WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 28 |

Отметим, что метод L–A-пары, предложенный П. Лаксом в 1968 году, был особенно популярным в 70–80-х годах прошлого века в связи с возникшим оживлением вокруг теории солитонов и открытия нескольких новых систем эволюционных (бесконечномерных) интегрируемых уравнений типа Кортевега-де-Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, sine-Gordon и др. В те годы исследования интенсивно велись несколькими различными школами (в Америке — Абловиц, Сигур, Флашка, Лакс, Ньюэл, в Москве — Новиков, Кричевер, Дубровин, Веселов, Захаров, Манаков, в Ленинграде — Фаддеев, Тахтаджан, Склянин и др.). В московской школе основное внимание уделялось явному интегрированию уравнений в тэта-функциях (функциях Бейкера – Ахиезера). На этом пути С. П. Новиковым было предложено представление Лакса со спектральным параметром и проанализирована динамика полюсов функций Бейкера – Ахиезера, позволяющая получить общее решение в тэта-функциях. В московской и ленинградской школах особенное внимание было уделено гамильтоновой структуре динамических 10 ВВЕДЕНИЕ уравнений (в большинстве случаев — бесконечномерных). В ленинградской школе было указано, что возможность гамильтонова описания связана с существованием r-матрицы, зная которую, как оказалось, можно не только получить L–A-пару, но и сделать заключение о полной интегрируемости системы. На этом пути были разработаны различные приемы нахождения L–A-пар, благодаря которым их удалось построить для большого класса задач динамики — от бесконечномерных и многочастичных систем типа цепочек Тоды до многомерных волчков, обобщающих классические задачи динамики твердого тела. Отметим также, что иногда технически оказалось проще построить U–V-пару или уравнение нулевой кривизны, из которого далее также можно сделать выводы об интегрируемости.

В книге мы рассматриваем различные интегрируемые конечномерные системы, хотя и уделяем особое внимание многомерным волчкам, которые входят в нашу основную область интересов.

В динамике многомерных волчков первые L–A-пары (со спектральным параметром) были построены С. В. Манаковым и А. М. Переломовым, из которых следует интегрируемость уравнений движения многомерного волчка Эйлера (т. е. движения по инерции), а также аналога случая Клебша для многомерных уравнений Кирхгофа. При этом доказательство полноты семейства интегралов (т. е. их достаточности для интегрирования по теореме Лиувилля) стало особой проблемой, которая по-разному решалась несколькими школами (А. Т. Фоменко, А. С. Мищенко; А. Г. Рейман, М. А. Семенов-ТянШанский). Вскоре были получены L–A-пары для большинства многомерных обобщений интегрируемых задач динамики твердого тела и найдены новые интегрируемые системы в обычной трехмерной ситуации. С различными постановками задач о движении реального — трехмерного твердого тела можно ознакомиться по нашей книге «Динамика твердого тела», РХД, 2001 [20].

Многомерные обобщения и L–A-пары для различных динамических систем были получены их первооткрывателями разными способами. Так, О. И. Богоявленский для многомерного обобщения задачи Бруна и цепочек Тоды, связанных с корневыми диаграммами алгебр Ли, использовал явные анзатцы, А. Г. Рейман и М. А. Семенов-Тян-Шанский основывались на теоретико-групповых подходах, связанных с методом r-матрицы, А. Т. Фоменко и А. С. Мищенко развивали метод сдвига аргумента. Во второй главе этой книги мы приводим свой алгоритм построения L–A-пар, связанных с естественными тензорными законами сохранения и бигамильтоновостью системы. Он позволяет не только получить почти все известные ранее L–Aпары из динамики волчков наиболее простым способом, но и найти новые нетривиальные интегрируемые системы [104]. Несмотря на то, что этот метод был опубликован в нескольких статьях [11, 98] и, частично, в книге [18], он остался, видимо, малодоступным даже специалистам, занимающимся этой областью. Здесь мы снабдили изложение необходимыми доказательВВЕДЕНИЕ ствами, а также привели окончательные результаты в виде справочника (приложение к гл. 2), который позволяют быстро выписать L–A-пару для любого интегрируемого волчка.

