WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

если Re < 2320 - ламинарное течение, то = 64/ Re, если 2320 Re <104 -переходный режим течения, то = 64(1 - )Re+ 0.3164 / Re1/ 4, где =1 - e-0.002(Re-2320), если 104 Re <105 -течение в зоне гидравлически гладких труб, то = 0.3164/ Re1/ 4 (Формула Блазиуса).

L 2 5). H = (8Q2 / gd ) dx В качестве исходных данных взять 1 = 20 сСm при T1 = 30oC и = 60 сСm при T2 =10oC (1 cCm =10-6 м2 / с) -сантистокс Задание выполнить по вариантам:

o o o № d, мм L, км Q, T0, С Tk, С TH, С вар.

м3 / час 1 514 125 800 45 25 2 700 140 1500 50 25 3 800 130 1900 50 30 4 700 150 1400 45 25 5 514 150 750 40 20 6 700 130 800 45 25 7 800 120 1500 50 30 8 514 160 1900 50 30 o o o № d, мм L, км Q, T0, С Tk, С TH, С вар.

м3 / час 9 514 120 1400 50 25 10 700 125 750 40 25 11 800 140 800 40 25 12 514 130 1500 45 25 13 700 120 1900 55 35 14 700 160 750 45 25 15 800 125 1400 40 20 16 514 140 800 40 20 17 800 130 1500 45 25 18 700 120 1900 45 25 19 800 160 750 40 20 20 514 125 1400 50 30 21 700 140 800 45 25 22 514 130 1500 50 25 23 700 120 1900 50 30 24 800 125 1400 40 25 6.3.2. Задача № Два прямолинейных участка дороги часто сопрягают по кривой, которая строится следующим образом: для первой половины кривой ее кривизна пропорциональна ее длине, вторая же половина кривой строится симметрично первой. Т.е. если величина S – длина участка кривой, отсчитываемая от ее начала, а K – кривизна кривой в конце этого участка, то K = CS, где C = const.

Такие кривые называются клотоидами или спиралями Карно.

Можно показать, что в прямоугольных координатах кривая задается следующим образом:

S S a a t2 t x = a cos( 2 )dt, y = a sin( 2 )dt 0 Эти интегралы носят название интегралов Френеля.

Положим C = (тогда a =1). Необходимо рассчитать координаты x, y точек сопрягающей кривой при различных S.

Вычисления интегралов предлагается провести по формуле трапеций.

Данные по вариантам:

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 вар.

S 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3. 7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка 7.1. Основные понятия Решение задачи Коши для уравнения вида y = f (x, y) заключается в отыскании функции y(x), удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию y(x0 ) = y0.

Есть задачи, для которых решение можно найти аналитически. Но таких задач немного. А для остальных используют приближенные методы решения.

Эти методы не дают аналитического вида функции, а значит и нельзя получить значение искомой функции в любой точке. Но они позволяют оценить приближенно значения искомой функции на некотором отрезке [a, b], где a = x0, а правый конец отрезка задан, исходя из потребностей.

Для получения решения приближенными методами указанный отрезок [a, b] разбивается на n равных частей точками x0, x1, x2,..., xn, так что x0 = a, xn = b. При этом говорят, что задается сетка. Шагом сетки h называется расстояние между соседними точками разбиения (узлами) xi+1 - xi = h. Оно b - a равно h =. Значение функции y(x) в начальной точке сетки x0 известно:

n оно задается начальным условием y(x0 ) = y0. Значение функции в каждом следующем узле сетки рассчитывается по значению в предыдущем узле по формулам метода. Таким образом, приближенные методы позволяют найти решение уравнения в виде сеточной функции y(x) со значениями в узлах сетки x0, x1, x2,..., xn.

Познакомимся с некоторыми из этих методов.

7.1.1. Метод Эйлера Этот простейший численный метод заключается в разложении искомой функции y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки x0, x1, x2,..., xn, в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в окрестности узла xi :

y(xi + h) = y(xi ) + y (xi )h + O(h2 ) Т.к. xi+1 = xi + h и y = f (x, y), то, отбрасывая O(h2 ), получаем:

y(xi+1) y(xi ) + f (xi, y(xi ))h.

Введя обозначение yi = y(xi ), окончательно получаем формулу метода Эйлера, позволяющую по значению искомой функции yi в точке xi найти значение ее yi+1 в следующем узле xi+1:

yi+1 = yi + f (xi, yi )h.

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h2.

Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член O(h2 ).

7.1.2. Модифицированный метод Эйлера Этот метод имеет лучший порядок точности, и формулу для него получают, оставляя в разложении функции y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов слагаемые, содержащие вторую производную:

h yi+1 = yi + h yi + yi + O(h3 ). (1) Затем аппроксимируют вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

yi+1 - yi yi = + O(h) (2) h Подставляя выражение (2) вместо второй производной в (1), получают:

h2 yi+1 - yi yi+1 = yi + h yi + ( + O(h)) + O(h3).

