WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 30 |
УДК 531 Интернет-магазин • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • т е х н и к а http://shop.rcd.ru Работа выполнена в лаборатории нелинейной динамики института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН и Удмуртском государственном университете Борисов А. В., Мамаев И. С.

Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы / Сборник статей. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 328 стр.

В сборнике представлены статьи ведущих российских специалистов по основным динамическим эффектам в движении неголономных систем. Большинство статей написаны специально для этого сборника и содержат новые результаты, в частности, численно исследованы трехмерные отображения, возникающие в задачах о качении тел. Приведены новые геометрические образы динамики и различные иерархии поведения систем.

Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, специалистов по динамическим системам.

ISBN 5-93972-167-2 © Институт компьютерных исследований, 2002 http://rcd.ru Оглавление I. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 1 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Краткий очерк развития неголономной механики........................ 11 2 А. С. Сумбатов. Неголономные системы......... 20 1. Введение.............................. 20 2. Примеры неголономных связей, идеальных по Лагранжу.. 22 3. Уравнения движения....................... 24 4. Обобщения принципа Гамильтона............... 35 5. Обобщение теоремы Гамильтона – Якоби........... 42 II. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ 3 В. В. Козлов, Н. Н. Колесников. О теоремах динамики. 51 4 А. П. Маркеев. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью............................... 59 5 Ю. Н. Федоров. О движении твердого тела в шаровом подвесе............................... 6 А. В. Борисов, Ю. Н. Федоров. О двух видоизмененных интегрируемых задачах динамики............... 7 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара..................... 8 А. А. Килин. Динамика шара Чаплыгина в абсолютном пространстве............................ 1. Введение.............................. 2. Уравнения движения и их интегрирование.......... 2.1. Уравнения движения и интегралы............. 2.2. Интегрирование уравнений движения в случае нулевой константы площадей.................... 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 2.3. Интегрирование уравнений движения в случае ненулевой константы площадей.................. 3. Бифуркационная диаграмма, периодические решения и точка контакта............................ 3.1. Случай (M, ) = 0..................... 3.2. Случай (M, ) = 0..................... 3.3. Случай M........................ 4. Качение шара с гироскопом................... 9 А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин. Динамика катящегося диска.......................... 1. Введение.............................. 2. Качение твердого тела по плоскости.............. 2.1. Уравнения движения и их интегралы........... 2.2. Качение тяжелого диска.................. 2.3. Приведение к интегрируемой одностепенной гамильтоновой системе........................ 2.4. Квадратуры для углов собственного вращения и прецессии2.5. Движение точки контакта................. 3. Качественный анализ и результаты............... 3.1. Бифуркационный анализ приведенной системы..... 3.2. Качественный анализ движения апексов......... 3.3. Анализ движения точки контакта............. 10 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Шар Чаплыгина, задача Суслова и задача Веселовой. Интегрируемость и реализация связей................................ 1. Задача Суслова. Уравнения движения и квадратуры.. 2. Задача Веселовой...................... 3. Некоторые замечания. Многомерные обобщения.... 4. Качение шара Чаплыгина по прямой (А. П. Веселов, Л. Е. Веселова)........................ 5. Универсальная реализация связей задачи Чаплыгина, Суслова и Веселовой и их комбинаций.......... 11 А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин. Интегрируемость качения шара по произвольному цилиндру.......... 1. Уравнения движения шара по поверхности и их интегралы. 2. Движение по цилиндру..................... 3. Эллиптический цилиндр. Компьютерные иллюстрации... 12 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Препятствие к гамильтоновости неголономных систем................... ОГЛАВЛЕНИЕ 13 Список известных интегрируемых задач неголономной механики............................... III. ИЕРАРХИЯ ДИНАМИКИ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ 14 В. В. Козлов. К теории интегрирования уравнений неголономной механики........................ 1. Введение.............................. 2. Дифференциальные уравнения с инвариантной мерой.... 3. Задача С. А. Чаплыгина..................... 4. Обобщение задачи С. А. Чаплыгина.............. 5. Задача Г. К. Суслова и ее обобщения.............. 6. Использование первых интегралов в качестве связей.... 7. Симметрии неголономных связей................ 8. Существование инвариантной меры.............. 15 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Качение твердого тела по плоскости и сфере. Иерархия динамики........... 1. Уравнения движения твердого тела по плоскости и сфере без проскальзывания (неголономное качение)........... 2. Тело на плоскости........................ 3. Тело на сфере........................... 4. Заключение............................ 16 А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин. Качение шара по поверхности. Новые интегралы и иерархия динамики. 1. Введение.............................. 2. Уравнения движения шара по поверхности.......... 3. Движение шара по поверхности вращения.......... 4. Качение шара по поверхностям второго порядка — неголономная задача Якоби....................... 5. Движение шара по цилиндрической поверхности....... IV. ДИНАМИКА КЕЛЬТСКИХ КАМНЕЙ 17 А. П. Маркеев. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости...................... 18 А. В. Карапетян, А. С. Кулешов. Стационарные движения неголономных систем....................... 1. Общие положения теории Рауса................ 2. Механические системы с симметрией............. 8 ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Стационарные движения шара на абсолютно шероховатой плоскости............................. 4. Стационарные движения неголономных систем Чаплыгина.