Отметим также, что некоторые задачи динамики многомерных волчков, а также почти все известные многочастичные системы типа цепочек Тоды не поддаются нашему методу. Для них либо не возможно естественное бигамильтоново описание, либо оно является не совсем подходящим для использования нашего метода. В главе 3 мы собрали специальные приемы для описания таких систем, надлежащая теория при этом основана на методе r-матриц. Тем не менее метод r-матричного (R-операторного) описания системы не имеет прямого динамического происхождения и до сих пор основывается на ряде хитроумных алгебраических манипуляций с матрицами, полное владение которыми достигается лишь многочисленными упражнениями (в современный период — с использованием пакетов MAPLE, Mathematica, MATLAB и т. д.), и в основном использует технику решеточных моделей.

В своем изложении метода r-матрицы мы старались отразить его геометрические стороны, а также представить его как часть общего метода теории пуассоновых структур, подробное изложение которой с приложением к различным задачам классической динамики (не обязательно интегрируемым) содержится в уже упомянутой книге [18]. Для описанного в книге класса задач метод r-матрицы оказывается связан с различными классами квадратичных скобок Пуассона (квадратичных алгебр Склянина) и некоторой новой общей процедурой разделения переменных, что является значительным продвижением со времен Якоби, когда были введены эллиптические и сфероконические координаты. Мы также приводим ряд совсем новых результатов, полученных нами при написании книги.

Сделаем еще несколько отступлений. Начиная писать эту книгу, мы думали в основном сосредоточиться на бигамильтоновости и связанным с ней алгоритмом построения L–A-пар, который казался нам достаточно универсальным. Однако постепенно, анализируя различные интересные результаты и способы, при помощи которых они были найдены, мы убедились, что вряд ли существует универсальный рецепт, способный ответить на все вопросы теории интегрируемых систем. Поиск новых интегрируемых систем до сих пор во многом остается искусством, и недаром многие системы носят имя их открывателей.

Мы описали в книге ряд современных методов, которые нам кажутся наиболее перспективными, хотя и каждый из них сам по себе имеет свои границы. Интересно, что интегрируемость некоторых систем была установлена различными способами (и различными авторами). Некоторые важные вопросы интегрируемости остались за рамками этой книги. Это, в первую очередь, относится к методу Пенлеве – Ковалевской, связанно12 ВВЕДЕНИЕ му с ветвлением решений на комплексной плоскости времени. Этот метод является во многих случаях очень эффективным — например с помощью него С. В. Ковалевская нашла свой замечательный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона. Благодаря ему также возникли различные техники, связанные с анализом алгебраической (М. Адлер, П. ван Мербеке) и мероморфной (С. Л. Зиглин) интегрируемости (см. [122, 41, 59]). Мы также не останавливаемся на современном развитии метода неопределенных коэффициентов, который традиционно использовался для поиска новых интегрируемых систем. В последнее время, благодаря созданию мощных систем аналитических вычислений, стало возможным выполнение громадного объема манипуляций, что позволило, например, анализировать возможность существования у системы первых интегралов, являющихся полиномами высоких степеней. Самым ярким достижением в этой области является открытие В. В. Соколовым новых случаев интегрируемости в уравнениях Кирхгофа, которые мы обсуждаем в гл. 2 и 3.

В уже упоминавшейся нашей книге [20] были собраны все (или почти все) известные на момент ее выхода интегрируемые случаи динамики твердого тела и соответствующие разделяющие переменные. За последнее время были найдены новые системы разделяющих переменных, с помощью которых удалось проинтегрировать ряд задач, которые обозначены в книге [20], как нерешенные. В этой книге мы привели все эти новые достижения. Нам также удалось разобраться в работе Кеттера [141], в которой были кратко приведены разделяющие переменные для случая Стеклова – Ляпунова, но, к сожалению, нет указания пути, с помощью которого можно показать, что они являются разделяющими. Результат Кеттера был недавно реконструирован в [118] с использованием современных алгебро-геометрических методов. Мы приводим соответствующие рассуждения в модифицированной форме в главе 3.

