WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 29 |
В. В. КОЗЛОВ ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ ПО ГИББСУ И ПУАНКАРЕ Москва Ижевск 2002 УДК 536 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №02-01-01059.

Козлов В. В.

Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 320 стр.

В книге развиваются идеи Гиббса и Пуанкаре о тепловом равновесии механических систем. Хотя идеи Гиббса широко известны, многие из поставленных им проблем не решены до сих пор. Наоборот, глубокие результаты Пуанкаре по кинетике оказались невостребованными и вообще неизвестными специалистам по статистической механике.

Рассматриваемый в настоящей книге круг вопросов группируется вокруг трех связанных друг с другом тем: слабая сходимость вероятностных мер (плотности которых — решения уравнения Лиувилля), иерархия хаотичности динамических систем Гамильтона, теория возмущений ансамбля слабо взаимодействующих подсистем.

Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

Текст книги структурирован в виде очерков: четыре главы в значительной степени независимы друг от друга. К каждой из глав имеется комментарий и библиография. Добавления посвящены свойствам инвариантных мер с гладкой плотностью, условиям существования дополнительных законов сохранения — первых интегралов уравнений Гамильтона, а также явлению диффузии в нелинейных динамических системах.

Книга предназначена для математиков, механиков и физиков, интересующихся классической статистической механикой и вопросами обоснования термодинамики.

ISBN 5-93972-187-7 © В. В. Козлов, 2002 © Институт компьютерных исследований, 2002 http://rcd.ru Оглавление Предисловие.............................. ВВЕДЕНИЕ. Гамильтоновы системы, статистическая механика и равновесная термодинамика..................... ГЛАВА I. Кинетика бесстолкновительной сплошной среды.... § 1. Тепловое равновесие....................... § 2. Идеальный газ как бессолкновительная сплошная среда... § 3. Первая теорема о диффузии................... § 4. Выравнивание плотности..................... § 5. Вторая теорема о диффузии................... § 6. Давление, внутренняя энергия и уравнение состояния.... § 7. Энтропия.............................. § 8. Изменение формы сосуда..................... § 9. Трение............................... ГЛАВА II. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем............... § 1. Введение.............................. § 2. Слабый предел........................... § 3. Условия слабой сходимости................... § 4. Идеальный газ как бесстолкновительная среда......... § 5. Предельные меры слоистых потоков.............. § 6. Оператор Купмана для слоистых потоков............ § 7. Возрастание энтропии....................... § 8. Новые формы эргодической теоремы.............. § 9. Плотность распределения в конфигурационном пространстве ГЛАВА III. Неканонические распределения вероятностей..... § 1. Распределения, зависящие от энергии.............. § 2. Термодинамика биллиардов................... 6 Оглавление § 3. Классы распределения вероятностей.............. § 4. Обобщенная энтропия....................... § 5. Идеальный газ и проблема моментов.............. § 6. Неэкспоненциальная атмосфера................. § 7. Статистическая динамика системы связанных маятников... ГЛАВА IV. Каноническое распределение Гиббса и термодинамика механических систем с конечным числом степеней свободы. § 1. Введение.............................. § 2. Основная теорема......................... § 3. Вывод канонического распределения Гиббса.......... § 4. Аналитический случай...................... § 5. Приложение к системе слабо связанных маятников...... § 6. Термодинамика механических систем.............. § 7. Ансамбль слабо взаимодействующих гамильтоновых систем со многими степенями свободы................. § 8. Невозмущенная задача...................... § 9. Энергетические поверхности................... § 10. Резонансы............................. § 11. Распределение ансамбля при исчезающем взаимодействии.. Примечания и библиография..................... Литература............................... ДОБАВЛЕНИЕ 1. О существовании интегрального инварианта гладких динамических систем..................... ДОБАВЛЕНИЕ 2. Лиувиллевость инвариантных мер вполне интегрируемых систем и уравнение Монжа – Ампера.......... ДОБАВЛЕНИЕ 3. О существовании и гладкости интеграла гамильтоновой системы определенного вида............... ДОБАВЛЕНИЕ 4. Ветвление решений и полиномиальные интегралы уравнений динамики....................... Оглавление ДОБАВЛЕНИЕ 5. Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора.............................. ДОБАВЛЕНИЕ 6. Об интегралах гамильтоновых систем с торическим пространством положений.................... ДОБАВЛЕНИЕ 7. Диффузия в системах с интегральным инвариантом на торе............................... ДОБАВЛЕНИЕ 8. О диффузии в гамильтоновых системах...... ДОБАВЛЕНИЕ 9. Слабая сходимость вероятностных мер и круговая модель Каца............................ ДОБАВЛЕНИЕ 10. Неинтегрируемость системы взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона.................. Предисловие В этом году исполняется ровно 100 лет с момента выхода небольшой по объему книги Дж. Гиббса «Основные принципы статистической механики», которая оказала огромное влияние на развитие этой науки. Она до сих пор не устарела, легко читается1 и содержит много не реализованных идей.



