WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 28 |

Вследствие разделения переменных система (3.9) обладает дополнительным (кроме циклического, связанного с инвариантностью относительно трансляций) квадратичным интегралом. В случае gij = mimj он имеет вид (pi - pG)G = 2 mi(qi - qG)2 mi + i=(3.11) 3 mimj + - qipi - qGpG, (qi - qj)i

Система Гарнье (R. Garnier, 1919 г.) [138]. Система с 2n степенями свободы q1,,..., qn, Q1,,..., Qn задается гамильтонианом n n H(p, q; P, Q) = piPi + aiqiQi + qiQi. (3.12) i=1 i=Система (3.12) допускает 2n инвариантных соотношений вида qi = Qi, pi = Pi, i = 1,,...,, n.

При ограничении на это инвариантное многообразие в случае 2-х степеней свободы получаем систему (1978) [139], разделяющуюся в эллиптических координатах 2 2 2 H = (p2 + p2) + Aq1 + Bq2 + (q1 + q2)2. (3.13) 1 Дополнительный интеграл имеет вид 1 2 2 2 F = p2 + (q1p2 - q2p1)2 + Aq1 + q1(q1 + q2).

2(B - A) Потенциал обобщенной системы Гарнье имеет вид C D 2 2 2 U = Aq1 + Bq2 + (q1 + q2)2 + +, (3.14) 2 q1 q36 ГЛАВА а дополнительный интеграл 1 2 C 2 2 F = p2 + Aq1 + + q1(q1 + q2)+ qq2 2 q1 + (q1p2 - q2p1)2 + 2C + 2D.

q1 q2(B - A) Система Фоккера – Планка [173]. Гамильтониан этой системы имеет вид 1(p 2 2 H = + p2) + p1q1q2 + p2(aq1 + bq2).

1 В общем случае она не является интегрируемой.

Общий интеграл, указанный в [90, 194], имеет вид 1, 1 4 2 a = b = -1, F = p2 + 2p1q1q2 - q1 + q1q2.

2 Рациональный потенциал. В работе [133] приведены различные случаи интегрируемости в разделяющихся переменных системы с гамильтонианом 1 +2 H = (p2 + p2) + Cq1 + q1 q2.

1 1) = 0, C произвольно, F = p2 + 2q2;

-2 -2 2) = -4, C произвольно, F = (p1q2 - q1p2)2 + 2(C + 1)q1 q2 + 2q1 q2;

1 -4 -3) = -6, C =, F = p2q2 - p1p2q1 + q1 q2 + 2q1 q2.

Системы типа Хенона – Хейлеса (см., например, [66, 194]) имеют гамильтониан 1(p 2 2 H = + p2) + q1q2 + q2. (3.15) 1 2 Общие интегралы найдены только при = 1, 6, 16 [111, 141, 181, 194]:

1 3 = 1, F = p1p2 + q1 + q1q2;

2 2 = 6, F = -4p1(p1q2 - p2q1) + 4q1q2 + q1;

1 2 1 3 1 6 4 = 16, F = p4 + q1q2p2 - q1p1p2 - q1 - q1q2.

1 4 3 18 § 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Обобщенная система Хенона – Хейлеса с гамильтонианом 1(p 1(Aq 2 2 2 2 H = + p2) + + Bq2) + q1q2 + q2 (3.16) 1 2 2 2 имеет общие интегралы 1q 3 = 1, A = B, F = p1p2 + + q1q2 + Aq1q2;

4 2 2 = 6, F = q1 + 4q1q2 - 4p1(p1q2 - p2q1) + 4Aq1q2+ +(4A - B)(p2 + Aq1);

1p 1q 1 4 2 = 16, B = 16A, F = + q1q2p2 - p1p2 - q11 1 4 3 1q A A A4 2 4 2 - q2 - q1q2 + p2q1 + q1.

1 3 3 2 Подробное изучение системы с кубическим потенциалом вида 3 U = a(cq2 + q1q2) (3.17) началось в работе [130] (система Хенона – Хейлеса, M. Henon, C. Heiles, 1964 г.). При c = 1/3 и c = 2, как следует из приведенных выше формул, система допускает квадратичный интеграл движения и интегрируется методом разделения переменных.

Дополнительный интеграл для случая (3.16) при = 6 нашел Дж. Грин (J. Greene) [143]. В случае = 16, A = 0 первый интеграл четвертой степени был указан Грамматикосом, Рамани, Доризи [142] и Хитаринтой [131].

В работе [132] приведены различные случаи интегрируемости систем с гамильтонианом H = (p2 + p2)/2 + V (x, y), где V (x, y) — полиномы 1 (в том числе и комплексные) от координат степени не выше 5, обладающих дополнительным интегралом, полиномиальным по p1, p2, степени не выше 4.

