WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

xi = 60, 80, 100, 120, 140 (в градусах Цельсия).

Значение yi, Н м№ x1 = 60 x2 = 80 x3 =100 x4 =120 x5 =вар.

y1 y2 y3 y4 y1 14 16 20 26 2 15 17 20 26 3 16 18 21 28 4 16 17 20 26 5 13 17 20 26 6 15 18 21 28 7 14 17 20 26 8 15 18 20 26 9 16 19 21 28 10 14 16 21 26 11 15 17 22 26 12 16 18 23 28 13 14 16 20 25 14 15 17 20 26 15 16 18 21 27 16 14 16 20 26 17 15 17 20 26 18 16 18 21 28 19 14 16 20 24 20 15 17 21 26 21 16 17 21 28 22 13 16 20 26 23 15 16 22 27 24 16 18 21 28 5.2.2. Задача № Определить коэффициенты функциональной зависимости распределения температуры заглубленного трубопровода по поверхности грунта от глубины залегания трубопровода при стационарном тепловом режиме.

Известно общее соотношение: Q - tH = le-ax, где Q – температура на поверхности грунта в С, tH – температура окружающей среды в С, x – расстояние по линии, перпендикулярной оси трубопровода, от точки на поверхности грунта до оси трубопровода.

Необходимо определить коэффициенты l и a в данном соотношении по результатам произведенных замеров температуры поверхности грунта.

Для решения этой задачи, прологарифмировав обе части соотношения, получим:

Ln(Q - t ) = Ln(l) - axH Обозначив Z = Ln(Q - tH ), C = Ln(l), имеем уравнение Z = C - ax2, в котором необходимо определить коэффициенты C и a. После нахождения C коэффициента C можно будет вычислить l следующим образом: l = e.

Данные по вариантам:

1.

x, м 0 0.05 0.10 0.i z 3.02 2.56 1.84 0.i 2.

x, м 0 0.05 0.10 0.20 0.30 0.i z 2.08 1.91 1.59 0.69 -0.222 -1.i 3.

x, м 0 0.05 0.10 0.20 0.30 0.i z 1.39 1.25 0.96 0.33 -0.51 -1.i 4.

x, м 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.i zi 0.833 0.742 0.53 0.095 -0.222 -0.5.

xi, м 0 0.05 0.10 0.20 0.zi 3.42 3.00 2.30 1.16 -0. 6.

xi, м 0 0.05 0.10 0.20 0.z 2.52 2.35 2.00 1.163 0.i 7.

x, м 0 0.05 0.10 0.20 0.i z 1.705 1.504 1.253 0.0693 -0.i 5.3. Лабораторная работа №Построение интерполяционного многочлена Лагранжа 5.3.1. Задача № Построить многочлен Лагранжа, интерполирующий профиль высот zi на участке нефтепровода.

Данные по вариантам:

1.

x, км 180 180.1 180.2 180.3 180.i z, м 56.2 54.2 54.9 53.2 53.i 2.

x, км 180.6 180.7 180.8 180.9 i zi, м 55.6 54.2 57.1 56.0 54.3.

xi, км 181.1 181.2 181.3 181.4 181.zi, м 52.3 53.4 53.0 53.9 55. 4.

xi, км 181.6 181.7 181.8 181.9 z, м 57.0 56.8 57.0 55.1 54.i 5.

x, км 182.1 182.2 182.3 182.4 182.i z, м 53.6 50.0 55.5 55.3 60.i 6.

x, км 182.6 182.7 182.8 182.9 i z, м 62.2 64.4 65.0 64.0 65.i 7.

x, км 183.1 183.2 183.3 183.4 183.i z, м 63.6 65.0 66.2 62.1 58.i 8.

x, км 183.6 183.7 183.8 183.9 i zi, м 61.2 64 61.5 63.5 62.9.

xi, км 184.1 184.2 184.3 184.4 184.zi, м 64.4 66.2 63.5 65.4 62.10.

xi, км 184.6 184.7 184.8 184.9 z, м 65.7 67.2 66.5 63.0 63.i 11.

x, км 181.2 181.3 181.4 181.5 181.i z, м 52.3 54.8 53.0 53.1 55.i 12.

xi, км 184.1 184.2 184.3 184.4 184.z, м 55.3 53.4 53.0 53.4 55.i 13.

x, км 185.1 185.2 185.3 185.4 185.i z, м 62.4 63.1 63.0 58.9 59.i 14.

x, км 185.5 185.6 185.7 185.8 185.i z, м 61.2 64 61.5 63.5 62.i 15.

x, км 186.6 186.7 186.8 186.9 i z, м 62.2 64.4 65.0 64.0 65.i 16.

x, км 187 187.1 187.2 187.3 187.i zi, м 56.2 54.2 54.9 53.2 53.17.

