WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 51 |

• a(b + c) = ab + ac распределительность или дистрибутивность — сложения относительно умножения.

Числовые множества N, Z, Q и R являются примерами так называемых числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, гово рят: кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел. Эти термины мы будем обсуждать во второй половине нашего кур са. Там мы покажем, в частности, что поле действительных чисел можно расширить и получить так называемые комплексные числа.

Вспомним теперь действия со степенями. По определению a0 = 1, an = a · a · a... · a, a-n =.

· an n Отсюда следует, что для любых целых чисел m и n справедливы следу ющие формулы:

am · an = am+n, (an)m = amn, an · bn = (ab)n.

Число, которое после возведения в степень n оказывается равным a, называется корнем степени n из a. Если число n нечётное, то существует n только один корень степени n из числа a, который обозначается a или an.

24 Глава I. Числа Если n чётное, а число a положительное, то корней будет два. Напри — мер, числа 3 и -3 будут корнями четвёртой степени из 81, так как 34 = 81 и (-3)4 = 81. Положительный корень называется арифметическим, и имен n но он обозначается символом a или an.

Степень с дробным показателем определяется и записывается так:

m m m n n a = an = a.

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида ax, где x любое — действительное число, например 2. Действия с такими степенями произ водятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например 2 2+ 3 · 3 = 3.

При работе с калькулятором или компьютером числа удобно записы вать в так называемой стандартной (экспоненциальной) форме, то есть в виде произведения двух множителей, первый из которых заключён между числами 1 и 10, а второй представляет собой степень десятки: 243507 = = 2,43507 · 105; 0,184 = 1,84 · 10-1 и т. д.

Пример 6.1. Вычислите с помощью калькулятора выражение 1/ 7 8 - 0,93 · 2,41 + 6,2 · 5,723 - 4,/, 72,3 : 8,(16 · 13,72 - 3 11) + - 2,/ округляя в каждом действии результат до тысячных. Окончательный резуль тат округлите до сотых.

Решение. Прежде всего определяем порядок действий. Сначала нужно выполнить действия в числителе, затем в знаменателе, и после этого воз — вести полученную дробь в степень 1 2, то есть извлечь из неё квадратный / корень. Поскольку все операции будут выполняться с десятичными дробя ми, то обыкновенные дроби предварительно будем переводить в десятичные и округлять до четырёх знаков после запятой.

Найдём числитель: 0,93 = 0,729; 7 8 - 0,729 = 0,875 - 0,729 = 0,146;

/ 0,146 · 2,41 = 0,0,352. Мы подчёркиваем первую отбрасываемую при округлении цифру: 5,723 = 2,3922... 2,392; 2,392 · 6,2 = 14, 14,830; 14,830 - 4,25 = 10,580; 0,352 + 10,580 = 10,932.

Теперь находим знаменатель: 16 · 13,72 = 219,52; 219,52 - 3 11 = / = 219,52 - 0,27272... 219,52 - 0,2727 = 219,2473 = 219,247. Продолжа ем вычисления: 72,3 : 8,4 = 8,6071... 8,607; 8,607 : 6 = 1,4345 1,434;

219,52 + 1,434 = 220,954; 2,13 = 9,261; 220,954 - 9,261 = 211,693.

Делим числитель на знаменатель и извлекаем квадратный корень, полу чая = окончательный ответ: 10,932 : 211,693 = 0,0516... 0,052; (0,052)1/= 0,052 = 0,2280... 0,23.

§ 7. Проценты Упражнения 1. Вычислите и округлите до тысячных следующие величины: 3, 5, 13, 19.

2. Сравните следующие пары чисел, заменив букву и на нужный знак неравенства:

« » 2 а) 0,142816 и 0,142827; б) 2 и 3; в) и ; г) 5 и 2,1421619.

7 3. Округлите числа и e до тысячных.

4. Решите неравенство 3x + 7 > 0. Запишите ответ с помощью бесконечной периодической десятичной дроби, а затем округлите его до сотых.

5. Выполните указанные действия, используя стандартную форму записи числа:

а) 375648 · 2970361; б) 76580334 : 661; в) 1,24305 · 107 · 4,21773294 · 104.

6. Вычислите с помощью калькулятора выражение 1/ 2,63 + 9 8 : 6,37 - 2,44 - 4,637 · 8,/, 120,3 : 7,2,12 - - (1 17 - 14 · 21,51) / округляя в каждом действии результат до тысячных. Ответ округлите до сотых.