Однородные полиномиальные потенциалы. В работе [168] (1982 г.) найдена целая последовательность интегрируемых потенциалов, обобщающих случай (3.15) [n/2] n-k 2k n-2k Un = 2n-2kCk q1 q2 (3.18) k=с дополнительным интегралом Fn = p1(q1p2 - q2p1) + q1Un-1. (3.19) 38 ГЛАВА Первые члены последовательности (3.18) U1 = 2q2;

2 U2 = 4q2 + q1;

3 U3 = 8q2 + 4q1q2;

4 2 2 U4 = 16q2 + 12q1q2 + q1;

5 2 3 U5 = 32q2 + 32q1q2 + 6q1q2;

6 2 4 4 2 U6 = 64q2 + 80q1q2 + 24q1q2 + q1.

Сравнивая с (3.4), заключаем, что система с потенциалом (3.18) разделяется в параболических координатах. Причем очевидно также, что любая линейная комбинация потенциалов (3.19) с постоянными коэффициентами остается интегрируемой методом разделения переменных. Несложно указать аналогичную последовательность для эллиптических координат (3.2) на плоскости. Подробный анализ этой задачи в пространственном и многомерном случае содержится в § 1 гл. 3, где также приведена производящая функция для подобных потенциалов.

Рассмотрим более подробно случай потенциала четвертой степени.

Биквадратичный потенциал и его обобщения. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом 1 4 2 2 H = (p2 + p2) + Aq1 + Bq1q2 + Cq2.

1 Она допускает разделение переменных и, соответственно, квадратичный по импульсам дополнительный интеграл в случаях:

1) B = 0: уравнения разделяются в переменных q1, q2;

2) B = 6A, C = A: система разделяется в координатах (q1 + q2), (q1 - q2);

3) B = 2A, C = A: система разделяется в полярных координатах (r, ) (3.3);

4) B = 12A, C = 16A: система разделяется в параболических координатах (3.4) (см. потенциал U4 в предыдущей серии (3.19)).

Для этих систем несложно выписать соответствующий квадратичный по pi интеграл.

Вырожденные (суперинтегрируемые) системы. Укажем также ряд вырожденных натуральных систем на плоскости, обладающих замкнутыми траекториями. Помимо двух квадратичных интегралов они обладают дополнительно независимым интегралом (третьей степени по импульсам) и § 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ допускают разделение переменных одновременно для двух систем координат. Для центральных сил (задача Бертрана) и геодезических на поверхности вращения (груша Таннери) результаты широко известны и приведены во многих учебниках (см., например, [66]). Здесь мы приводим ряд менее известных систем [66, 83], причем почти все они допускают представление гамильтониана и дополнительного (кубичного) интеграла в форме, аналогичной системам Драша (см. ниже) H = (p2 + p2) + U(x, y), x y H F = 6w(x, y) py - px H - P (px, py, x, y), x y (p1, p2, q1, q2) = (px, py, x, y).

Системы, допускающие разделение переменных в декартовых координатах, следующие:

y U = (4x2 + y2) + x +, P = -pxp2, w = ; (A) y y xy U = (x2 + y2) + +, P = -(xpy - ypx)pxpy, w = ; (B) x2 yxy U = (x2 + y2) +, (C) (x2 - y2)x2 - yP = -(xpy - ypx)(p2 - p2), w = ;

x y yU = (9x2 + y2), P = -(xpy - ypx)p2, w = -. (D) y U = x + y, P = p3 - p3, w = xy; (E) x y x U = ( x + y), P = p3, w = ; (F) x Системы, допускающие разделение переменных в параболических координатах, имеют вид:

x U = + + + + r-1, r = x2 + y2, (G) r + x r - x y2 yyrP = -(xpy - ypx)2px, w = ;

U = ( + r + x + r - x )r-1, (H) rP = -(xpy - ypx) p2 + p2, w = -.

x y 40 ГЛАВА 3. Система с интегралами третьей степени по импульсам Существование интегралов третьей степени по импульсам уже не связано непосредственно с разделением переменных. Приведем ряд систем допускающих такие интегралы.

Потенциал Холта (C. Holt, 1982 г.) [135]. Потенциал и дополнительный интеграл имеют вид H = (p2 + p2) + U(q1, q2) 1 (3.20) -2/2 U = q2 (cq2 + q1 + ), c = 3/4, -2/3 1/2 F = 2p3 + 3p1p2 + 3p1q2 (-3q2 + 2q1 + 2) + 18p2q1q2.

