WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 28 |
А. В. Борисов, И. С. Мамаев СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ БИГАМИЛЬТОНОВО ОПИСАНИЕ, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА, РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Москва Ижевск 2003 УДК 512.77+517.912+517.958 Интернет-магазин • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • н е ф т е г а з о в ы е http://shop.rcd.ru т е х н о л о г и и Борисов А. В., Мамаев И. С.

Современные методы теории интегрируемых систем. — Москва-Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2003, 296 стр.

В книге разобраны ряд интегрируемых систем гамильтоновой механики с точки зрения построения представления Лакса и процедуры явного интегрирования. Приведены новые способы разделения переменных, а также изложен универсальный алгоритм построения L - A-пар, основанный на бигамильтоновости. Обсуждаются многомерные аналоги интегрируемых задач динамики твердого тела, обобщенные цепочки Тоды, геодезические потоки и другие задачи геометрии и механики.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей университетов, специалистов.

Работа выполнена в Институте компьютерных исследований, Удмуртском государственном университете и лаборатории нелинейной динамики Института машиноведения им. А. А. Благонравова.

ISBN 5-93972-219-9 © А. В. Борисов, И. С. Мамаев, 2003 © Институт компьютерных исследований, 2003 http://ics.org.ru Оглавление Введение................................ 11 ГЛАВА 1. Общий формализм динамики многомерных волчков.. 18 § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм.......... 18 1. Пуассоновы многообразия.................. 18 Скобки Пуассона и их свойства. (19). Невырожденная скобка. Симплектическая структура. (23). Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. (23).

2. Скобка Ли – Пуассона..................... 24 Скобки Ли – Пуассона и алгебры Ли. (24). Инвариантное определение скобки Ли – Пуассона. Орбиты коприсоединенного представления. (25). Алгебра so(n). (26). Алгебра sp(2n). (26). Алгебра su(n). (26). Алгебра e(n). (26).

§ 2. Примеры из динамики твердого тела.............. Уравнения Эйлера – Пуассона. (28). Уравнения движения в алгебраической форме. (28). Кватернионное представление уравнений движения. (29).

§ 3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Примеры интегрируемых систем..................... 1. Алгебра интегралов. Теорема Лиувилля и ее обобщение.. 2. Квадратичные по импульсам интегралы и разделение переменных............................ Задача Эйлера двух центров. (35). Задача Баррара. (35). Задача Якоби. (35). Система Гарнье. (37). Система Фоккера – Планка. (38). Рациональный потенциал. (38). Системы типа Хенона – Хейлеса. (38).

Однородные полиномиальные потенциалы. (39). Биквадратичный потенциал и его обобщения. (40). Вырожденные (суперинтегрируемые) системы. (40).

3. Система с интегралами третьей степени по импульсам... Потенциал Холта. (42). Потенциал Фокаса – Лагерстрома. (42). Цепочка Тоды. (42). Системы Драша. (43).

4. Системы с интегралами четвертой и шестой степени по импульсам............................ Системы типа Хенона – Хейлеса (44). Потенциалы типа Холта. (45).

Биквадратичный потенциал. (46). Обобщенные цепочки Тоды. (47).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ 5. Трансцендентные по импульсам интегралы......... § 4. Бигамильтоновы системы.................... 1. Скобка Схоутена и согласованные скобки Пуассона.... 2. Определение бигамильтоновости и мультигамильтоновости 3. Невырожденные бигамильтоновы системы......... 4. Вырожденные бигамильтоновы системы.......... § 5. Примеры согласованных структур и бигамильтоновых систем Лиевы пучки. (58). Римановы симметрические пары, картановское разложение. (58). Метод сдвига аргумента. Линейные и постоянные скобки. (59). Бигамильтоновость волчка Эйлера. (59). Бигамильтоновость волчка Лагранжа. (60). Трехмерные системы с двумя независимыми интегралами. (61). Полиинтегрируемые системы. (62). Система Лотки – Вольтерра. (63).

§ 6. Представление Лакса...................... 1. Формальное описание.................... Определение. Полупростые алгебры Ли. (65). Пример неполупростой, но метрической алгебры Ли. (67). Представление Лакса и первые интегралы. (68). Представление со спектральным параметром. (69). Метод r-матрицы, двойные алгебры Ли. (70). Гамильтоновость уравнений Лакса. (72).

2. Примеры........................... Волчок Эйлера. (73). Волчок Шоттки – Манакова. (73). Система Клебша – Переломова. (74). Цепочка Тоды. (75). Цепочка Вольтерра. (75).

Система Гарнье. (75).

