WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 51 |

2 О решении алгебраического уравнения n-й степени общего вида anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 = 0 (3) речь пойдет позже. Корни же квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, как известно, находят по формулам -b + b2 - 4ac -b - b2 - 4ac x1 =, x2 =. (4) 2a 2a В школьных учебниках числа a, b и c обычно подбирают так, чтобы корень извлекался, то есть под корнем получался квадрат целого числа. Но если коэффициенты уравнения не подбирать специально, то корни x1 и x2 будут, вообще говоря, иррациональными числами, то есть бесконечными неперио дическими десятичными дробями. То же самое справедливо и для уравнений любой степени.

16 Глава I. Числа На практике бесконечные десятичные дроби всегда заменяют прибли жёнными конечными. Как показывает следующий пример, делать это надо весьма аккуратно. Рассмотрим квадратное уравнение 14,5x2 + 7,12x - 3 = 0.

Сразу заметим, что всякое уравнение, в том числе и это, можно решать либо точно, либо приближённо. Мы проиллюстрируем сейчас оба способа, а затем сравним их точность. Рассмотрим сначала точный способ, для чего запишем коэффициенты уравнения в виде обыкновенных дробей:

1 3 14 x2 + 7 x - 3 = 0.

2 25 После вычисления дискриминанта D = b2 - 4ac = находим корни нашего уравнения:

178 4 · 178 - - - -b - D 25 x1 = = = = 2a 2 · 178 · 3 2 - -534 - 2 379414 -534 - 2 25 · 3 = = = ;

29 29 · 75 -b + D -534 + 2 x2 = =.

2a Мы получили точные решения заданного квадратного уравнения, но они записаны в очень неудобной форме. По виду этой записи мы не можем даже грубо оценить найденные числа. Поэтому найдём приближённые значения корней x1 и x2, например, с помощью калькулятора. Сначала вычислим квадратный корень. Калькулятор покажет приближённое значение корня с четырьмя десятичными знаками после запятой: 379414 615,9659. Все эти знаки являются верными, а допущенная погрешность вычислений мень ше 0,0001. Продолжая расчёт, получаем:

534 + 2 · 615, x1 - = -0,8119226.

При этих вычислениях погрешность менялась следующим образом: сна чала её умножили на 2, а затем поделили на 2175. В итоге она уменьшилась в 1000 с лишним раз и вместо 0,0001 стала 0,0000001. Поэтому из написан ных семи десятичных знаков после запятой первые 6 знаков будут верными и окончательный ответ будет такой: с точностью до 0,0000001 первый ко рень равен x1 -0,8119226. С такой же точностью мы найдём и второй корень уравнения: x2 0,3208881.

§ 5. Два замечательных иррациональных числа Теперь решим данное уравнение другим способом. Перепишем его, за менив последний коэффициент 3 его приближённым значением 3,78. В результате получим уравнение 14,5x2 + 7,12x - 3,78 = 0, которое можно назвать приближённым к заданному уравнению.

Сначала, как обычно, вычисляем дискриминант:

D = 7,122 - 4 · 14,5 · (-3,78) = 50,6944 + 219,24 = 269,9344, а затем находим корни, обозначив их через x и x :

1 -7,12 - 269,9344 -7,12 - 16,x = -0,8120579;

29 -7,12 + 269,9344 -7,12 + 16,x = 0,3210234.

29 Теперь обсудим результаты. Мы решили два квадратных уравнения, точ ное и приближённое. Второе решать значительно легче, так как на всех этапах решения, с самого начала и до конца, можно пользоваться кальку лятором. Но сравнивая соответствующие корни этих уравнений (x1 с x, xc x ), мы видим, что они различаются начиная с третьего десятичного зна ка после запятой. Иными словами, заменяя уравнение приближённым, мы выигрываем в скорости, но проигрываем в точности.

В рассмотренном примере приближённое уравнение дало 2 верных деся тичных знака после запятой, однако так хорошо бывает не всегда. Можно подобрать такое плохое квадратное уравнение с дробными коэффициен « » тами, что его приближённое уравнение начнёт врать уже со второго знака! « » Вывод: если вам важен точный результат, решайте первым способом, при меняя калькулятор лишь на последнем этапе вычислений.