2 h И после преобразования:

h yi+1 = yi + (yi + yi+1) + O(h3 ) (3) Заменяя производные выражениями * yi = f (xi, yi ) и yi+1 = f (xi+1, yi+1), * где yi+1 - найдено по формуле Эйлера, т.е. y* = yi + f (xi, yi )h, i+получают формулу модифицированного метода Эйлера:

yi+1 = yi + h ( f (xi, yi ) + f (xi+1, y* )), где y* = yi + f (xi, yi )h i+1 i+Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h3.



Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член O(h3 ).

7.1.3. Метод Рунге-Кутта Этот метод является самым популярным, т.к. дает хороший порядок точности. Формулу для этого метода получают, сохраняя в представлении функции y(x) в виде ряда Тейлора в узлах x0, x1, x2,..., xn большее число членов.

Т.к. вывод ее достаточно громоздкий, то он здесь не приводится.

Формулы метода Рунге-Кутта имеют следующий вид:

yi+1 = yi + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3 ), где k0 = hf (xi, yi ) h kk1 = hf (xi +, yi + ) 2 h kk2 = hf (xi +, yi + ) 2 k0 = hf (xi + h, yi + k2 ) i = 0,1,...,n - Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h5.

Отметим некоторые существенные моменты применения указанных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка y = f (x, y) с начальным условием y(x0 ) = y0.

Заметим, что погрешность вычислений с каждым следующим шагом может иметь тенденцию к накоплению. Отсюда сразу следует, что лучше применять для расчетов методы, дающие более точный результат на каждой итерации. Из рассмотренных выше методов лучшим является метод РунгеКутта, ошибка в котором пропорциональна шагу в пятой степени. А так как шаг выбирается обычно маленьким, то и ошибка мала.

Если метод решения выбран, то следующая задача – это выбор шага h. И тут возникает следующая проблема. Допустим, нужно получить значения искомой функции на отрезке [a,b], где x0 = a, xn = b. С одной стороны, шаг нужно взять маленьким, чтобы ошибка каждого шага была небольшой. С другой стороны, при этом возрастет число шагов вычислений, что приводит в свою очередь к накоплению ошибки. Так что шаг в каждом случае следует выбирать некоторым оптимальным образом.

7.1.4. Пример Решим предлагаемую ниже задачу Коши методом Эйлера с заданным шагом на отрезке [0, 1]:

y = 2(x2 + y) y(0) = 0 x 1, h = 0. Для данной задачи можно указать аналитическое выражение для функции решения. Легко проверить, что это будет функция y(x) = 1.5e2 x - x2 - x - 0.5.

Здесь специально выбрана такого рода задача, чтобы иметь возможность сравнить работу методов, зная точные значения функции решения в точках разбиения отрезка [0, 1].

Проведем расчеты по формуле Эйлера.

По условию x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1. Формула Эйлера имеет вид:

yi+1 = yi + f (xi, yi )h Следовательно, y1 = y0 + f (x0, y0 )h = 1 + 2(02 + 1) 0.1 = 1.y2 = y1 + f (x1, y1)h = 1.2 + 2(0.12 + 1.2) 0.1 = 1.y3 = y2 + f (x2, y2 )h = 1.442 + 2(0.22 + 1.442) 0.1 = 1.y4 = y3 + f (x3, y3 )h = 1.7384 + 2(0.32 + 1.7384) 0.1 = 2.y5 = y4 + f (x4, y4 )h = 2.1041 + 2(0.42 + 2.1041) 0.1 = 2.y6 = y5 + f (x5, y5 )h = 2.5569 + 2(0.52 + 2.5569) 0.1 = 3.y7 = y6 + f (x6, y6 )h = 3.1183 + 2(0.62 + 3.1183) 0.1 = 3.y8 = y7 + f (x7, y7 )h = 3.8139 + 2(0.72 + 1 = 3.8139) 0.1 = 4.y9 = y8 + f (x8, y8 )h = 4.6747 + 2(0.82 + 4.6747) 0.1 = 5.y10 = y9 + f (x9, y9 )h = 5.7377 + 2(0.92 + 5.7377) 0.1 = 7.Выпишем полученные по методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

xi Метод Эйлера Точное решение Ошибка вычислений x1 1.2000 1.2221 0.x2 1.4420 1.4977 0.x3 1.7384 1.8432 0.x4 2.1041 2.2783 0.x5 2.5569 2.8274 0. xi Метод Эйлера Точное решение Ошибка вычислений x6 3.1183 3.5202 0.x7 3.8139 4.3928 0.x8 4.6747 5.4895 0.x9 5.7377 6.8645 1.x10 7.0472 8.5836 1.7.1.5. Пример Рассмотрим ту же задачу и решим ее теперь модифицированным методом Эйлера:

