WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 51 |

Теперь правило сравнения целых чисел можно описать так: во-первых, всякое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положи тельного числа; во-вторых, нуль меньше любого положительного чис ла; в-третьих, из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше абсолютная величина. Например, -7 < -3 < 0 < 5.

Напомним правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел. При сложении двух положительных или двух отрицательных чисел складывают их абсолютные величины и приписывают сумме тот же знак.

Например, 7 + 3 = 10, -7 + (-3) = -10. При сложении двух чисел с разными знаками от большей абсолютной величины отнимают меньшую и приписывают сумме знак того из чисел, которое имеет большую абсолютную величину. Например, -7+3 = -4, 7+ (-3) = 4. Вычитание можно заменить сложением:

-7 - 3 = -7 + (-3) = -10, 3 - 7 = 3 + (-7) = -4, 3 - (-5) = 3 + 5 = 8.

Произведение и частное двух чисел с одинаковым знаком положительно, а произведение и частное двух чисел с разными знаками отрицательно:

(-7) · (-3) = 21, (-7) · 3 = -21, 7 · (-3) = -21, 64 : (-16) = -4.

Чётная степень любого целого числа положительна, а нечётная степень от рицательного числа число отрицательное: (-2)2 = 4, (-2)3 = -8. В — точности такие же правила используют и при действиях с рациональными числами, к обсуждению которых мы сейчас перейдём.

Потребность расширить множество натуральных чисел возникает не только при вычитании, но и при делении. Например, семь милиционеров § 2. Целые и рациональные числа нельзя разделить на четыре равные части, такого количества милиционе ров 7 4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов — / рублей на четыре равные части. Это число (1 миллион 750 тысяч) оставля ет 7 4 от общей суммы. Аналогичный смысл имеет обозначение a b, где a / / и b любые натуральные или даже целые числа, причём b не равно нулю.

— Числа вида a b называются обыкновенными дробями или рациональ / ными числами. Между этими двумя понятиями есть некоторое различие.

Например, одно и то же число 2 3 можно записать в виде различных дробей:

/ 4 6, 6 9, 10 15 и т. д. Последние можно сократить, но дробь 2 3 сократить / / / / нельзя, она является несократимой. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.

Целое число a можно записать как дробь a 1, поэтому целые числа / входят как часть во множество рациональных чисел. Говорят, что множе ство целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел.

Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством мно жества целых чисел. Записывается это следующим образом: N Z Q, а знак читается содержится в, является подмножеством или является « » « » « частью.

» Заметим, что во множестве рациональных чисел равноправия ещё « » больше, чем во множестве целых чисел: любые два рациональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на дру гое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться только рациональные числа. Таким образом, мно жество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырёх операций:

сложения, вычитания, умножения и деления.

В первом параграфе мы уже обсудили правило сложения дробей. Вычи тание дробей проводится по той же схеме, но с учётом правила определения знака, о котором мы сказали выше. Например, 5 7 5 · 15 7 · 28 75 - 196 -121 121 - = - = = = - =.

84 45 84 · 15 45 · 28 1260 1260 1260 -Напомним теперь правила умножения и деления дробей. Для того, что бы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и 7 24 7 · 24 1 · 4 знаменатели. Например, · = = =.

18 35 18 · 35 3 · 5 Прежде чем формулировать правило деления, напомним, что если поме нять местами числитель и знаменатель какой-нибудь дроби, то получится дробь, обратная данной. Правило деления звучит так: чтобы поделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную 7 24 7 35 второй. Например, : = · =.

18 35 18 24 Напомним также, что дробь называется правильной, если абсолютная величина её числителя меньше абсолютной величины знаменателя. В про 50 тивном случае дробь называется неправильной, например, - или.

7 10 Глава I. Числа Иногда из неправильной дроби выделяют целую часть и записывают в виде 23 смешанного числа, например, = 3. Неправильные дроби преобразуют 7 в смешанные числа, если их нужно сложить или вычесть. Например, 65 29 2 5 2 5 4 - 15 11 - = 7 - 4 = (7 - 4) + - = 3 + = 3 - = 2.

