WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

Fn (x1, x2,..., xn ) = В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. К таким методам относятся метод простой итерации и метод Ньютона.

4.1.1. Метод простой итерации Система уравнений (1) приводится предварительно к следующему виду:

x1 = f1(x1, x2,..., xn ) x = f2 (x1, x2,..., xn ) (2)............................

xn = fn (x1, x2,..., xn ) В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор (0) (0) (0) (0) X = (x, x,..., x ).

1 2 n Для нахождения последующих приближенных решений используют формулы:

а). Метод Якоби:

(m+1) ( ( ( x1 = f1(x1m), x2m),..., xnm) ) ( ( ( ( x2m+1) = f2 (x1m), x2m),..., xnm) )............................................. (3) ( ( ( ( xnm+1) = fn (x1m), x2m),..., xnm) ) где верхний индекс отмечает номер итерации.

В данном случае для расчета координат последующего приближения координаты предыдущего подставляются в формулы (2).

б). Метод Гаусса-Зейделя:

(m+1) ( ( ( x1 = f1(x1m), x2m),..., xnm) ) ( ( ( ( x2m+1) = f2 (x1m+1), x2m),..., xnm) )...........................................

( ( ( ( ( ( xkm+1) = fk (x1m+1), x2m+1),..., xkm+1), xkm),..., xnm) ) (4) -............................................

( ( ( ( xnm+1) = fn (x1m+1), x2m+1),..., xnm) ) (m+1) В этом методе для расчета каждой следующей координаты x k используются уточненные значения предыдущих координат, уже (m+1) (m+1) (m+1) полученных на данной итерации: x, x,..., x, а также 1 2 k -(m) (m) (m) неуточненные оставшиеся координаты: x, x,..., x, полученные из k k +1 n предыдущего приближения.

в). Метод верхней релаксации:

(m+1) (m) (m+1) (m) x = x + w(x - x ), i =1,2,...,n, i i i i (m+1) где x - уточненное значение переменной по Гауссу-Зейделю, w - параметр i релаксации, 1 w 2.

Достаточное условие сходимости методов простой итерации в области G (0) для любого начального приближения X G, имеет вид:

n f (X ) k max{max } < ( 0 ) 1in X G k =1 x ( 0 ) i X = X 4.1.2. Метод Ньютона (0) (0) (0) (0) Применяется для систем вида (1). Пусть X = (x, x,..., x ) - начальное 1 2 n приближение корня. Для нахождения последующих приближений используют формулу:

(m+1) (m) -1 (m) (m) X = X - J (X ) F(X ), ( (m) x1m) F1(X ) ( (m) x2m) F2 (X ) (m) (m) где X =,, F(X ) =.................

( (m) xnm) Fn (X ) -1 (m) (m) J (X ) обратная матрица для матрицы Якоби J (X ) в точке X = X :

F1(X ) F1(X ) F1(X )...

x1 x2 xn F2 (X ) F2 (X ) F2 (X )...

x1 x2 xn J (X ) =.......................................

Fn (X ) Fn (X ) Fn (X )...

x1 x2 xn * Если det J (X ) 0, то в достаточно малой окрестности корня X итерационный процесс сходится. В качестве критерия окончания итераций n (m+1) (m) (m+1) (m) используют условие X - X <, например, (x - x ) <.

i i i=Рассмотрим отдельно случай двух уравнений с двумя неизвестными и выведем формулы для вычисления.

F(x, y) = x Пусть имеется система:

G(x, y) = 0 и X = y. Тогда Fx (x, y) Fy (x, y) J (X ) = Gx (x, y) Gy (x, y). Обратной матрицей к Якобиану J (X ) будет Gy (x, y) - Fy (x, y) - J (X ) =.

det(J (X )) - Gx (x, y) Fx(x, y) x(m) (m) Введем обозначения (m) = det J (x(m), y(m) ), X =. Тогда y(m) рекурентную формулу для расчета приближенного решения можно записать в следующем матрично-векторном виде:

(m) (m) (m) Gy (X ) - Fy (X ) F(X ) (m+1) (m) X = X -.

(m) Gx (X (m) ) Fx(X (m) ) G(X (m) ) - Или, после перемножения стоящих справа в этом уравнении матрицы и вектора, имеем:

(m) (m) (m) (m) Gy (X ) F(X ) - Fy (X ) G(X ) (m+1) (m) X = X -.