Общая теория........................... 5. Динамика кельтского камня................... 6. Стационарные движения неголономных систем с неизвестными первыми интегралами................... 7. Стационарные движения диска на абсолютно шероховатой плоскости............................. 8. Заключение............................ 19 А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Странные аттракторы в динамике кельтских камней.................... 1. Исторические комментарии и уравнения движения... 2. Модели поверхности — параболоид и эллипсоид.... 3. Переменные Андуайе – Депри и трехмерные отображения Пуанкаре........................ 4. Симметрии потока и отображения............. 5. Устойчивость перманентных вращений (И. А. Астапов, А. В. Карапетян)....................... 6. Бифуркация Хопфа. Рождение цикла (А. В. Карапетян). 7. Нелинейные колебания вблизи положения равновесия (А. П. Маркеев)....................... 8. Несуществование инвариантной меры (В. В. Козлов).. 9. Численные исследования Линдберга, Лонгмана..... 10. Глобальная динамика кельтского камня......... Приложение 1. Интегрирование кельтского камня........ Приложение 2. Пример обратимого отображения плоскости.. I ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ А. В. Борисов, И. С. Мамаев В этом введении мы хотим выделить основные аспекты развития механики неголономных систем не столько с исторической точки зрения, а по степени влияния различных работ на последующее развитие теории динамических систем. С этой точки зрения многие направления, на которые были затрачены большие усилия, оказались мало востребованными современной наукой, с другой стороны, исследования, которым не придавали большой роли — вновь возрожденными к жизни и получившими новое развитие. Мы также сразу укажем на свое негативное отношение к излишнему современному формализму в динамике, который, вообще говоря, связан с ее недавней бурбакизацией. Как и во всей математике, механике и в обсуждаемой книге области, такого сорта методы почти ни к чему не привели и мы здесь подчеркиваем свое предпочтение к исследованию конкретных систем, обнаружению действительных динамических эффектов в новых и классических задачах. Эти положения и продиктовали выбор работ для этого сборника.

В развитии неголономной механики можно выделить два направления, в каждом из которых имеются интересные исследования. Одно из них связано с общим формализмом уравнений динамики, который отличается от лагранжева и гамильтонова метода составления уравнений движения. Исторически ряд ошибок известных математиков, среди которых можно назвать К. Неймана [33] и Э. Линделефа [32] был связан с некорректностью применения уравнений Лагранжа при наличии неинтегрируемых связей для описания задачи о качении тела без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Общее понимание неприменимости уравнений Лагранжа и вариационных принципов в неголономной механике принадлежит Г. Герцу, который обсуждает эти вопросы 12 А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ в своем фундаментальном труде «Принципы механики, изложенные в новой связи» [4]. Заметим, что этот труд в основном посвящен концепции скрытых циклических параметров (координат, масс), которую Герц противопоставлял обычному представлению о взаимодействии как результате действия сил.





Замечания Герца развил А. Пуанкаре [13] в своей известной работе «Идеи Герца в механике», из которой здесь мы приведем несколько абзацев, иллюстрирующих взгляды обоих ученых.

«Герц называет системы голономными, если связи не позволяют непосредственно переходить из одного положения в другое бесконечно близкое положение, то они не позволяют также переходить от первого положения ко второму косвенно. В таких системах существуют только жесткие связи.

Видно, что наша сфера1 не является голономной системой.

