WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 30 |
СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Главный редактор:

В. В. КОЗЛОВ Научные редакторы серии:

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ Научные консультанты серии:

А. АЛБУИ (ФРАНЦИЯ), Ф. ДИАКУ (КАНАДА), Ж. ЛАСКАР (ФРАНЦИЯ), Р. МАКГИХИ (США), Р. МЁКЕЛЬ (США), А. И. НЕЙШТАДТ (РОССИЯ), К. СИМО (ИСПАНИЯ), А. ШЕНСИНЕ (ФРАНЦИЯ) Ответственный редактор:

Л. А. ГАЗИЗУЛЛИНА Готовятся к печати новые книги серии:

Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация Относительные равновесия и периодические решения в небесной механике Резонансы в небесной механике СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Научная редакция:

А. В. Борисов, И. С. Мамаев Москва Ижевск 2004 УДК 531 Интернет-магазин • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • н е ф т е г а з о в ы е т е х н о л о г и и http://shop.rcd.ru Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №04-01-14040.

Классическая динамика в неевклидовых пространствах / Науч. ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 348 стр.

В сборнике собраны классические и современные работы по динамике в пространствах постоянной кривизны. Рассмотрены задача Кеплера и ее обобщения, задачи двух и трех тел, вопросы динамики твердого тела в искривленных пространствах. Многие классические работы, принадлежащие В. Киллингу, Г. Либману и др., были малодоступны современному читателю и почти забыты. В этой книге впервые публикуется их перевод. Современные исследования, представленные в книге, сосредоточены на вопросах интегрируемости и стохастичности, обобщения различных результатов классической небесной механики, теории ньютоновского потенциала.

Многие результаты публикуются здесь впервые.

Книга предназначена для студентов и аспирантов университетов, специалистов по теории динамических систем, будет интересна также историкам науки.

ISBN 5-93972-368-© Институт компьютерных исследований, http://rcd.ru http://ics.org.ru Оглавление Предисловие.............................. I. КЛАССИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 1 П. Серре. Новая геометрическая и механическая теория линий двойной кривизны...................... 2 Н. И. Лобачевский. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных........................ 3 В. Киллинг. Механика в неевклидовых пространствах.. 4 Г. Либман. О движении под действием центральной силы в неевклидовой геометрии..................... 5 Г. Дарбу. Об одной задаче из механики........... 6 П. Аппель. О законах центральных сил, точка приложения которых описывает кривую второго порядка, каковы бы ни были начальные условия....................... 7 Ф. Клейн. Математическая теория волчка......... 8 Э. Шредингер. Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций......... II. СОВРЕМЕННЫЙ АНАЛИЗ 9 П. Хиггс. Динамические симметрии в сферической геометрии. I................................ 10 В. В. Козлов. О динамике в пространствах постоянной кривизны................................ 11 В. В. Козлов, А. О. Харин. Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны....................... 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 12 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Системы на сфере с избыточным набором интегралов..................... 13 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Обобщенная задача двух и четырех ньютоновских центров................... 14 С. Т. Садэтов. Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны.............. 15 Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. М. Луценко. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера........................... 16 В. В. Козлов. Условия рациональности отношения эллиптических интегралов и большая теорема Понселе......... 17 В. В. Козлов, Ю. Н. Федоров. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия.......... 18 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Ограниченная задача двух тел в пространствах постоянной кривизны.............. 19 А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин. Задача двух тел на сфере. Приведение, стохастичность, периодические орбиты.. 20 А. А. Килин. Точки либрации ограниченной задачи трех тел в пространствах S2 и L2...................... 21 С. Л. Зиглин. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере............................ 22 С. Л. Зиглин. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел с потенциалом упругого взаимодействия на сфере..... 23 Н. А. Черников. Релятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского......................... 24 В. В. Козлов. Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны.............. Предисловие Настоящий сборник новой энциклопедии «Cовременная небесная механика» посвящен развитию и обобщению основных методов и результатов классической небесной механики на пространства постоянной кривизны.

В скором времени увидят свет еще три книги из этой серии: «Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация», «Относительные равновесия и периодические решения в небесной механике» и «Резонансы в небесной механике».

Как известно, компактным пространством с постоянной гауссовой кривизной является трехмерная сфера S3 (иногда называемая также миром Эйнштейна, предложившего рассматривать ее в качестве одной из моделей реального мира), а некомпактным — пространство Лобачевского L3. Изучение динамики материальных точек в таких простейших неевклидовых пространствах начали еще создатели неевклидовой геометрии Я. Больяи и Н. И. Лобачевский, которые, исходя из некоторых геометрических аналогий, указали правильный вид (аналог) ньютоновского потенциала гравитационного взаимодействия (для пространства Лобачевского). Более детальное исследование движения тела на S3 в поле неподвижного ньютоновского центра содержится в книге французского математика П. Серре [23], который показал, что траекторией точки для этого аналога задачи Кеплера на сфере является «эллипс» (т. е. квадрика на некоторой двумерной сфере S2) с фокусом, расположенным в центре притяжения.