(m) Gx (X (m) ) F(X (m) ) + Fx(X (m) ) G(X (m) ) - Но (m) (m) Fy (X ) F(X ) (m) (m) (m) (m) - Gy (X ) F(X ) + Fy (X ) G(X ) = (m) (m) Gy (X ) G(X ) (Обозначим этот определитель символом (m) ), (m) (m) F(X ) Fx (X ) (m) (m) (m) (m) Gx (X ) F(X ) - Fx (X ) G(X ) = (m) (m) G(X ) Gx (X ) (Обозначим этот определитель символом (m) ).

Запишем тогда в наших обозначениях формулы покоординатно:

(m) (m) 1 x(m+1) = x(m) +, y(m+1) = y(m) +.

(m) (m) 4.1.3. Пример Решим систему двух нелинейных уравнений методом простой итерации с применением формулы Якоби:

sin(x + y) -1.5x = для y > 0.

x + y2 = x = sin(x + y) /1.5.

Для этого запишем ее в виде:

y = 1- xx(0) (0) В качестве начального приближения возьмем вектор X = y(0) = 0.1.

0. x(1) sin(0.1 + 0.2) /1.5 0. Тогда = = 0.994987, аналогично y(1) - 0. x(2) sin(0.197013 + 0.994987) /1.5 0. = = 0.980401 и y(2) - 0. x(3) sin(0.619407 + 0.980401) /1.5 0. = = 0.78507.

y(3) - 0. Посчитаем норму разности двух последних приближений:

(3) (2) X - X = (0.666386 - 0.619407)2 + (0.78507 - 0.980401)2 = = 0.Если такая точность достаточна, то вычисления прекращают и за искомое решение принимают последнюю найденную точку, т.е.

x = 0.666386, y = 0.78507. В противном случае расчеты продолжают.

4.1.4. Пример Решим ту же систему методом Ньютона, предварительно записав ее в F(x, y) = требуемом виде G(x, y) = 0. Получим:

sin(x + y) -1.5x =, где -x + y2 = F(x, y) = sin(x + y) -1.5x, а G(x, y) = x2 + y2 -1.

x(0) 0. (0) Возьмем в качестве начального приближения X = = y(0) 0. вблизи искомого решения. Тогда cos(x(m) + y(m) ) -1.5 cos(x(m) + y(m) ) (m) = 2x(m) 2y(m) cos(x(m) + y(m) ) sin(x(m) + y(m) ) -1.5x(m) (m) = 2y(m) (x(m))2 + (y(m))2 -sin(x(m) + y(m) ) -1.5x(m) cos(x(m) + y(m) ) -1.(m) =.



(x(m) )2 + (y(m) )2 -1 2x(m) Получаем (0) = -2.30351, (0) = -0.01923, (0) = 0.045427. Отсюда 1 x(1) = x(0) + (0) / (0) = 0.65 + 0.01923/ 2.30351 = 0.y(1) = y(0) + (0) / (0) = 0.78 - 0.045427 / 2.30351 = 0.760279.

Для следующего приближения:

(1) = -2.24993, (1) = 0.000329, (1) = 0.010784.

1 Отсюда x(2) = x(1) + (1) / (1) = 0.658347 - 0.000329/ 2.24993 = 0.y(2) = y(1) + (1) / (1) = 0.760279 - 0.010784/ 2.24993 = 0.755486.

Для третьей итерации:

-(2) = -2.23601, (2) = 4.49 10, (2) = 0.1 -Отсюда x(3) = x(2) + (2) / (2) = 0.6582 - 4.49 10 / 2.23601 = 0.y(3) = y(2) + (2) / (2) = 0.755486 - 0.003817 / 2.23601 = 0.753779.

Сравниваем два последних приближения:

(3) (2) X - X = (0.65818 - 0.6582)2 + (0.753779 - 0.755486)2 = = 0.001707.

Как хорошо видно, метод Ньютона дает более быструю сходимость по сравнению с методом простой итерации.

