WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 21 |
А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР Москва Ижевск 2005 Оглавление Предисловие.............................. 8 Введение................................ 10 § 1. Динамика точечных вихрей на плоскости........... 20 1. Абсолютное движение........................ 20 Уравнения движения и первые интегралы (20). Комплексная форма уравнений вихревой динамики (21). Общие свойства движения N вихрей (22).

2. Алгебраическая редукция в динамике вихрей........... 23 Относительные переменные и скобка Ли – Пуассона (25). Квадратуры для абсолютного движения (28).

3. Проблема адвекции.......................... 29 § 2. Динамика точечных вихрей на сфере............. 30 1. Абсолютное движение........................ 30 Вывод уравнений движения (30). Уравнения движения и первые интегралы (32). Уравнения движения в декартовых координатах (33).

2. Алгебраическая редукция в динамике вихрей на сф ере...... 34 Относительные переменные и нелинейные скобки Пуассона (34). Проблема интегрируемости (37).

§ 3. Задача трех вихрей на плоскости и сфере........... 38 Исторические комментарии (38).

1. Аналогия с системой Лотки – Вольтерра.............. 39 2. Ли-алгебраическая классификация задачи трех вихрей на плоскости. Канонические координаты.................. 41 Канонические координаты приведенной системы в задаче трех вихрей (44).

3. Геометрическая интерпретация и качественный анализ динамики трех вихрей на плоскости...................... 47 Геометрическая интерпретация относительного движения (47). Особенности системы (49). Томсоновские (равносторонние) конфигурации (49). Коллинеарные конфигурации (51). Статические коллинеарные конфигурации (54). Бифуркационный анализ (54). Абсолютное движение и адвекция (55).

4ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Геометрическая интерпретация и качественный анализ динамики трех вихрей на сф ере......................... Приведение к одной степени свободы (59). Геометрическая интерпретация относительного движения (62). Томсоновские (неколлинеарные) конфигурации (63). Статические коллинеарные конфигурации (66). Бифуркационный анализ (68). Геометрическая интерпретация для абсолютного движения (72).

5. Проблемы коллапса и рассеяния................... Коллапс (73). Рассеяние (75).

§ 4. Другие разрешимые задачи динамики точечных вихрей на Rи S2. Методыкачественного исследования.......... 1. N вихрей с нулевым моментом завихренности........... Сведение к приведенной системе задачи (N - 1) вихрей (80). Четыре вихря на плоскости (83). Аналогия со случаем Делоне (89).

2. Центрально- и зеркально-симметричные решения в задаче четырех вихрей............................... Центрально-симметричное решение при D0 = 0 (90). Зеркальносимметричное решение (чехарда Гельмгольца) (96).

§ 5. Классификация и симплектизация вихревой алгебры для плоскости............................. 1. Вихревая алгебра и лиевы пучки.................. 2. Теорема о компактности (финитности)............... 3. Сингулярные орбиты и редукция по симметриям......... 4. Канонические координаты приведенной системы......... § 6. Задача четырех вихрей на плоскости............. 1. Канонические приведенные координаты.............. 2. Сечение Пуанкаре. Неинтегрируемость и хаос........... § 7. Относительные хореографии в задаче трех и четырех вихрей равной интенсивности...................... 1. Относительные хореограф ии в задаче трех вихрей........ 2. Хореограф ии в задаче трех вихрей на сф ере............ 3. Относительные хореографии в задаче четырех вихрей на плоскости4. Исторические комментарии..................... § 8. Стационарные и статические конфигурации вихрей на плоскости и сфере. Аналогия с задачей n тел............ 1. Стационарные конф игурации на плоскости............. Теоремы Палмора и О’Нейла (127). Коллинеарные конфигурации одинаковых вихрей (131). Лос-Аламосский каталог и симметричные конфигурации (132). Несимметричные стационарные конфигурации на 2 (134). Представление Лакса и стационарные конфигурации (136).

ОГЛАВЛЕНИЕ 2. Стационарные конф игурации на сф ере............... Условие стационарности (139). Аналог томсоновской конфигурации (139).

Аналог коллинеарных конфигураций вихрей на сфере (141).