9 6 9 6 9 6 18 18 При умножении и делении смешанных чисел их предварительно преоб разуют в неправильные дроби, используя следующее правило: чтобы пре вратить смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть этого числа умножить на знаменатель дроби, к произведению при бавить числитель и полученную сумму записать в числитель непра вильной дроби, сохраняя её знаменатель. Например, 2 2 7 · 9 + 2 65 5 4 · 6 + 5 7 = 7 + = = и 4 = =, 9 9 9 9 6 6 2 5 65 29 1885 следовательно, 7 · 4 = · = = 34.

9 6 9 6 54 Напомним правила сравнения положительных дробей: 1) из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой больше числи 17 7 13 тель: >, < ; 2) из двух дробей с одинаковыми числителями 18 18 254 7 7 13 больше та дробь, у которой меньше знаменатель: >, <. Если 18 35 254 дроби имеют различные числители и знаменатели, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем сравнивают по первому правилу. Например, 7 28 13 39 7 =, =. Так как 28 < 39, то <.

18 72 24 72 18 Пример 2.1. Произведите указанные действия:

15 11 21 6 - · + 6 :

28 36 29 7.

5 1 5 7 3 · 2 · - 1 : 1 - · 1 · 7 3 6 8 5 Решение. Поскольку дробь является сложной, отдельно найдём её чис литель и знаменатель. Напомним порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем возведения в степень, далее умножение — — и деление в порядке записи и, наконец, сложение и вычитание тоже в — порядке записи. Следуя этим правилам, проводим вычисления.

15 11 15 · 9 - 11 · 7 58 29 29 21 1) - = = = ; 2) · = ;

28 36 252 252 126 126 29 6 16 48 3) 6 : = · = 3 · 3 = 9;

7 21 7 § 3. Десятичные дроби 1 1 9 · 6 + 1 55 5 1 5 5 · 7 · 5 25 4) + 9 = 9 = = ; 5,6) · 2 · = = = 1 ;

6 6 6 6 7 3 6 7 · 3 · 6 18 7 7 7 3 3 7 · 8 · 3 3 3 7) 1 - 1 = ; 8,9) · 1 · = = ; 10) 1 - = ;

18 18 8 5 14 8 · 5 · 14 10 10 7 7 7 10 5 55 5 55 9 11 · 3 33 11) : = · = ; 12) : = · = = = 16.

18 10 18 7 9 6 9 6 5 2 2 В последнем параграфе мы покажем, как решать подобные задачи с помощью системы компьютерной алгебры Maxima.

Упражнения 1. Сравните следующие пары чисел, заменив букву и на нужный знак неравенства:

« » 1 1 2 4 5 а) -21 и -94; б) 146 и -2577; в) и ; г) и ; д) и.

2 3 7 11 13 2. Вспомните, что такое среднее арифметическое двух или трёх чисел и найдите среднее ариф метическое следующих чисел:

1 1 4 1 1 1 2 3 а) -3 и 5; б) и ; в) и 3; г), и ; д), и.

2 3 11 2 4 8 3 4 3. Произведите указанные действия:

1 5 5 1 13 - 2 - 10 · 230 + 48 2 5 19 4 27 6 25 а) : 4 ; б) 5 - 2 ; в).

63 9 14 21 3 10 1 1 + : 12 - 7 3 3 § 3. Десятичные дроби Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, то есть 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т. д., называют десятичными дробями 7 3 и записывают специальным образом: = 0,7, 1 = 1,3, 2 = 2,014.

10 10 Попытка записать обыкновенную дробь в виде десятичной с помощью де ления уголком приводит иногда к бесконечной десятичной дроби:

« » 1 1 = 0,333... ; = 0,090909... ; = 3,142857142857142857...

3 11 Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содер жит период один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полу — ченные десятичные дроби называют бесконечными периодическими деся тичными дробями. Заметим, что единицу можно записать в виде бесконеч ной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = 0,24000...

и т. п. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в ви де бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно:

любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

12 Глава I. Числа Пример 3.1. Превратите в обыкновенные дроби числа q = 0,777... и p = 0,090909...

