WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 28 |

Алгебра sp(2n). Для стандартного матричного представления x sp(2n) функции Казимира, определяющие регулярную орбиту, имеют вид 2k Tr x, k = 1,..., 2n.

Алгебра su(n). Функции Казимира, определяющие регулярную орбиту для стандартного матричного представления x su(n), имеют вид k Tr x, k = 2,..., n.

Алгебра e(n). В качестве еще одного примера рассмотрим случай группы движений n-мерного евклидова пространства E(n) = SO(n) Rn.

Алгебру Ли e(n) этой группы (которая не является полупростой) можно представить как множество пар (M, ), где M so(n) — кососимметрическая матрица размера n n, Rn. Отождествим алгебру с двойственным пространством при помощи (неинвариантного!) скалярного произведения (M, ), (A, b) = Tr MA +, b, где, b — евклидово скалярное произведение в Rn.

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ Укажем явный вид коприсоединенного действия группы и алгебры на двойственном пространстве при таком отождествлении. Имеем Ad (M, ), (A, b) = (M, ), Ad-1 (A, b) = (X,a) (X,a) = (M, ), (XAX-1, X-1Aa + X-1b) = = Tr MX-1AX +, X-1Aa + X-1b = = Tr(XMX-1 + a X-1)A + X, b = = (XMX-1 + a · (X) - (X) · a, X), (A, b).

Отсюда Ad (M, ) = (XMX-1 + a · (X) - (X) · a, X).

(X,a) Аналогично ad (M, ), (A, b) = (M, ), - ad(Y,a)(A, b) = (Y,a) = (M, ), (AY - YA, Aa - Yb) = = Tr M(AY - YA) +, Aa - Yb = = Tr([Y, M] + a )A + Y, b = = ([Y, M] + a · - · a, Y), (A, b).

Откуда ad (M, ) = ([Y, M] + a · - · a, Y).

(Y,a) Инварианты коприсоединенного представления в этом случае могут быть описаны следующим образом. Рассмотрим кососимметрическую матрицу размера (n + 1) (n + 1) вида M C(M, ) =.

- Обозначим через I2k(M, ) сумму всех диагональных миноров размера 2k этой матрицы, содержащих последний столбец и последнюю строку.

Функциями Казимира, или, что то же самое, инвариантами коприсоединенного представления группы E(n), являются функции вида n I2k(M, ), k = 1, 2,...,, если n четно;

n - 1, если n нечетно.

I2k(M, ) и Pf C = det C, k = 1, 2,..., 26 ГЛАВА § 2. Примеры из динамики твердого тела В динамике твердого тела скобка Ли – Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (SO(3), E(3),...). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона [18, 20] (см. также § 7 гл. 2).

Уравнения Эйлера – Пуассона. Классические уравнения Эйлера – Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли – Пуассона, определяемой алгеброй e(3) = so(3)s R3, представляющей собой алгебру Ли группы движений трехмерного евклидового пространства.

Она неполупроста и является полупрямой суммой алгебры вращений so(3) и трансляций R3 трехмерного пространства. Базисные скобки Пуассона имеют вид {Mi, Mj} = ijkMk, {Mi, j} = ijkk, {i, j} = 0, (2.1) а гамильтониан H = (AM, M ) + µ(r, ), M,, r R3. (2.2) В формулах (2.1), (2.2) вектор M = (M1, M2, M3) — кинетический момент в проекциях на оси связанной с телом системы координат;

= (1, 2, 3) — единичный орт вертикали в проекциях на те же оси;

r = (r1, r2, r3) — постоянный радиус-вектор центра масс;

A = I-1 = diag(a1, a2, a3) — тензор, обратный тензору инерции, µ — вес тела.

Скобка (2.1) является вырожденной и обладает двумя функциями Казимира F1 = (M, ), F2 = (, ), представляющими собой интеграл площадей и геометрический интеграл. При r = 0 (движение по инерции) получаются уравнения Эйлера движения свободного волчка. При этом уравнения для M отделяются и могут быть записаны как уравнения Гамильтона на алгебре so(3). Физическое происхождение гамильтоновой формы уравнений Эйлера–Пуассона (2.1), (2.2) подробно обсуждается в книге [20].

Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме на скобке Ли – Пуассона можно представить уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки, движущегося в произвольном потенциальном поле.

§ 2. ПРИМЕРЫ ИЗ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Для натуральной системы с потенциальной энергией U(,, ) имеем гамильтониан H = (M, AM ) + U(,, ), (2.3) где A = I-1, M — компоненты кинетического момента в проекциях на подвижные оси,,, — проекции неподвижных ортов на подвижные оси (направляющие косинусы).

При этом скобка Пуассона определяется алгеброй so(3)s(R3R3R3), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций {Mi, Mj} = -ijkMk, {Mi, j} = -ijkk, (2.4) {Mij} = -ijkk, {Mi, j} = -ijkk, {i, j} = {i, j} = {i, j} = {i, j} = {i, j} = {i, j} = 0.

Гамильтоновы уравнения движения (1.9) в явной форме имеют вид H H H H = M + + +, M (2.5) H H H =, =, =.

M M M В виде (2.5) могут быть также представлены уравнения движения твердого тела в обобщенно-потенциальном, например магнитном, поле, в этом случае гамильтониан H содержит члены, линейные относительно M (см. далее).

Скобка Пуассона (2.4) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира f1 = (, ), f2 = (, ), f3 = (, ), (2.6) f4 = (, ), f5 = (, ), f6 = (, ).

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)каса тельному расслоению трехмерной сферы T S3, равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист, соответствующий физическим динамическим системам, определяется условиями: f1 = f2 = f3 = 1, f4 = f5 = f6 = 0. Так как симплектический лист является шестимерным, система (2.5) имеет три степени свободы.

Кватернионное представление уравнений движения. Для практических вычислений избыточность уравнений (2.5) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений 28 ГЛАВА быстро нарушаются соотношения ортонормированности. Этого недостатка лишена кватернионная форма представления уравнений движения, указанная авторами в [17, 18]. Матрица направляющих косинусов Q в кватернионном представлении имеет вид 2 + 2 - 2 - 2 2(03 + 12) 2(13 - 02) 0 1 2 Q = (,, ) = 2(12 - 03) 2 - 2 + 2 - 2 2(01 + 23), 0 1 2 2(02 + 13) 2(23 - 01) 2 - 2 - 2 + 0 1 2 а соответствующие коммутационные соотношения запишутся в форме {Mi, Mj} = -ijkMk, {Mi, 0} =, i (2.7) 1( {Mi, j} = - k + ij0), {µ, } = 0.

ijk Определяющая их алгебра Ли l(7) представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и алгебры трансляций R4 : l(7) so(3) s R4.

Скобка (2.7) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира F () = 2 + 2 + 2 + 2. (2.8) 0 1 2 Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному рас слоению трехмерной сферы T S3, его размерность равна шести.

Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде H 1 H 1 H = M + + - 0 H, M 2 0 (2.9) 1 H 1 H 1 H 0 = -,, = +, 2 M 2 M M = (1, 2, 3) и для их интегрируемости также не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов. Кватернионные уравнения динамики твердого тела в гамильтоновой форме (2.9) были впервые получены авторами в [17].

§ 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ § 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем.

Примеры интегрируемых систем 1. Алгебра интегралов. Теорема Лиувилля и ее обобщение Кроме фазового пространства, множество значений первых интегралов системы, оказывается, также может быть рассмотрено как новое многообразие, обладающее пуассоновыми свойствами. На этом многообразии возникает естественная пуассонова структура, введенная еще К. Якоби [88]. Действительно, скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл (теорема Якоби). Следовательно, исходная пуассонова (например симплектическая) структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве интегралов. По методу Якоби для построения множества интегралов необходимо выбрать пару первых интегралов системы и каждый раз добавлять их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге получаются функционально зависимые интегралы. Из этого набора интегралов следует выбрать максимальное множество функционально независимых интегралов, определяющих координаты на пространстве интегралов. Все остальные интегралы (и их скобки Пуассона) будут являться функциями выбранных. В качестве примера Якоби, исследуя задачу трех тел, рассмотрел скобки Пуассона первых интегралов, образующих алгебру Ли группы вращений (so(3)) и группы движений евклидова пространства (e(3)).

