WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 51 |

В первой главе нашего курса мы обсу Мир человека тесно связан с миром чисел. дим простые, но наиболее важные свойства Без чисел невозможно развивать, хранить и чисел, которые используются для решения са передавать другим поколениям знания, а без мых разнообразных задач, представляющих этого немыслим прогресс человеческого обще интерес в том числе и для специалиста в об ства. Изучая окружающую действительность ласти юриспруденции. Мы надеемся, что вы и приспосабливаясь к меняющимся условиям почувствуете красоту и совершенство мира чи своего существования, человек развивал и со сел.

§ 1. Натуральные числа В этом параграфе мы вспомним основные свойства натуральных чисел, напомним, как разложить натуральное число на простые множители, найти наименьшее общее кратное, привести дроби к общему знаменателю.

Известные нам числа 1, 2, 3,... называются натуральными. Их ис пользуют для счёта или обозначения количества предметов, например:

один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов. Например, если всех милиционеров в от делении выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер:

первый милиционер, второй милиционер и т. д.

Чтобы записывать натуральные числа, большие девяти, пользуются так называемой десятичной позиционной системой счисления1. Слово по « зиционная означает, что значение цифры зависит от того места, которое » она занимает в записи числа, например:

147 = 1 · 100 + 4 · 10 + 7 = 1 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100;

714 = 7 · 100 + 1 · 10 + 4 = 7 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100.

Слово десятичная означает, что используются степени десятки. Суще « » ствуют и другие позиционные системы для записи чисел. Запишем, напри мер, натуральное число 48 в пятеричной системе, содержащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4: 48 = 1 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50 = 1435. Индекс 5 указывает, что число записано в пятеричной системе счисления. В двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, число 48 запишется следующим — образом:

48 = 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 1100002.

Говорят также десятичная позиционная система (без слова счисление ).

« » « » 2 Глава I. Числа В информатике наряду с двоичной широко используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В первой из них для записи чи сел применяется восемь различных цифр (от 0 до 7), а во второй шест — надцать: 0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E и F. Числa 48 и 175, например, в шестнадцатеричной системе запишутся так:

48 = 3 · 161 + 0 · 160 = 3016; 175 = 10 · 161 + 15 · 160 = AF16.

Более подробно о разных системах счисления мы расскажем позже, а пока заметим, что многие калькуляторы позволяют простым нажатием кноп ки записать заданное число в любой системе счисления. Специальные про граммы-калькуляторы, позволяющие работать в любой из четырёх наиболее распространённых систем счисления (Hex шестнадцатеричная, Dec — — десятичная, Oct восьмеричная, Bin двоичная), имеются на любом со — — временном компьютере.

Заметим, что сначала появились непозиционные системы счисления, наиболее известной из которых является римская. В ней цифры I, V, X, L, C, D и M всегда обозначают 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно, вне зависимости от пози Таблица ции цифры. Если перед большей цифрой следует 1 2 3 4 цифра с меньшим значе I II III IV V нием, то её вклад являет 6 7 8 9 ся отрицательным. Табли VI VII VIII IX X ца 1 содержит примеры, 11 13 18 19 иллюстрирующие общие XI XIII XVIII XIX XXII правила записи чисел в 34 39 40 60 римской системе счисле XXXIV XXXIX XL LX XCIX ния. Основной недоста 200 438 649 999 ток непозиционных си CC CDXXXVIII DCXLIX CMXCIX MCCVII стем неудобство вы — полнения операций над числами. Попробуйте, например, найти сумму чисел CDXXXVIII и DCXLIX.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных еди нице, например: 4 = 2 · 2, 39 = 3 · 13, 253 = 11 · 23. Натуральные числа, большие единицы, которые нельзя представить в таком виде, называются простыми. Первые пять простых чисел это 2, 3, 5, 7 и 11. Множество — простых чисел бесконечно, это знал и умел доказывать ещё Евклид2.

Простые числа играют в математике особую роль. В них много загадоч ного, и математики, стремясь разгадать их тайны, открыли и продолжают Евклид (около 325–265 до н.э.) древнегреческий учёный, основатель аксиоматиче — ского метода в геометрии.

§ 1. Натуральные числа открывать до сих пор немало интереснейших свойств простых чисел, кото рые применяются не только в математике. Так, широко используемая сейчас криптография, позволяющая обмениваться зашифрованными сообщениями с помощью общедоступной (а значит, доступной и злоумышленнику) сети Интернет, основывается на свойствах простых чисел.

Таблица 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, Эратосфен3 предложил способ получения простых чисел, который на зван в его честь решетом Эратосфена. Запишем последовательно, на пример, первую тысячу натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,..., 1000.

Отметим (рамкой) простое число 2, которое стоит в нашей записи на втором месте, а затем вычеркнем каждое второе число. Все вычеркнутые числа яв ляются составными, так как делятся на 2 (эти числа называются чётными, говорят также, что они кратны двум):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,..., 1000.

