WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 29 |

1.1.4. Погрешности Как было отмечено выше, при измерении данных, а также при их последующем преобразовании неизбежно возникают те или иные неточности или погрешности.

Их принято подразделять на: абсолютные и относительные, приборные и методические, случайные и неустранимые и т. д.

Абсолютная погрешность – это отклонение наблюдаемого значения от истинного значения в некоторых единицах измерения.

Относительная погрешность – это разность между истинным и наблюдаемым значениями, разделенная на истинное значение и умноженная на 100%.

Относительная погрешность может применяться как со знаком, так и по модулю.

Приборная погрешность – это максимальная погрешность, которую гарантирует измерительный прибор. Она еще называется приведенной погрешностью, так как показывает абсолютную погрешность, отнесенную (приведенную) к максимальному значению шкалы измерения прибора и умноженную на 100%.

Методические погрешности – это те погрешности, которые могут возникнуть после измерений в результате применения методов обработки данных.

Основными источниками погрешностей могут быть:

1. Погрешность измерений. Все измерительные приборы и инструменты имеют определенный класс точности. Например, если термометр с классом точности 1 показывает температуру 100, это означает, что истинное значение температуры может находиться в диапазоне от 99 до 101 (погрешность измерения 1%) 2. Погрешность округлений. Измеренные аналоговыми приборами величины для дальнейшей обработки преобразуются в цифровой код. Значение наименьшего разряда аналогово-цифрового преобразователя называют погрешностью округления, так как числа, меньше его значения становятся недоступными для использования.

Погрешность округления может возникать и при дальнейшей уже цифровой обработке данных, если используются разные типы данных. Например, если первоначально число имело тип DOUBLE, то у него было доступно 15 цифр в мантиссе, а затем его преобразовали в тип SINGLE, то у него стало доступно только 7 цифр в мантиссе, остальные попали в погрешность округления.

3. Методическая погрешность. Практически все численные методы расчета дают результат только с некоторой погрешностью. Обычно методы устроены так, что эта погрешность или заранее известна (из теоретического описания метода), или ее можно заранее задать и гарантированно достигнуть по ходу вычислений.

Последние численные методы называют итерационными, где итерация – это повторяемая многократно последовательность вычислений, в результате которой решение приближается к истинному значению. Для этих методов главными характеристиками являются: условия сходимости и скорость сходимости. Если не выполняются условия сходимости, то истинное решение не будет достигнуто. Еще один пример методической погрешности – погрешность усечения количества членов бесконечного ряда. Многие математические объекты, такие как интегралы, производные, алгебраические и трансцендентные функции определяются в действительности как пределы бесконечных последовательностей операций. В случае дифференцирования простых функций, имеющиеся правила, дают значения этих пределов точно, в виде формул. Но так бывает далеко не всегда: вместо бесконечной последовательности вычислений приходится ограничиваться конечным числом шагов. Получающаяся ошибка приближенного результата называется ошибкой усечения 4. Случайные погрешности. Возникают за счет внешних помех при передаче или хранении данных (например, радиопомехи в радиоканалах, при скачках напряжения питания, механических повреждениях, в сильных электромагнитных полях) и за счет грубых ошибок человека, оперирующего с данными. Основные методы защиты данных от случайных погрешностей – дублирование данных, избыточное кодирование, математическое восстановление (интерполяция, аппроксимация).

5. Погрешности допущений. При постановке задачи исследования некоторого объекта часто, из-за его сложности, приходится заранее ограничивать его свойства, то есть создавать и исследовать упрощенную модель. Например, при исследовании биологической защиты ядерного реактора его можно считать не трехмерным, а одномерным объектом. Такое допущение, конечно, заранее вносит некоторую погрешность, но оно оправдывается целями исследований и существенно упрощает математическое описание модели объекта, то есть сокращает затраты на исследования (материальные и временные).

Более подробно с учебным материалом на эту тему можно ознакомиться в курсе ИНТУИТ «Введение в информатику» Казиев В.У.

1.2. Сведения из дискретной математики В информатике в силу ограниченного количества разрядов машинного представления данных, все числа конечны и нет бесконечно малых величин, которыми оперирует классическая высшая математика. Более того, в зависимости от типа данных количество разрядов может изменяться, в соответствии с которым и меняются пределы машинного представления чисел. Это необходимо помнить, поскольку от правильного выбора типа данных зависит и объем потребляемой памяти, и скорость вычислений. Эта наука называется дискретной математикой, начальным разделом которой является Булева алгебра логики.

1.2.1. Сведения из Булевой алгебры логики Булева алгебра логики оперирует переменными, имеющими только два значения, называемые в различных системах как 0 и 1, «истина» и «ложь», «True» и «False». Наиболее часто употребляемые логические функции приведены в табл. 1.1, а их результаты – в табл. 1.2.

