WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
CАРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электроники, колебаний и волн Гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости (учебно-методическое пособие) Cаратов, 2003 УДК 534.1 Гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости: (учебнометодическое пособие издание второе) Б.П.Безручко, Т.В.Диканев, А.М.Захаревич.

— Саратов, Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2003. 17 с.

Аннотация На примере воды рассматриваются колебательно-волновые движения поверхности однородной жидкости, находящейся в гравитационном поле при малых отклонениях от положения равновесия. Представлены результаты линейной теории, основанной на гидродинамическом подходе. Полученное дисперсионное уравнение используется для анализа волновой картины при различных способах и параметрах возмущения поверхности. В практической части работы на ванне с регулируемой глубиной исследуются поверхностные волны с длинами порядка см, возбуждаемые периодически и импульсно. В исследуемом диапазоне длин волн существенны как гравитационное воздействие на жидкость, так и поверхностное натяжение, что позволяет наблюдать основные колебательно-волновые феномены при сравнительно слабом возмущении поверхности воды. Работа предназначена для иллюстрации курсов «Физика волновых процессов» для студентов физического факультета и «Линейные волны» — в Колледже прикладных наук; она может быть использована в спецкурсе «Колебания, волны, синергетика» в Лицее КПН.

Составители: д.ф.-м.н. Б.П.Безручко, Т.В.Диканев, А.М.Захаревич Cаратовский государственный университет, 2003 - 2 - Введение Из множества определений волны, «чередование максимумов и минимумов» наиболее наглядно отражает картину подвижных горбов и впадин на поверхности воды.

Строго говоря, волной называют пару горб-впадина, а последовательность следующих друг за другом максимумов и минимумов характеризуют как цуг волн — волны движутся одна за другой, «след в след». Так, например, на привычном изображении волны — синусоиде — волны образуют в направлении распространения x бесконечный Рис.1 (а) Параметры синусоидальной волны — отклонение от положения равновесия, 0 — амплитуда, — длина волны, T — период, =2/T — круговая частота, x — координата, t — время, k = 2/ — волновое число; (б) результат сложения двух синусоидальных волн.

цуг (рис.1а). Эта бесконечная синусоида = 0 sin( t - k x), является простейшей, «первичной» волновой моделью. Несмотря на то, что такая волна-артефакт и не реализуется ни при каких физически приемлемых обстоятельствах (реальные области распространения ограничены, волны затухают, меняют форму), есть ряд оснований использовать в качестве эталона именно её [3]. Наиболее близки по профилю к синусоидальным волны малой амплитуды. Реально в природе чаще наблюдаются несинусоидальные волновые образования. Так, даже две синусоидальных волны с близкими длинами после суммирования образуют группы, внутри которых высота волн в середине значительно больше, чем по краям. Их называют волновыми пакетами (действительно, получается так, будто волновое содержимое ограничено стенками пакета, за которым волн практически нет, см. например, рис. 4в,г). В общем случае на поверхности воды можно наблюдать и уединенные волны – солитоны, состоящие из одного горба, и цуги разных волн – гладких, заостренных или имеющих угловатую форму; вспомним, в частности, замысловато изогнутые волны, разбивающиеся у берега. Эти волны имеют длины от миллиметров до тысяч километров и периоды от долей секунды до суток.

Рябь, мертвая зыбь, различные ветровые волны, сейши, волны вокруг движущихся судов, цунами и приливные волны — это далеко не полный перечень вариантов поверх Рассматриваемые далее явления свойственны большинству жидкостей, но мы будем упоминать лишь воду, с которой далее предстоит экспериментировать.

- 3 - ностных волн на воде. Весьма разнообразны очертания фронта волн: круговые, возникающие при падении камня в воду; плоские волны мертвой зыби от далекого шторма, сетка перекрещивающихся волн на ручье; трудноопределимые формы морских волн в шторм. Очень различна и крутизна волн, которая характеризуется отношением высоты волны к ее длине. Наконец, многочисленны и причины возникновения волн: от ветра и падения или обтекания предметов до землетрясений и движения Луны и Солнца.