В заключение мы также особо отметим роль различных схем классификации и упорядочивания результатов в современной науке, для которой, к сожалению, типично их отсутствие. Вследствие этого одни и те же результаты получаются в различных школах и различными методами и их становится сложно отождествить и ситуация может сильно запутаться. В качестве примера мы сошлемся на последнее приложение к книге, посвященного обобщенным цепочкам Тоды. В главах 2, 3 мы приводим также различные типы классификаций, приводящие к различным интегрируемым системам в динамике многомерного твердого тела.

Публикация этой книги в серии «Современная метематика» преследует цель привлечь к этой области новое поколение исследователей, т. к. многие проблемы, поставленные в этой книге, не поддаются решению ни одним из описанных методов. Для современной теории динамических систем их решение способно пролить свет на эволюцию многомерных интегрируемых задач, изучение которых, в принципе, только начинается.

ВВЕДЕНИЕ Мы благодарны за многочисленные обсуждения различных задач и методов В. В. Козлову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, И. Маршаллу, В. В. Соколову, А. В. Цыганову, Ю. Н. Федорову.

Эта книга не была бы написана без плодотворного и многократного взаимодействия с А. В. Болсиновым, который аккуратно прочитал всю книгу и сделал ценные замечания. Он также написал приложение C, посвященное интегрируемым геодезическим потокам на однородных пространствах. За все это мы ему искренне благодарны.

20 марта 2003 А. В. Борисов, И. С. Мамаев О книге А. Г. Реймана, М. А. Семенова-Тян-Шанского «Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход» Во время подготовки к печати нашей книги нам стала доступна рукопись новой книги А. Г. Реймана и М. А. Семенова-Тян-Шанского «Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход», выходящей в той же серии.

Эта книга представляет собой расширенный и обновленный вариант обзора, выходивший ранее в ВИНИТИ в серии «Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т. 16, 1987 г. [61]. К сожалению, обзор был трудно читаемым и сильно сокращенным по сравнению с реальными планами авторов. Новое издание существенно расширено и снабжено новыми библиографическими ссылками и, безусловно, является хорошим руководством по теории интегрируемых систем.

В то же время здесь мы хотим высказать свое мнение относительно этой книги, понимая при этом, что оно будет носить несколько субъективный характер. Тем не менее, существует ряд принципиальных моментов, относительно которых наши позиции как специалистов в области интегрируемых систем сильно расходятся. Любопытно отметить совершенное пренебрежение авторов к ссылкам на работы по тематике книги, которые не укладываются в их подход, связанный в основном c r-матричным методом. Не упомянуты, например, результаты В. В. Козлова и Д. В. Трещевадля обобщенных цепочек Тоды [42, 43], Ю. Н. Федорова и А. В. Болсинова относительно эллиптических L–A-пар [14, 82, 120], обобщенных случаев Клебша и Стеклова – Ляпунова, И. Маршалла относительно бигамильтоновости волчка Ковалевской и корректного построения соответствующей Новая обобщенная интегрируемая цепочка Тоды, открытая В. В. Козловым и Д. В. Трещевым в работе [42] 1989 г., до сих пор остается неизвестной большинству специалистов, как и принадлежащие им классификационные результаты.

14 ВВЕДЕНИЕ L–A-пары [157]. В этот обзор также не включены новые и, как нам кажется, наиболее интересные приложения r-матричного подхода к динамике твердого тела и цепочкам Тоды, связанные с квадратичными алгебрами Склянина. Эти результаты недавно были получены В. Б. Кузнецовым [154], В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым [75] и подробно излагаются в нашей книге. В обзоре также полностью игнорируются наши собственные результаты (например, новая L–A-пара для случая Горячева – Чаплыгина, возникшие на этом пути нелинейные скобки Пуассона, новый алгоритм построения L–A-пар [11, 104]).