Таблица 1.Выборка из основных логических функций Названия логических функций Формы записи логических функций Отрицание, NOT, логическое «НЕ» f0 = – xКонъюнкция, AND, логическое «И» f1 (x1, x2) = x1 & x2 = x1*x2 = x1 xДизъюнкция, OR, логическое «ИЛИ» f7 (x1, x2) = x1 | x2 = x1 + x2 = x1 x– Неравнозначность, XOR, f6 (x1, x2) = x1 x2 x1 – xисключительное ИЛИ Функция Вебба, стрелка Пирса, f8 (x1, x2) = – x1 – xантидизъюнкция Эквивалентность f9 (x1,x2) = – x1 – x2 x1 xНесовместность, штрих Шеффера fE (x1, x2 )= f14 (x1, x2) = – x1 – xТаблица 1.2.

Таблица истинности логических функций Аргументы Результат логической функции X1 X2 f1 f6 f7 f8 f9 fE 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Суперпозицией функций f1,..., fm называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных, а формулой называется выражение, описывающее эту суперпозицию.

Знак функции (операции) может быть записан перед операндами (префиксная или прямая польская запись). Знак бинарной операции или функции часто записывают между операндами, такая нотация называется инфиксной. Наконец, для удобства программирования используют и обратную польскую (или постфиксную) запись, при которой знак функции или операции располагается после списка операндов. Этот вариант записи позволяет обходиться вообще без скобок, что бывает удобно при трансляции выражений.

1.2.2. Примеры применения логических функций Наиболее яркие примеры применения логических операций можно наблюдать при конструировании сложных запросов в поисковых системах Интернет. При этом роль аргументов Х1, Х2 логической функции выполняют ключевые слова (или группы слов), а роль логической функции выполняют найденные в результате поиска документы.

Например, в поисковой системе Rambler два ключевых слова, соединенные оператором AND (логическое «И»), образуют сложный запрос, которому удовлетворяют только те документы, которые одновременно удовлетворяют обоим этим запросам. Иными словами, по запросу «нефть AND газ» найдутся только те документы, которые содержат и слово «нефть», и слово «газ».

Сложному запросу, состоящему из двух запросов, соединенных оператором OR (логическое «ИЛИ»), удовлетворяют все документы, удовлетворяющие хотя бы одному из этих двух запросов. По запросу «нефть OR газ» найдутся документы, в которых есть хотя бы одно из слов «нефть» или «газ» (либо оба эти слова вместе).

Оператор NOT в поисковой системе Rambler соответствует логической операции «И-НЕ» и образует запрос, которому соответствуют документы, удовлетворяющие левой части запроса и не удовлетворяющие правой. Так, результатом поиска по запросу «нефть NOT газ» будут все документы, в которых есть слово «нефть» и нет слова «газ».

Если оператор явно не указан, используется оператор по умолчанию AND:

находятся только документы, содержащие все слова запроса. Так, запрос «месторождения нефть газ» будет истолкован как «месторождения AND нефть AND газ».

При построении запросов можно использовать и скобки по правилам математических операций. Часть запроса, заключенная в скобки, сама является запросом, и на нее распространяются правила языка построения запросов.

Использование скобок позволяет строить вложенные запросы и передавать их операторам в качестве аргументов, а также перекрывать приоритеты операторов, принятые по умолчанию.

Если запрос без скобок «Нефтюганск самолет | вертолет» эквивалентен запросу «Нефтюганск AND самолет OR вертолет» и, в соответствии с приоритетами операторов, означает "найти документы, содержащие либо слова «Нефтюганск» и «самолет», либо слово вертолет. Тогда как запрос со скобками «Нефтюганск (самолет | вертолет)» равносилен запросу «Нефтюганск AND (самолет OR вертолет)», что означает "найти документы, содержащие слово «Нефтюганск» и одно из слов «самолет» или «вертолет».

В поисковой системе Yandex логические операции можно задавать не только в пределах документа, но и пределах одного предложения. Например, операция логическое «И» в пределах предложения (&), операция логическое «И» в пределах документа (&&). Это позволяет производить более точный поиск. Можно также задавать и расстояние в словах, и расстояние в предложениях, на котором будет действовать тот или иной логический оператор.

Применение логических функций при формировании запросов позволяет существенно сократить количество документов, найденных поисковой системой, которые нам необходимо просмотреть. Например, нам необходимо найти информацию о лечении болезней с помощью нефти. Запрос, требующий наличия в пределах предложения ключевого слова нефть и хотя бы одного из двух ключевых слов лечение или болезнь, выдаст нам 7199 страниц (рис. 1.4), для просмотра которых потребуется немало времени.

Рис. 1.4. Пример запроса с использованием логических функций «И», «ИЛИ» Отсеять ненужные страницы можно, усложнив запрос. Применим логическую операцию «НЕ», чтобы исключить документы, хотя бы с одним из следующих ключевых слов: «цена», «прайс», «рубли», «доллар», «фирма», «магазин».