Главными физическими факторами, определяющими существование всего этого многообразия волн на поверхности воды, являются гравитация и поверхностное натяжение. Они обеспечивают силы, возвращающие возмущенную поверхность к состоянию равновесия. (Существуют и более уникальные факторы, например, такие, как сила Кориолиса или магнитные силы, действующие на проводящую жидкость, которые мы рассматривать не будем). В соответствии с тем, какие силы преобладают, волны можно разделить на два широких класса — гравитационные и капиллярные. Так, гравитационные эффекты преобладают, если горб большой, содержит много воды и относительно пологий; роль поверхностного натяжения существенна лишь при малых радиусах кривизны поверхности, а это имеет место при малых длинах волн. В некотором достаточно узком интервале параметров, где роль силы тяжести в образовании поверхностных волн сравнима с действием сил поверхностного натяжения, волны относят к смешанному классу и соответственно называют гравитационно-капиллярными. Именно этим волнам с длинами порядка 1 см, когда их амплитуда незначительна, посвящена данная работа.

Свойства волн малой амплитуды Для экспериментального изучения течения воды в нее добавляют мелкие частицы краски или, например, пластиковые шарики и наблюдают за ними. Результаты такого наблюдения в небольшой волне на поверхности представлены на рис.2. Траектории движения частиц существенно зависят от соотношения глубины и длины волны. Участки водоема, где расстояние от поверхности до дна превышает длину волны, называют глубокой водой; здесь траектории движения частиц имеют вид окружностей, радиус которых быстро уменьшается с глубиной. Если глубина меньше длины волны, говорят о мелкой воде, а траектории в этом случае имеют вид эллипса, вытянутого в направлении распространения волны. Различие характера распространения волн на глубокой и мелкой воде определяется тем, что необходимую для поперечных движений свободу имеют лишь частицы в поверхностном слое, поэтому волновое движение очень быстро затухает с увеличением глубины. Затухание, как будет показано далее, происходит по экспоненциальному закону и уже на глубине в половину длины волны амплитуда смещения частиц волны по вертикали в 2-3 раза меньше, чем на поверхности. На глубине же в целую длину волны — меньше в 500 с лишним раз, а на больших глубинах волнение фактически не достигает дна. При мелкой же воде почти весь слой жидкости охвачен волнением. Теория и наблюдения показывают, что глубокой можно считать воду, если глубина превышает примерно половину длины волны: и мелкой — если глубина примерно в 10 раз меньше длины волны.



До сих пор речь шла только о бегущих волнах, для полноты информации на рисунке 3 стрелками приведены траектории частиц в стоячей волне на поверхности. Видно, что в пучностях частицы совершают вертикальные перемещения, в узлах — горизон - 4 - тальные, а в промежуточных точках — наклонные. В общем случае в траектории движении частиц в той или иной степени присутствуют и те (рис. 2) и другие (рис. 3) признаки.

Рис. 2 Траектории частиц, участвующих в Рис. 3 Движение частиц в стоячей волновом движении: (а) на глубокой воде; (б) волне.

на мелкой воде.

Для теоретического анализа волн на поверхности воспользуемся гидродинамическим описанием. При этом жидкость рассматривается как сплошная среда, т.е. при анализе смещения некоторой частицы речь идет не об отдельной молекуле, а об элементе объема жидкости, включающем много молекул. Такой элемент, малый по сравнению с пространственными масштабами интересующих нас процессов, но большой по сравнению с межмолекулярными расстояниями, считается точкой. Для описания движущейся r жидкости достаточно, чтобы в такой точке были заданы: скорость V (x, y, z,t), давление p(x,y,z,t) и плотность (x,y,z,t) жидкости, где x, y, z — координаты рассматриваемого элементарного объема в момент времени t.

