WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 28 |

Глава Общий формализм динамики многомерных волчков § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 1. Пуассоновы многообразия Все динамические системы, рассматриваемые в этой книге, являются гамильтоновыми. Это утверждение следует понимать в некотором обобщенном смысле, который отличается, но, тем не менее, тесно связан с обычным каноническим формализмом. Такие системы допускают каноническую гамильтонову форму не во всем фазовом пространстве, а на некотором общем уровне первых интегралов, имеющих геометрическое или динамическое происхождение. В качестве основного примера, на котором мы собираемся иллюстрировать общие методы анализа динамических систем, являются различные формы уравнений динамики твердого тела. Подробный анализ различных форм уравнений и интегрируемых случаев для обычной физической трехмерной ситуации содержится в нашей книге [20].

В этой книге основное внимание уделено изучению n-мерных обобщений этих уравнений и, соответственно, их интегрируемых случаев. В частности, речь пойдет о многомерных обобщениях уравнений Эйлера, Эйлера – Пуассона, Кирхгофа и многомерных аналогах случаев Лагранжа, Ковалевской, Клебша и т. д.

В многомерной ситуации многим фактам нельзя дать естественного геометрического и механического описания. Но имеющиеся глубокие аналогии с обычной физической (трехмерной) динамикой позволяют переносить многие результаты на произвольное число измерений — снабжая их необходимыми модификациями. Наиболее явно существующие аналогии можно обнаружить при записи уравнений движения в алгебраической форме. Здесь мы понимаем алгебраическое представление как в обычном смысле, т. е. алгебраичность (обычно, полиномиальность) системы дифференциальных уравнений движения, так и как связь с гамильтоновым формализмом на алгебрах Ли. В этом формализме скобка Пуассона является линейной по фазовым переменным и при алгебраичности (полиномиальности) гамильтониана уравнения движения также будут алгебраическими § 1. СКОБКИ ПУАССОНА И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ (полиномиальными). Такой подход наиболее приемлем для поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости. Еще раз напомним, что более подробно с теорией линейных и нелинейных пуассоновых структур можно познакомиться по нашей книге [18].

Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для записи и анализа уравнений n-мерных волчков в разных потенциальных полях. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой многомерных волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и содержательными.

Скобки Пуассона и их свойства. Обычная гамильтонова форма уравнений динамики имеет вид dq dp H H q = =, = = -, H = H(q, p), (1.1) dt p dt q где канонические координаты (q, p) определены на некотором четномер2n ном многообразии (q, p) M — фазовом пространстве (dim M= 2n).

dim M Функция H называется гамильтонианом. Величина n = называется числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1). В дальнейшем мы рассматриваем только автономные системы, т. е. предполагается, что гамильтониан H не зависит явно от времени.

Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиувилля).

Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле F G F G {F, G} = -, (1.2) qi pi pi qi i то уравнения (1.1) можно переписать в виде qi = {qi, H}, i = {pi, H}. (1.3) Любая дифференцируемая функция F = F (q, p) также эволюционирует по гамильтонову закону:

= {F, H}. (1.4) Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи. Например, классические углы Эйлера, используемые при анализе движения тяжелого 18 ГЛАВА твердого тела вокруг неподвижной точки, вырождаются на полюсах сферы Пуассона, что делает их малопригодными для многих исследований (как аналитических, так и численных) (см. [20]). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики.

При инвариантном построении гамильтонова формализма, следуя П. Дираку [19], исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона1, определенных для функций, заданных на некотором многообразии M. Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:

1. {F1 + µF2, G} = {F1, G} + µ{F2, G},, µ R — билинейность, 2. {F, G} = -{G, F } — кососимметричность, 3. {F1F2, G} = F1{F2, G} + F2{F1, G} — правило Лейбница, 4. {{H, F }, G} + {{G, H}, F } + {{F, G}, H} = 0 — тождество Якоби.

Скобку Пуассона {·, ·} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие M, на котором она определена, — пуассоновым многообразием.

В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности (т. е. для любой функции F (x ) const существует функция G(x), {F, G} 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2). Отказ от этого свойства позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В большинстве рассмотренных далее ситуациях пуассонова структура оказывается вырожденной и обладает функциями Казимира Fk(x ), коммутирующими со всеми переменными xi и, стало быть, с любыми функциями G(x ) на M: {Fk, G} = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами.

Свойства 1– 4 позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном координатном виде F G {F, G} = {xi, xj}. (1.5) xi xj i,j Базисные скобки Jij = {xi, xj} называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат x = (x1,..., xn) [60, 80]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J = Jij размера n n.