Далее отмечаем рамкой следующее за двойкой наименьшее незачёркну тое число 3. Это простое число стоит на третьем месте. Вычеркнем теперь каждое третье число после трёх: 6, 9, 12 и т. д. Эти числа являются состав ными, так как делятся на 3 (числа, кратные трём). Заметим, что часть этих чисел, а именно чётные, уже была вычеркнута ранее:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,..., 1000.

Эратосфен (275–194 до н.э.) древнегреческий учёный.

— 4 Глава I. Числа Следующее за тройкой наименьшее незачёркнутое число простое чис — ло 5. Отметим его рамкой и вычеркнем каждое следующее за ним пятое число: 10, 15, 20 и т. д. Продолжая эту процедуру, мы оставим незачёркну тыми только простые числа, и, таким образом, найдём все простые числа, меньшие тысячи (таблица 2).

Заметим, что осуществить описанную процедуру для всей совокупности натуральных чисел практически невозможно, так как их бесконечно много.

Но мы можем, пользуясь решетом Эратосфена, найти вручную все про « » стые числа, меньшие некоторого заданного числа n. Использование компью тера позволяет автоматизировать выполнение описанного выше алгоритма.

Наиболее эффективно это можно сделать с помощью соответствующей про граммы. Хотя знакомство с методами программирования выходит за рамки нашего курса (мы ограничимся использованием калькуляторов, офисных программ и систем компьютерной алгебры), увидеть текст программы, реа лизующей решето Эратосфена, весьма поучительно:

primes = map head (iterate sieve [2..]) sieve (p:xs) = [ x | x<-xs, x ‘rem‘ p /= 0 ] Эта очень короткая программа написана на языке функционального про граммирования Haskell. После запуска она начинает последовательно печа тать все простые числа, начиная с двойки. В силу бесконечности множества простых чисел работа программы никогда не завершится, если только не прервать её выполнение принудительно.

Не следует, однако, думать, что появление высокопроизводительных компьютеров позволило решить все задачи, связанные с простыми числами.

Всё не так просто! В сети Интернет даже размещён специальный веб-сайт (http://www.utm.edu/research/primes), где обсуждаются различные про блемы простых чисел. Наибольшее на данный момент простое число можно найти по адресуhttp://primes.utm.edu/largest.html. На 28 мая года таковым являлось число 224036583 - 1, содержащее 7 235 733 цифры.

Выполняя арифметические действия, мы часто пользуемся тем, что каж дое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел, записывая их в порядке возрас тания. Этот простой, но очень важный математический факт называется основной теоремой арифметики и используется для преобразования ариф метических выражений, для обоснования признаков делимости чисел, для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких чисел, при выполнении арифметических дей ствий с обыкновенными дробями.

Покажем на примерах, как решать подобные задачи вручную, то есть « » не используя компьютер. Как применять компьютер для этих целей, мы расскажем в конце главы.

§ 1. Натуральные числа Пример 1.1. Разложите число 420 на простые множители.

Решение. Будем искать простые делители числа 420. Самое маленькое простое число это 2. Числа, которые делятся на 2, называют, как мы — знаем, чётными. Число 420 является чётным, поскольку оканчивается нулём.

Разделив 420 на 2, получим 210. Теперь будем искать делители числа 210.

Оно также чётное. Поделив его на 2, получим 105. Число 105 нечётное, — то есть не делится на 2. Но оно делится на 3 (вспомним признак дели 420 мости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число 210 делится на 3). Поделив 105 на 3, получим число 35, которое уже не 105 делится на 3, но делится на следующее по величине простое число 5.

— 35 Разделив 35 на 5, получим простое число 7. Следовательно, процесс 7 деления закончен. В ответе простые множители обычно указывают в порядке возрастания, причём вместо перечисления одинаковых множи телей можно использовать степень: 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 22 · 3 · 5 · 7.

Разложение числа на простые множители часто применяют для упроще ния выражений с радикалами, для сокращения дробей и выполнения с ними арифметических операций.

Пример 1.2. Упростите выражение 420.

Решение. Используем полученное выше разложение на множители:

420 = 22 · 3 · 5 · 7 = 22 · 3 · 5 · 7 = 2 105.

Описанный приём называется вынесением множителя из-под радикала.

Пример 1.3. Сократите дробь.

Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множите ли, используя описанный выше алгоритм:

108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3, 630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7.

Подчеркнём общие множители этих чисел. Это будут числа 2, 3 и 3. Поэтому данную дробь можно сократить на 2 и на 32:

108 2 · 2 · 3 · 3 · 3 2 · 3 = = =.

630 2 · 3 · 3 · 5 · 7 5 · 7 На практике сокращение обычно проводят последовательно:

108 54 18 = = =.

630 315 105 Как мы знаем, при сложении и вычитании обыкновенных дробей их пред варительно приводят к общему знаменателю. Для этого находят наимень шее общее кратное знаменателей. Напомним, как это делается.