Уравнения, описывающие волновые процессы в жидкости, составляются на основе закона сохранения вещества и закона Ньютона это уравнения непрерывности и движения (Эйлера). Для модели идеальной жидкости (в которой, давление есть скаляр, а не тензор, — отсутствуют сдвиговые силы, в частности, силы вязкости), находящейся в поле силы тяжести, они имеют вид:

r + divV = 0, t (1) r r P r + (V)V = - + g, t где g — ускорение свободного падения. В предположении несжимаемости жидкости r ( = const) и потенциальности, безвихревом характере ее течения ( rotV = 0 ), если ввеr сти потенциал скорости (V = grad ), система (1) сводится к виду:

- 5 - 1 P - P+ ( ) + + gz = 0, t (2) = 0, z = ( x, y, z ), где последнее уравнение описывает поверхность жидкости, причем система координат имеет начало на невозмущенной поверхности, ось z направлена вверх перпендикулярно поверхности, ось x — вдоль направления распространения волны, P – P0 — разница давлений над и под поверхностью (подповерхностное давление). Его можно выразить, используя формулу Лапласа, тогда в предположении, что волна однородна (не меняется) вдоль оси y:

P - P0 = (1 / R ) = -, x где — коэффициент поверхностного натяжения. Систему (2) следует дополнить граничными условиями:

+ - = 0, t x x z 1 + ( ) + g - = 0, (3) t 2 x = 0, t x = - H r r V здесь H — глубина водоема. В приближении малой амплитуды системы (V)V << t (1) и, соответственно, (2) линеаризуются. Поэтому в рамках сделанных предположений можно искать решение в виде бегущей вдоль x волны, амплитуда которой уменьшается с глубиной:

j ( t - kx ) = ( z ) e (4) При этом из (2) получаем [1], что амплитуда волны экспоненциально затухает с глубиekz ной (z), а и k связаны дисперсионным уравнением:

k (5) = kg + th( kH ).

= (k ) Дисперсионная кривая, а также рассчитанные по ней зависимости фа- (gk + k )th (Hk ) v™ = зовой и групповой k 3 R 3ak H gk + (Hk ) + g + th(Hk ) r0 sech r v‹ р = k = ak 2 gk + th (Hk ) r скоростей представлены на рис.4. При анализе качественного вида этих зависимостей остановимся на предельных случаях, когда можно пренебречь влиянием на образова - 6 - ние и распространение Рис. 4 Рассчитанные по (5): а) зависимости частоты от волнового числа при различных глубинах — две верхние тонкие почти совпадающие кривые соответствуют глубинам H=1м и 0.2м, а нижняя жирная — 5мм; б) зависимость скоростей волн от их длины при H=0.1м; в,г) зависимости групповой и фазовой скоростей от длины волны и глубины (масштабы по вертикали отличаются).

волны некоторых факторов. Например, при больших длинах волн уменьшается радиус кривизны поверхности, а следовательно, и влияние сил поверхностного натяжения.

Очень коротким волнам (ряби на поверхности воды) соответствует другой предельный случай, когда можно пренебречь гравитационными силами. В пределе глубокой воды, kH >> 1, гиперболический тангенс в дисперсионном уравнении стремится к 1, так что скорости волны выражаются формулами:





g 1 1 + (3 g )k v™ = + k (6), v‹ р = v™ (7).

k 2 1 + ( g )k Фазовая скорость минимальна при k = km = g, которому соответствует m=1,73 см и vф=23,2 см/с. При данном k групповая скорость равна фазовой. В области, которую называют гравитационной ветвью,, тогда как в области v < vф k < k m г р, называемой капиллярной ветвью, vгр>vф. Минимум групповой скорости досk > k m тигается при =2,54, m=4,39 см и составляет vгр=17,9 см/c.