y = 2(x2 + y) y(0) = 0 x 1, h = 0. Формула метода имеет вид yi+1 = yi + h ( f (xi, yi ) + f (xi+1, y* )), где y* = yi + f (xi, yi )h i+1 i+Проведем по ней расчеты * y1 = y0 + f (x0, y0 )h =1 + 2(02 + 1) 0.1 =1.h * y1 = y0 + [ f (x0, y0 ) + f (x1, y1 )] = 0. =1 + [2(02 + 1) + 2(0.12 + 1.2)] =1.* y2 = y1 + f (x1, y1)h =1.2210 + 2(0.12 + 1.2210) 0.1 =1.h y2 = y1 + [ f (x1, y1) + f (x2, y* )] = 0. =1 + [2(0.12 + 1.2210) + 2(0.22 +1.4672)] =1.........................................................................................

* y10 = y9 + f (x9, y9 )h = 6.7938 + 2(0.92 + 6.7938) 0.1 = 8.h * y10 = y9 + [ f (x9, y9 ) + f (x10, y10 )] = 0.= 6.7938 + [2(0.92 + 6.7938) + 2(12 + 8.3145)] = 8.Выпишем полученные по модифицированному методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

xi Модифициро- Точное решение Ошибка ванный метод вычислений Эйлера x1 1.2210 1.2221 0.x2 1.4948 1.4977 0.x3 1.8375 1.8432 0.x4 2.2685 2.2783 0.x5 2.8118 2.8274 0.x6 3.4964 3.5202 0.x7 4.3579 4.3928 0.x8 5.4393 5.4895 0.x9 6.7938 6.8645 0.x10 8.4856 8.5836 0. Сравнивая картину погрешностей в этом методе и в методе Эйлера, можно видеть, что погрешности модифицированного метода Эйлера на порядок меньше соответствующих погрешностей метода Эйлера.

7.1.6. Пример Решить ту же задачу методом Рунге-Кутта:

y = 2(x2 + y) y(0) = 0 x 1, h = 0. Запишем формулы метода Рунге-Кутта:

yi+1 = yi + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3 ), где k0 = hf (xi, yi ) h kk1 = hf (xi +, yi + ) 2 h kk2 = hf (xi +, yi + ) 2 k0 = hf (xi + h, yi + k2) i = 0,1,..., n - Проведем по ним расчеты.





Для i = 1 имеем k0 = hf (x0, y0 ) = 0.1 2 (02 + 1) = 0.kh k1 = hf (x0 +, y0 + ) = 0.1 2 (0.052 + 1.1) = 0.2 kh k2 = hf (x0 +, y0 + ) = 0.1 2 (0.052 + 1.11025) = 0.2 k3 = hf (x0 + h, y0 + k2 ) = 0.1 2 (0.12 + 1.2226) = 0.y1 = y0 + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3) = =1 + (0.2 + 2 0.2205 + 2 0.2226 + 0.2465) =1.Для i = 2 имеем k0 = hf (x1, y1) = 0.1 2 (0.12 + 1.2221) = 0.h kk1 = hf (x1 +, y1 + ) = 0.1 2 (0.152 + 1.3453) = 0.2 h kk2 = hf (x1 +, y1 + ) = 0.1 2 (0.152 +1.3589) = 0.2 k3 = hf (x0 + h, y0 + k2 ) = 0.1 2 (0.22 +1.4984) = 0.y2 = y1 + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3 ) = = 1 + (0.2464 + 2 0.2736 + 2 0.2763 + 0.3077) = 1.………………………………………………………………..

Для i = 10 имеем k0 = hf (x9, y9 ) = 0.1 2 (0.92 + 6.8643) =1.h kk1 = hf (x9 +, y9 + ) = 0.1 2 (0.952 + 7.63175) =1.2 h kk2 = hf (x9 +, y9 + ) = 0.1 2 (0.952 + 7.71775) =1.2 k3 = hf (x9 + h, y9 + k2 ) = 0.1 2 (12 + 8.5884) =1.y10 = y9 + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3) = =1 + (1.5349 + 2 1.7069 + 2 1.7241 + 1.9177) = 8.Выпишем полученные по методу Рунге-Кутта значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

xi Метод Рунге- Точное решение Ошибка Кутта вычислений x1 1.2221 1.2221 0.x2 1.4977 1.4977 0.x3 1.8432 1.8432 0.x4 2.2783 2.2783 0.x5 2.8274 2.8274 0. xi Метод Рунге- Точное решение Ошибка Кутта вычислений x6 3.5201 3.5202 0.x7 4.3927 4.3928 0.x8 5.4894 5.4895 0.x9 6.8643 6.8645 0.x10 8.5834 8.5836 0.Сравнивая картину погрешностей в методе Рунге-Кутта и в рассмотренных ранее методе Эйлера и модифицированном методе Эйлера, можно видеть, что погрешности этого метода на несколько порядков меньше соответствующих погрешностей двух других методов. Именно поэтому метод Рунге-Кутта находит наибольшее применение.