В дальнейшем этот несложный результат Серре либо переоткрывался, либо считался вполне очевидным в более продвинутых работах немецких геометров и механиков конца девятнадцатого века. Среди них следует указать прежде всего работу [15] известного математика В. Киллинга, который указал аналоги законов Кеплера для S3 и L3, доказал интегрируемость аналога эйлеровой задачи двух центров, рассмотрел движение твердого тела. Киллинг изучал также многомерные аналоги соответствующих задач.

Другие вопросы неевклидовой механики (например, связанные с развитием общих принципов динамики, аналогом теоремы Бертрана, обобщением 8 ПРЕДИСЛОВИЕ теории ньютонового потенциала, применением комплексного анализа) разбирались Р. Липшицем, Э. Шерингом, Г. Либманом, Ф. Клейном. Некоторые элементарные, но наиболее наглядные результаты (включая аналоги законов Кеплера) по движению частицы в пространствах постоянной кривизны были приведены Либманом в его университетском курсе неевклидовой геометрии [17].

Среди работ, завершающих период классических исследований, особого внимания заслуживает исследование П. Аппеля, который, развивая идею гомографических преобразований, показал, что траектории частицы в центральном поле на плоскости и для его аналога на сфере сводятся друг к другу при помощи центральной (гномонической) проекции и некоторого подходящего преобразования времени [10]. При этом преобразовании задачи Кеплера в двух пространствах S3 и R3 преобразуются друг в друга, что и объясняет большое сходство динамики двух систем.

По-видимому, в связи с бурным распространением в начале двадцатого столетия сначала специальной, а затем и общей теории относительности многие из этих исследований оказались почти забыты. Общая теория относительности (ОТО), казалось, разрешила все проблемы, связанные с начатым в сочинениях К. Гаусса и Н. И. Лобачевского проникновением в аналитическую механику и физику идей неевклидовой геометрии. Лишь эпизодически динамика частицы в искривленных пространствах обсуждается, например, у Шредингера [22], который рассмотрел квантовый аналог классической задачи Кеплера на S3, считая его полезным для понимания общей процедуры квантования.

В связи с широким развитием новых принципов теории динамических систем, зарождением теории детерминированного хаоса, в восьмидесятых годах двадцатого века снова пробудился интерес к классическим вопросам динамики в искривленных пространствах. В нескольких работах [13, 11, 16, 7, 24] были переоткрыты многие известные классикам результаты. При этом современные результаты были получены в более общей форме. Например, результат Киллинга об интегрируемости аналога эйлеровой задачи двух центров в работе [16] был получен при добавлении в систему дополнительных потенциалов упругого взаимодействия. (Аналогичное добавление потенциала упругой пружины в классическую задачу Эйлера было сделано Лагранжем.) Мы не смогли найти в классической литературе аналогов уравнения Кеплера, они являются достаточно нетривиальными и впервые, видимо, были получены В. В. Козловым в [7].

ПРЕДИСЛОВИЕ Работая над книгой [4], вышедшей в 1998 году, мы не были еще знакомы с работами немецких и французских классиков и изложили свое понимание истории вопроса, которое, как оказалось позже, было далеко от истинного. Во многом это историческое описание повторяется в [8, 5]. Более полная и достоверная картина сложилась после знакомства с работой [12], в которой имеются ссылки на работы немецкой школы, а также в процессе неоднократных бесед с А. Албуи, познакомившего нас с работами Серре и Аппеля [23, 10].

В упомянутой выше книге [4] рассмотрены также более сложные вопросы искривленной небесной механики и динамики твердых тел. В частности, поставлены и изучены общая задача двух тел на S3 (L3) (которая в искривленном случае не сводится к задаче о движении частицы в центральном поле), ограниченная задача двух и трех тел; указаны различные классы частных решений, исследована их устойчивость (в особенности аналогов так называемых точек либрации). В дальнейшем мы также уделяли внимание некоторым проблемам, связанным с развитием небесной механики в искривленных пространствах. Эти новые результаты представлены в настоящем сборнике.

Сборник состоит их двух частей. В первой части собраны наиболее важные и интересные классические исследования. В основном в них рассматривается задача Кеплера и ее обобщения. Вопросы динамики твердого тела в искривленном пространстве разобраны в работах В. Киллинга и Ф. Клейна. За современным изложением этих вопросов мы отсылаем читателя к нашим книгам [4] и [3].

Во второй части мы приводим ряд работ, в которых, как уже указывалось, результаты классиков были переоткрыты (возможно, что это имеет даже исторический интерес: довольно примечательно то, что одни и те же идеи возникают у ученых различных поколений, с разницей почти в сотню лет), а также совсем новые результаты, полученные во многом благодаря стимулирующей работе над этим сборником.





Некоторые работы мы не включили в сборник, сообразуясь с требованиями ограничения объема. Прежде всего это относится к ценной работе Н. Е. Жуковского [6], изучавшего движение двумерного тела на поверхности псевдосферы, а также статьям Липшица и Шеринга [18, 19, 20, 21].