6 Глава I. Числа Пример 1.4. Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 45.

Решение. Общим кратным двух натуральных чисел a и b называется та кое натуральное число, которое без остатка делится на a и на b. Например, числа 84·45 и 2·84·45 являются общими кратными чисел 84 и 45. Ясно, что общих кратных много. Интерес представляет наименьшее из них. Для чисел 84 и 45 наименьшим общим кратным будет число 1260. Чтобы его найти, сначала разложим данные числа на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 45 = 3·3·5. Теперь выпишем те простые множители второго числа, которых нет в первом: 3 и 5 (они подчёркнуты). Далее умножим первое число на эти множители и получим искомое наименьшее общее кратное:

НОК(84, 45) = 84 · 3 · 5 = 1260.

Нетрудно проверить, что 1260 : 84 = 15, 1260 : 45 = 28. Подобным образом действуют и при вычислении наименьшего общего кратного трёх и большего количества чисел.

11 Пример 1.5. Найдите сумму дробей и.

84 Решение. Так как 1260 = 84 · 15 = 45 · 28, то 11 8 11 · 15 8 · 28 165 + 224 + = + = =.

84 45 84 · 15 45 · 28 1260 Разумеется, сложение можно выполнить и по-другому, не затрудняя се бя нахождением наименьшего общего кратного. В качестве общего знаме нателя можно взять произведение знаменателей чисел, которое является их общим кратным, но не наименьшим:

11 8 11 · 45 8 · 84 1167 + = + = =.

84 45 84 · 45 45 · 84 3780 Следующий пример пригодится нам в дальнейшем.

3 Пример 1.6. Докажите, что дроби и не равны.

13 Решение. Применим метод доказательства от противного. Предполо « » 3 жим, что дроби равны: =. По свойству пропорции (произведе 13 ние крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропор ции) получаем: 3 · 9999999 = 13 · 2307692. Но это невозможно, так как в левой части равенства стоит нечётное число, а в правой чётное. Получен — ное противоречие есть следствие неправильного предположения о том, что дроби равны. Следовательно, они не равны, что и требовалось доказать.

§ 2. Целые и рациональные числа Упражнения 1. Разложите на простые множители число 5544 и упростите квадратный корень из него.

2. Найдите наименьшее общее кратное чисел 759 и 182. Используя этот результат, сложите 5 дроби и.

759 3. Вычислите 313. Запишите это число в троичной системе счисления.

§ 2. Целые и рациональные числа Здесь мы обсуждаем свойства целых и рациональных чисел и напоми наем правила сравнения чисел, определения знака при выполнении арифме тических операций и правила действий с обыкновенными дробями.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умно жать и делить. Однако эти операции неравноценны. Очевидно, что сумма a+b любых двух натуральных чисел a и b снова будет натуральным числом;

то же самое можно сказать и о произведении a·b. При этом порядок слагае мых и сомножителей не играет роли, то есть a + b = b + a и a · b = b · a. Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. На пример, разность 5 - 2 = 3 является натуральным числом, но натурального числа 2 - 5 не существует. В последнем случае используют так называемые целые отрицательные числа и записывают 2 - 5 = -3, 4 - 10 = -6 и т. п.

Числа a и -a называются противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицательными числами нахо дится число 0 (нуль). Нуль предметов данного вида (например, диких попу гаев в Антарктиде) означает отсутствие предметов данного вида. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что множество попугаев, проживающих в Антарктиде, есть пустое множество (более детально поня тие множества будет обсуждаться в девятой главе). Нуль обладает следую щими свойствами:

a + 0 = a; a + (-a) = 0; на нуль делить нельзя.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называ ются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N, множество всех целых чисел символом Z.

— Наглядно целые числа представляют точками на прямой (как на шкале тер мометра, рис. 1).

0 1 2 3 4 5...

... -5 -4 -3 -2 -Рис. 8 Глава I. Числа В отличие от множества натуральных чисел, множество целых чисел устроено более демократично : любые два целых числа можно не только « » складывать, но и вычитать друг из друга, причём результат вычитания все гда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и что это множество получено расширением множества натуральных чисел.

Сравнение натуральных чисел не вызывает затруднений. Из самого опре деления натуральных чисел вытекает, что 1 < 2 < 3 < 4 <... Напомним правило сравнения целых чисел. Его проще всего проследить на числовой оси: из двух целых чисел меньше то, которое изображается на чи словой прямой точкой, расположенной левее. Но можно описать это правило, не используя геометрических терминов, с помощью понятия аб солютной величины. Абсолютной величиной положительного числа a на зывают само число a; абсолютной величиной отрицательного числа a на зывают положительное число -a; абсолютная величина нуля равна нулю.

Абсолютную величину числа a обозначают |a|. Например, |5| = 5, |-7| = 7, |0| = 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 51 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.