3. Статические конф игурации (положения равновесия)....... 4. Коллапс и гомографические конфигурации вихрей на плоскости и сф ере................................. § 9. Движение вихрей на плоскости внутри и вне круга..... 1. Движение точечных вихрей, ограниченное произвольной областью2. Исторические комментарии..................... 3. Уравнения движения и первый интеграл.............. Уравнения движения вихрей внутри кругового цилиндра (151). Уравнения движения вихрей вне круга (153). Момент завихренности (154).

4. Томсоновские конфигурации вихрей внутри и вне цилиндра... 5. Движение N вихрей вне кругового цилиндра в набегающем потоке6. Движение двух вихрей вне круга в набегающем потоке...... Сечение Пуанкаре и хореографии (159). Движение вихревой пары за круговым цилиндром в набегающем потоке. Решение Феппля (162).



7. Движение двух вихрей внутри цилиндра.............. Редукция (163). Фазовые портреты и бифуркационный анализ (164).

8. Движение двух вихрей вне кругового цилиндра.......... § 10. Движение периодических цепочек и решеток из точечных вихрей................................ 1. Вихри на цилиндре.......................... 2. Вихри на торе............................. Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере.................... 1. Уравнения движения и первые интегралы системы вихрей на плоскости2. Редукция на плоскости........................... 3. Уравнения движения и первые интегралы системы вихрей на сфере 2 4. Редукция на сф ере............................. 5. Явная редукция системы четырех вихрей на плоскости и сф ере.... 6. Сечение Пуанкаре для системы четырех вихрей на плоскости и сфере 7. Переход к хаосу в задаче о четырех одинаковых вихрях на плоскости. Литература.................................... 6ОГЛАВЛЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Абсолютные и относительные хореографии в задаче о движении точечных вихрей на плоскости........... 1. Уравнения движения и первые интегралы................ 2. Понижение порядка для трех и четырех вихрей равной интенсивности 3. Абсолютное движение: квадратуры и геометрическая интерпретация. 4. Аналитические хореограф ии........................ 5. Новое периодическое решение в задаче четырех вихрей........ 6. Относительные и абсолютные хореограф ии............... 7. Устойчивость................................ Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Абсолютные хореографии точечных вихрей на сфере.................................. 1. Уравнения движения и первые интегралы для вихрей на сф ере.... 2. Хореограф ии в случае трех и четырех вихрей на сф ере......... Хореографии в случае трех вихрей (235). Обобщение решений и хореографий в задаче четырех вихрей (237).

3. Хореографии n одинаковых вихрей.................... Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Взаимодействие двух вихревых колец на сфере (аналог задачи Горячева – Арефа)................. 1. Движение 2n вихрей на плоскости.................... 2. Движение 2n вихрей на сф ере....................... Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Проблема Кельвина и ее решение......... 1. Гипотезы Кельвина и опыты Майера................... 2. Результаты Томсона, Мортона и Хавелока. Линейный анализ..... 3. Экспериментальные результаты...................... 4. Нелинейный анализ............................. Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Взаимодействие вихрей Кирхгофа и точечных вихрей в идеальной жидкости.................... 1. Введение................................... 2. Моментная модель взаимодействия вихрей Кирхгофа (динамики вихревых пятен)................................ 3. Взаимодействие вихря Кирхгофа с N точечными вихрями. Интегрируемый случай при N =1......................... 4. Взаимодействие двух вихрей Кирхгоф а.................. Литература.................................... ОГЛАВЛЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 7. Динамика кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями..................... 1. Введение................................... 2. Уравнения движения и их гамильтонова ф орма............. 3. Задача адвекции............................... 4. Симметрия и интегралы движения.................... 5. Комплексная ф орма уравнений движения и скобка Дирака....... 6. Движение цилиндра и одного вихря................... 7. Случай двух вихрей............................ 8. Заключение................................. Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 8. Взаимодействие вихрей с цилиндрическим телом 1. Обтекание подвижного контура...................... 2. Уравнения движения контура....................... 3. Пуассонова структура и интегралы движения.............. 4. Взаимодействие эллиптического цилиндра с точечным вихрем..... Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 9. К вопросу о движении вихреисточников по плоскости.................................. 1. Введение................................... 2. Уравнения движения вихреисточников.................. 3. Инвариантность уравнений движения, интегралы и гамильтоновость. 4. Движение двух вихреисточников..................... 5. Система трех источников......................... Понижение порядка (327). Гомотетические конфигурации (330). Геометрическая интерпретация и качественный анализ (331).