Результаты последних исследований либо находятся за рамками общей концепции этого сборника, в котором особое внимание мы уделяем не общим 10 ПРЕДИСЛОВИЕ динамическим принципам, а конкретным задачам, либо более просто изложены в современных работах, приведенных во второй части. Мы также не включили в сборник работы по интегрируемым биллиардам на поверхностях постоянной кривизны [2, 1, 25, 14], принимая во внимание, что книга выходит в специальной серии «Современная небесная механика». Однако, результаты упомянутых работ также указывают на различные аналогии между евклидовой и неевклидовой динамикой, и мы рекомендуем читателю ознакомиться с ними при более глубоком изучении. Например, Шеринг доказал теорему о притяжении эллипсоида, а также аналог теоремы Айвори, и вывел уравнение Пуассона в n-мерном пространстве постоянной кривизны. В работе В. В. Козлова [8] эти результаты были получены с большей общностью (включая притяжение отрезка).

В книге [4], а также в диссертации [9], изложен ряд результатов, связанных с анализом движения частицы в поле двух ньютоновских центров на S3 (L3). Некоторые из этих результатов переписаны, без должного цитирования, в статьях [26, 28], а также в книге [27].

В заключении кратко остановимся на роли исследований динамики в пространствах постоянной кривизны в современной физике и теории динамических систем.

Прежде всего нужно отметить, что пространства постоянной кривизны, являясь наиболее простым случаем искривленных пространств, постоянно используются в различных областях современной физики. Еще при создании ОТО А. Эйнштейн предлагал использовать трехмерную сферу как одну из статических моделей реального мира. В силу отсутствия группы преобразований Галилея классическая механика на S3 (L3) обладает существенными отличиями от обычной евклидовой небесной механики. Мы не можем, например, автоматически переносить на искривленные пространства большинство классических результатов небесной механики, тесно связанных с понятием центра масс и выбором соответствующих координатных систем. Кроме того, оказывается, что это является существенным свойством динамики. В качестве простого примера вновь упомянем задачу двух тел и задачу о движении в центральном поле, которые на S3 (L3) не сводятся друг к другу, причем первая является неинтегрируемой и демонстрирует хаотическое поведение, а вторая — регулярна и сохраняет основные интегрируемые черты задачи Кеплера.

Обосновывая важность концепции n-мерной динамики, не связанной с фиксированной размерностью пространства, Г. Вейль в своей знаменитой ПРЕДИСЛОВИЕ книге «Пространство. Время. Материя» [29] заметил, что «полное математическое понимание законов природы может быть достигнуто лишь после такой формулировки законов природы, в которой мы не ограничиваемся определенным числом измерений».

Развивая эту мысль для динамики неевклидовых пространств, следует отметить, что более глубокое понимание динамики при наличии кривизны пространства способно привести к новому взгляду на евклидову динамику, так как некоторые факты, кажущиеся нам очевидными с детства, на самом деле являются проявлением особых симметричных свойств евклидова пространства, исчезающих при добавлении кривизны. Следуя ОТО, реальный мир на больших масштабах обладает некоторой кривизной, что приводит к неким замечательным неевклидовым эффектам. Некоторые из этих эффектов могут быть объяснены при помощи классической механики в S3 (L3). Отметим, что несомненным достоинством классической модели (в S3 (L3)) является ее простота. Известно, что уже изучение задачи двух тел в ОТО представляет большие трудности, а результаты релятивистской небесной механики по своей полноте и законченности не могут идти ни в какое сравнение с классической евклидовой небесной механикой. В этом сборнике мы представили ту область динамики, которая, с одной стороны, стоит на прочном фундаменте классического понимания, а с другой — может быть использована для объяснения некоторых закономерностей, которые обычно входят в круг идей ОТО (типа смещения перигелия Меркурия и пр.). Здесь мы ни в коем случае не умаляем фундаментальной роли ОТО в современной физике, а скорее указываем на важную роль одной из моделей механики, стоящей между релятивистской и классической моделями и также являющейся предельным случаем ОТО.

Исследования в области классической механики в искривленных пространствах еще далеки от завершения, можно даже сказать, что они только начинаются. Мы надеемся, что этот сборник будет способствовать возрастанию интереса к таким исследованиям, в особенности у молодых ученых.

В формировании этого сборника неоценимый вклад внесли беседы с В. В. Козловым и А. Албуи. Мы также искренне благодарим Ларису Газизуллину, замечательно выполнившую редакционную и организаторскую работу, и весь коллектив переводчиков, участвовавших в этом проекте.

17 мая 2004 г. А. В. Борисов, И. С. Мамаев 12 ПРЕДИСЛОВИЕ Литература [1] Абдрахманов А. М. Интегрируемые биллиарды. Вестн. Моск. ун-та.

Сер. 1, Математика. Механика, 1990, №6, c. 28–33.

[2] С. В. Болотин. Интегрируемые бильярды Биркгофа. Вестник Моск. унта. Серия. 1, Математика, Механика, 1990, № 2, с. 33–36.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 30 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.