4.2. Лабораторная работа № Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации Решить систему методом простой итерации, предварительно отделив корни графически:

1. 2. 3.

sin(x +1) - y =1,2 cos(x -1) + y = 0,5 sin x + 2y = 2x + cos y = 2 x - cos y = 3 cos(y -1) + x = 0, 4. 5. 6.

cos x + y =1,5 sin(x + 0,5) - y =1 sin(x -1) =1,3 - y 2x - sin( y - 0,5) =1 cos(y - 2) + x = 0 y - sin( y + 1) = 0,7. 8. 9.

cos(x + 0,5) - y = 2 sin(x + 2) - y =1,5 sin( y + 1) - x =1, sin y - 2x =1 x + cos(y - 2) = 0,5 2y + cos x = 10. 11. 12.

sin(x + 1) - 3y = 0,2 cos(x - 0,5) + y =1,5 sin x + y = 2x + cos y = 2 x - cos y = 3 cos( y -1) + 2x = 0,13. 14. 15.

cos x + 0,5y = 0,5 sin(x + 1,5) - y =1 sin(x -1) + 1 = y x - sin( y - 0,5) =1 cos(y - 2) + 2x = 0 2y - sin( y + 1) = 0, 16. 17. 18.

sin(x + 1) - 2y =1,2 cos(x -1) + 5y = 0 sin x + y = x + cos y = 0 0,5x - cos2y =1,3 cos(y -1) + 3x = 0,19. 20. 21.

cos3x + y =1,5 sin(2x + 0,5) - y =1 sin(x - 2) =1,3 - y 2x - sin(2y - 0,5) = 2 cos(y - 2) + x = 2 0,5y - sin(y + 1) = 0, 22. 23. 24.

cos(x + 0,5) - 2y =1 sin(x + 2) - 0,5y = 0,5 sin( y + 1) - 2x = 0, sin 2y - x =1 x + cos(2y -1) = 0,5 y + cos x =4.3. Лабораторная работа № Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона Решить систему методом Ньютона, предварительно отделив корни графически:

1. 2. 3.

sin(x + y) -1,6x = tg(xy + 0,4) = x2 tg(xy + 0,1) = x 2 0,6x + 2y2 =1, x, y > 0 x + y2 =1, x, y > 0 x + 2y2 =4. 5. 6.

sin(x + y) -1,2x = 0,2 sin(x + y) -1,3x = tg(xy + 0,3) = x 2 x + y2 =1 0,8x + 2y2 =0,9x + 2y2 = 7. 8. 9.

sin(x + y) -1,5x = 0,1 sin(x + y) + 1,2x = tgxy = x 2 x + y2 =1 x + y2 =0,7x + 2y2 =10. 11. 12.

sin(x + y) =1,5x - tg(xy + 0,2) = x2 tg(xy + 0,3) = x 2 x + y2 =0,6x + 2y2 =1 0,9x + 2y2 = 13. 14. 15.

sin(x + 2y) -1,2x = tg(xy + 0,1) = 2x2 tg(xy + 0,5) = x 2 0,6x + 2y2 =1, x, y > 0 x + y2 =1, x, y > 0 x + y2 =16. 17. 18.

sin(x + y) - x =1 sin(x + y) -1,1x = tg(xy + 0,2) = x 2 x + y2 =1 0,8x + 2y2 =0,9x + 2y2 =19. 20. 21.

sin(x + y) -1,2x = 0,1 sin(x + y) + 2x = tgxy = x 2 x + y2 =1 2x + y2 =0,5x + 3y2 =22. 23. 24.

sin(2x + y) -1,6x = tg(xy + 0,4) = 3x2 tg(xy + 1) = x 2 6x + 0,2y2 =1, x, y > 0 x + 2y2 =1, x, y > 0 3x + 2y2 = 5. Интерполяция и аппроксимация функции 5.1. Основные определения Пусть величина y является функцией аргумента x, но вид аналитической зависимости y = f (x) неизвестен, а имеется табличное задание этой функции в точках x0, x1,..., xn, т.е. значения y0 = f (x0 ), y1 = f (x1),..., yn = f (xn ). Требуется построить функцию (x), которая мало отличалась бы от f (x), и по которой можно было бы примерно оценить значения y при x xi,i = 0 n. Для решения такой проблемы используют два подхода:

1). Построение функции (x) = Pn (x), являющейся интерполяционным многочленом степени n и обладающей тем свойством, что значения ее в точках x0, x1,..., xn совпадают со значениями f(x) в этих же точках.