§ 7. Проценты Одна сотая доля какого-либо количества называется процентом. На пример, если в городе N всего 300 судей, то 3 судьи это 1%, 6 судей — — это 2% и т. д.

Пример 7.1. Некто утаил прибыль в размере 10 миллионов рублей. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22% Решение. Обозначим искомую сумму через x, тогда 10 000 000 рублей со ставляет 100%, а x рублей составляет 22%. Составим пропорцию:

10000000 100 10000000 · = 10000000·22 = x·100 x = = 2200000.

x 22 Различают три типа задач на проценты. В задачах первого типа отно шение двух чисел выражают в процентах. В задачах второго типа находят требуемое количество процентов от известного числа. Наконец, в задачах третьего типа ищется число по заданным нескольким его процентам.

Пример 7.2. В суде рассмотрено 40 дел, в том числе 5 по обвинению в воровстве. Сколько процентов последние составляют от всех дел Решение. Составим пропорцию: 40 дел 100%, 5 дел x%, — — 40 100 5 · = 40 · x = 5 · 100 x = = 12,5.

5 x Сформулируем общее правило: чтобы найти процентное отноше ние первого числа ко второму, нужно разделить первое число на вто рое и умножить полученное частное на 100%.

26 Глава I. Числа Пример 7.3. За отчётный год в районе зарегистрировано 1250 преступ лений, 16% из них составляют преступления в сфере экономики. Найдите число таких преступлений.

Решение. Обозначим искомое число через x и составим пропорцию: преступлений 100%, x преступлений 16%, — — 1250 100 1250 · = 1250 · 16 = x · 100 x = = 200.

x 16 Получаем следующее правило: чтобы найти указанное число про центов от данного числа, нужно разделить заданное число на 100 и умножить на данное число процентов.

Пример 7.4. В 2002 году в области N в результате дорожно-транспорт ных происшествий погибло 1748 человек, что составляет 6,903% от общего числа пострадавших во всех происшествияй. Найдите общее число постра давших.

Решение. Обозначим число всех пострадавших через x и составим про порцию: x пострадавших 100%, 1748 пострадавших 6,903%, — — x 100 1748 · = 6,903 · x = 1748 · 100 x = = 25322.

1748 6,903 6,Соответствующее правило звучит так: чтобы найти число по несколь ким его процентам (данной величине), нужно умножить эту величи ну на 100 и разделить на данное число процентов.

На самом деле, чтобы научиться правильно решать задачи на проценты, совершенно не обязательно запоминать формулировки правил. Главное — правильно составить пропорцию.

Пример 7.5. В четырёх районах областного центра зарегистрировано за год соответственно 1819, 2289, 2070 и 1834 преступлений. Процент раскры ваемости преступлений по районам оказался таким: 70,3; 66,0; 66,6; 70,5.

Найдите процент раскрываемости в целом по городу.

Решение. По условию в первом районе зарегистрировано 1819 преступ лений и раскрыто 70,3% этих преступлений. Значит, можно найти число раскрытых преступлений. Это задача второго типа. Итак, число раскры тых преступлений в первом районе будет 1819 · 0,703 = 1278,757 1279.

Найдём число раскрытых преступлений и для других районов: 2289 · 0,66 = = 1510,74 1511; 2070 · 0,666 = 1378,62 1379; 1834 · 0,705 = 1292, 1293. Теперь найдём число раскрытых преступлений во всём городе:

1279 + 1511 + 1379 + 1293 = 5462. С другой стороны, число всех заре гистрированных в городе преступлений по условию задачи равно 1819 + + 2289 + 2070 + 1834 = 8012, поэтому процент раскрываемости преступле 5462 · 100% ний по городу будет равен = 68,2%. Сравнивая этот результат § 7. Проценты с процентами по районам, мы видим, что в первом и четвёртом из них дела обстоят лучше, чем по городу в целом.

Сделаем важное замечание. Возникает искушение взять в качестве от вета среднее арифметическое чисел 70,3; 66,0; 66,6; 70,5:

70,3 + 66,0 + 66,6 + 70,5 273,= = 68,35.

4 Как мы видим, это число отличается от найденного выше. При изучении среднего арифметического мы объясним, почему только первый способ ре шения является верным.