Заметим, что системы компьютерной алгебры позволяют получить как точные формулы для корней квадратных уравнений, так и приближённые значения корней с любой степенью точности без утомительных вычислений.

Примеры будут рассмотрены в последнем параграфе главы.

Упражнения 1. Докажите, что числа 3 и 10 являются иррациональными.

2. Решите уравнение 16,5x2+1,24x-4 = 0 точно и приближённо, оценив количество верных десятичных знаков в обоих случаях.

§ 5. Два замечательных иррациональных числа В этом параграфе мы определим два очень важных числа. Первое из них число, равное отношению длины l произвольной окружности к — 18 Глава I. Числа её диаметру d: = l d. Это число известно с глубокой древности. Вави / лонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные 22 355 приближённые значения числа : 3, 10,,, и другие. Рассмат 7 113 ривая вписанные в окружность правильные 2n-угольники, Архимед5 умел вычислять с большой точностью. В частности, он нашел, что 223 < <.

71 Лейбниц6 доказал, что число 4 можно представить в виде следующего / ряда (заметьте, что дроби в правой части не являются десятичными):

1 1 1 1 = 1 - + - + - +... (5) 4 3 5 7 9 Этот ряд позволяет находить приближённые значения числа. Напри мер, мы можем переписать равенство (5) так:

1 1 1 1 1 1 1 = 1 - + - + - - - - -...

4 3 5 7 9 11 13 15 В скобках стоят положительные числа. Поэтому, отбросив их, мы уве личиваем правую часть:

1 1 1 1 < 1 - + - + =.

4 3 5 7 9 Умножая на 4, получаем оценку сверху: <. С другой стороны, из того же равенства (5) находим:

1 1 1 1 1 1 = 1 - + - + - + - +...

4 3 5 7 9 11 13 Числа в скобках вновь положительны. Поэтому, отбрасывая их, находим:

1 1 1 > 1 - + - =, 4 3 5 7 что даёт оценку снизу: >.

912 Итак, мы выяснили, что < <. Это довольно грубая оценка 315 истинного значения числа. Её можно улучшить, если взять для оценки не 5, а более слагаемых из ряда (5). Вот первые 15 точных знаков после Архимед (287–212 гг. до н. э.) древнегреческий учёный.

— Готтфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) немецкий философ и математик.

— § 5. Два замечательных иррациональных числа запятой: = 3,141592653589793... Заметим, что ЭВМ позволяет получить многие тысячи точных знаков практически мгновенно.

Символ для обозначения отношения длины окружности к её диа метру предложил в 1706 году английский математик У. Джонсон. Ско рее всего, обозначение происходит от начальной буквы греческого слова — периферия, окружность. То обстоятельство, что число не является рациональным, доказали в конце XVIII века математики Ламберти Лежандр8.

Об этом замечательном числе можно рассказать много удивительных и поучительных историй. Вот вкратце история приближённого вычисления числа. Оно уточнялось по мере развития математики и математических методов. Мы уже отметили, что древние математики нашли довольно много различных приближённых значений для. В XVII веке Цейлен9, проделав колоссальную работу, вычислил 22 десятичных знака числа, а в году Лейбниц получил свой знаменитый ряд (5). Тем самым вопрос о сколь угодно точном вычислении числа был принципиально решён, проблема была переведена в практическую плоскость.

Между прочим, ещё 100 лет назад русские учителя математики придума ли простой способ запомнить первые десять знаков (после запятой) числа.

Любой школьник мог легко запомнить такое предложение: Кто и шутя « и скоро пожелаетъ пи узнать число, ужъ знает. Если вы посчитаете » число букв в каждом слове и выпишите результаты по порядку, то и увидите начало записи числа.

Другое известное в математике число число e, называемое также — неперовым числом в честь математика XVI века Непера10. Это число также может быть представлено в виде ряда 1 1 e = 1 + + + +... (6) 1! 2! 3! (Напомним, что n! = 1 · 2 · 3 ·... · n читается эн факториал.) « » Число e возникает в следующей задаче. Рассмотрим процесс органиче ского роста, например размножение бактерий. Будем считать, что все име ющиеся бактерии способны к размножению. Тогда скорость размножения в момент времени t, измеряемая в граммах в час, равна количеству бактерий, уже имеющихся к этому моменту. Если в начальный момент у нас был грамм бактерий, то через час их будет e грамм.