Приложение к § 6. Представление нулевой кривизны и его модификации............................ Модифицированные представления в виде L–A- и U–V-пар. (78).

Приложение к главе 1. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления алгебр Ли....................... Случай алгебры Ли gl(n, ). (81). Случай алгебры Ли so(n). (83). Случай алгебры Ли u(n). (84). Случай алгебры Ли e(n) = so(n) s n. (85).

ГЛАВА 2. Интегрируемые волчки. Бигамильтоново описание и представление Лакса......................... § 1. Многомерное твердое тело в потенциальных полях. Представления Лакса и интегрируемость.................. 1. Исторические комментарии и обоснования......... 2. Формальное описание.................... 3. Координатное представление................. 4. Уравнения движения n-мерного твердого тела....... § 2. Лиевы пучки и гиперэллиптические L–A-пары........ 1. Основное предложение.................... ОГЛАВЛЕНИЕ 2. Волчок Шоттки – Манакова на so(n)............. 3. Система Клебша – Переломова, изоморфизм с системой Шоттки – Манакова........................ 4. Многомерное обобщение случаев Стеклова и Ляпунова.. § 3. Римановы симметрические пары и сдвиг аргумента, L–A-пары с рациональным параметром................... 1. Общая конструкция...................... Случай отсутствия потенциала. Система Шоттки – Манакова. (104).

Алгоритм построения интегрируемых систем для римановых симметрических пар. (106).

2. L–A-пары, связанные с алгеброй gl(n, R).......... Система Бруна – Богоявленского. (108). L–A-пары для задачи Неймана и ее обобщений. (109). Система Гаффе. (112). Обобщение системы Гаффе (112).

3. L–A-пары, связанные с алгеброй so(3, 3).......... Два взаимодействующих волчка. (115). L–A-пара на so(3, 3) системы Бруна – Богоявленского. (116).

§ 4. Интегрируемые системы, связанные с алгебрами so(3, 2) и so(3, 1).

Обобщенный случай Ковалевской............... Волчок и ротатор. (119). Волчок Ковалевской в двух полях. (119). Волчок Ковалевской в одном поле. (122).

1. «Правильное» построение L–A-пары обобщенного случая Ковалевской. Бигамильтоновость................ 2. Алгебра so(3, 1) — волчок Лагранжа............ 3. L–A-пара для случая Ковалевской – Соколова........ § 5. Многомерные аналоги случая Лагранжа............ 1. Многомерный аналог случая Лагранжа........... 2. Система Богоявленского с максимальным набором некоммутативных интегралов..................... 3. Волчок в кососимметричном квадратичном потенциале.. 4. Приводимые интегрируемые системы и блочно-диагональные представления Лакса..................... Метод цепочек подалгебр. (138). Случай Эйлера на so(4). (139).

5. L–A-пара случая Гесса.................... § 6. Волчок, связанный с алгеброй g2................ § 7. Волчок Горячева – Чаплыгина.................. 1. L–A-пара Борисова – Мамаева................ 2. L–A-пара Бобенко – Кузнецова. Связь со случаем Ковалевской 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 8. Суперпозиция методов сдвига аргумента и лиевых пучков. Формулировка общего алгоритма.................. Гиростат Жуковского – Вольтерра. (149). L–A-пара случая Рубановского. (150).

§ 9. Приложение к главе 2. L–A-пары многомерных обобщений в динамике твердого тела..................... 1. Формулировка общего алгоритма.............. 2. Фазовые переменные и коммутационные соотношения... 3. Многомерная система Бруна–Богоявленского........ 4. Два волчка so(n)....................... 5. Волчок so(n) и ротатор.................... 6. Частично симметричный волчок в линейных полях на алгебре so(p, q)............................ 7. Волчок Ковалевской в двух однородных полях....... 8. Обобщение случая Лагранжа на so(n, 1) и gl(n). Случай максимального набора линейных интегралов.......... 9. Волчок Лагранжа на алгебре so(n) s so(n) — квадратичный кососимметричный потенциал................ ГЛАВА 3. Разделение переменных и r-матричный формализм.. § 1. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби...... 1. Метод Гамильтона – Якоби.................. 2. Задача Якоби — геодезический поток на эллипсоиде.... 3. Задача Неймана........................ 4. Системы с полиномиальным потенциалом, допускающие разделение переменных..................... Полиномиальные потенциалы, разделимые в эллиптических координатах. (169). Интегрируемые потенциалы на n-осном эллипсоиде. (171). Полиномиальные потенциалы, разделимые в сфероконических координатах. (171).

5. Рациональные разделяющиеся потенциалы и производящие функции............................ Частица в n+1 и на эллипсоиде (эллиптические координаты). (173).