В дальнейшем мы говорим как скобки, так и скобка Пуассона, допуская здесь некоторую вольность речи.

§ 1. СКОБКИ ПУАССОНА И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ Если 0 E j J =, E = i, (1.6) -E то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).

Структурная матрица J(x ) удовлетворяет следующим условиям, вытекающими из 1– 4:

I. кососимметричность:

Jij(x ) = -Jji(x ), (1.7) II. тождество Якоби:

n Jil Jjk + Jkl Jij + Jjl Jki = 0. (1.8) xl xl xl l=Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица Jij задает пуассонову структуру.

Инвариантный объект, определяемый тензором J, является бивектором (бивекторным полем):

F G J(dF, dG) = Jij(x ), xi xj F где dF — ковектор с компонентами.

xi Векторное поле v = XH = {x, H} = J(dH)1 определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид H i i = XH = {xi, H} = Jij(x). (1.9) xj j Функция H = H(x) при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением (это является следствием тождества Якоби) [XH, XF ] = -X{H,F }.

Отметим, что обозначение {x, H} для гамильтонова векторного поля не является общепринятым, формально оно не является корректным, т. к. использует неопределенную нелинейную скобку Пуассона вектора и функции. Однако всегда ясно, о чем идет речь, если правильно представлять себе соответствующие компонентные соотношения. В любом случае это лучше, чем, например, sgrad H.

20 ГЛАВА Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование — сдвиг на фиксированное время вдоль траекторий системы (1.9) (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона.

Функция F (x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю = XH(F ) = 0, это условие эквивалентно тому, что {F, H} = 0.

Структурный тензор, оказывается, является тензорным инвариантом фазового потока, т. е. производная Ли вдоль векторного поля v (1.9) потока равна нулю Lv J(x ) = 0. Несложно показать, что тензорными инвариантами также являются нетривиальные тензоры J J,..., (J... J)k/2, где k — ранг пуассоновой структуры (см. далее). Более высокие степени тензора J тождественно равны нулю.

Первые интегралы также являются тензорными инвариантами нулевого ранга. Инвариантная мера, которой всегда обладают уравнения (1.9) (вследствие теоремы Лиувилля), является инвариантом максимального ранга.

Замечание. В отличие от гамильтоновых систем, произвольные динамические системы могут не обладать ни одним тензорным инвариантом (даже мерой). Существует промежуточный класс систем — неголономные системы [21], которые в зависимости от параметров могут обладать различными наборами тензорных инвариантов. В этом случае возникает целая иерархия интегрируемости для этих систем.

Система уравнений F1(x) = 0,..., Fk(x) = 0 (1.10) задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если {Fi, H} = 0, i = 1,..., k, на многообразии, определяемом условиями (1.10). Несложно показать, что в этом случае n {Fi, H} = i(x )Fi(x ), i=где i(x ) — некоторые функции в фазовом пространстве. Инвариантные соотношения в динамику систематически ввел Т. Леви-Чивита. Соотношения (1.10) обычно в дальнейшем задают некоторую (сингулярную!) орбиту коприсоединенного представления в алгебре Ли, обладающую некоторыми интересными динамическими свойствами. Например, некоторые орбиты § 1. СКОБКИ ПУАССОНА И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ могут быть касательными расслоениями n-мерных сфер Sn и интегрируемые волчки могут порождать интегрируемые геодезические потоки на этих сферах. В еще более специальных случаях на таких сингулярных орбитах может быть достигнуто разделение переменных — в отличие от произвольной орбиты, для которой явное интегрирование иногда выполнить существенно сложнее.

Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция XF = {F, ·} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на M. Используя 1– 4, в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор.

Определим 2-форму 2 по формуле 2(XG, XF ) = {F, G}. (1.11) Из условий 1– 4 следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием. Несложно показать, что симплектическое многообразие является четномерным.

В координатном представлении форма (1.11) имеет вид 2 = -= ijdxi dxj, где ij = Jij, в каноническом случае (1.6) 2 = i,j = dpi dqi. К такому виду по теореме Дарбу приводится локально i всякая симплектическая структура. В следующем пункте мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то фазовое пространство расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу, согласно которой уравнения движения имеют канонический вид. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку, как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений.

Рангом пуассоновой структуры в точке x M называется ранг структурного тензора в этой точке. Очевидно, что он четен. Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии M понимают ранг, который она имеет в некоторой точке общего положения x M. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.

Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [18, 60].