1 Существуют обобщения потенциала Холта с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам [139].

Потенциал Фокаса – Лагерстрома (A. Fokas, P. Lagerstrom, 1980 г.) [124].

2 U = (q1 - q2)-2/3, (3.21) 2 F = (p2 - p2)(q1p2 - q2p1) - 4(q2p1 + p2q1)(q1 - q2)-2/3.

1 Цепочка Тоды. Система из трех взаимодействующих частиц одинаковой массы на прямой с потенциалом U(q1, q2, q3) = [v(q1 - q2) + v(q2 - q3) + v(q3 - q1)], (3.22) где i-qj v(qi - qj) = g2e-(q ), g = const.

Интеграл имеет вид F = p1p2p3 - p1v(q2 - q3) - p2v(q3 - q1) - p3v(q1 - q2). (3.23) Интеграл (3.23) был найден Хеноном [129]. Представление Лакса для системы (3.22) было найдено Флашкой и Манаковым. Оно обсуждается нами далее (см. § 6).

Система (3.22) имеет три степени свободы, но обладает линейным интегралом вида p1 + p2 + p1 = const.

Исключая соответствующую этому интегралу циклическую переменную получим систему с двумя степенями свободы с интегралом третьей степени по импульсам (см. гл. 3 § 4, п. 4).

§ 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Системы Драша. Приведем полный список систем Драша вида H = pxpy + U(x, y), (3.24) допускающих интеграл третьей степени по «импульсам» px, py. Как и ранее, дополнительный интеграл мы будем искать в форме H F = 6w(x, y) py - px H - P (px, py, x, y), (3.25) x y где P является кубическим полиномом по импульсам. Отметим, что работа Драша [116] содержит несколько неточностей. Приведем выражения для потенциалов и интегралов движения, данные в работе [83]:

1 2 2 U = + xr yr + xr yr, (а) xy rj + 3rj + 3 = 0, r1r2 = 3, j = 1, 2, x2yP = (xpx - pyy)3, w = ;

(y + µx) U = + +, (б) xy - µx)2 xy(y - µx)(y P = 3(xpx - pyy)2(px + µpy), w = xy(y - µx);

U = xy + +, (в) (y - ax)2 (y + ax)y2 - a2xP = 3(xpx - pyy)(p2 - a2p2), w = ;

x y x U = + +, (г) y(x - a) y(x + a) x2 - aP = 3py[(xpx - pyy)2 - a2p2], w = -y(x2 - a2);

x U = + +, (д) xy y x P = 3pypx(xpx - pyy), w = -2xy;

x 2x2 + c U = xy + y +, (е) x2 + c x2 + c x2 + c P = 3p2(xpx - ypy), w = ;

y 42 ГЛАВА U = + (y - 3mx) + (y - mx)(y - 9mx), (ж) (y + 3mx)P = (px + 3mpy)2(px - 3mpy), w = -m(y + 3mx);

-2/14mxy mx mx m2x2, (з) U = y + + y - + y2 - + 3 3 3 m2pmpy 10mpxpy y mx P = px - p2 + +, w = -m y + ;

x 3 3 9 U = y-1/2 + xy-1/2 + x, (и) P = 3p2py, w = -y;

x x U = y - + x-1/2 + x-1/2(y - x), (к) P = 3pxp2 + p3, w = x.

y y Здесь,,, µ,, a, c и m — произвольные параметры. По сравнению с результатами Драша [127], приведенными также в книге [66], исправлен знак у функции w в случае (ж) и степень в потенциале U в случае (и).

4. Системы с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам Приведем ряд систем с потенциалом четвертой степени по импульсам.

Системы типа Хенона – Хейлеса с потенциалом 1(p H = + p2) + U(q1, q2), 1 (3.26) 3 U = a(cq2 + q1q2) при c = допускают дополнительный интеграл вида 4aq 4a 2 3 2 4 2 F = p4 + 4aq1q2p2 - p1p2 - q1q2 - a2q1.

1 1 3 3 Этот случай существования интеграла четвертой степени по импульсам был указан независимо Холлом [127, 128] и Грамматикосом, Рамани и Доризи [141].

В [140] был найден более общий случай 16q a 3 2 2 U = d + q1q2 + (q1 + 16q2), (3.27) 3 2d2 4d 3 4d 4 2 4 F = p4 + (2a + 4dq2)q1p2 - q1p1p2 - q1(aq2 + dq2) + a2q1 - q1.