Если система обладает достаточно обширным набором первых интегралов, то она является полностью интегрируемой. В этом разделе мы приведем два варианта теоремы Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновой системы. Один из них, наиболее употребительный, связан с наличием n независимых инволютивных интегралов (n — половина размерности фазового пространства канонической гамильтоновой системы (1.1)).

Второй вариант является более редким, когда количество независимых первых интегралов больше чем n, но не все они являются инволютивными.

В этом случае говорят о некоммутативной интегрируемости, а сами системы иногда называют суперинтегрируемыми. Более полное представление о механизмах интегрируемости гамильтоновых систем можно получить в [2, 4, 16, 18, 41].

Теорема 2 ([2, 4, 41]). Пусть M2n — фазовое пространство гамильтоновой системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом H(p, q). Предположим, что эта система имеет n интегралов движения F1,..., Fn в инволюции {Fi, Fj} = 0, i, j = 1,..., n.

30 ГЛАВА Если 1. на множестве Ma = {(p, q) R2n : Fi(p, q) = ai} функции F1,..., Fn независимы;

2. множество Ma является связной и компактной поверхностью, то а. решение гамильтоновой системы на поверхности Ma получается в квадратурах;

б. поверхность Ma является n-мерным тором Tn, несущим квазипериодические движения;

в. в окрестности поверхности Ma существуют такие канонические координаты I1,..., In, 1,..., n (0 i 2), называемые переменными действие-угол, в которых уравнения движения имеют вид H(I1,..., In) Ii = 0, i = i(I1,..., In) =, i = 1,..., n.

Ii Координаты I1,..., In нумеруют инвариантные торы, а i угловые переменные на них. Траектории системы представляют собой квазипериодические обмотки с частотами i, вообще говоря, меняющимися от тора к тору.

Обычно всюду плотно в фазовом пространстве расположены резонансные и нерезонансные торы. В резонансном случае между частотами i имеется хотя бы одно из соотношений n nii = i=с целочисленными коэффициентами ni Z и поверхность Ma расслоена на торы меньшей размерности (в частности — на периодические орбиты).

Вышеприведенная формулировка теоремы Лиувилля принадлежит Арнольду [2].

Сформулируем теперь некоммутативный вариант теоремы Лиувилля.

Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплек2n тическом многообразии M имеет n+k интегралов F1, F2,..., Fn+k, причем на поверхности Ma = {x M2n: Fi(x ) = ai, 1 i n + k} § 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона {Fi, Fj}. Тогда, если поверхность Ma связна и компактна и ранг матрицы скобок Пуассона не превосходит 2k, то поверхность Ma диффеоморфна (n-k)-мерному тору и на ней можно выбрать угловые переменные 1,..., n-k mod 2 так, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид s = s = const(1 s n - k).

Теорема 3 в различных вариантах была доказана в работах Н. Н. Нехорошева [57], А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко [55] и А. В. Браилова [24].

Некоммутативное интегрирование тесно связано с редукцией по Дираку, которая подробно обсуждается в работе [19].

Обобщение этих теорем на случай вырожденных скобок Пуассона очевидно — надо только рассматривать ограничение системы на симплектический лист и использовать приведенные выше утверждения. В дальнейшем мы столкнемся с примерами многомерных волчков, обладающих как коммутативным, так и некоммутативным полным набором интегралов.

Приведем ряд примеров интегрируемых гамильтоновых систем в основном с двумя степенями свободы с дополнительными интегралами второй, третьей и четвертой степени по импульсам. Здесь мы не преследуем цели дать полный список таких систем, а только дадим читателю почувствовать разнообразие интегрируемых систем и структуры первых интегралов.

Отметим, что интегралы первой степени по импульсам (линейные интегралы) соответствуют понижению порядка по Раусу, а интегралы более высоких степеней (> 4) встречаются существенно реже (одна из таких систем описана в § 3 гл. 2).

Рассмотрим сначала случай квадратичных по импульсам интегралов движения.

2. Квадратичные по импульсам интегралы и разделение переменных Оказывается, что существование квадратичных интегралов для случая двух степеней свободы тесно связано с разделением переменных, которое подробно рассмотрено нами в § 1 гл. 3. В этом разделе мы сосредоточимся на достаточно элементарных системах, поэтому от читателя требуется понимание разделения переменных на уровне стандартных курсов механики.