22 ГЛАВА Теорема 1. Пусть (M, {·, ·}) — пуассоново многообразие размерности n, и в точке x M ранг скобки {·, ·} локально постоянен и равен 2r. Тогда существует локальная система (канонических) координат x1,..., xr, y1,..., yr, z1,..., zn-2r, в которой скобки Пуассона имеют вид {xi, xj} = {yi, yj} = {xi, zk} = {yi, zk} = {zk, zl}=0, {xi, yj} = ij, где 1 i, j r, 1 k, l n - 2r.

В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями zi = ci, (ci = const), а симплектическая структура на нем задается формой = dxi dyi. Листы общего положения (для которых ранг равен 2r) i называются регулярными.

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2r), проходят сингулярные симплектические листы (орбиты коприсоединенного представления в случае алгебры Ли и скобки Ли–Пуассона).

Они задаются некоторой системой соотношений (1.10), которые являются инвариантными для произвольного гамильтониана потока. Как уже было указано, такие орбиты представляют особый интерес и будут далее подробно исследованы.

2. Скобка Ли – Пуассона Скобки Ли – Пуассона и алгебры Ли. Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть ck — структурij ные константы алгебры Ли g в базисе v1,..., vn. Скобка Ли – Пуассона пары функций F, H, заданных на некотором линейном пространстве V с координатами x = (x1,..., xn), определяется формулой n F H {F, H} = Jij(x ), (1.12) xi xj i,j=где Jij(x ) = ck xk — линейный по xk структурный тензор. Все необхоij k димые тождества 1–4 (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:

1. ck = -cki, ij j 2. (cl cm + cl cm + cl cm) = 0.

im jk km ij jm ki m Cимплектические листы структуры Ли – Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли. Уравнения Гамильтона для структуры § 1. СКОБКИ ПУАССОНА И ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ Ли – Пуассона в покомпонентной записи имеют вид i = {xi, H} = ck xk H. (1.13) ij xj k,j Уравнения (1.13) можно записать также в инвариантном бескоординатном виде = ad (x ), x g, (1.14) dH где ad, ( g) — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли g: ad : g g.

Инвариантное определение скобки Ли – Пуассона. Орбиты коприсоединенного представления. Чтобы определить скобку Ли – Пуассона инвариантным образом, простраство V следует интерпретировать как двойственное пространство g алгебры Ли g. Тогда дифференциалы dF и dG можно рассматривать как элементы самой алгебры Ли g и определить скобку следующей формулой:

{F, G} = x ([dF (x ), dG(x )]) x g.

Напомним, что коприсоединное представление группы Ли G и алгебры Ли g на коалгебре g определяются следующими тождествами:

Ad x () = x (Ad-1 ), x g, g, X G, X X ad x () = x (-[a, ]), x g,, a g.

a Симплектические листы структуры Ли – Пуассона представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли.

Действительно, достаточно показать, что касательные пространства к орбите и к симплектическому листу, проходящим через точку x V = g, совпадают. Касательное пространство к симплектическому листу порождается гамильтоновыми векторными полями, т. е. векторами вида ad (x ), dH где dH пробегает дифференциалы всевозможных функций, т. е. всю алгебру Ли g. Но именно так устроено касательное пространство к орбите коприсоединенного представления.

Из этого утверждения, в частности, следует, что функциями Казимира скобки Ли – Пуассона являются инварианты коприсоединенного представления группы Ли G.

Отметим, что в случае полупростых алгебр Ли, например so(n), коприсоединенное представление совпадает с присоединенным. Это связано с наличием в полупростом случае невырожденной Ad-инвариантной формы 24 ГЛАВА на алгебре Ли, которая задает естественное отождествление g и g (формы Киллинга). В частности, уравнения (1.13) принимают форму Лакса = [dH(x ), x ], а в качестве функций Казимира здесь можно рассматривать следы степеней или коэффициенты характеристического многочлена матрицы x (здесь используются естественное матричное представление полупростой алгебры Ли g).

Алгебра so(n). В случае алгебры Ли so(n), рассматриваемой как пространство кососимметрических n n-матриц, алгебра функций Казимира порождается функциями вида n - 1, если n нечетно;

2k Tr x, k = 1, 2,..., n - 2k Tr x и Pf(x ) = det x, k = 1, 2,...,, если n четно.

Отметим, что любая орбита (как регулярная, так и сингулярная) в алгебре so(n) задается как совместная поверхность уровня функций Казимира. Другими словами, функции Казимира разделяют орбиты. Однако эта поверхность уровня будет регулярной только для орбит максимальной размерности (дифференциалы указанных выше функций Казимира будут независимы в каждой точке орбиты). В случае сингулярных орбит функции Казимира становятся зависимыми на орбите, в результате чего размерность орбиты падает.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 28 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.