1 3 3 § 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Дальнейшее обобщение (3.27) имеет вид 16q a m n 3 2 2 U = d + q1q2 + (q1 + 16q2) + +, 2 3 q1 q2 2 -2 -6 F = p4 + (2aq1 + 4dq2q1 + 4mq1 + 4nq1 )p2 - 4dq1p1p2/31 4 2 4 -4dq1(aq2 + dq2)/3 + a2q1 - 2d2q1/9 + 8dmq2/3+ -4 -4 -8 -+8dnq2q1 + 4(an + m2)q1 + 8mnq1 + 4n2q1.

В [168] найден следующий случай интегрируемости:

3 2 i U = 2q1 + q1q2 + 3q2, 2i 2i 3 3 F = p4 + p1p3 + q2p2 - (2q2 + 2i 3q1q2)p1p2+ 2 2 3 (3.28) 2i 2 3 +(4i 3q1q2 + q2 + 4q1q2)p2+ 4i 3 3 2i 5 2 4 5q + q1q2 + q1q2 - q1q2 -, i = -1.

3 Еще одно обобщение имеет вид [132] 16q 3 U = + q1q2 + Eq1, (3.29) 4 4 2q E 2 3 2 4 6 F = p4 + 4q1q2p2 - q2p1p2 - q1q2 - - q2.

2 2 3 3 9 Потенциалы типа Холта. В работе [133] приведен дополнительный интеграл четвертой степени для потенциала -2/2 U = q1 9 q1 + q2 (3.30) в виде -2/3 1/3 2/2 F = p4 + 2p2p2 + 4q1 q2p2 + 24q1 q2p1p2 + 72q1 q2, 2 2 1 44 ГЛАВА являющийся частным случаем (3.20). Интегрируемое обобщение этого потенциала:

-2/3 2/3 -2 2 2 U = q1 9q1 + q2 + d + mq1 + nq2 + a(9q1 + 4q2), 1/2 -F = p4 + 2p2p2 + (16aq2 + 4nq2 )p2 + 24q1 q2p1p2+ 2 1 2 -2/3 2/2 2 2 -2 +4p2 q1 (q2 + d) + mq1 + a(9q1 + 4q2) + nq2 + 16mq2+ (3.31) -2/3 2/2 -2/3 -2 -2/+32adq1 q2 + 8dnq1 q2 + 8nq1 + 32amq1 q2+ 2/3 -2 2 2 -2 -2/+8mnq1 q2 + 72q1 q2 + 72anq1q2 + 4n2q2 + -2/2 2 2 2 2 +32aq1 (9q1 + q2)q2 + 32a2q2(9q1 + 2q2).

В работе [133] был обнаружен еще один интегрируемый случай такого типа, но с интегралом уже шестой степени по импульсам:

-2/2 U = q1 (12q1 + q2);

4/3 -2/(3.32) F = p6 + 3p4p2 + (18q1 + 6q1 q2)p4+ 2 2 1 1/3 2/2 +72q1 q2p3p1 + 648q1 q2p2 + 648q2.

2 Биквадратичный потенциал. Еще один вид интегрируемого потенциала и соответствующего ему интеграла четвертой степени 4 2 2 U = q1 + 6q1q2 + 8q2, (3.33) 2 2 4 3 4 8 6 2 4 F = p4 + (24q1q2 + 4q1)p2 - 16q1q2p1p2 + 4q1p2 + 4q1 + 16q1q2 + 16q1q2.

1 1 Известно два интегрируемых обобщения потенциала (3.33), которые могут быть объединены в одну формулу m n l 4 2 2 4 2 U = q1 + 6q1q2 + 8q2 + k(q1 + 4q2) + + + + eq2, 2 6 q1 q1 q4 2 2 2 -2 -I = p4 + 4p2(q1 + 6q1q2 + kq1 + mq1 + nq1 + eq2)1 3 4 -4 2 -(16q1q2 + 4eq1)p1p2 + 4q1p2 + 4m2q1 + 8mq1 + 16mq2+ (3.34) 4 6 4 2 8 6 2 4 +4k2q1 + 8kq1 + 16kq1q2 + 4q1 + 16q1q2 + 16q1q2+ -2 2 4 2 3 2 4 -+e(8mq2q1 - 2eq1 - 8q1q2 - 16q1q2 - 8kq1q2) + 8lq1q2 + -8 -12 -4 -2 2 -+n(8mq1 + 4nq1 + 8kq1 + 8q1 + 48q2q1 ).

Первое обобщение получается при l = 0 [142], а второе при n = 0 и l = 0 [133].