К сожалению, такой подход типичен для многих научных школ, которые сильно сосредоточиваются на развитии собственных методов, пытаясь придать им универсальный характер. Однако сама обсуждаемая книга является наиболее выразительным свидетельством того, что такого метода, пригодного для всех случаев жизни, не существует, все многообразие интегрируемых систем и их свойств нельзя получить с помощью одного общего универсального алгоритма.

Еще раз можно подчеркнуть крайне формализованное (и совершенно непригодное для, например, механиков) изложение большинства вопросов теории многомерных волчков, не снабженное никакими комментариями, связывающими их с общими принципами динамики. Относительно исторических замечаний можно лишь отметить их крайнюю односторонность.

Не будучи однозначными привеженцами метода сдвига аргумента и полноты инволютивных семейств интегралов, развиваемой А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, В. В. Трофимовым, А. В. Болсиновым, все же мы отметим, что большинство результатов обсуждаемого обзора, связанных с динамикой многомерных волчков, может быть получено и с помощью этих методов. В некотором смысле они даже эквивалентны подходу, развиваемому А. Г. Рейманым и М. А. Семеновым-Тян-Шанским для случая римановых симметрических пар. При этом одни и те же проблемы одинаково хорошо описываются различными методами и их первоначальное обнаружение является лишь некоторой исторической случайностью. Например, новый волчок на so(4) с интегралом четвертой степени (связанный с алгеброй g2) возник первоначально в классификации А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко, которые просто не обратили на него никакого внимания. Далее он был обнаружен М. Адлером и П. Ван Мербеке с помощью метода Ковалевской и создаваемой ими теории вполне алгебраически интегрируемых систем. Они же предъявили первый интеграл. Далее А. Г. Рейман, М. А. Семенов-ТянШанский построили L–A-пару с помощью своего метода, хотя нет никаких проблем воспользоваться и другими соображениями (связанные, например, со сдвигом аргумента или нашим алгоритмом, основанном на бигамильтоновсти), изложенными в нашей книге.

Представление Лакса для обобщенной задачи Бруна было получено О. И. Богоявленским [8, 9] при помощи явного анзатца. Он также дал этой ВВЕДЕНИЕ задаче многочисленные физические интерпретации. Несколько ранее эта система встречалась в работе А. Г. Реймана, однако он не только не обратил внимание на ее реальное механическое (и физическое) значение, но и допустил некоторые неточности в вычислениях.

Многочисленные новые системы, найденные В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым [73, 74], вообще были получены не с помощью «правильных» построений из теоретико-группового похода, а с использованием метода неопределенных коэффициентов и различных компьютерных систем аналитических вычислений.

Мы также лишь частично согласны с утверждением авторов относительно того, что в последние десятилетия теория интегрируемых систем в основном развивалась в квантовой области. С другой стороны, например, открытие новых интегрируемых случаев в уравнениях Кирхгофа [73], четырехмерном волчке [22], а также новых методов разделения переменных [75], представляющих собой реальный прогресс со времен Якоби, нам кажется достаточно впечатляющим достижением в классике. Впрочем, мы здесь воздержимся от дальнейших комментариев, которые могут привести к рассуждениями о структуре познания и эволюции математических методов исследования (т. е. что является более важным — решение классических проблем, либо развитие новой области, в которой еще ничего не известно).

Тем не менее, высказав здесь свою точку зрения на интегрируемые системы, имеющую общефилософский и методологический характер — насколько природу можно описать одним универсальным принципом, мы подчеркнем, что новая книга А. Г. Реймана и М. А. Семенова-Тян-Шанского, несомненно, является полезной для широкого круга специалистов по интегрируемым системам, как наиболее полное описание одного из перспективных подходов к их изучению, с помощью которого авторы сами достигли значительных результатов, которые, несомненно, останутся в этой науке.

Например, в качестве бесспорных достижений можно указать обобщение случая Ковалевской и L–A-пару для случая Адлера и ван-Мербеке. Мы также обсуждаем эти случаи в нашей книге с различных позиций (см. также [20]).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 28 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.