Решение. Умножив q на 10, получаем уравнение 10q = 7,777... = 7 + q.

Отсюда 9q = 7 и q = 7 9. Умножая затем p на 100, получим: 100p = / = 9,090909... = 9 + p, откуда 99p = 9 и p = 1 11.

/ Сделаем важное замечание: мы должны быть осторожны, определяя пе риод с помощью калькулятора. Рассмотрим, например, дробь 3 13. Поделив / с помощью калькулятора, мы увидим на табло 0,2307692 (предполагается, что наш калькулятор не может показать больше семи знаков после запя той). Но мы знаем, что полученная десятичная дробь является на самом деле бесконечной. Какими же будут следующие десятичные знаки Поскольку в записи повторяется цифра 2, то первое, что приходит на ум записать — дробь в виде 0,(230769) = 0,230769 230769 2307692..., то есть объявить периодом число 230769. В данном случае догадка оказывается верной, хотя ясно, что есть числа, у которых период состоит более, чем из семи цифр.

Например, если мы попробуем решить ту же задачу для дроби, то увидим на табло калькулятора тот же самый результат! Поскольку дроби 2307692 и не равны (см. пример 1.6 из первого параграфа), то делаем 9999999 вывод: в данном случае калькулятор не позволяет найти период дроби! Разобраться с этой ситуацией можно вручную, поделив 2307692 на « » 9999999 уголком :

« » = 0,2307692 2307692 2307692...

Напрашивается вывод, что = 0,(2307692). Это действительно так, но вдумчивый юрист, не привыкший принимать факты на веру, без доказа тельства, может задать непростой вопрос: а не будет ли периодом число 2307692 2307692 Так как же в самом деле находить период Мы получим ответ на этот вопрос, рассмотрев более 3, 0 00 0 0 0 подробно процесс деления. При делении числа 3 на 2 6 0,получаются остатки 4, 1, 9, 12, 3,... Получив в остатке 3, 4 мы можем остановиться, так как при дальнейшем деле 3 нии остатки будут повторяться. Следовательно, и цифры 10 частного также будут повторяться. Поэтому в рассмат 9 риваемом примере период состоит из шести цифр. Ана 9 7 логично, при обращении дроби в десятичную 12 дробь деление можно закончить после шестого этапа, 1 1 так как остатки начнут повторяться. Следовательно, пе риод этой дроби состоит из семи, а не из четырнадцати цифр.

§ 3. Десятичные дроби Рассмотрим ещё один пример: = 0,1232323... = 0,1(23). У этой бесконечной периодической дроби имеется предпериод 1, а период ра вен 23. Действительно, как показывает деление уголком, повторяются « » два остатка 115 и 160.

— Ознакомившись с этими примерами, каждый бу дущий юрист задаст себе ещё один вопрос: а име ют ли смысл бесконечные непериодические десятич 1 x ные дроби Рассмотрим равнобедренный прямоуголь ный треугольник, длина катетов которого равна единице (рис. 2). Обозначив длину гипотенузы через x, по теоре ме Пифагора4 получим уравнение Рис. x2 = 2. (1) Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными чис лами. В самом деле, предположим противное, то есть, что корнем уравне a ния (1) является обыкновенная дробь x =, где a и b целые числа.

— b a Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что b a она является уже несократимой. Подставляя x = в уравнение (1), полу b aчим = 2 или ba2 = 2b2. (2) Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то a2 чис — ло чётное. Следовательно, число a также чётное и его можно записать в виде a = 2c. Подставив в (2), получим (2c)2 = 2b2 или, сократив на 2, 2c2 = b2. Отсюда следует, что число b2 также является чётным. Но тогда a чётным будет и число b. А поскольку и a явлется чётным, то дробь полу b чается сократимой. Но это противоречит сделанному выше предположению, a что дробь несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что — b в самом начале было сделано неверное предположение корнем уравне — a ния (1) является рациональное число. Следовательно, никакая дробь не b может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать. Результат наших рассуждений можно сформулировать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, то есть бесконечной периодиче ской десятичной дробью.