xi, км 187.1 187.2 187.3 187.4 187.zi, м 52.3 53.4 53.0 53.9 55.18.

xi, км 187.6 187.7 187.8 187.9 z, м 63.6 65.0 66.2 62.1 58.i 19.

x, км 188.0 188.1 188.2 188.3 188.i z, м 61.2 64 61.5 63.5 62.i 20.

xi, км 188.6 188.7 188.8 188.9 z, м 64.4 66.2 63.5 65.4 62.i 21.

x, км 189.6 189.7 189.8 189.9 i z, м 55.6 54.2 57.1 56.0 54.i 22.

x, км 190.1 190.2 190.3 190.4 190.i z, м 63.6 65.0 66.2 62.1 58.i 23.

x, км 190.6 190.7 190.8 190.9 i z, м 57.0 56.8 57.0 55.1 54.i 24.

x, км 191.1 191.2 191.3 191.4 191.i zi, м 64.4 66.2 63.5 65.4 62.5.3.2. Задача № Известно, что использование кислот соляной HCl и кремнефтористоводородной H2SiF6, благодаря растворению терригенных коллекторов, углубляет и развивает сеть каналов. Но одновременно и ограничивает приток пластовых вод к скважине за счет закупорки фильтрационных каналов в водоносном пласте осадками кремнефторидов.

Проблемы поиска оптимального режима обработки призабойной зоны с целью снижения пластовых потерь нефти приводят к необходимости исследования зависимости количества выпадающего осадка от свойств пластовой воды.

В таблице приведены результаты эксперимента по смешиванию 25 мл пластовой воды при температуре T = 20oC с кремнефтористоводородной кислотой H2SiF6 с последующей фильтрацией полученого раствора.

плотность пласт. воды, 1.05 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.г/смсодержание осадка, % 8.4 14.2 14.4 15.4 19.7 20.6 22.(весовое) Необходимо построить зависимость процентного содержания осадка, получающегося при смешивании пластовой воды с кислотой H2SiF6, от плотности пластовой воды. Для построения зависимости воспользоваться многочленом Лагранжа.

5.3.3. Задача №Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для зависимости растворимости кварцевого песка в смеси двух кислот (20 % - ной кислоты H2SiF6 и кислоты HCl ) от процентного содержания кислоты HCl в смеси.

Данные измерений для отдельных смесей приведены в таблице. Они были получены при температуре T = 20oC для 20 грамм песка и при объеме кислотного раствора V =15 мл.

состав 20 % H2SiF6 20 % H2SiF6 20 % H2SiF6 20 % H2SiFраствора +0 % HCl +5 % HCl +10 % HCl +15 % HCl раствори- мость 12.04 31.85 33.9 37.песка, г/л 6. Численное интегрирование 6.1. Основные определения Методы численного интегрирования используются в тех случаях, когда b необходимо найти значение определенного интеграла вида f (x)x, но a аналитически посчитать его значение не представляется возможным из-за сложного вида подынтегральной функции. Известно, что значение b определенного интеграла равно f (x)x = F(b) - F(a), где F(a) и F(b) – a значения первообразной F(x) для подынтегральной функции f (x) в точках a и b соответственно. Например, cos(x)x = sin( 2) - sin(0) = 1. Но далеко не для всякой функции f (x) легко указать F(x), как это сделано в примере. Тогда прибегают к численному интегрированию.



Есть еще, правда, способ подсчета значения интеграла путем предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования.

Вспомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f (x). С помощью точек x0, x1,..., xn разобьем отрезок [a,b] на n отрезков [xi-1, xi ] (i = 1,2..., n ), причем x0 = a, xn = b. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку i (xi-1 i xi ) и найдем произведение значения функции в этой точке f (i ) на длину отрезка xi = xi - xi-1:

si = f (i )xi.

Составим сумму таких произведений:

n Sn = s1 + s2 +... + sn = f (i )xi i= Сумма Sn называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремлении к нулю длины наибольшего отрезка разбиения:

b n f (x)x = lim f (i )xi max xi i=a Известно, если f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек i.

Рис. Геометрический смысл введенных понятий для случая f (x) проиллюстрирован на рисунке 1. Величины si = f (i )xi представляют из себя площади прямоугольников, отмеченных пунктирной линией, а сама интегральная сумма – площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При стремлении же к нулю длин отрезков разбиения площадь этой ступенчатой фигуры стремится к площади фигуры, заключенной под кривой y = f (x). Это и есть значение интеграла.

Используют следующие методы численного интегрирования.

6.1.1. Метод прямоугольников.