Пример 7.6. Таблица 3 содержит данные за 2002 и 2003 годы о количе стве совершённых преступлений и о ходе следствия по ним. Известно, что половина вынесенных приго Таблица воров обвинительные, при — чём 52% из них в 2002 го Год 2002 ду и 40% в 2003 году приве Всего преступлений 5840 дены в исполнение. Дополним Тяжких 35 указанную таблицу двумя но В состоянии опьянения 2961 выми столбцами, содержащи Транспортных 1147 ми процент, который составля Завершено 3950 ют соответствующие абсолют Всего приговоров 3272 ные значения от общего числа Обвинительных преступлений за 2002 и Исполнено годы.

Обработаем данные за 2002 год. По условию половина вынесенных при говоров обвинительные, поэтому их будет 3272 : 2 = 1636. Найдём 40% — от этого числа и заполним последнюю строку второго столбца: 1636 · 0,4 = = 654,4 654 (число приговоров не может быть дробным). Теперь, приняв число всех преступлений (5840) за 100%, найдём, сколько процентов состав ляют числа 35, 2961 и т. д. (задача первого типа). В результате получается таблица 4.

Таблица Год 2002 Всего преступлений 5840 100% Тяжких 35 0,60% В состоянии опьянения 2961 50,70% Транспортных 1147 19,64% Завершено 3950 67,64% Всего приговоров 3272 56,03% Обвинительных 1636 28,01% Исполнено 654 11,20% 28 Глава I. Числа Упражнения 1. Дозаполните таблицу 4 в колонках данных за 2003 год.

2. Найдите процент раскрываемости краж из складов и торговых точек в целом по городу.

Сведения по отдельным районам представлены в таблице 5.

Таблица Район Число краж Процент раскрываемости Заволжский 7 75,Московский 69 41,Пролетарский 25 34,Центральный 29 13,§ 8. Сложные проценты Мы расскажем сейчас одну историю, которая произошла в городе Дрю ково. На карте этого города нет, как нет и других, о которых вы узнаете в следующих параграфах. Героями наших историй будут студенты, чиновники, банкиры, юристы, милиционеры, правонарушители люди, находящиеся в — самых разнообразных отношениях с законом и обществом. С их помощью мы будем моделировать различные правовые коллизии, представляющие ин терес для будущих юристов. Для описания возникающих проблем мы будем привлекать простейшие математические методы.

Так вот, однажды майор Зимин принёс в Дрюковоуниверсалбанк одну тысячу рублей и поинтересовался, сколько же будет у него на счёте через десять лет В Дрюкове живут исключительно вежливые люди, особенно те, которые служат в банках. Они быстренько всё подсчитали и сообщили майору Зимину следующее.

По истечении года банк начисляет на вклад 5%. Поэтому через год « к Вашей тысяче рублей добавится 1000 · 0,05 = 50 рублей, и вклад будет составлять 1050 рублей. По истечении второго года к этой сумме добавится ещё 5%, то есть 1050 · 0,05 = 52,5 рублей. Таким образом, через два года на Вашем счёте будет уже 1050 + 52,5 = 1102 рубля 50 копеек. К концу третьего года... » Все ясно! воскликнул майор. Он был человеком образованным и « » — сразу понял суть дела. Через год мой вклад будет 1000 + 1000 · 0,05 = « = 1000 · 1,05 рублей. Через два получится 1000 · 1,05 + (1000 · 1,05) · 0,05 = = 1000 · 1,05 · 1,05 = 1000 · 1,052 рублей. Через 3 года на счёте будет 1000 · 1,052 + (1000 · 1,052) · 0,05 = 1000 · 1,052 · (1 + 0,5) = 1000 · 1,рублей, через 4 года... » Совершенно верно, ответили ему. Через 4 года будет 1000 · 1,« » — « рублей, а через 10 лет 1000·1,0510 рублей, то есть 1628 рублей 94 копей — ки. Майор быстро проверил этот результат на своём калькуляторе: 1,052 = » = 1,05 · 1,05 = 1,1025; 1,054 = 1,10252 1,2155062; 1,058 = 1,§ 8. Сложные проценты 1,4774553; 1,0510 = 1,058 · 1,052 1,4774553 · 1,1025 1,6288944;

1000 руб. · 1,6288944 = 1628,944 руб. 1628 руб. 94 коп.

Майор Зимин остался доволен перспективой и решил её улучшить — съездил домой и привёз ещё одну тысячу рублей. Он легко подсчитал, что через 10 лет у него накопится 2000 · 1,62288944 руб. 3257 руб. 89 коп., и тут же задумался: сколько у него накопилось бы через 20 лет Размышляя об этом, майор Зимин открыл формулу сложных процентов: если началь ный вклад равен A, а в конце каждого года банк начисляет p%, то через t лет величина вклада (обозначим её At) будет t p At = A · 1 +.

