WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
В.В.Козлов, С. Д.Фурта Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений Издание второе, исправленное и дополненное Москва Ижевск 2009 Оглавление Предисловие ко второму изданию.................. 5 Предисловие к первому изданию................... 6 ГЛАВА 1. Полуквазиоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений..................... 17 1. Формальные асимптотики частных решений полуквазиоднородных систем дифференциальных уравнений......... 17 2. Проблемы сходимости...................... 31 3. Экспоненциальные методы нахождения неэкспоненциальных решений............................ 44 4. Примеры.............................. 63 5. Теоретико-групповая интерпретация............... 80 ГЛАВА 2. Критический случай чисто мнимых корней...... 105 1. Асимптотические решения автономныхсистем дифференциальных уравнений в критическом случае m пар чисто мнимых и n - 2m нулевых корней характеристического уравнения105 2. Периодические и квазипериодические системы........ 121 3. Гамильтоновы системы...................... 140 ГЛАВА 3. Сингулярные задачи................... 167 1. Асимптотические решения автономныхсистем дифференциальных уравнений в критическом случае нулевых корней характеристического уравнения.................. 167 2. О повторных логарифмах..................... 181 3. Системы, неразрешенные относительно старших производных, и теория Кузнецова..................... 191 ГЛАВА 4. Проблема обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия и другие родственные задачи.......... 210 1. Об энергетических критериях устойчивости.......... 210 2. Регулярные задачи......................... 3. Сингулярные задачи........................ 4ОГЛАВЛЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ A. Неэкспоненциальные асимптотические решения систем функционально-дифференциальных уравнений.... ПРИЛОЖЕНИЕ B. Арифметические свойства собственных чисел матрицы Ковалевской и условия неинтегрируемости полуквазиоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений................................ Литература............................... Предисловие ко второму изданию Первое издание нашей книги вышло в 1996 году в издательстве Московского университета. Это было трудное время для научного книгоиздания: упали тиражи и оказалась нарушенной система распространения научной литературы. По этим причинам книга оказалась малодоступной для потенциальных читателей. Поэтому мы решили подготовить второе издание, несколько ее расширив за счет добавления новых результатов. Заодно были устранены некоторые мелкие неточности и опечатки.

В. В. Козлов, С. Д. Фурта Предисловие к первому изданию Проблема изучения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек практически всегда сопутствовала развитию теории устойчивости движения. Недаром основоположник классической теории устойчивости А. М. Ляпунов развил два метода исследования поведения решений систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки [81]. И если так называемый второй или прямой метод Ляпунова носит преимущественно качественный характер и призван дать ответ на вопрос: «Уйдут ли из некоторой малой окрестности критической точки решения, начинающиеся вблизи этой точки», то первый метод Ляпунова посвящен аналитическому представлению решений в окрестности равновесия. Основной результат Ляпунова, полученный в этом направлении для автономных систем, состоит в следующем: если характеристическое уравнение системы первого приближения имеет s корней с отрицательной вещественной частью, то полная система дифференциальных уравнений имеет s-параметрическое семейство решений, начинающихся в малой окрестности равновесного решения и экспоненциально стремящихся к этому решению [81]. В литературе данное утверждение носит название теоремы Ляпунова об условной асимптотической устойчивости. Но как отмечает сам Ляпунов [81], это утверждение было известно еще ранее Пуанкаре и содержалось фактически в его диссертации [181]. Существует также идейно близкий результат, носящий в литературе название теоремы Адамара–Перрона, хотя утверждения, сформулированные в оригинальных работах [164, 180], достаточно отдаленно напоминают теорему в ее современном виде: если характеристическое уравнение системы первого приближения имеет s корней с отрицательной вещественной частью и p корней с положительной, то в окрестности неподвижной точки существует два инвариантных многообразия размерностей s и p соответственно, первое из которых состоит из решений системы, экспоненциально стремящихся к критической точке при t +, а второе — из решений, стремящихся к этой критической точке при t -. Эту теорему, а также ее современное доказательство, можно найти в большинстве монографий по дифференциальным уравнениям и теории бифуркаций [52, 85, 128, 154, 169].

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Метод Ляпунова основывается на асимптотическом интегрировании изучаемой системы дифференциальных уравнений в виде некоторых рядов, содержащих кратные комплексные экспоненты, коэффициентами которых являются полиномы от независимой переменной. Этот метод был развит позже в работах [128, 165]. Следует отметить, что если среди собственных чисел системы первого приближения есть комплексные, то построение действительных решений в виде упомянутых рядов является весьма непростой задачей из-за чрезвычайно громоздкого вида этих рядов, приводящего к непомерному объему вычислений. Из классических работ, посвященных асимптотике решений, входящих в особую точку при t + или t следует упомянуть также классические работы П. Боля [21].