В этом методе непосредственно заменяют значение определенного интеграла интегральной суммой, разбивая обычно отрезок интегрирования на n b - a равных по длине отрезков. Тогда h =, являющуюся длиной отрезка n разбиения, называют шагом разбиения. В качестве i могут выбираться левые ( = xi - 1) или правые (i = xi ) границы отрезков разбиения или их середины i (i = xi + h 2 ). Получают следующие формулы метода прямоугольников, отвечающие этим трем способам выбора точек i :

а) Формула левых прямоугольников b n-f (x)x h f (xi ) i=a б) Формула правых прямоугольников b n f (x)x h f (xi ) i=a в) Формула средних прямоугольников b n-h f (x)x h f (xi + ) i=a Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:

(b - a) Rn = f (), 2n (b - a) Rn = - f (), 2n (b - a) Rn = f (), 24nгде [a,b] 6.1.2. Метод трапеций В этом методе применяют линейную интерполяцию интегрируемой функции, т.е. график функции y = f (x) представляют в виде ломаной, соединяющей точки (xi, f (xi )). В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке разбиения заменяется площадью под прямой, которая равна площади прямоугольной трапеции с высотой h и основаниями f (xi-1), f (xi ), т.е.

f (xi-1) + f (xi ) si = h. Получается формула трапеций b 1 f (x)x h( y0 + y1 + y2 +... + yn-1 + yn ), 2 a где yi = f (xi ),i = 0,1,..., n.

Рис. Главный член погрешности этой формулы равен:

(b - a) Rn = - f (), [a,b].

12n6.1.3. Метод Симпсона В этом методе отрезок интегрирования [a,b] разбивается на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x0, x2 ],[x2, x4 ],...,[xn-2, xn ] подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени:

f (x) i (x) = ai x2 + bi x + ci xi-1 x xi+В качестве i (x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, график которого проходит через точки (xi-1, yi-1), (xi, yi ), (xi+1, yi+1), где yi = f (xi ),i = 0,1,..., n.

В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке [x0, x2 ],[x2, x4 ],...,[xn-2, xn ] заменяется площадью под параболой, а эту площадь легко посчитать, т.к. первообразная квадратичной функции известна:

x3 xдля i (x) = ai x2 + bi x + ci ее первообразной будет i (x) = ai + bi + ci x.

3 Рис. Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла.

Формула метода Симпсона имеет вид:

b h f (x)x [y0 + yn + 2(y2 + y4 + y6... + yn-2 ) + 4(y1 + y3 + y5 +... + yn-1)] a Главный член погрешности этой формулы равен:

(b - a)IV Rn = - f (), [a, b].

180n Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл I с заданной точность > 0, т.е. получить такое приближенное значение его Sn, чтобы выполнялось I - Sn <.

Удовлетворить этому требованию можно, либо выбрав число n разбиения отрезка интегрирования так, чтобы главный член погрешности по модулю был меньше, либо воспользовавшись следующим приемом.





Посчитать значение интеграла для некоторого n = k. Затем сделать такие же расчеты для n = 2k. Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что S2k - Sk <, то считать точность достигнутой и принять I S2k. Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее Sn принять за искомое значение интеграла.

Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.

6.1.4. Пример x Вычислим по методу левых прямоугольников интеграл I = 1 + x2 с точностью = 0.1.

Разобьем отрезок [0,1] на 10 частей. Следовательно n = 10, h = 0.1.

Воспользуемся формулой:

b n- f (x)x h f (xi ).

i=a 1 1 Тогда I S10 = 0.1( + +... + ) = 0.1 + 02 1 + 0.12 1 + 0.Теперь проделаем аналогичные расчеты для n = 20. Получим 1 1 I S20 = 0.05( + +... + ) = 0.1 + 02 1 + 0.052 1 + 0. И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0.859981497 - 0.822793997 < 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.822793997.

6.1.5. Пример x Вычислим по методу трапеций интеграл I = 1 + x2 с точностью = 0.1.

Разобьем отрезок [0,1] на 10 частей: n = 10, h = 0.1. Воспользуемся формулой:

b 1 f (x)x h( y0 + y1 + y2 +... + yn-1 + yn ).

2 a Тогда 1 1 1 1 1 I S10 = 0.1( + +... + + ) = 0.2 1 + 02 1 + 0.12 1 + 0.92 1 + Теперь проделаем аналогичные расчеты для n = 20. Получим 1 1 1 1 1 I S20 = 0.05( + +...+ + ) = 0.2 1+ 02 1+ 0.052 1+ 0.952 1+И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0.784981 - 0.785294 < 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.785294.

6.1.6. Пример x Вычислить по методу Симпсона интеграл I = 1 + x2 с точностью = 0.1.