7.2. Лабораторная работа №Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера 7.2.1. Задача № Определить давление в сечениях газопровода через каждые 10 км, если известно:

dp = f (x, p) = - A z( p,T (x)) T (x) / p dx x0 = 0, p(0) = p0, где z( p,T ) = 1- 0.4273 ( p / pкр )(T / Tкр ) – коэффициент сверхсжимаемости, p – давление, Т – температура, T (x) = TH + (T0 - TH ) e-xd / MC p – формула Шухова, Pкр = 4.64 МПа – критическое давление oC Tкр =190.55 – критическая температура, T0 – начальная температура, TH – температура окружающей среды, p0 – начальное давление, 2 2 A = 0.067 (2k / d)0.2 (8RM / d ), k – шероховатость поверхности, d – диаметр газопровода, M – массовый расход, Q – коммерческий расход, M = Q метана = Q 0. Cp =2500 Дж/кг·К –теплоемкость, -коэффициент теплопередачи, R=470 Дж/кмоль·К, L – длина участка газопровода, Данные по вариантам:

№ L, d, Q, млн. P0, TH, T0,, k, o o вар. км мм куб.м/сут. МПа мм С С Bm / м2К 1 100 800 1.5 5.7 8 60 1.5 0.2 120 1000 2.5 5.5 10 55 2.0 0.3 130 1200 3.5 5.5 6 55 1.7 0.4 140 1000 2.0 5.3 10 50 1.8 0.5 150 1200 3.2 5.8 5 62 1.2 0.6 110 800 1.0 5.2 10 50 1.5 0. № L, d, Q, млн. P0, TH, T0,, k, o o вар. км мм куб.м/сут. МПа мм С С Bm / м2К 7 120 1200 3.0 5.3 9 55 1.2 0.8 160 1000 1.0 5.3 8 60 2.0 0.9 130 1100 1.7 5.5 7 50 1.7 0.10 150 1000 2.0 5.6 6 55 1.5 0.11 120 800 3.0 5.8 8 60 1.2 0.12 170 1000 1.5 5.7 10 55 1.5 0.13 130 1200 2.5 5.6 7 50 2.0 0.14 150 1000 3.5 5.5 10 50 1.7 0.15 160 800 1.8 5.4 9 60 1.5 0.16 150 1000 1.0 5.5 8 50 1.8 0.17 130 1200 3.0 5.3 6 60 1.7 0.18 140 1200 3.5 5.2 7 55 1.2 0.19 110 1000 2.5 5.3 5 63 1.8 0.20 140 800 2.5 5.3 5 56 1.7 0.21 110 800 1.5 5.6 10 55 1.5 0.22 150 1000 1.5 5.7 9 60 2.0 0.23 130 1200 3.2 5.8 8 50 2.0 0.24 120 1000 3.3 5.5 5 55 1.7 0.7.2.2. Задача № Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося вещества. Можно написать дифференциальное уравнение, отображающее скорость изменения количества радиоактивного вещества: y = -ky, где y – это количество вещества в момент времени t. Пусть k=0.01 и количество вещества, имеющегося на момент времени t0=0 равно y0=100 г. Требуется найти количество вещества, которое останется на момент времени t=100.

Эта задача проста с точки зрения математики, и для нее можно указать аналитическое решение. Оно имеет следующий вид:

y =100e-kt, так что при t=100 получаем y(100)=36.788 г Это точное решение поможет нам сравнить работу разных методов и проследить накопление ошибки при подсчете значения y(100).

Решите задачу по данным своего варианта (указанным методом и с заданным шагом) и сравните значение y(100) с точным значением.

Данные по вариантам:

№ 1 2 3 4 5 6 7 вар.

Ме- Эйле- Эйле- Эйле- Эйле- Моди- Моди- Рунге- Рунгетод ра ра ра ра фици- фици- Кутта Кутта рован- рованный ный Эйле- Эйлера ра h 25 10 5 1 20 10 100 7.3. Лабораторная работа №Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта 7.3.1. Задача №Решить предлагаемую задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, где x [a, b], y(a) = y0 и шаг h = 0.1.

Полученное численное решение сравнить с точным решением y(x), приведенным в вариантах задания.

Данные по вариантам:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.