Практически одновременно с зарождением общей теории устойчивости одной из наиболее актуальныхее задач становится проблема обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. Первые нетривиальные результаты, полученные в этом направлении, принадлежат Ляпунову [177].

Обзор результатов, посвященных обращению теоремы Лагранжа, не входит в задачу данной книги; заинтересованному читателю авторы могли бы порекомендовать ознакомиться с главой 3 монографии [98], а также с обзорными работами [51, 97, 186].

Во многих конкретных задачах основным методом доказательства неустойчивости является метод построения функций Четаева [132], позволяющий дать качественную картину поведения траекторий в целой области фазового пространства, прилегающей к критической точке. Этот метод в некотором смысле «избыточен», поскольку, как было отмечено самим Четаевым, «чтобы обнаружить неустойчивость невозмущенного движения, достаточно заметить всего одну траекторию, выходящую за заданную область при сколь угодно малых численных значениях возмущений» [132].

Давно было подмечено, что в большинстве случаев явление неустойчивости критической точки системы обыкновенных дифференциальных уравнений сопровождается существованием частного решения системы, стремящегося к этой точке при t -. Однако наиболее общие условия для функции Четаева, при которых асимптотическое решение действительно существует, были найдены намного позже Н. Н. Красовским [73]. В задачах, связанных с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости, это явление было подмечено довольно давно. Стоит подчеркнуть, что обратимость уравнений движения консервативной механической системы гарантирует одновременно существование и «входящего» решения, т. е. стремящегося к положению равновесия при t +. Одна из первых работ, где это явление описывалось, принадлежит Кнезеру [174]. Она позднее была существенно обобщена Болем [147]. В работе первого из авторов [55] были 8ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ предъявлены требования к функциям Четаева специального вида, используемым при доказательстве неустойчивости положений равновесия обратимых консервативных систем, обеспечивающие существование «выходящего» решения.

Практически все упомянутые выше результаты касались случая, когда наличие асимптотических решений, стремящихся к критической точке при неограниченном возрастании или убывании независимой переменной, удается обнаружить, основываясь лишь на анализе линеаризованных уравнений, и стремление решений к критической точке носит экспоненциальный характер. Обнаружение же решений, стремление которых к критической точке неэкспоненциально, а также построение асимптотик для таких решений представляется более трудной задачей. Тем более парадоксально, что одна из первых работ, посвященная «неэкспоненциальной» проблеме, была опубликована задолго до выхода в свет ляпуновской «Общей задачи об устойчивости движения». Речь идет о работе Брио и Буке [151].

Основываясь на методике Брио и Буке, Г. В. Каменков [49] разработал метод построения инвариантных кривых, вдоль которых происходит уход от критической точки решения неэкспоненциального типа. Эта методика на долгие годы стала для механиков надежным инструментом для доказательства неустойчивости в так называемыхкритическихслучаях, когда неустойчивость невозможно установить, основываясь лишь на линеаризованных уравнениях (см., например, монографию В. Г. Веретенникова [31]). Указанная работа Каменкова осталась практически вне зоны внимания математиков. Одна из причин состоит в том, что, пожалуй, единственным доступным изданием, где содержится формулировка и доказательство теоремы Каменкова, является цитированное выше посмертное издание его трудов [49].

Хотя формулировка этой теоремы абсолютно верна, в приведенном доказательстве объявляются очевидными некоторые утверждения технического характера, требующие дополнительного анализа. В числе более современных авторов, положивших начало исследованиям асимптотик решений нелинейных систем дифференциальных уравнений в окрестности не элементарной особой точки, следует упомянуть А. А. Шестакова в связи с его работой [133]. Одной из первых работ, в которых обсуждалась возможность построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в степенной форме, была работа Н. В. Бугаева [26]. А. Д. Брюно [25], основываясь на технике многогранников Ньютона, предложил общий алгоритм вычисления ведущихчленов разложения решений, обладающихобобщенно-степенной асимптотикой, аналитических систем дифференциальных уравнений в окрестности не элементарной особой точки. Диаграммы и многогранники Ньютона играют важную роль в различных областях математики. В отечеПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ственной литературе «началом отсчета» применения этой замечательной техники в современных исследованиях принято считать работу [131].

Вновь возросший к концу 70-х годов интерес к проблеме обращения теоремы Лагранжа об устойчивости дал новый толчок к исследованию асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности не элементарной особой точки. В работе первого из авторов [54], а также написанной им в соавторстве с В. П. Паламодовым работе [65], найдены асимптотические решения соответствующих уравнений движения в виде некоторых рядов относительно величин t-j lnk t, которые по форме совпадали с разложениями относительно одной из переменных xj, предложенными Г. В. Каменковым [49]. Следует отметить, что появление логарифмических членов в асимптотических разложениях решений нелинейных уравнений является ситуацией общего положения (см., например, [145]). При этом обнаружилось, что в целом ряде случаев построенные ряды могут расходиться, даже если правые части исследуемых уравнений голоморфны в окрестности особой точки [53]. Выход из данной ситуации — применение теории А. Н. Кузнецова [75, 76], устанавливающей соответствие между формальными решениями исследуемой нелинейной системы уравнений и некоторыми гладкими частными решениями, имеющими требуемую асимптотику.





