), (31) является задачей выпуклого программирования, и может быть решена имеющимися численными методами.

Мы рассмотрим здесь частный случай, в котором удается получить решение аналитически, и сравним полученное решение с уже имеющимися результатами.

4.2 Показательная полезность и отношение к риску В [8] введено понятие цены риска (X), как решения уравнения U(EX - (X)) = EU(X), и для гладкой функции полезности U определяется понятие неприятия риска:

U(x) a(x) = -, x R, U(x) Там же показано, что более рискованный инвестор (имеющий меньшую функцию неприятия риска) согласен принять любой риск за меньшую цену. Точнее, если два инвестора имеют функции полезности U1, U2, по которым вычисляются функции неприятия риска a1, a2 и цены риска 1, 2, соответственно, то a1(x) a2(x), x R 1(X) 2(X), X X.

Прямым вычислением нетрудно убедиться в том, что для показательной функции полезности U(x) = 1 - exp(-x), x R, (32) где > 0 – параметр, функция неприятия риска постоянна a(x) =, x R. (33) 4.3 Нормальное распределение и показательная полезность Пусть совместное распределение вектора инструментов X = (X1,..., Xn) является нормальным. Тогда [9] распределение портфеля P(y) также является нормальным с параметрами = yT m и 2 = yT V y и плотностью 1 (x - ) f(x) = exp -. (34) Предположим, далее, что функция полезности U показательна, то есть задается выражением (32). Тогда ожидаемая полезность может быть вычислена явно:

EU(P(y)) = U(x)f(x) dx = (1 - exp(-x)f(x) dx - 1 (x - )= 1 - exp(-x) exp - dx.

2 - Выбор инвестиционного портфеля Поскольку подинтегральное выражение равно (см. упражнение (5.6)) (x - ( - 2))2 exp - exp 22 -, (35) 22 получаем 1 1 (x - ( - 2)) EU(P(y)) = 1 - exp 22 - exp - dx 2 2 1 = 1 - exp 22 - = 1 - exp 2yT V y - yT m, 2 откуда видно, что максимизация EU(P(y)) эквивалентна минимизации функции g(y) = yT V y - yT m (36) при условии y Ln, что совпадает с задачей (21)–(22). Таким образом, максимизация показательной ожидаемой полезности при нормальном распределении инструментов дает такой же портфель, как и метод взвешенного критерия. Отметим также, что параметр неприятия риска в этой задаче совпадает по смыслу с аналогичным параметром задачи (21)–(22).

5 Упражнения Упражнение 5.1 Вычислить среднее значение и дисперсию (4) портфеля (3) по заданным характеристикам m, V инвестиционных инструментов.

Упражнение 5.2 Решить задачу Марковица (16)–(18) методом множителей Лагранжа.

Упражнение 5.3 Вычислить точку минимума и минимальное значение дисперсии на эффективной границе задачи Марковица (20).

Упражнение 5.4 Решить задачу (21), (22) методом множителей Лагранжа; вычислить ожидаемую доходность (25) и дисперсию портфеля (26) на решении.

Упражнение 5.5 Доказать, что если параметры M и задач (16)–(18) и (21)– (22), соответственно, связаны соотношениями (27), (28), то эти задачи имеют одинаковые решения.

Упражнение 5.6 Вывести формулу (35).

Список литературы [1] В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. 1,2, М.: Мир, 1984.

[2] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. (1974) Теория экстремальных задач. М.: "Наука 480 с.

10 А.А. Новоселов [3] Лоэв М. (1962) Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. литер.

[4] Markowitz H. (1952) Portfolio selection.– Journal of Finance, 1952, March, p. 77– 91.

[5] Markowitz H. (1990) Mean – Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Cambridge, Massachusetts: Blackwell.

[6] фон Нейман Дж., Моргенштерн О. (1970) Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука.

[7] Новоселов А.А. (2000) О свойствах монотонности и выпуклости некоторых мер риска. В кн.: Статистическая метафизика, Красноярск, ИВМ СО РАН, с. 66–81.

[8] Pratt J.W. (1964) Risk Aversion in the Small and in the Large. Econometrica, 32, pp. 122–136.

[9] Ширяев А.Н. (1989) Вероятность. М.: Наука, 640с.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.