Другой пример. Пусть тело движется так, что его скорость (например, в метрах в секунду) в каждый момент времени t равна пройденному пути.

Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) немецкий астроном, математик, физик и фило — соф.

Андре Мария Лежандр (1752–1833) французский математик.

— Лудольф ван Цейлен (1540–1610) голландский математик.

— Джон Непер (1550–1617) шотландский математик.

— 20 Глава I. Числа Тогда путь (в метрах), пройденный телом за 1 секунду, считая от начала дви жения, равен e. Вместо движения можно рассматривать и другие процессы, скорость течения которых обладает аналогичным свойством. Такие процес сы весьма часто встречаются в природе, общественной жизни, экономике, они описывают биологические, демографические и другие явления. В нашем курсе мы не раз встретимся с математическим описанием таких процессов, познакомимся с уникальными свойствами числа e.

Чтобы найти приближённое значение числа e, нужно в сумме (6) оста вить несколько слагаемых, а остальными пренебречь. Чем больше слагае мых мы оставим, тем точнее будет результат: e = 2,718281828459045...

Возьмём произвольное натуральное число n. Тогда будет справедливо приближённое равенство 1 1 1 e 1 + + + +... +, (7) 1! 2! 3! n! правая часть которого представляет собой приближённое значение числа e, причём меньшее, чем e. Известно, что это приближённое значение отли чается от истинного значения числа e меньше, чем на. При n = 5, n · n! например, получаем 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1 + 1 + + + + = 1! 2! 3! 4! 5! 2 6 24 60 + 20 + 5 + 1 86 = 2 + = 2 = 2.

120 120 1 Погрешность в данном случае не превосходит = < 0,00167.

5 · 5! Поскольку найденное приближённое значение 2 = 2,716666... мень ше e, а погрешность этого приближения не превосходит 0,00167, то, e < 2,716666... + 0,00167 = 2,718366... Таким образом, 2,716666... < e < 2,718366..., откуда видно, что мы нашли два верных десятичных знака после запятой, то есть доказали, что e = 2,71... Используя ЭВМ, можно подсчитать чис ло e с любой точностью. Символ e принят в честь выдающегося математика XVIII века Эйлера11, который получил много замечательных формул, содер жащих это число.

В заключение отметим, что числа и e относятся к трансцендентным числам. Так называют числа, которые, в противоположность алгебраиче ским числам, не могут являться корнями никакого уравнения вида (3) с Леонард Эйлер (1707–1783) российский математик, академик Петербургской ака — демии наук.

§ 6. Действительные числа целыми коэффициентами. Трансцендентность числа доказал Линдеман12, а трансцендентность e Эрмит13.

— Упражнения 1. Найдите приближённое значение числа e, положив в формуле (7) число n = 6, и оцените погрешность этого значения.

2. Найдите приближённое значение числа по формуле (5), взяв n = 6. Сколько верных знаков числа получилось § 6. Действительные числа В предыдущих параграфах мы вспомнили бесконечные десятичные дро би; рациональные числа, то есть обыкновенные дроби, которые можно запи сать в виде бесконечной десятичной периодической дроби; иррациональные числа, которые записываются в виде бесконечных десятичных непериодиче ских дробей. Иррациональными являются корни большей части уравнений второй, третьей и т. д. степеней, а также трансцендентные числа и e.

Теперь напомним, что любое целое число и любая конечная десятичная дробь также могут быть записаны в виде бесконечной десятичной дроби, например, 2 = 2,000..., а 3,5 = 3,5000... Следовательно, бесконечные десятичные дроби это универсальный способ записи как рациональных, — так и иррациональных чисел.

Это обстоятельство даёт повод рассматривать множество всевозможных бесконечных десятичных дробей как самостоятельный объект. Для беско нечных десятичных дробей существует специальное название: они называ ются действительными, или вещественными, числами. Итак, все числа, которые мы упоминали до сих пор натуральные, целые, рациональные, ир — рациональные, алгебраические, трансцендентные являются действитель — ными числами. Множество всех действительных чисел обозначают через R.