Между последними ключевыми словами необходимо применить логическую операцию «ИЛИ». Такой запрос необходим для того, чтобы извлечь информацию о лечении болезней с помощью нефти и отсеять при этом множество коммерческих сайтов (рис. 1.5). Таким образом, с помощью сложного запроса, используя логические функции «И», «ИЛИ», «НЕ» мы уменьшили количество станиц, предназначенных для просмотра примерно в 4 раза в поисковой системе Yandex. В других поисковых системах также можно использовать логические функции, однако для их записи используются другие символы и это необходимо учитывать.

Небольшое замечание: этот пример выполнялся в декабре 2006 года, повторите его и оцените, насколько больше стало информации в Интернет.

Рис. 1.5. Пример запроса с использованием логических функций «И», «ИЛИ», «НЕ» 1.2.3. Системы счисления Известно несколько систем счисления, сложившихся исторически. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. Довольно широкое распространение имела и имеет двенадцатеричная система. Ее происхождение связано тоже со счетом на пальцах. Четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности фаланг, и по этим фалангам, перебирая их по очереди, большим пальцем ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются в англоязычных странах – в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам).

В древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Эта система, как и двенадцатеричная, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

У ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Связь этой системы со строением человеческой руки – первоначальной «счетной машины» – достаточно очевидна.

У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, была принята двадцатеричная система, очевидно по количеству пальцев на руках и ногах. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы: во французской денежной системе основная денежная единица – франк – делится на 20 су.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления появились в широком употреблении с появлением первых промышленно выпускаемых ЭВМ, работавших в двоичном коде. В СССР была выпущена единственная в мире ЭВМ, работавшая в троичном коде – «Сетунь», разработанная под руководством Николая Брусенцова (1958г., всего выпущено 50 шт).

Система счисления называется позиционной, если число в ней представлено в виде:

A ak1 pk1 ak2 pk2... a2 p2 a1p a0, (1.1) где A – само число в p-ой системе счисления, ak 1 – базисный коэффициент k-ого разряда числа, p – основание системы счисления.

Слагаемые в формуле (1.1) называются разрядами числа, а само это число записывается в сокращенной форме, в виде последовательности значений базисных коэффициентах при всех разрядах, начиная со старшего, отличного от нуля разряда.

В нижнем индексе указывается основание системы счисления (у десятичной системы оно опускается). Например:

19F8AЭкономичность системы счисления – тот запас чисел, которые можно записать с помощью заранее заданного количества знаков.

Пример. Чтобы в десятичной системе записать 1000 чисел (от 0 до 999) необходимо 30 знаков (по 10 цифр для каждого из трех разрядов: единиц, десятков и сотен). В двоичной системе с помощью 30 знаков (возьмем 15 «нулей» и «единиц») можно записать все возможные 15-разрядные двоичные числа. Если их перевести для сравнения в десятичную систему, то получится запас чисел в 32768:

от 0 до 32767 ( (215 1). Таким образом, двоичная система более экономична, чем десятичная. Но самой экономичной является троичная система счисления.

Проверим на нашем примере. 30 выделенных нам знаков используем таким образом: возьмем 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек. Таким образом, имеем возможность записывать 10-разрядные троичные числа от 0 до (310 1). Получаем запас чисел (в десятичном сравнении) 59049.

Но главное преимущество троичного представления чисел перед принятым в современных компьютерах двоичным представлением состоит в том, что с тремя цифрами возможен натуральный код чисел со знаком, а с двумя невозможен.

Задача:

На планете Земля люди пишут 5*5=25, на планете Х эта же запись выглядит 5*5=31, а на планете Y – 5*5=41. Сколько палые люди проживают на этих планетах 1.2.4. Числовые типы данных Как следует из приведенного выше материала, в информатике числа зависят от количества двоичных разрядов, под них отведенных. Это определяет, во-первых, диапазон, в котором числами можно оперировать, и, во-вторых, требуемые ресурсы памяти для хранения этих чисел. Поэтому все числа в информатике должны быть отнесены к одному из принятых в используемой вычислительной среде типу данных. В разных средах типы данных обозначаются по-разному, но имеют примерно одинаковый смысл. Поэтому их можно разделить на следующие категории:

1. Простые типы, для хранения чисел (целых и вещественных) и логических значений (0 и 1) 2. Строковые типы, для хранения последовательностей символов 3. Указательные типы, для косвенного обращения к переменным заданных типов 4. Объектные типы, для операций с объектами 5. Пользовательские типы, для объединения под одним именем данных разных типов 6. Вариантные типы, для хранения в одной переменной данных разных типов.

Числовые типы данных исторически подразделяются на целые и вещественные.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 29 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.