§ 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Обобщенные цепочки Тоды. Здесь мы в заключение укажем интегрируемую систему, возникающую из теории многочастичных систем (типа цепочек Тоды). Потенциал в этом случае имеет вид U(q1, q2) = v1(q1) + v2(q2) + v3(q1 - q2) + v4(q1 + q2), а система допускает интеграл p2p1 F = + g0p2 + g1p1p2 + g2p2 + h, h = h(q1, q2), 1 где явные выражения для функций g0, g1, g2 имеют вид g0 = v2(q2), g1 = -v3(q1 - q2) + v4(q1 + q2), g2 = v1(q1), а функциональное уравнение для v1, v2, v3, v[v4(q1 + q2) - v3(q1 - q2)][v2 (q2) - v1 (q1)]+ +2[v4 (q1 + q2) - v3 (q1 - q2)][v2(q2) - v1(q1)]+ +3v4(q1 + q2)[v2(q2) - v1(q1)] + 3v3(q1 - q2)[v2(q2) + v1(q1)] = 0.

Как замечено М. А. Ольшанецким и А. М. Переломовым [66], система допускает следующие типы частных решений 2 v3 = v4 = g2v(x), v1(x) = g1v(x) + g2v(2x) = v2x, 2 g1[g1 - 2g2 + 2g1g2] = 0, где v(x) — функция из следующих пяти видов 1. v(x) = x-2;

2. v(x) = a2[sh ax]-2, a = const;

3. v(x) = a2[sin ax]-2;

4. v(x) = a2(ax), (x) — функция Вейерштрасса;

5. v(x) = x-2 + 2x2, = const.

Обобщения этого результата даны Г. Бозисом (Bozis G.), В. И. Иноземцевым, Д. Леви и С. Войцеховским. С. Войцеховский привел также более сложные потенциалы, допускающие интеграл четвертой степени по импульсам (см. [66]). Прямые методы поиска интегралов третьей и четвертой степени обсуждаются в работе [140] и в обзоре Хитаринты [134].

46 ГЛАВА Ряд интегрируемых систем с интегралом третьей и четвертой степени на двумерной сфере S2 может быть получен из случая Ковалевской и его обобщений. Они рассмотрены нами в приложении к главе 3, приведены также соответствующие геодезические потоки, допускающие интеграл третьей и четвертой степени.

5. Трансцендентные по импульсам интегралы Укажем два необычных случая, допускающих трансцендентные по импульсам интегралы движения [66]. Отметим, что эти системы являются несколько искусственными, кроме того, они являются вырожденными (суперинтегрируемыми).

1.

q1 2 1 q1 1 H = p2 + p2 - q2 2 q2, 2 (3.35) q1p2 - q2p1 + qI1 = p2, или pI2 = p1 + ln.

q2.

1(p H = + p2) + 2q2p1p2 - q1, 1 I1 = p2 exp(p2), (3.36) 12p exp(p2) erf(2p1), I2 = -q2 exp(-p2) + 1 где x erf(x) = exp-t dt.

§ 4. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ § 4. Бигамильтоновы системы 1. Скобка Схоутена и согласованные скобки Пуассона Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрических контравариантных i-тензора A и j-тензора B (которые по общей терминологии являются мультивекторами) называется мультивектор размерности (i + j - 1) и определяемый координатным образом как 1 2 2 [A, B]k...ki+j = k...ki+j Apl...li Bm...mj + l2...lim1...mj xp (i - 1)!j! p,l,m (-1)i 2 + k...ki+j Bpm...mj Al...li. (4.1) l1...lim2...mj i!(j - 1)! xp p,l,m Cкобка Схоутена имеет свойство «антисимметричности» и удовлетворяет аналогу тождества Якоби (для k-мультивектора C) [A, B] = (-1)ij[B, A], (-1)ij[[B, C], A] + (-1)jk[[C, A], B] + (-1)ki[[A, B], C] = 0.

В частности, для бивектора (контравариантного 2-тензора) J = Jij (4.2) xi xj скобка Схоутена [J, J]ijk = Jnj Jik + Jni Jkj + Jnk Jij.

xn xn xn n Тождество Якоби для скобки, определяемой тензором (4.2) {F, G} = Jij F G, (4.3) xi xj можно представить в виде {{F, G}, H} + {{G, H}, F } + {{H, F }, G} = = [J, J]ijk F G H.

xi xj xk ijk 48 ГЛАВА Поэтому то обстоятельство, что скобка (4.3) удовлетворяет тождеству Якоби эквивалентно требованию [J, J] 0.

Пуассонова структура J1 согласована с пуассоновой структурой J0, если [J0, J1] = 0. В этом (и только в этом) случае любая скобка из набора J0 + µJ1,, µ R также удовлетворяют тождеству Якоби. Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона — прямую в пространстве скобок Пуассона. Любые две скобки из этого пучка являются согласованными.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 28 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.