В физической литературе часто смешивают (и даже отождествляют) подходы Гиббса и Больцмана к основаниям статистической механики2. Однако, такой взгляд лишен основания. Подход Гиббса безупречен с математической точки зрения: на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры — фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Как замечает сам Гиббс, этот общий подход оказывается полезным не только для обоснования термодинамики. Наоборот, эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Его кинетическое уравнение нестрогое и формально даже противоречит принципам динамики. Однако оно верно «ухватывает» суть явления и служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов.

С другой стороны, многие математики считают, что идея Гиббса о том, что вероятность в механике следует вводить только с помощью начальной плотности распределения, явно недостаточна для обоснования термодимики (особенно неравновесной) и поэтому отдают предпочтение исследованию метода Больцмана. По их мнению, таким путем нельзя даже прийти к нулевому началу термодинамики ( = постулат о существовании теплового равновесия), поскольку переносимая фазовым потоком плотность распределения вероятностей, как правило, не имеет предела при неограниченном возрастании времени. Последнее обстоятельство, действительно, имеет место. Однако, для обоснования термодинамики (переход от микро- к маПравда, Пуанкаре счел ее «несколько трудной для чтения», а Эйнштейн высказался более определенно: «... многие прочли его книгу, проверили каждый шаг излагаемых в ней доказательств и ничего не поняли».

Интересный сопоставительный анализ физического и математического способов мышления (и выражения мыслей) имеется во введении к недавней книге В. П. Маслова «Квантовая термодинамика».

Предисловие кроуровню описания) достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Оказывается, для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место и этот круг вопросов составляет существенную часть нашей книги.

В связи со сказанным следует упомянуть о вкладе Анри Пуанкаре в теорию термодинамического равновесия. Я почему-то считал, что Пуанкаре никогда особо не интересовался статистической механикой. Такого же мнения держались многие, кто знаком с его творчеством и кому я задавал этот вопрос. Между тем Пуанкаре оставил глубокий след практически во всех разделах математики, механики и математической физики. В частности, в статистической механике. Упомяну лишь его работу «Замечания о кинетической теории газов», опубликованную в 1906 году (практически вслед за выходом классической книги Гиббса). В ней Пуанкаре, в частности, открыл,что идеальный газ, рассматриваемый как бесстолкновительная сплошная среда, независимо от начального распределения с течением времени равномерно заполнит прямоугольный ящик с зеркальными стенками. Этот поразительный по простоте и нетривиальности факт показывает природу необратимого поведения локально обратимых систем. В этой же работе Пуанкаре фактически использовал (не оговаривая этого явно) идею слабой сходимости вероятностных мер при анализе II-го начала термодинамики о росте энтропии. К сожалению, его замечательные идеи оказались непонятыми и невостребованными специалистами по статистической механике.

Другой круг вопросов. рассматриваемых в нашей книге, связан с теорией возмущения гамильтоновых систем. Напомним, что в классическом методе Дарвина – Фаулера вывода канонического распределения Гиббса исходят из ансамбля слабо взаимодействующих подсистем общей гамильтоновой системы. При этом существенную роль играет эргодическая гипотеза: при сколь угодно малом взаимодействии объединенная гамильтонова система должна быть эргодической на фиксированных многообразиях уровня интеграла энергии. Это обстоятельство позволяет свести задачу о вычислении искомой плотности вероятностей к некоторой известной комбинаторной проблеме. Однако, как показывают результаты КАМ-теории (Колмогоров – Арнольд – Мозер), во многих важных случаях (с достаточно гладкими потенциалами парного взаимодействия) эргодическая гипотеза вообще не справедлива. На этот важный момент в современной статистической механике, к сожалению, не обращают должного внимания.

10 Предисловие Кстати сказать, я считал, что знаменитая работа А. Н. Колмогорова по теории возмущений гамильтоновых систем была навеяна как раз вопросами обоснования статистической механики (в частности, старой проблемой эргодичности). Дело в том, что статистической механикой активно занимался А. Я. Хинчин, с которым А. Н. Колмогоров начинал свои исследования в области теории вероятностей и математической статистики (на мой взгляд, книга А. Я. Хинчина «Математические обоснования статистической механики», 1943 г. остается лучшим введением в обсуждаемый круг вопросов).