Применение этой техники позволило второму из авторов дать элементарное и строгое доказательство теоремы Каменкова [110].

Возникает вопрос, всегда ли ведущие члены разложений неэкспоненциальныхасимптотических решений имеют степенную форму Как следует из работы А. П. Маркеева [83], посвященной существованию асимптотических траекторий гамильтоновых систем в критических случаях, ответ на этот вопрос отрицательный: например, при наличии резонансов четного порядка между частотами линеаризованной системы асимптотики входящих в особую точку решений могут иметь гораздо более сложную, нежели степенная, форму. Другие примеры такого типа можно найти в цитированной выше статье Кузнецова [76].

В последние десять-пятнадцать лет проблема существования частных решений систем дифференциальных уравнений с неэкспоненциальной асимптотикой привлекла внимание исследователей-физиков. Дело в том, что структура этих решений тесно связана со свойством Пенлеве [1, 36].

Под свойством Пенлеве в обширной литературе, написанной физиками-теоретиками (см., например, обзор [150]), понимают следующее: а) подвижные сингулярности решений в комплексной области могут быть только полюсами, б) формальные разложения этих решений в ряды Лорана содержат (n - 1) произвольную постоянную в качестве свободныхпараметров (здесь n — размерность фазового пространства). Проверка этих свойств носит на10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ звание Пенлеве-теста или ARS-теста по имени авторов, одними из первых применивших указанный подход к нелинейным задачам математической физики [143]. Практически все системы, удовлетворяющие ARS-тесту, могут быть проинтегрированы в явном виде [143, 150, 158]. Идея о том, что решения интегрируемыхсистем должны быть однозначными мероморфными функциями времени, восходит к Ковалевской [175]. Кажется правдоподобным предположение, что неинтегрируемые системы не удовлетворяют свойству Пенлеве. Однако строгих результатов о неинтегрируемости, использующих неэкспоненциальные асимптотики, немного. В этой связи стоит упомянуть работу Х. Иошиды [201], где имеется ряд неточностей, на которые указано в работе [163], а также серию недавнихстатей того же Иошиды [199, 200, 198], основанных на методике С. Л. Зиглина [43], в которых накладываются гораздо более сильные условия на рассматриваемые системы. Было подмечено, что наличие логарифмических членов в асимптотических разложениях решений многих конкретных систем, которые принято считать хаотическими, действительно соответствует очень сложному поведению траекторий, а также приводит к тому, что особенности этихрешений образуют в комплексной плоскости причудливые звездообразные структуры наподобие фрактальных [161, 192]. К подобным же эффектам приводит наличие иррациональных и комплексных степеней в асимптотических разложениях решений [153, 152].

Целью нашей монографии является систематическое изложение современного состояния дел в задаче исследования асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности неэлементарных особых точек, указание путей распространения этой теории на другие объекты динамической природы, а также демонстрация широкого спектра приложений в механике и других областях. При этом авторы не претендуют на полный библиографический обзор работ, посвященных указанной проблеме. Многие результаты, изложенные в книге, получены самими авторами, поэтому изложение материала определяется, в основном, точкой зрения и пристрастиями авторов.

Прежде, чем приступать к краткому изложению предлагаемых вниманию читателя результатов, необходимо сделать одно замечание библиографического плана. На первый взгляд может показаться, что задачи построения частных решений дифференциальных уравнений с экспоненциальной и обобщенно-степенной асимптотиками настолько отличаются друг от друга, что при построении последних вряд ли удастся использовать какие-либо идеи, содержащиеся в классическом первом методе Ляпунова. Это непонимание развеивается уже при беглом знакомстве с предметом. В чем же заключается суть первого метода Ляпунова В своей знаменитой «Общей ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ задаче об устойчивости движения» [81] Ляпунов, рассматривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида = f(x), f(0) = 0, x Rn, f(x) =Ax +..., где многоточие означает совокупность нелинейных членов, предложил искать их частные решения в виде рядов x(t) = xj,...,jp(t)exp((j11 +... + jpp)t), p n, j1+...+jp где функции xj,...,jp(t) зависят полиномиально от t и, если мы желаем ограничиться рассмотрением действительных решений, от некоторых тригонометрических функций времени.

При этом предполагалось, что совокупность первых членов этих рядов (когда j1 +... + jp =1) является решением линеаризованной системы = Ax.

Таким образом, применение первого метода Ляпунова к конкретным задачам предусматривает три этапа:

1) выделение из системы некоторой укороченной (в данном случае линейной) подсистемы;

2) построение частного решения или семейства частных решений данной укороченной системы;

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.