Разобьем отрезок [0,1] на 10 частей: n = 10, h = 0.1. Воспользуемся формулой:

b h f (x)x [ y0 + yn + 2( y2 + y4 + y6...+ yn-2 ) + 4( y1 + y3 + y5 +...+ yn-1)] a Тогда 0.1 1 1 1 1 I S10 = [ + + 2( + +... + ) + 3 1+ 02 1+12 1+ 0.22 1+ 0.42 1+ 0.1 1 + 4( + +... + )] = 0.1+ 0.12 1+ 0.32 1+ 0.Теперь проделаем аналогичные расчеты для n = 20. Получим 0.05 1 1 1 1 I S20 = [ + + 2( + +... + ) + 3 1 + 02 1 + 12 1 + 0.12 1 + 0.22 1 + 0.1 1 + 4( + +... + )] = 0.1 + 0.052 1 + 0.152 1 + 0.И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0802065 - 0.785398 < 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.785398.

6.2. Лабораторная работа №Вычисление интеграла методом Симпсона 6.2.1. Задача №Рассчитать время t опускания зеркала жидкости в осесимметричном резервуаре от первоначального уровня H0 до заданного H1 при вытекании жидкости из небольшого отверстия в центре дна резервуара. Это время можно вычислить по следующей формуле:

Ht =[ ( 2g)] (R2(z) z)dz, Hгде H0 – первоначальный уровень;

H1 – заданный уровень;

– площадь отверстия;

R(z) – кривая, образующая стенку резервуара вращением вокруг оси OZ; (0 z z0 ) XOYZ – система координат;

О – в центре малого отверстия;

z0 – высота резервуара;

= 0,62 – коэффициент расхода.

Данные по вариантам:

R(z) № R0, м z0, м H0, м H1, м, смвар.

1 R0 sin(z z0) 5 8 6 1 2 R0 exp(z 2z0 ) 4 10 10 0,5 3 R0 ln(1 + z z0 ) 8 10 8 2 7,4 R0 cos(z 2z0) 5 12 10 0,5 7,5 10 16 16 0,5 7,R0(1 + z z0)1 6 R0 sin(z z0) 5 8 7 0,5 7 R0 exp(z 2z0 ) 4 10 8 1 8 R0 ln(1 + z z0 ) 8 10 7 1 9 R0 cos(z 2z0) 5 12 8 2 7,10 10 16 10 2 R0(1 + z z0)1 11 R0 sin(3z z0 ) 5 8 6 1 12 R0 exp( z 2z0) 4 10 10 0,5 13 R0 ln(1 + z 2z0) 8 10 8 2 7,14 R0 cos(z 2z0) 5 12 10 0,5 7,15 10 16 16 0,5 7,R0(1 + z z0)1 R(z) № R0, м z0, м H0, м H1, м, смвар.

16 R0 cos(z z0) 5 8 7 0,5 17 R0 exp(z z0) 4 10 8 1 18 R0 ln(1 + z z0 ) 8 10 7 1 19 R0 sin(z 2z0) 5 12 8 2 7,20 10 16 10 2 R0(1 + 2z z0)1 21 R0 ln(1 + z z0 ) 8 10 7 2 22 R0 cos(z 2z0) 5 12 5 1,5 23 R0 sin(z z0) 10 16 16 0,5 7,24 R0 exp(z 2z0 ) 5 8 7 0,5 6.2.2. Задача № Маятник длины l с размахом имеет период колебаний, равный T = 4K l g, где g – ускорение силы тяжести, а K задается формулой :

d K =.

0 1 - sin2 ( 2)sin При малых углах K 2 и тогда T 2 l g. Маятник, для которого l g =1 называется секундным, т.к. при малых углах половина периода его колебаний равна 1 секунде. Половина периода колебаний T секундного маятника при размахе вычисляется по формуле = (2 )K.

Необходимо для секундного маятника при заданном значении размаха вычислить величину множителя K и определить на сколько секунд в день врут часы с таким секундным маятником, спешат они или отстают.

Задание выполнить по вариантам:

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 вар.

2 5 7 10 15 25 1 6 40 45 13, ° 6.3. Лабораторная работа № Вычисление определенного интеграла методом трапеций 6.3.1. Задача № Рассчитать потери напора при неизотермической перекачке нефти по участку трубопровода, равные L 2 H = (8Q2 / gd ) dx где d – внутренний диаметр, L – протяженность трубопровода, Q – расход нефти, T0,Tk - начальная и конечная температуры соответственно, TH - температура окружающей среды, 1, - кинематическая вязкость при температуре T1 и Tсоответственно.

Вычисления провести в следующем порядке:

ln(1 / ) 1). = T2 - Tx TK - TH L 2). T (x) = TH + (T0 - TH ) ( ) T0 - TH 4Q 3). Re = -(T -T1 ) d e 4). Функция (x) зависит от величины числа Рейнольдса:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.