Значит, через 20 лет у него было бы 2000 · 1 + = 2000 · 1,0520 = = 2000 · 1,0510 · 1,0510 2000 · (1,6228944)2 5267 руб. 57 коп.

Вечером Зимин рассказал о своём открытии соседской бабушке. Эта бабушка очень уважала серьёзных мужчин, поэтому следующим утром она поехала в банк и положила (на чёрный день) пятьдесят рублей.

У этой истории получилось интересное продолжение. Желая привлечь побольше вкладчиков, Дрюковоуниверсалбанк стал начислять проценты че рез каждые полгода. Но, чтобы не оставить себя в дураках, он уменьшил процентную ставку вдвое, сделав её 2,5%. Поэтому после первого начисле ния (то есть через полгода) вклад становится равным A·1,025 рублей, после второго, то есть через год, A ·1,0252 рублей и т. д. При таких процентах у — майора Зимина через год на счёте оказалось бы немного больше, а именно 1000 · 1,0252 1050 рублей 62,5 копейки, а не 1050 рублей, как раньше.

Но тут конкурирующий банк Процветание объявил, что начисляет « » проценты по истечении каждого квартала в размере 1,25%. В таком случае через год сумма вклада майора Зимина оказалась бы ещё немного боль ше: 1000 · 1,01254 1050 рублей 94,5 копейки, а 50 бабушкиных рублей выросли бы за год до 52 руб. 55 коп. Однако Дрюковоуниверсалбанк, не желая терять вкладчиков, решил начислять ежемесячно %, что через год приводит к сумме A · 1 + рублей! Тогда банк Процветание объявил о начислении процентов каждую « » неделю в размере % соответственно, поэтому в конце года у вкладчика 0,оказывалась ещё большая сумма: A · 1 + рублей. В пылу борьбы за кошельки вкладчиков Дрюковоуниверсалбанк перешёл к ежедневному 0,начислению доли %, на что разгорячённое Процветание ответило « » 30 Глава I. Числа ежечасным начислением по %, тогда...

В общем, борьба продолжалась. Поднятая банками шумиха стала для них хорошей рекламой, и к ним потянулись клиенты. Директор банка Дра « кон подумал о том, как ему вмешаться в это состязание и выиграть его. Он » поручил своему юристу разобраться в этом деле, и тот рассудил примерно так.

Будем считать для простоты, что начальный вклад составляет 1 рубль, и начисление идет n раз в год каждый раз по 1 n рубля. Обозначим через Bn / сумму, накопившуюся в конце года. При различных значениях n получаются следующие суммы:

1 2 3 n 1 1 1 B1 = 1 +, B2 = 1 +, B3 = 1 +,..., Bn = 1 +.

1 2 3 n Поскольку юрист изучал в вузе математику, он сразу вспомнил, что бесконечная последовательность чисел, которая получается таким образом, имеет предел e = 2,71828... то самое замечательное иррациональное — число, о котором мы с вами говорили в §5.

Значит, как бы Дрюковоуниверсалбанк и банк Процветание ни стара « » лись дробить процентную ставку и период начисления, вклад, самое боль шее, может увеличиться за год не более чем в e раз! И причём только в том случае, если начисление будет идти непрерывно. Следовательно, чтобы обойти конкурентов, нужно предложить такую схему начисления процентов, которая давала бы увеличение вклада за год больше, чем в e раз, например в 2,8 раза.

В заключение заметим, что задачи на сложные проценты можно весьма эффективно решать на компьютере. При этом следует пользоваться либо системами компьютерной алгебры, описанными в следующем параграфе, либо электронными таблицами, знакомство с которыми состоится в конце третьей главы.

Упражнения 1. Подсчитайте, сколько денег будет у бабушки соседки майора Зимина на счёте через — — сто лет, если она положила (на чёрный день) 50 рублей, а банк ежегодно начисляет 5%.

2. Найдите, какой должна быть ежегодная процентная ставка, чтобы за 3 года происходило удвоение вклада.

§ 9. Системы компьютерной алгебры Среди множества компьютерных программ особое место занимают так называемые системы компьютерной алгебры, позволяющие производить различные математические вычисления как в числовом, так и в символь ном виде. Эти программы являются, по-существу, волшебными палочками « выручалочками при проведении сложных или трудоемких вычислений. Они » § 9. Системы компьютерной алгебры обладают колоссальными возможностями, значительная часть которых ис пользуется профессиональными математиками.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 51 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.