Укажем общий вид натурального гамильтониана, задающий разделение в эллиптических координатах f(u) - g(v) 1(p H = + p2) +, (3.1) 1 u2 - vдополнительный интеграл v2f(u) - u2g(v) F = (q1p2 - q2p1)2 + cp2 + 2, u2 - v32 ГЛАВА где эллиптические координаты (u, v) выражаются через декартовы (q1, q2) по формулам.

2u2 = r2 + c + (r2 + c)2 - 4cq1;

(3.2) 2v2 = r2 + c - (r2 + c)2 - 4cq1;

2 r2 = q1 + q2.

В частности, можно отметить системы, разделимые в полярных координатах (r, ) B() (3.3) H = (p2 + p2) + A(r) +, 1 rдополнительный интеграл 1(q F = p2 - q2p1)2 + B(), где 2 r2 = q1 + q2, q1 = r cos, q2 = r sin.

В параболических координатах (, ) 1(p H = + p2) + A() + B(), (3.4) 1 r дополнительный интеграл F = (q1p2 - q2p1)p2 - A() - B(), r где r + q1 r - q2 (3.5) r2 = q1 + q2, =, =.

2 Для декартовых координат (q1, q2) H = (p2 + p2) + U1(q1) + U2(q2), (3.6) 1 дополнительный интеграл 1 1p F = p2 + U1(q1) или F = + U2(q2).

1 2 Приведем несколько более частных систем такого типа.

§ 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Задача Эйлера двух центров. В этом случае рассматривается «безмассовая» частица на плоскости, притягивающаяся двумя неподвижными ньютоновскими центрами с ньютоновским гравитационным взаимодействием, описываемая гамильтонианом c1 cH = (p2 + p2) - -, (3.7) 1 r1 r2 r1 = (q1 - c)2 + q2, r2 = (q1 + c)2 + q2, c = const.

Неподвижные центры располагаются на прямой q2 = 0 в точках (±c, 0).

Дополнительный интеграл имеет вид c1(q1 - c) c2(q1 + c) F = (p1q2 - p2q1)2 - c2p2 - c r1 - r2.

Система (3.7) разделяется в эллиптических координатах (3.2). В приложении E к гл. 3 мы укажем интегралы и разделяющие переменные для искривленной (т. е. рассматриваемой в пространстве постоянной кривизны) задачи двух центров.

Задача Баррара. Движение точки в трехмерном пространстве в силовом поле, потенциал которого в сферических координатах (r,, ) имеет вид c1 c2 sin U(r, ) = +, r rгде c1, c2 — константы. Гамильтониан задачи p (3.8) H = r2p2 + p2 + + c1r + c2 sin, 2mr2 r cosт. е. является циклической координатой, а соответствующий ей импульс сохраняется p = const. Зафиксировав его, получим разделимую систему типа (3.3).

Задача Якоби. Интегрируемость системы трех частиц на прямой, взаимодействие которых обратно пропорционально квадрату взаимных расстояний, была известна еще Якоби [88]. Он показал, что данная задача допускает разделение переменных при произвольных массах частиц и константах взаимодействия.

34 ГЛАВА Функция Лагранжа в этом случае имеет вид gij L = miqi -. (3.9) (qi - qj)i=1 i

Кинетическая энергия при этом остается диагональной 1 1 T = M2 + M12 + M22, 1 2 2 m1(m2 + m3) m2mM = m1 + m2 + m3, M1 =, M2 =, m1 + m2 + m3 m1 + mа потенциальная не зависит от R.

Введем полярные координаты r, в плоскости x1, x2 по формулам x1 = M1r cos, x2 = M2r sin и перейдем к каноническим переменным в системе центра масс ( = 0) p2 H = p2 + + B(), (3.10) r r2 r где gB() = + M2 M mcos - sin Mm2 + m g13 g + +.

sin M2 mcos + sin Mm2 + mТаким образом переменные разделяются.

§ 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В случае совпадения масс m1 = m2 = m3 = 1 и констант взаимодействия g12 = g13 = g23 = 1, функция B не зависит от. В этом случае задача остается интегрируемой также для потенциалов взаимодействия типа V = = rk, k = 1, 2, 4. Неинтегрируемость систем при других k обсуждается в [195].

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 28 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.