6. Гомотетические конфигурации для n источников............ 7. Вихреисточники на сф ере......................... Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 10. Неинтегрируемость системывзаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона.................. Литература.................................... ПРИЛОЖЕНИЕ 11. Динамика двух круговых цилиндров, взаимодействующих в идеальной жидкости................. 1. Уравнения движения............................ 2. Первые интегралы и интегрируемость. Отображение Пуанкаре.... 3. Ограниченные задачи............................ 4. Уравнения движения в предельном случае R1 = R2 =0........ 5. Анализ предельной задачи......................... 6. Общие уравнения движения массовых вихрей.............. Дополнение. Вычисление коэффициентов функции Рауса (1.5)....... Литература.................................... Предисловие В этой книге мы сосредоточимся на основных задачах теории точечных вихрей и разберем вопросы, связанные с их взаимодействием друг с другом на плоскости, сфере и в круговой области, а также опишем основные проблемы в теории вихревых цепочек и решеток в идеальной несжимаемой жидкости. Эти вопросы обсуждаются в основном тексте книги. В ней также имеются приложения, в которых разобраны вопросы взаимодействия вихревых пятен, двух твердых тел, твердого тела и вихрей в идеальной жидкости. Более подробно изложены вопросы, связанные с редукцией, хаотическими движениями, частными решениями. Рассмотрены также новые задачи о движении вихреисточников и так называемых массовых вихрей.

Отличительной особенностью изложения является систематическое применение и развитие математических методов, связанных с проникновением в вихревую динамику основных идей теории пуассоновых структур и алгебр Ли, топологии, бифуркационного и качественного анализа. Особое внимание в книге уделено проблемам интегрируемости, неинтегрируемости и качественного анализа динамических систем вихревой динамики. Как известно, в интегрируемых случаях динамика системы регулярна и поддается полному описанию с помощью топологического и качественного анализа.

В вихревой динамике эти методы имеют собственную специфику, и мы систематически используем их при анализе различных интегрируемых систем. Кстати, в этой книге мы по возможности старались собрать наиболее известные на настоящий момент интегрируемые проблемы вихревой динамики (точнее, динамики точечных вихрей и родственных им систем, связанных с взаимодействием с твердыми телами, вихревыми пятнами и пр.).

В неинтегрируемом случае динамика системы является хаотической, а движение вихрей — лишь частично предсказуемым. Анализ общей ситуации такого динамического поведения составляет основу современной теории динамических систем и теории детерминированного хаоса. В неинтегрируемом случае одну из главных ролей играет компьютерный анализ, который позволил с помощью дополнительных аналитических соображений получить новые результаты относительно существования и бифуркаций периодических орбит, имеющих замечательную форму хореографий (при этом ПРЕДИСЛОВИЕ вихри последовательно движутся по одной и той же кривой с постоянным сдвигом по времени). Эти хореографии, как оказывается, определяют во многом структуру портрета и сценарии перехода системы от регулярного движения к хаотическому. Многие результаты были получены авторами и приводятся в книге впервые. Они имеют интересные аналогии в небесной механике — классической задаче N тел. В книге мы стараемся использовать эту аналогию для формулировки различных результатов и постановки новых задач.

Укажем также, что многие развитые в книге общие методы могут быть с успехом применены для изучения более сложных задач, описывающих взаимодействие точечных вихрей в стратифицированной жидкости (в частности, хетонов), а также с неподвижными и подвижными твердыми телами. Часть результатов в этом направлении изложена в нескольких статьях [87, 17, 50, 185].

Если в основном тексте книги мы приводим ряд уже хорошо известных и ставших классическими методов вихревой динамики, то в приложениях мы старались собрать новые результаты, полученные нами совместно с нашими коллегами и учениками (В. В. Козлов, А. А. Килин, С. М. Рамоданов, К. Г. Тронин). Приложения в книге, как правило, представляют собой переработанные варианты статей, опубликованных в различных журналах.

Однако мы не видим в этом большого недостатка, предполагая в будущем (после проведения ряда необходимых исследований) написать более систематическое руководство по теории вихрей. С недостающими разделами вихревой теории (связанными с адвекцией, вихревыми кольцами, общим формализмом гидродинамики и пр.) читатель может ознакомиться по монографиям [42, 54, 161]. Основной текст книги написан на базе обзора в сборнике «Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей», вышедшем в 2003 году под редакцией А. В. Борисова, И. С. Мамаева, М. А. Соколовского (Институт компьютерных исследований).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 21 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.