Как известно, уравнение (1) имеет два корня, 2 и - 2. Будем искать приближённые значения числа 2. Так как 12 < ( 2)2 = 2, то 1 < 2. А так как ( 2)2 = 2 < 22 = 4, то 2 < 2. Объединяя эти два неравенства, Пифагор (VI век до н.э.) древнегреческий философ и математик.

— 14 Глава I. Числа получаем 1 < 2 < 2. Далее, так как 1,42 = 1,96 < 2, а 1,52 = 2,25 > 2, то 1,4 < 2 < 1,5.

Это означает, что с точностью до 0,1 число 2 приближённо равно 1,4.

Аналогично устанавливаем, что 1,41 < 2 < 1,42, так как 1,412 < 2, а 1,422 > 2. Следовательно, с точностью до 0,01 получаем 2 = 1,41. При менив ещё раз тот же приём, найдём, что 1,414 < 2 < 1,415, то есть 2 1,414, и т. д.

Описанная процедура позволяет находить всё более точные приближе ния числа 2. Но ни одно из них не может быть равным в точности кор ню из двух, так как все приближённые значения являются рациональными числами, а мы доказали, что 2 не является рациональным числом. Поэто му последовательность приближённых значений будет бесконечной. Итак, число 2 представляется в виде бесконечной последовательности прибли жённых значений, каждое последующее из которых получается добавлением нового десятичного знака. Это позволяет записать 2 в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:

2 = 1,414213562373...

Подобным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей это просто деление уголком, которое — « » приводит к бесконечным периодическим дробям.

Упражнения 1. С помощью калькулятора и вручную превратите данные обыкновенные дроби в беско « » 1 2 1 3 нечные периодические десятичные дроби и укажите их периоды:,,,,.

6 7 9 13 2. Превратите периодические десятичные дроби 1,888... и 0,1212... в обыкновенные.

3. Один из алгоритмов, позволяющих найти любое число знаков в десятичной записи чис ла a, приведён ниже без описания. Этот ребус посложнее, чем деление уголком. Попро « » буйте его разгадать и найти ещё несколько знаков чисел 2 и 5.

2 = 1,414... 5 = 2,236......

1 2 4 1 0 0 4 2 1 0 - 4 9 6 2 8 2 8 1 4 0 0 4 4 3 1 6 0 - 1 2 8 1 3 1 3 2 2 8 2 4 1 1 9 0 0 4 4 6 6 2 7 1 0 - 4 1 1 2 9 6 6 2 6 7 9........................

§ 4. Иррациональные числа § 4. Иррациональные числа Итак, мы установили, что всякое рациональное число, то есть обыкно венную дробь, можно записать в виде бесконечной десятичной периодиче ской дроби. Кроме того, мы убедились, что некоторые задачи приводят к таким числам, которые можно изобразить только в виде бесконечной деся тичной непериодической дроби, например, 2 или 5. Следовательно, эти числа не являются рациональными.

Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

Таким образом, числа 2 и 5 будут иррациональными числами. Ирраци ональными будут также квадратные корни из других положительных целых чисел, если они не извлекаются нацело. Например, 9 = 3 это число ра — циональное, но 10 число иррациональное. То же самое можно сказать и — о кубических корнях, корнях четвёртой, пятой и любой другой степени. На пример, кубический корень из 27 равен трём, это число рациональное, но кубический корень из 28 число иррациональное, и так далее. Перечислим — некоторые другие источники получения иррациональных чисел.

Заметим, что всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа слагаемых:

1 3 3 3 4 1 = 0,333... = + + +... ; 2 = 1 + + + +...

3 10 100 1000 10 100 Такие суммы называются рядами. Первый ряд представляет рациональное число 1 3, второй – иррациональное число 2.

/ В школе вы решали квадратные, кубические и биквадратные уравнения.

Их корни выражаются через радикалы второй, третьей или четвёртой степе ни. Например, уравнение x3 = 5 имеет корень x = 5, уравнение 2x2 = — 3 корни x1 = и x2 = -.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 51 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.