Итак, бывает, что принцип наименьшего действия не применим к неголономным системам. Действительно, можно перейти от положения A к положению B таким путем, который мы только что рассмотрели, и, несомненно, множеством других путей. Среди всех этих путей есть, очевидно, один, который соответствует наименьшему действию. Следовательно, сфера должна была бы быть в состоянии проследовать по этому пути из A в B. Но это не так: каковы бы ни были начальные условия движения, сфера никогда не перейдет из A в B.

Более того, если сфера действительно переходит из положения A в положение A, она не всегда движется тем путем, который соответствует минимальному действию.

Принцип наименьшего действия больше не является верным.

«В этом случае, — говорит Герц, — сфера, которая подчинялась бы этому принципу, казалась бы живым существом, которое сознательно преследовало бы определенную цель, тогда как сфера, которая следовала бы закону природы, имела бы вид неодушевленной однообразно катящейся массы... Но подобных связей в природе не существует. Так называемое качение без проскальзывания является на самом деле качением с небольшим проскальзыванием. Это явление входит в ряд необратимых явлений, таких как трение, еще плохо изученных, к которым мы еще не умеем применять истинные принципы Механики.» «Качение без проскальзывания, — ответим мы, — не противоречит ни закону сохранения энергии, ни какому-либо из известных законов физики. Это явление может быть осуществлено в наблюдаемом мире с такой точностью, которая позволяет использовать его для конструирования самых точных машин интегрирования (планиметры, гармонические анализаторы и т. д.) Мы не имеем никакого права исключать его как невозможное. Проблемы же наши остаются независимо от того, реализуется ли такое качение в точности или же лишь приблизительно. Для того, чтобы принять принцип, необходимо потребовать, чтобы его применение к задаче, данные которой близки к точным, давало бы и близкие к точным результаты. К тому же, другие, жесткие связи также лишь Здесь рассматривается сфера, катящаяся по плоскости без проскальзывания.

КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ приблизительно осуществимы в природе. Однако их ведь не исключают из рассмотрения... » Основное отличие неголономной механики от обычной лагранжевой состоит в том, что уравнения связей, записанные через обобщенные координаты qj и обобщенные скорости qj в виде fi(q, q, t) = 0, i = 1,..., k, q = (q1,..., qn) (1) не могут быть представлены в конечном (интегральном) виде Fi(q, t) = 0, (2) задающем ограничения только на обобщенные координаты. В этом смысле говорят, что связи являются неинтегрируемыми (дифференциальными). По Герцу [4] они также называются неголономными2.

Исторически первой общей формой уравнений неголономной механики следует считать уравнения Феррерса с неопределенными множителями 1,..., k (1871 г.) fj d T T - = Qi + j. (3) dt qi qi qi j В уравнениях (3) T — кинетическая энергия, Qi — обобщенные силы, а j являются неопределенными множителями, которые, вообще говоря, однозначно восстанавливаются из условия связи f(q, q) = 0. Рас сматриваемые в неголономной механике связи, как правило, являются линейными по обобщенным скоростям fi(q, q, t) = aik(q, t)qk + ai(q, t) = 0. (4) k Именно такие связи реализуются в содержательных задачах. Тем не менее, Больцманом и Гамелем был указан несколько искусственный пример нелинейной неголономной связи. Феррерс также исключил неопределенные множители и получил некоторый аналог лагранжевых уравнений движения [27].

Кроме уравнений Феррерса в неголономной механике используются также уравнения Аппеля, Чаплыгина, Маджи, Вольтерра, Больцмана – Термин голономный происходит от двух греческих слов o (целый, интегрируемый) и oµo (закон).

14 А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ Гамеля. Такое разнообразие форм уравнений, вообще говоря, не является значительным продвижением. Все эти формы связаны с различными способами исключения неопределенных множителей и на практике, как правило, не используются. При составлении конкретных уравнений движения, связанных, например, с качением обычно пользуются общими уравнениями динамики или универсальными уравнениями в форме (3).

В качестве интересного факта отметим, что, например, С. А. Чаплыгин, получивший общую форму уравнений неголономной механики, носящей его имя, при решении конкретных неголономных задач (принесших ему мировую известность) пользовался не этими уравнениями, а общими принципами динамики. С другой стороны, известный киевский механик П. В. Воронец, также получивший общие динамические неголономные уравнения, кстати говоря, имеющие очень громоздкую форму, настойчиво старался использовать их при изучении конкретных систем. К сожалению, во многих случаях это привело лишь к неоправданным усложнениям в анализе и, видимо, только препятствовало открытию новых динамических результатов.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 30 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.