Из общения с А. Я. Хинчиным он мог вынести представление о состоянии исследований по статистической теории динамических систем. Однако, А. Н. Колмогоров похоже специально не интересовался классической статистической механикой (в отличие от проблемы турбулентности) и, как описал в своих воспоминаниях В. И. Арнольд, его интерес к теории возмущений гамильтоновых систем связан с весьма частной задачей о динамических системах на торе с перемешиванием. Похоже, сам А. Я. Хинчин тоже не обратил внимание на естественную связь теоремы А. Н. Колмогорова (1954) и эргодической гипотезы в статистической механике.

Конечно, с 50-х годов прошлого столетия в теории динамических систем многое изменилось. Поэтому полезно взглянуть на проблемы обоснования термодинамики с новой точки зрения. В частности, для наших целей интерес представляют препятствия к существованию однозначных первых интегралов уравнений динамики. Дело в том, что согласно Гиббсу, плотность распределения вероятностей является неотрицательной однозначной функцией, заданной во всем фазовом пространстве. Однако, как заметил еще Пуанкаре, локально существующие первые интегралы в редких случаях можно продолжить на все фазовое пространство. Препятствием является (в частности) разрушение резонансных торов при добавлении возмущения. В связи с этим возникает необходимость в детальном изучении иерархии неинтегрируемых гамильтоновых систем, упорядоченных по свойству гладкости дополнительных (к интегралу энергии) первых интегралов. Развивая идеи Гиббса и Пуанкаре, можно указать метод получения канонического распределения Гиббса без привлечения эргодической гипотезы.

Текст книги структурирован в виде связанных друг с другом очерков по статистической теории гамильтоновых систем. При желании каждую из четырех глав можно читать независимо. Содержащиеся в них новые методы классической статистической механики позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую Предисловие интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу. К каждой из глав имеется комментарий и библиография. Имеется несколько добавлений, посвященных свойствам инвариантных мер с гладкой плотностью, условиям существования дополнительных интегралов уравнений Гамильтона, а также явлению диффузии в нелинейных динамических системах. Некоторые из них написаны вместе с моими учениками, которых я дружески благодарю.

В. Козлов В кинетической теории газов имеется еще много вопросов, вызывающих затруднения у тех, кто привык к математической строгости.

А. Пуанкаре ВВЕДЕНИЕ Гамильтоновы системы, статистическая механика и равновесная термодинамика 1. Форма притока тепла. Традиционное изложение классической термодинамики связано с некоторыми затруднениями методического характера, о которых писал еще Клейн [33]. По его словам, читателю «... предлагается пробиваться к цели сквозь барьеры непривычных математических понятий по пути, с трудом проложенному первыми исследователями (Карно, Клаузиус), между тем как очертания этой цели могут быть уже издали ясно и отчетливо постигнуты, если только обратить внимание в соответствующую сторону». Достаточно вспомнить, что обычно одним и тем же символом (dQ) обозначаются как дифференциалы функций, так и бесконечно-малые приращения величин, которые функциями вообще не являются.

На самом деле естественным способом изложения равновесной термодинамики является метод внешних дифференциальных форм.

Пусть a1,..., an — внешние параметры термодинамической системы, — абсолютная температура ( > 0). Состояние термодинамической системы в тепловом равновесии определяется значениями a,. В термодинамике фундаментальное значение имеет 1-форма притока тепла = dE + Ai dai, (1.1) где E — внутренняя энергия системы, Ai — обобщенная сила, отвечающая лагранжевой координате ai. Например, если в качестве координаты принять объем газа, то обобщенная сила будет, как известно, давлением. Величины E и Ai — функции от a и. Их задание входит в определение термодинамической системы. Соотношения Ai = fi(a1,..., an, ) обычно называются Гамильтоновы системы, статистическая механика... уравнениями состояния. Кроме объема в качестве обобщенных координат часто фигурируют концентрация, заряд, намагниченность, электрическая поляризация, тензор деформации. При этом обобщенными силами являются соответственно химпотенциал, потенциал, магнитная напряженность, электрическая напряженность, тензор напряжения.

ПРИМЕР. Идеальный газ, заключенный в замкнутый сосуд, как термодинамическая система имеет всего лишь один внешний параметр — это объем v сосуда. Соответствующая сопряженная величина (обобщенная сила) — это давление p газа на стенки сосуда. Уравнение состояния p = mR/v или (в более привычной форме) pv = mR называется уравнением Клапейрона (или Клапейрона – Менделеева). Здесь R — универсальная газовая постоянная, m — число «молей» газа в сосуде. В статистической механике постоянную mR обычно обозначают Nk, где k — постоянная Больцмана, а N — число частиц в сосуде. Согласно закону Джоуля, для идеального газа E = mc, где c = const > 0 — удельная теплоемкость газа.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 29 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.