- 7 - Примечание. Для анализа дисперсионных свойств в предельных случаях оказывается весьма эффективным метод размерностей. Оценим с его помощью зависимость фазовой скорости vф от для гравитационных волн на глубокой воде. Для этого необходимо определиться с системой единиц, в которой поводится рассмотрение (пусть это будет LMT) и выделить основные физические величины, ответственные за происходящие в системе процессы — за подъем и опускание участков поверхностного слоя жидкости. В случае гравитационных волн в качестве основных величин кроме vф от, характеризующих скорость и размеры возмущенной области, берут ускорение свободного падения g (так как сила тяжести FТ пропорциональна g), плотность жидкости и глубину водоема H. Зависимость vф=f(,g,,H) ищут, учитывая размерности основных величин: [vф]=LT-1, []=L, [g]=LT-2, []=ML-3, [H]=L. Можно формально составить матрицу размерностей [4] и выполнить стандартные процедуры метода, но в данном случае имеется ряд практически очевидных соображений, ускоряющих анализ. Из выражений для размерностей видно, что:

• не войдет в выражение для фазовой скорости т.к. только в ней имеется единица массы М;

• из 5 основных величин 3 имеют независимые размерности, т.е. здесь возможны безразмерные комбинации (критерии подобия);

• в качестве безразмерных комбинаций могут быть использованы соотношения /H и H/.

Таким образом, из соображений совпадения размерностей левой и правой частей равенства можно написать (1) и v = gH f1( H ) v = gH f ф ф 2 (H ) (2).

В предельном случае глубокой воды <

Волны на поверхности от импульсного источника.

Пользуясь дисперсионным уравнением (5) или рис.4, можно проанализировать характер движения волновых пакетов, возбужденных на поверхности воды. Если частотный спектр группы волн относительно узок (при этом соседние квазисинусоидальные волны в группе различаются не сильно, а сама группа в достаточной протяженная, содержит много волн), смещение огибающей в пространстве происходит с групповой скоростью. В примере рис.1б, это фактически — скорость, с которой смещается граница пакета или положение наибольшего «горба» в пакете с неизменной огибающей: цуг квазисинусоидальных волн «движется внутри огибающей, меняя свою амплитуду» и - 8 - максимальными становятся разные горбы. В общем случае при движении в линейной среде с дисперсией волновой пакет, смещаясь в пространстве, претерпевает деформацию, характер которой определяется видом дисперсионной характеристики и масштабами возмущений поверхности, которые порождают (возбуждают) волны. Для примера, рассмотрим картину распространения волн в случае, когда возмущение поверхности производится импульсно в области с характерным размером порядка 10см [2]. «Вот от брошенного камня взметнулся фонтан, рассыпались брызги, затем, как по волшебству начала формироваться правильная волновая картина (рис.5). Она выглядит как круг, заполненный правильными волновыми колечками. Радиус круга, который определяется первым гребнем, сначала медленно, а затем быстрее начинает возрастать, а число волн в круге множится прямо на глазах. Если присмотреться повнимательней, то можно заметить, что гребни волн бегут быстрее, чем первый круг. Они как бы рождаются из небытия в месте падения камня, быстро разбегаются от него и затем исчезают. Гребни бегут с фазовой скоростью, а фронт волнового пакета — с групповой скоростью. Стало быть в данном случае групповая скорость меньше фазовой.» Но, посмотрите на рисунок, здесь видно, что задний фронт волнового пакета движется с меньшей скоростью, чем передний, да и огибающая пакета от кадра к кадру меняется. Проанализируем описанную картину, используя разложение Фурье. Предположим, что камень действует как источник волн в широком интервале длин и частот. Локализованность возмущения (близость к -функции от координат и времени) делают это предположение правдоподобным. Благодаря дисперсии скорость распространения различных частотных компонент отличается. В результате возмущение воды, вначале сосредоточенное в одном месте, как бы распадается на отдельные группы волн, движущиеся каждая со своей скоростью. При этом по мере удаления эти группы волн постепенно уменьшают свою амплитуду. Масштабы возмущения в примере рис.5 превышает значения, при которых существенно поверхностное натяжение, а вода глубокая – поэтому фазовая скорость увеличивается с ростом длины волны. Этим определяется расположение длинных волн «....Что происходит в первые мгновения, наш глаз не в состоянии уловить, и приходится прибегать к скоростной киносъемке...

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.