Оно включает в себя множество рациональных чисел Q, которое, в свою очередь, включает в себя множество целых чисел Z, а последнее содержит множество натуральных чисел N:

N Z Q R.

Весьма важный математический факт заключается в том, что множество действительных чисел является упорядоченным. Это означает, что любые два действительных числа можно сравнить между собой, то есть указать, какое из них больше (или меньше). Процедура сравнения очень проста: нуж но последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях.

Например, 2,381615... > 2,381529..., так как на первых четырёх позициях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5.

Фердинанд Линдеман (1852–1939) немецкий математик.

— Шарль Эрмит (1822–1901) французский математик.

— 22 Глава I. Числа Описанное правило сравнения работает при одном (и единственном) со глашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, так как вся кую бесконечную периодическую дробь с периодом 9 можно заменить рав ной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999... = 1; 0,42999... = = 0,43; 2,65999... = 2,66.

Любое действительное число можно приблизить с любой степенью точ ности рациональным числом, то есть обыкновенной дробью. Возьмём, на пример, действительное число a = 0,101100111000..., которое устроено так: после запятой записана одна единица и за ней один нуль, затем две — единицы и два нуля, 3 единицы и 3 нуля и т. д. Очевидно, что эта дробь не является периодической, поскольку никакая группа нулей и единиц не повторяется. Пользуясь только что описанным правилом сравнения бес конечных десятичных дробей, запишем последовательность неравенств для рассматриваемого числа a:

0 < a < 1;

0,1 < a < 0,2;

0,10 < a < 0,11;

0,101 < a < 0,102;

0,1011 < a < 0,1012;

........................

Каждое из чисел, входящих в эти неравенства, можно считать прибли жённым значением числа a. Слева стоят приближения числа a по недостат ку, справа приближения по избытку.

— Сложить два произвольных действительных числа не так просто. Целые числа и обыкновенные дроби складывать умеем, но попробуйте сложить, мы например, 2 и 5. Сумму 2 + 5 можно легко найти приближённо, с по мощью калькулятора. Но сложить точно две бесконечные десятичные дроби 2 = 1,414... и 5 = 2,236... по правилу сложения конечных десятичных дробей мы не сможем, поскольку мы начинаем складывать справа, а у бес конечных дробей правого конца нет! Тем не менее, сумма двух любых бесконечных десятичных дробей все гда существует, и мы можем находить её приближённое значение с любой точностью. Как вы уже догадались, для этого нужно складывать соответ ствующие приближённые значения. Например, 2 + 5 = 1,414... + 2,236... 3,650...

Мы поставили знак приближённого равенства, потому что последняя цифра может оказаться на единицу больше (подумайте, почему) Таким образом, на практике выполнение арифметических операций с действительными числами сводят к операциям с конечными десятичными § 6. Действительные числа дробями. Для этого заданные действительные числа округляют с нужной степенью точности. Правила округления десятичных дробей поясним на при мерах. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

0,811 0,81, 0,812 0,81, 0,814 0,81, 0,816 0,82, 0,819 0,82.

Если десятичная дробь оканчивается на 5, то округлять можно по-раз ному. Если вычислений много, то нужно округлять попеременно то в одну, то в другую сторону. Тогда конечный результат будет ближе к истине. Если округлять всё время в одну сторону, то ошибка может накопиться и конеч ный результат будет весьма далёк от истины. Например, можно принять такое правило: если перед пятёркой стоит чётная цифра, то округляем в меньшую сторону, а если перед пятёркой стоит нечётная цифра округ — ляем в большую сторону: 0,815 0,82 и 0,825 0,82. Впрочем, теперь каждый округляет, как может. Калькулятор всегда округляет в меньшую сторону, просто отбрасывая хвост : 0,815 0,81, а 0,825 0,82. На « » логовый инспектор всегда округляет в большую сторону: 0,815 0,82, а 0,825 0,83.

Операции сложения и умножения действительных чисел обладают теми же свойствами, что и операции над целыми и рациональными числами:

• a + b = b + a; ab = ba переместительность или коммутативность;

— • (a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc) сочетательность или ассо — циативность:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 51 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.