Частица на сфере (сфероконические координаты). (175).

6. Разделение переменных и квадратичные интегралы..... § 2. Переменные Ковалевской и их обобщения. L–A-пары 2 2.. Конструкция Фейрбанкса. (178). L–A-пара Переломова для волчка Ковалевской. (180). Разделение переменных для случая Ковалевской – Соколова. (183).

§ 3. Уравнения Абеля – Якоби, L–A пары 22 и решение Кеттера для случая Стеклова – Ляпунова................... ОГЛАВЛЕНИЕ 1. L–A-пара 22 как компактный способ записи уравнений Абеля – Якоби........................... 2. Гамильтоновость уравнений типа Абеля – Якоби...... 3. Инволютивное семейство с разделяющимися переменными 4. Построение L–A-пары по уравнениям Абеля – Якоби.... 5. Система Неймана....................... 6. Система Стеклова – Ляпунова для уравнений Кирхгофа... 7. Разделение случая Клебша для (M, ) = 0......... § 4. Метод r-матрицы, интегрируемые системы и представление Лакса................................. 1. r-матричный формализм................... 2. Периодическая цепочка Тоды................ 3. Квадратичные алгебры (Склянина) и разделение переменных Коммутативные семейства и разделение переменных. (210).

4. Разделение переменных для периодической цепочки Тоды. 5. Случай Ковалевской на пучке скобок............ 6. Обобщенный случай Горячева – Чаплыгина......... 7. Волчок Ковалевской – Горячева – Чаплыгина......... 8. Новый случай интегрируемости на so(4).......... Приложения.............................. A. Аналогия системы Клебша – Переломова и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде.................... B. Интегрируемые геодезические потоки, связанные с классическими интегрируемыми задачами динамики твердого тела.... Метрики на двумерной сфере S2. (232). Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона. (234). Случай Лагранжа и «метрика вращения». (235).

Случай Клебша. (235). Случай Горячева—Чаплыгина. Геодезический поток с кубическим дополнительным интегралом. (236). Случай Ковалевской. (236). Случай Чаплыгина (обобщенный случай Ковалевской). (237).

C. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах............................... 1. Общая конструкция. Отображение момента......... 2. Волчок Шоттки – Манакова и его вырождения....... 3. Еще один интегрируемый геодезический поток....... 4. Волчок Эйлера — разделение переменных для систем с тремя степенями свободы...................... D. Интегрируемые системы на двумерной сфере. Небесная механика в искривленных пространствах............... 1. Обобщенная задача Эйлера двух центров.......... 2. Задача n-гуковских центров на сфере............ 8 ОГЛАВЛЕНИЕ E. Алгебраические преобразования скобок Пуассона....... 1. Групповые преобразования пучка.............. 2. Преобразования, связанные с симплектическими переменными Андуайе – Депри..................... 3. Изоморфизм орбит алгебр e(3) и so(3, 1).......... 4. Преобразование, связанное с углами Эйлера........ F. Необходимые и достаточные условия интегрируемости обобщенных цепочек Тоды........................ 1. Обобщенные цепочки Тоды................. 2. Необходимые условия интегрируемости........... 3. Классификация диаграмм Дынкина и соответствующих неприводимых интегрируемых цепочек.............. 4. Первые интегралы, L–A-пары и явное интегрирование... 5. Комментарии и исторические замечания.......... Список литературы.......................... Предметный указатель........................ Введение В этой книге мы вводим читателя в современную теорию конечномерных интегрируемых гамильтоновых систем, иллюстрируя ее на различных механических и физических задачах. При этом мы сосредоточиваемся на различных вопросах и методах, большинство из которых развито совсем недавно и поэтому мало представлены в имеющейся монографической литературе, а журнальные публикации являются слишком разрозненными.

Возможно, именно поэтому представленный в книге материал является несколько неоднородным, что связано также с тем, что многие вопросы не являются до конца проработанными и находятся в состоянии развития.

Изложение в книге (глава 1) начинается с теории пуассоновых структур, являющейся основой современной гамильтоновой механики, подробнее познакомиться с которой можно по книгам [18, 78, 80]. При изложении хорошо известных результатов здесь мы, как правило, ограничиваемся формулировками известных теорем, не приводя подробных доказательств. В первой главе мы также даем введение в методы установления интегрируемости многомерных динамических систем, основанные на использовании представления Лакса (L–A-пары). Введены также необходимые объекты дифференциальной геометрии, в основном связанные с тензорными законами сохранения, наличие которых, как оказывается, и приводит к возможности записи уравнений движения в форме Лакса.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 28 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.