2). Построение функции (x) = Pk (x), аппроксимирующей данную k j функцию f(x) и являющейся многочленом степени k вида Pk (x) = p x, j j=коэффициенты которого p определяются из условия минимизации суммы j квадратов отклонений (метод наименьших квадратов) в точках x0, x1,..., xn значений многочлена Pk (x) от y0, y1,..., yn соответственно, т.е. путем решения n задачи: min S = (P (xi ) - yi )2.

k i= Рассмотрим оба подхода подробнее.

5.1.1. Интерполяция функции Имеются различные формулы для построения интерполяционного многочлена: формулы Лагранжа, Ньютона, Гаусса. Мы рассмотрим только интерполяционный многочлен Лагранжа. Он имеет вид:

n n (x - xk ) Pn (x) = y.

j (x j=0 k =0,k j - xk ) j Можно для лучшего понимания записать его в следующем виде:

n n (x - xk ) Pn (x) = y p (x), где p (x) =.

j j j (x j=0 k =0,k j - xk ) j При этом легко заметить, что каждый многочлен p (x) обладает тем j свойством, что он обращается в ноль при всех табличных значениях аргумента x кроме x = x. А при x = x его значение равно единице. При этом j j полученный интерполяционный многочлен Pn (x) обладает необходимым свойством: его значения в точках x0, x1,..., xn совпадают со значениями y0, y1,..., yn функции f(x) в этих же точках. Можно также заметить, что степень его на единицу меньше количества табличных значений функции.

5.1.2. Аппроксимация функции Для аппроксимации функции сначала необходимо выбрать степень аппроксимирующего многочлена, т.е. среди многочленов разной степени выбрать тот, который лучше отражает поведение заданной таблично функции.





А затем с помощью метода наименьших квадратов определить параметры p j аппроксимирующего многочлена, минимизирующие функционал n S = (P (xi ) - yi )2.

k i=Для их поиска дифференцируют функционал S частным образом по p и j приравнивают нулю эти частные производные S p. Тем самым получают j систему линейных уравнений, содержащую (k + 1) -но линейное уравнение, зависящее от (k + 1) -го неизвестного параметра p0, p1,..., pk.

n S = p0 + p1xi + p2 xi2 +... + pk xik - yi )( i= Продифференцируем S по параметрам:

n S = 2 p0 + p1xi + p2 xi2 +... + pk xik - yi ) ( pi=n S = 2 p0 + p1xi + p2 xi2 +... + pk xik - yi )xi ( pi=………………………………………………… n S = 2 p0 + p1xi + p2 xi2 +... + pk xik - yi )xik ( pk i=Теперь, приравнивая эти производные нулю и перенося свободные S S S константы в уравнениях = 0, = 0,..., = 0 в правую часть их, получим:

p0 p1 pk n n n n (n + 1) p0 + p1 xi + p2 xi2 +... +pk xik = yi i=0 i=0 i=0 i=n n n n n p0 xi + p1 xi2 + p2 xi3 +... +pk xik +1 = yi xi i=0 i=0 i=0 i=0 i=..............................................................................

n n n n n p0 xik + p1 xik +1 + p2 xik +2 +... +pk xi2k = yi xik i=0 i=0 i=0 i=0 i=Решая эту систему линейных уравнений, находим значения параметров.

5.1.3. Пример Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для следующей заданной таблично функции y = f (x) :

x 0.75 1.50 2.25 3.00 3.y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.Если имеется пять значений функции в заданных точках, то интерполяционный многочлен мы получим четвертой степени, имеющим вид:

P4 (x) = y p (x), где p (x) сами являются так же многочленами четвертой j j j j=степени от x. Вот как они получаются:

(x - 1.50)(x - 2.25)(x - 3.00)(x - 3.75) p0 (x) = (0.75 -1.50)(0.75 - 2.25)(0.75 - 3.00)(0.75 - 3.75) (x - 0.75)(x - 2.25)(x - 3.00)(x - 3.75) p1(x) = (1.50 - 0.75)(1.50 - 2.25)(1.50 - 3.00)(1.50 - 3.75) (x - 0.75)(x - 1.50)(x - 3.00)(x - 3.75) p2 (x) = (2.25 - 0.75)(2.25 - 1.50)(2.25 - 3.00)(2.25 - 3.75) (x - 0.75)(x - 1.50)(x - 2.25)(x - 3.75) p3 (x) = (3.00 - 0.75)(3.00 - 1.50)(3.00 - 2.25)(3.00 - 3.75) (x - 0.75)(x - 1.50)(x - 2.25)(x - 3.00) p4 (x) = (3.75 - 0.75)(3.75 - 1.50)(3.75 - 2.25)(3.75 - 3.00) Сам интерполяционный многочлен имеет вид:

P4 (x) = 2.50 p0 (x) + 1.20 p1(x) + 1.12 p2 (x) + 2.25p3 (x) + 4.28p4 (x) 5.1.4. Пример Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для следующей таблично заданной функции y = f (x), приняв предположение, что f (x) является линейной:

x 0.75 1.50 2.25 3.00 3.y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.Т.к. исходная функция предполагается линейной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен первой степени вида:

P1(x) = p0 + p1x.

Тогда S = p0 + p1xi - yi )2. Система линейных уравнений для поиска ( i=параметров p0 и p1 будет иметь следующий вид:

(n + 1) p0 + p1 4 xi = 4 yi i=0 i=, 4 4 p0 xi + p1 xi2 = xi yi i=0 i=0 i=где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

n + 1 = xi =(0.75 + 1.50 + 2.25 + 3.00 + 3.75) = 11. i=xi2 =(0.752 + 1.502 + 2.252 + 3.002 + 3.752 ) = 30. i=yi =(2.50 + 1.20 + 1.12 + 2.25 + 4.28) = 11. i=xi yi = (0.75 2.50 + 1.50 1.20 + 2.25 1.12 + 3.00 2.25 + 3.75 4.28) = 29. i=5 p0 + 11.25 p1 = 11. Получаем систему, решая которую методом 11.25 p0 + 30.94 p1 = 29.Гаусса получаем p0 0.89, p1 0.62.

Следовательно, функция, аппроксимирующая заданную табличную f (x), имеет вид: y 0.89 + 0.62x.

5.1.5. Пример Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для той же таблично заданной функции, что и в предыдущем примере, но, приняв предположение, что зависимость y = f (x) является квадратичной.

x 0.75 1.50 2.25 3.00 3.y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.Т.к. исходная функция предполагается квадратичной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен второй степени вида:

P2 (x) = p0 + p1x + p2 x2.

Тогда S = p0 + p1xi + p2 xi2 - yi )2 и система линейных уравнений для ( i=поиска параметров p0, p1 и p2 будет иметь следующий вид:

(n + 1) p0 + p1 4 xi + p2 4 xi2 = 4 yi i=0 i=0 i= 4 4 4 p0 xi + p1 xi2 + p2 xi3 = xi yi, i=0 i=0 i=0 i= 4 4 4 p0 xi2 + p1 xi3 + p2 xi4 = xi2 yi i=0 i=0 i=0 i=где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

n + 1 = 4 xi = 11.25 xi4 = 309. i=0 i=4 xi2 = 30.94 xi3 = 94. i=0 i=4 yi = 11.35 xi yi = 29. i=0 i=xi2 yi = 90. i=Система уравнений запишется в виде:

5 p0 + 11.25 p1 + 30.94 p2 = 11. 11.25 p0 + 30.94 p1 + 94.92 p2 = 29. 30.94 p0 + 94.92 p1 + 309.76 p2 = 90. Решение этой системы методом Гаусса даст следующие значения параметров: p0 5.54, p1 -4.73, p2 1.19.

Следовательно, аппроксимирующая функция имеет вид y 5.54 - 4.73x + 1.19x2.

5.2. Лабораторная работа № Определение коэффициентов функциональной зависимости с помощью метода наименьших квадратов 5.2.1. Задача №При пяти различных значениях температуры (xi ) было измерено напряжение сдвига ( y ). Найти коэффициенты функциональной зависимости i напряжения сдвига от температуры при двух различных предположениях о характере этой зависимости: предполагая в первый раз, что эта зависимость имеет линейный характер, т.е.

y = ax + b, и второй раз, что она имеет квадратичный характер y = ax2 + bx + c.

В таблице в каждой строке даны пять значений напряжения сдвига, отвечающих следующим значениям температуры:

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.